Paperone e Rockerduck: a cosa serve l antitrust?

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1 Paperone e Rockerduck: a cosa serve l antitrust? Paperone Anna Torre, Rockerduck Ludovico Pernazza 1-14 giugno 01 Università di Pavia, Dipartimento di Matematica

2 Concorrenza Due imprese Pap e Rock operano in un mercato producendo in modo indipendente lo stesso bene (ciliegie) e intendono massimizzare i loro profitti.

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4 Quante ciliegie conviene produrre? Dipende! Il prezzo di mercato per chilo di ciliegie è funzione decrescente della quantità prodotta; supponiamo per semplicità che sia una spezzata: P(Q) = { Q se Q < se Q dove Q è la quantità totale di chili di ciliegie prodotte e quindi presente sul mercato. Il costo per produrre un chilo di ciliegie è lo stesso per Pap e Rock e supponiamo sia 1: cioè, se C Pap è il costo che deve sostenere Pap per produrre un chilo di ciliegie e C Rock quello corrispondente di Rock, C Pap = C Rock = 1.

5 La produzione di ciliegie come gioco Le due imprese sono i giocatori Pap e Rock La scelta delle strategie consiste nella scelta della quantità di ciliegie da produrre. Indichiamo con x la scelta della quantità da produrre fatta da Pap e con y la scelta della quantità di bene da produrre fatta da Rock. X = Y = [0, + ) sono gli spazi delle strategie.

6 Il prezzo La quantità totale di chili di ciliegie prodotte è Q = x + y. Il prezzo di mercato per unità di merce è lo stesso per Pap e Rock in quanto: essi producono lo stesso bene, sono in possesso della stessa tecnologia, il consumatore, quando compra le ciliegie, non è in grado di stabilire quale dei due lo abbia prodotto (non esistono ciliegie firmate Pap o Rock).

7 Un primo vincolo Consideriamo solo valori di produzione minori o uguali di chili, cioè supponiamo che le imprese producano solo a patto di poter vendere a prezzo positivo: si ha così P(x + y) = (x + y) con la condizione x + y Questo ci costringe a restringere gli spazi di strategie; ora X = Y = [0, 10000].

8 Il ricavo Il ricavo di Pap e Rock si può descrivere nel modo seguente: R Pap = P x = [10000 (x + y)] x R Rock = P y = [10000 (x + y)] y. Osserviamo che il ricavo di Pap dipende da x e da y, cioè non solo dalla quantità di ciliegie che produce lui, ma anche dalla quantità prodotta da Rock (e viceversa).

9 Il profitto Abbiamo ipotizzato che il costo per produrre ciliegie sia proporzionale alla quantità prodotta (in effetti l unico costo è il costo della raccolta), ed esattamente 1 euro al chilo. Con questa ipotesi avremo: C Pap = x, C Pap = y. I profitti sono le differenze tra ricavi e costi, e quindi u Pap = R Pap C Pap = [10000 (x + y)] x x = x(10000 x y 1) u Rock = R Rock C Rock = y(10000 x y 1), ovvero u Pap = x + x( y), u Rock = y + y(10000 x 1).

10 Quanto produciamo quindi? Abbiamo ottenuto due funzioni: la prima è di secondo grado nella variabile x una volta fissato y, la seconda è di secondo grado nella variabile y una volta fissato x. Ciascuno cercherà di scegliere la sua strategia in modo da massimizzare il suo profitto. Per esempio Pap vuole massimizzare u Pap ma può scegliere solo x (su y non ha alcun controllo) e analogo discorso possiamo fare per u Rock.

11 La strategia di miglior risposta Analizziamo u Pap come funzione di x. Si tratta di una parabola con la concavità rivolta verso il basso, che ha quindi massimo nel vertice che ha ascissa x = y : x è la strategia di miglior risposta della prima impresa alla scelta della strategia y di Rock. Analogamente, ȳ = x è la strategia di miglior risposta di Rock alla scelta x di Pap.

12 Produciamo... Abbiamo che x = y e y = x : il punto di intersezione A = ( x, ȳ) soddisfa la proprietà che x è miglior risposta a ȳ e ȳ è miglior risposta a x. Calcoliamo le coordinate di A risolvendo il sistema: x = y y = x le cui soluzioni sono: x = ȳ =

13 ... ma quanto guadagniamo? L utile realizzato da Pap si ottiene sostituendo x in u Pap : ( ) u Pap = ( ) = e in modo analogo = u Rock = ( ) 9 ( ). 9

14 E se ci accordassimo? Se Pap e Rock si accordano (fanno cartello) per produrre complessivamente z ( z ciascuno) il prezzo unitario è P(z) = z e l utile complessivo da massimizzare sarà: u = P z = (10000 z) z z = (10000 z 1) z = z + z ( ). Si tratta ancora di una parabola con concavità verso il basso, che quindi ha un massimo nel vertice che ha ascissa z =

15 Sorpresa! Perciò ciascuno produce e si ha z = u Pap = u Rock = z z z = 3 16 ( ). Caspita: sia Pap che Rock guadagnano di più!

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17 Io sono Pap! Quindi decido per primo I dati del problema sono identici, ma questa volta Pap sceglie per primo la quantità da produrre e Rock sceglie conoscendo la scelta di Pap.

18 Mumble mumble... quel Rock è molto furbo... Che faccio io Pap per guadagnare di più sapendo che Rock furbo almeno quanto me? Se scelgo x Rock cercherà di massimizzare u Rock fissato x e questo massimo si ha per (i conti sono sempre gli stessi) per y = x 1 (l ascissa del vertice della parabola). Ma io Pap so che Rock massimizzerà il suo profitto una volta che saprà la mia scelta x, e in particolare conosco la funzione y( x) = x 1 ; quindi scegliendo x so che finirò col guadagnare ( ) x 1 u Pap = x x 1 che dipende solo da x. Quale x devo scegliere?

19 La scelta di Pap Ovviamente scelgo quello che massimizza u Pap e facendo i conti ottengo x = e quindi ȳ = Quindi in questo caso Pap produce la quantità che producevano globalmente Pap e Rock nella situazione di cartello, mentre Rock produce la metà.

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