STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE

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1 STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE 1 Richiami Teorema 1 (Test di monotonia). Sia f : (a, b) R una funzione derivabile. Allora f è monotona crescente (risp. decrescente) in (a, b) se e solo se f () 0 (risp. f () 0) per ogni (a, b). Teorema 2. Sia f : ( 0 δ, 0 + δ) R una funzione continua in 0 derivabile per ogni 0. Se e f () > 0 se 0 δ < < 0, f () < 0 se 0 < < 0 + δ, allora 0 è un punto di massimo relativo forte. Se invece f () < 0 se 0 δ < < 0, f () > 0 se 0 < < 0 + δ, allora 0 è un punto di minimo relativo forte. Teorema 3 (Classificazione dei punti stazionari). Sia f : (a, b) R una funzione derivabile due volte nel punto 0 (a, b). Supponiamo che (a) 0 sia un punto stazionario di f, cioè f ( 0 ) = 0; (b) f ( 0 ) > 0 (risp. f ( 0 ) < 0). Allora 0 è un punto di minimo (risp. massimo) relativo forte per f. Teorema 4. Sia f : (a, b) R una funzione derivabile due volte in (a, b). Allora f è convessa (risp. concava) in (a, b) se e solo se f () 0 (risp. 0) per ogni (a, b). 2 Studio del grafico di una funzione Abbiamo a questo punto tutti gli strumenti necessari per lo studio del grafico di una funzione, vale a dire per tracciarne un grafico qualitativo, determinando eventuali punti di estremo relativo ed assoluto, concavità e convessità, etc. Riportiamo uno schema di massima che riassume i punti principali per raccogliere le informazioni necessarie a tale proposito, supponendo che la funzione sia data come un espressione del tipo y = f(). 1. Determinare il dominio Dom(f) della funzione. 1

2 2. Stabilire se la funzione ha eventuali simmetrie (cioè se è pari o dispari) o è periodica. 3. Determinare il segno della funzione e le eventuali intersezioni con gli assi; si ricordi però che non sempre è possibile calcolare esplicitamente questi punti di intersezione. 4. Studiare il comportamento di f per ±, posto che f sia definita almeno su una semiretta. A questo punto bisogna determinare, oltre ai limiti di f per ±, anche eventuali asintoti orizzontali od obliqui. 5. Studiare il comportamento di f in prossimità dei punti di frontiera di Dom(f). Ad esempio, se f è definita in un intorno del punto 0 escluso 0 stesso, allora bisogna determinare i limiti sinistro e destro di f in Determinare gli intervalli in cui f è crescente o decrescente, e di conseguenza gli eventuali punti di estremi relativo od assoluto. Supponendo che f sia derivabile, si tratta di determinare il segno e gli zeri di f e di utilizzare il test di monotonia (Teorema 1) ed il Teorema 2 per l identificazione dei punti di estremo. Per classificare i punti stazionari può essere utile anche il Teorema 3, una volta calcolata la derivata seconda di f. 7. Determinare gli intervalli in cui f è convessa o concava e gli eventuali punti di flesso. Supponendo che f sia derivabile due volte, si tratta di determinare il segno e gli zeri di f, e di utilizzare il Teorema 4. Utilizziamo ora questo schema per lo studio di una semplice funzione. Esempio 5. Si voglia tracciare un grafico qualitativo della funzione f() = La funzione è definita per quei valori di tali che 2 1 0, cioè se 1 oppure 1. Ne segue che Dom(f) = (, 1] [1, + ). 2. f è una funzione pari: infatti f( ) = ( ) 2 1 = 2 1 = f(), Dom(f). Di conseguenza, sarà sufficiente studiare la funzione solo per 1 e riportare per simmetria rispetto all asse y l andamento nella regione 1. 2

