Principi ed applicazioni del metodo degli elementi finiti. Formulazione base con approccio agli spostamenti

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1 Prncp d applcazon dl mtodo dgl lmnt fnt Formulazon bas con approcco agl spostamnt

2 PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTALI Data una crta statca: sforz σ j, forz d volum F forz d suprfc f j ; s dmostra ch mporr la sgunt quazon: σε dv = Fs dv + f s ds + r s ds j j j j j j j j V V S S cnmatca congrunt, coè dformazon ε j spostamnt s, tal ch: 1 s s j ε = n V s s su S 2 + = Xj X F V [ ] j V quval ad mporr l quazon d qulbro:

3 METODO DEGLI ELEMENTI FINITI PER N PROBLEMA ELASTICO-LINEARE 2D S consdr un problma pano l cu domno sa qullo rapprsntato sotto S consdr un problma pano, l cu domno sa qullo rapprsntato sotto s vogla dtrmnar lo stato tnso-dformatvo dl soldo ndotto da carch da vncol prsnt.

4 PROCEDRA 1. Suddvdo l mo domno (bdmnsonal) n un crto numro d part, ad smpo trangolar, dtt lmnt fnt (msh) numro nod dlla grgla; Lo scopo è qullo d trasformar un problma dffrnzal avnt com ncognt d camp (funzon), n un problma algbrco avnt com ncognt dgl scalar. Pù prcsamnt s passa dall avr com ncognt prmar l funzon s x (x,y) s y (x,y) ad avr com ncognt gl spostamnt x y d nod dlla grgla.

5 2. Approssmo lnarmnt l campo d spostamnt su cascuno d qust lmnt: (s not l ntroduzon dll numrazon local d nod a lvllo d lmnto) ( ) ( ) sx x,y = a1+ b1x+ c1y s y x,y = a2 + b2x+ c2y 3y Cambo d paramtr d ntrpolazon 2 2y 3 2x 3x 1y 1 1x ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) s x,y N x,y N x,y N x,y N x,y x 1 1x 2 2x 3 3x x s x,y N x,y N x,y N x,y N x,y y 1 1y 2 2y 3 3y y

6 ( ) dov : N x,y = (,y ) val ch: N x,y j j j 1 x y xy j m xmyj + ( yj ym) x+ ( xj xm) y 2Δ= dt 1 x y j j 2Δ 1 x y m m ( ) ( ) s x,y = = δ s x,y = x j j jx y j j jy

7 L tra funzon d forma dll lmnto trangolar

8 Dalla combnazon dll tr funzon d forma s ha l approsmazon (lnar) dl campo d spostamnt sul sngolo lmnto fnto s x 1x 3x s x 2x 3 1 2

9 In forma vttoral ho: 1x 1y sx N 2x 1 0 N2 0 N 3 0 s = y 0 N 1 0 N2 0 N 3 2y s N 3x 3y Approssmazon dl campo d spostamnt sul sngolo lmnto fnto funzon d sol spostamnt nodal Matrc dll funzon d forma Vttor dll componnt d spostamnto nodal dll lmnto

10 Applcando l oprator dffrnzal d congrunza ho: 1x 1y x 1,x 2,x 3,x N 0 N 0 N 0 ε 2x y 1,y 2,y 3,y 2y xy 1,y 1,x 2,y 2,x 3,y 3,x 3x 0 N 0 N 0 N N N N N N N ε = γ ε B 3y ε B x 0 ε caso pano = = y x xy y x s s y x 0 γ ε ε ε x y

11 3. Fas d assmblaggo: sosttusco ora nll quazon d lavor vrtual scrtta n forma vttoral: T T T dv = dv + ds F = forza d volum εσ sf sf f = forza d suprfc V V S F T T T εσ dv = sf dv + sf ds V V S F B σ dv = N Fdv + N f ds T T T T T T V V S F Ma grad d lbrtà local d cascun lmnto l posso sprmr n funzon d qull global, attravrso l cosddtt matrc boolan d connttvtà: 1x 1x 1y 1y. 2x. 2y. 3x Nx 3y Ny = L L è una matrc d zr uno

