1 Rette nel piano ordinario. Rette e piani nello spazio ordinario

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1 1 Rette nel piano ordinario. Rette e piani nello spazio ordinario 1.1 Vettori applicati Nel seguito denotiamo con P l insieme dei punti del piano ordinario, e con S l insieme dei punti dello spazio ordinario. Consideriamo lo spazio ordinario e siano A, B, C,... punti di S. Un vettore AB applicato in A è un segmento orientato, cioè una coppia ordinata di punti (A, B), dove A è il punto di applicazione o punto iniziale, B è il punto finale. Se A B diciamo che AB ha una direzione, cioè la retta individuata da A e B, e un verso, da da A verso B. Sia ora O un punto fissato; avete visto a lezione che l insieme W dei vettori applicati in O ha una operazione interna di somma e una esterna di prodotto per scalari che lo rendono un R-spazio vettoriale. Osserviamo che per dire che W è un R-spazio vettoriale non serve una unità di misura assoluta per i segmenti dello spazio; l unica cosa che ci occorre è poter confrontare le lunghezze di due segmenti che stanno su una stessa retta, poter cioè esprimere con un numero reale la misura di un segmento rispetto all altro. Se decidiamo di fissare una unità di misura assoluta per i segmenti dello spazio, è possibile definire anche il modulo di un vettore AB, come il numero reale 0 che dà la misura del segmento non orientato AB rispetto all unità di misura fissata; tale misura è 0 se e solo se A = B. Possiamo dare analoghe definizioni limitandoci a considerare i punti del piano ordinario; otteniamo così l insieme V dei vettori del piano applicati in O con la struttura di R-spazio vettoriale. 1.2 Rette nel piano È chiaro che c è una corrispondenza biunivoca naturale tra P e V, data nel modo seguente: g : V P OP P Una retta L del piano che passi per O (cioé una retta vettoriale) può essere descritta come l insieme dei vettori multipli di un vettore fissato w 0: L = ρw, ρ R} Sia ora Q un punto fissato; la retta S passante per Q e parallela a L può essere descritta nel modo seguente: S = P P u L, OP = OQ + u} }} = P P u L, P = Q + u} =: Q + L identificando tramite g Cioé, S = P P P Q L} La retta L viene chiamata la direzione o giacitura di S; w è un vettore di direzione per S. 1

2 L S P u Q O Fissiamo ora un sistema di coordinate cartesiane nel piano ordinario P, con origine O e coordinate x, y; come abbiamo visto, questo dà una corrispondenza biunivoca f : P R 2 P (x P, y P ) che fa corrispondere ad un punto la coppia ordinata delle sue coordinate rispetto al riferimento fissato. Quindi si ha anche una corrispondenza biunivoca tra V ed R 2, data nel modo seguente: h = f g : V R 2 OP (x P, y P ) È importante osservare che questa biezione rispetta le operazioni di spazio vettoriale, nel senso che se OT = OP + OQ, allora (qui stiamo usando il simbolo + sia per la somma di due vettori applicati in O (regola del parallelogramma), che per la somma in R 2 definita componente per componente) (x T, y T ) = (x P, y P ) + (x Q, y Q ) e se OT = ρ OP allora (x T, y T ) = ρ (x T, y T ) Se P è un punto del piano di coordinate (a, b), d ora in poi scriviamo P = (a, b), e anche OP = (a, b). Questo ci permette di trovare equazioni per le nostre rette. 2

3 Sia w 0 un vettore fissato, ed L la retta vettoriale generata da w: L = ρw, ρ R} =< w >, e sia w = (a, b), allora L = (ρa, ρb) R 2, ρ R} queste sono dette equazioni parametriche per L, perché ρ è un parametro, libero di variare in R. Scriviamo anche L : x = ρa y = ρb, ρ R Se vogliamo equazioni cartesiane per L allora dobbiamo eliminare il parametro, ottenendo: L = (x, y) R 2 bx ay = 0} Quindi si può descrivere una retta vettoriale in R 2 con una equazione lineare omogenea a coefficienti non tutti nulli ((a, b) (0, 0)). Adesso passiamo alle rette qualsiasi: sia Q = (c 1, c 2 ) un punto fissato e sia S la retta passante per Q e con direzione la retta L =< w > (qui w = (a, b) (0, 0)); allora S = P P u L, P = Q + u} = (c 1 + ρa, c 2 + ρb) R 2 ρ R} queste sono dette equazioni parametriche per L, perché ρ è un parametro, libero di variare in R. Scriviamo anche S : x = c1 + ρa y = c 2 + ρb, ρ R Se vogliamo equazioni cartesiane per S allora dobbiamo eliminare il parametro, ottenendo: S = (x, y) R 2 b(x c 1 ) a(y c 2 ) = 0} Quindi si può descrivere una retta in R 2 con una equazione lineare dove i coefficienti di x e di y non sono tutti nulli ((a, b) (0, 0)). Si osservi che se αx+βy +γ = 0, (α, β) (0, 0), è una retta nel piano, allora l equazione cartesiana della sua direzione è l omogenea associata αx + βy = Piani e rette nello spazio Nello spazio S possiamo rifare ragionamenti analoghi ai precedenti: C è una corrispondenza biunivoca naturale tra S e W, data nel modo seguente: W S OP P Fissiamo ora un sistema di coordinate cartesiane nello spazio ordinario S, con origine O e coordinate x, y, z; questo dà una corrispondenza biunivoca S R 3 P (x P, y P, z P ) 3