3 1 1 Figura 1: Grafico della funzione y = La funzione radice quadrata è sempre 0 e si annulla se e solo se il suo argomento è nullo. Di conseguenza, si ha f(±1) = 0 e f() > 0 per ogni Dom(f), ±1. 4. Determiniamo l andamento di f per + (per quanto detto non abbiamo bisogno di studiare l andamento di f per 1 grazie alla simmetria). Si ha che lim f() = +. + È dunque possibile che f abbia un asintoto obliquo per +. Iniziamo a calcolare f() lim + = lim 2 1 = lim = 1. Poiché questo limite esiste finito, si tratta ora di stabilire se esiste finito anche il limite di f() : lim (f() ) = lim ( 2 1 ) = lim = 0. In conclusione la retta y = è asintoto obliquo per +. simmetria, la retta y = sarà asintoto obliquo per. Per 5. f è continua su tutto il suo dominio; in particolare, nei punti di frontiera del dominio, si ha f(±1) = 0. 3

4 6. Poiché la funzione g(y) = y è derivabile solo per y > 0, dal Teorema di derivazione della funzione composta abbiamo che f è certamente derivabile quando < 1 oppure > 1 (cioè se > 1), e la sua derivata è data da f () = 2 1, > 1. Osserviamo che lim f () = + ; 1 + poiché f è continua nel punto = 1, concludiamo che f +(1) = + Questo significa che il grafico di f ha tangente verticale nel punto (1, 0). Sempre per simmetria, si avrà anche f ( 1) =. Per > 1 si ha anche che f () > 0, quindi f è strettamente monotona crescente nella semiretta (1, + ) (cfr. il Teorema 1). Per simmetria sarà invece strettamente monotona decrescente in (, 1). In particolare, i punti = ±1 sono punti di minimo assoluto di f (questo poteva essere stabilito già dallo studio del segno e degli zeri di f); non ci sono altri punti di estremo assoluto o relativo. 7. Sempre per il Teorema di derivazione della funzione composta abbiamo che f è certamente derivabile quando > 1, dunque f è derivabile due volte per tali valori di. Calcoliamo f. A tale proposito possiamo utilizzare o la formula di derivazione del quoziente oppure la formula di derivazione del prodotto, scrivendo f nella forma f () = ( 2 1) 1/2. Utilizzando il secondo metodo si ha f () = ( 2 1) 1/2 1 2 (2 1) 3/2 1 (2) = ( 2 1) 3/2. Di conseguenza abbiamo che f () < 0 se > 1, quindi per il Teorema 4 f è concava sia in (, 1) che in (1, + ). Il grafico della funzione è mostrato in Figura 1. 4

5 3 Esercizi Studiare le seguenti funzioni, determinandone il dominio, l insieme di positività e gli zeri, i limiti negli estremi del dominio, zone di crescenza e decrescenza, punti di massimo e di minimo, concavità e disegnandone il grafico. 1 Es. 1. f() = log( 3) Es. 2. f() = log (1 + 1 ) 2 Es. 13. f() = Es. 14. f() = e + 2 e2 3 Es. 3. f() = 2 2 Es. 15. f() = Es. 4. f() = 1 2 Es. 5. f() = Es. 6. f() = + 2 ( 1) 2 Es. 7. f() = log( ) Es. 8. f() = log( 2 1/4) Es. 9. f() = ( + 3)e Es. 10. f() = ( 2)e Es. 11. f() = 1 3 ( 2)3 ( + 1) Es. 12. f() = 1 3 ( 4)3 Es. 16. f() = 2 + Es. 17. f() = ( + 1)e 2 Es. 18. f() = 3e 2 Es. 19. f() = 2 2 Es. 20. f() = log Es. 21. f() = arctan( 2 1) Es. 22. f() = arctan(3 2 2 ) Es. 23. f() = e cos Es. 24. f() = cos 2 + sin (Tratto dal volume: G. Crasta, A. Malusa, Matematica 1 - Teoria ed esercizi, Pitagora Editrice.) 5