12 ESEMPIO: x2 = 6 grad d lbrtà lmnto x2 = 10 grad d lbrtà global x 1x y 1y x = = 2. 2y x 5 x 3y x1 5 y L 26x10 10x1

13 Sgu ch: L B σ dv = L N Fdv + L N f ds T T T T T T T T T T V V S F T T [ 1X 1X... NX NX ] L Bσdv = 1x2N V R nt 2Nx1 T T T T [ 1X 1X... NX NX ] L NF dv + [ 1X 1X... NX NX ] 1x2N 1x2N L Nf ds [... ] V SF RF st R f st 2Nx1 2Nx1 1X 1X NX NX 1x2N

14 Dovndo valr T congrunt allora dv valr anch pr la sgunt sclta d T T T = = [ ] 1 1x2N Da cu: T T [ ] L Bσdv = 1x2N V R nt 2Nx1 [ ] + [ ] 1x2N L N Fdv L N f ds T T T T 1x2N V RF st 2Nx1 SF f Rst 2Nx1 Da cu, la prma quazon (scalar): ( 1) = F f ( 1) + ( 1) R R R nt st st

15 Adottando l altr sclt pr T sgu ch: T = T F f ( ) = ( ) + ( ) R R R nt st st Alla fn tutt l quazon ch posso scrvr possono ssr sprss n trmn vttoral: F R = R + R f nt st st O quvalntmnt: L B σ dv = L N Fdv + L N f ds T T T T T T V V S F Equlbro n forma dbol dscrtzzato pr lmnt fnt

16 Applchamo ora l quazon dl lgam costtutvo d congrunza n forma vttoral: σ = Dε = DB = DBL Sosttusco nll quazon d qulbro dbol n forma dscrtzzata: t L BDBLdv = L NFdv + L Nfds T T T T T T V V S F

17 trovo: K = Matrc d rgdzza dll lmnto fnto d dmnson 6x6 pr un lmnto pano a tr nod T T T T T T L B D B L = L N F + L N f V V S dv dv ds F K F F BDBdv = NFdv + Nfds T T T V V S K F v PF K = P SISTEMA RISOLVENTE s K = matrc d rgdzza global dl soldo d dmnson dpndnt dal numro total d nod dlla dscrtzzazon on NB. Il prodotto con l matrc boolan non vn ma sguto (sarbb troppo onroso dal punto d vsta computazonal); smplcmnt l matrc d rgdzza vttor d carch d cascun lmnto vngono assmblat nlla matrc d rgdzza nl vttor d carch global.

18 ESEMPIO: x2 = 6 grad d lbrtà lmnto x2 = 10 grad d lbrtà global x 1x y 1y x = = 2. 2y x 5 x 3y x1 5 y L 26x10 10x1

19 K K11 K12 K13 K14 K15 K K22 K23 K24 K25 K K33 K34 K35 K 36 = K44 K45 K Sym K55 K 56 2 K66 Loc. x Glob. ( = ) 2X ( = ) ( = ) 2Y( = ) ( = ) 1X( = ) ( = ) 1Y ( = ) ( = ) 4X( = ) ( = ) 4 ( = 8 ) y x y x 3 6 y Y K33 K34 K31 K K35 K Tablla dll K44 K41 K K45 K ncdnz pr K11 K K15 K l lmnto K K 25 K T T K = L K L L K L K 55 K Sym K LT K L 2 2 2

20 4. Imposzon dll condzon al contorno V sono du tp d condzon al contorno: carch applcat (dtt natural), qual compaono nl vttor d trmn not P; spostamnt mpost (ssnzal), qual vngono mpost drttamnt su nod ntrssat l sstma lnar vn rdotto all sol rgh colonn non ntrssat t da tal condzon al contorno. NB: S uno spostamnto è assgnato la rlatva forza strna non può ssr prscrtta rman ncognta. ESEMPIO: y x δ In qusto smpo: x1 =0; y3 = -δ; y4 =0; x5 =0; l sstma rsolvnt dvnta:

21 L mposzon d vncol s ffttua nl sstma assmblato, pr prma cosa lmnando l quazon rlatv a grad d lbrtà vncolat. K11 K12 K13 K14 K15 K16 K17 K18 K19 K R1 K K K K K K K K K F y 2 K33 K34 K35 K36 K37 K38 K39 K 310 2x F3 K44 K45 K46 K47 K48 K49 K 410 2y F4 K 55 K56 K57 K58 K59 K 510 3x F 5 = K66 K67 K68 K69 K610 δ R6 K K K K 4x F Sym K88 K89 K810 0 R8 K99 K 0 R K y F10

22 0 1y K K F 12 K22 K23 K24 K25 K26 K27 K28 K29 K 210 2x 2 K31 K32 K33 K34 K35 K36 K37 K38 K39 K 310 2y F 3 K41 K42 K43 K44 K45 K46 K47 K48 K49 K F 410 3x 4 = K51 K52 K53 K54 K55 K56 K57 K58 K59 K510 δ F5 K71 K72 K73 K74 K75 K76 K77 K78 K79 K 710 F 4x 7 K F 101 K102 K103 K104 K105 K106 K107 K108 K109 K y Qund bsogna portar al scondo mmbro trmn not lgat al valor mposto dllo spostamnto.

23 K22 K23 K24 K25 K27 K 210 1y F2 K 26 K 33 K34 K35 K37 K310 2x F 3 K36 K 2y 44 K45 K47 K F K 46 = +δ K55 K57 K510 3x F5 K56 F K 77 K710 4x 7 K76 K y F 10 K106 SISTEMA RISOLVENTE con l CONDIZIONI AL CONTORNO mpost

24 na volta rsolto l sstma posso dtrmnar l razon vncolar nl sgunt modo (ovvro usando l quazon cancllat prma): 0 1y 2x R 1 K11 K12 K13 K14 K15 K16 K17 K18 K19 K110 2y R 6 K61 K62 K63 K64 K65 K66 K67 K68 K69 K 610 3x = R8 K81 K82 K83 K84 K85 K86 K87 K88 K89 K810 δ R 9 K91 K92 K93 K94 K95 K96 K97 K98 K99 K x 0 0 5y

25 5. Rsoluzon dl sstma lnar Mtod drtt: mtodo d lmnazon d Gauss; Mtod tratv (calcolano la soluzon com lmt d una succsson d vttor): mtod d Rchardson stazonar non; 6. Rcostruzon dlla soluzon: una volta calcolata la soluzon n trmn d spostamnt nodal, posso calcolar l campo dformatvo d sforz local con l sgunt rlazon gà vst prma: σ ( x, y ) = B ( x, y ) = ( x,y ) ε B B L ( x, y) = D ( x, y) ε ( x, y) = D( x,y) B ( x, y) = D ( x, y) B ( x,y) L

26 INTEGRAZIONE NMERICA: 1 f 1 = 1 = 1 G G ( ) ( ) ξ d ξ f ξ H = fh Tra l tant tcnch d ntgrazon numrca, una dll pù ffcnt è qulla d Gauss, n cu la poszon d punt d Gauss ξ d rlatv ps H sono dtrmnat n modo tal ch con n punt d Gauss, un polnomo d ordn 2n-1 possa ssr ntgrato sattamnt.

27

28 INTEGRAZIONE GASSIANA: Gl ntgral, ch dfnscono la matrc d rgdzza l vttor d carch nodal dll lmnto, non sono ma calcolat analtcamnt, ma numrcamnt soltamnt con la tcnca d Gauss: K F F V s = = = G T T B DBdv B V = 1 G T T NF dv NFH V = 1 G T T N fds Nf H S F = = 1 D B H L ndc è un ndc ch va da 1 al numro d punt d Gauss utlzzat pr calcolar numrcamnt l ntgral. In gnr pr un lmnto trangolar s usano G=1 o G=3 punt d Gauss. I valor d H sono corrspondnt ps.

29 L ELEMENTO a QATTRO NODI

30 Altr smp d ELEMENTI FINITI PIANI dll loro TECNICHE d INTEGRAZIONE:

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