4 che fa corrispondere ad un punto la terna ordinata delle sue coordinate rispetto al riferimento fissato. Quindi si ha anche una corrispondenza biunivoca tra W ed R 3 : W R 3 OP (x P, y P, z P ) Anche questa biezione rispetta le operazioni di spazio vettoriale, nel senso che la somma di due vettori applicati (regola del parallelogramma) OP e OQ corrisponde alla somma in R 3 (definita componente per componente) delle due terne (x P, y P, z P ) e (x Q, y Q, z Q ), e il prodotto di OP per un numero reale ρ corrisponde al prodotto dello scalare ρ per la terna (x P, y P, z P ). Se P è un punto di coordinate (a, b, c), d ora in poi scriviamo P = (a, b, c), e anche OP = (a, b, c). Nel seguito si suppone sempre fissato un sistema di coordinate cartesiane coordinate x, y, z nello spazio ordinario S, con origine O Rette nello spazio Ragionando in modo assolutamente analogo a quanto fatto per il piano, abbiamo che una retta L dello spazio che passi per O (cioé una retta vettoriale) può essere descritta come l insieme dei vettori multipli di un vettore fissato w 0: L = ρw, ρ R} =< w > Se w = (a, b, c) (0, 0, 0), allora equazioni parametriche per L sono (ρ è un parametro, libero di variare in R): L = (ρa, ρb, ρc) R 3, ρ R} Scriviamo anche L : x = ρa y = ρb z = ρc, ρ R Se vogliamo equazioni cartesiane per L allora dobbiamo eliminare il parametro; le ( ) sono equivalenti a dire che (x, y, z) è multiplo di w, quindi sono equivalenti a cioé rk L : ( ) x y z = 1 ( ) a b c bx ay = 0 cx az = 0 cy bz = 0 b a 0 Questo è un sistema lineare omogeneo di rango 2, infatti c 0 a = 0, ed essendo (a, b, c) 0 c b (0, 0, 0), il rango della matrice è 2. Quindi si può eliminare una equazione; vediamo così che si può descrivere una retta vettoriale in R 3 con due equazioni cartesiane l.i. 4

5 Oppure possiamo ragionare così: nella ( ) almeno uno tra a, b, c è diverso da 0; se ad esempio a 0, imponiamo che la matrice abbia rango 2 orlando il minore (a), e otteniamo così il sistema lineare di due equazioni in due incognite x y a b = 0 L : x z a c = 0 Adesso passiamo alle rette qualsiasi: sia Q = (c 1, c 2, c 3 ) un punto fissato e sia S la retta passante per Q e con direzione la retta L ; allora come nel piano abbiamo che S = P S u L, P = Q + u} = (c 1 + ρa, c 2 + ρb, c 3 + ρc) R 3 ρ R} Queste sono equazioni parametriche per L; scriviamo anche S : x = c 1 + ρa y = c 2 + ρb z = c 3 + ρc, ρ R Anche qui la retta L viene chiamata la direzione o giacitura di S e w è un vettore di direzione per S. Se vogliamo equazioni cartesiane per S allora eliminiamo il parametro, ottenendo un sistema lineare di rango 2, in quanto il suo omogeneo associato ha, come abbiamo visto, rango 2, e il sistema ha soluzioni (tutti i punti della retta). Quindi si può descrivere una retta in R 3 con un sistema lineare di rango 2 il cui omogeneo associato dà equazioni cartesiane per la sua direzione Piani nello spazio Un piano H dello spazio che passi per O (cioé un piano vettoriale) può essere descritto come l insieme delle combinazioni lineari di due vettori w e u linearmente indipendenti del piano: Sia w = (a 1, a 2, a 3 ), u = (b 1, b 2, b 3 ), allora H = λw + µu, λ, µ R} =< w, u > H = (λa 1 + µb 1, λa 2 + µb 2, λa 3 + µb 3 ) R 3, λ, µ R} queste sono dette equazioni parametriche per L, perché λ e µ sono parametri indipendenti, ognuno dei due libero di variare in R. Scriviamo anche H : x = λa 1 + µb 1 y = λa 2 + µb 2 z = λa 3 + µb 3 λ, µ R Se vogliamo equazioni cartesiane per H allora dobbiamo eliminare i parametri; il modo più veloce è considerare che le ( ) sono equivalenti ( a dire che (x, ) y, z) è c.l.di w e u, quindi sono equivalenti a a1 a (ricordiamo che w e u sono l.i. cioé rk 2 a 3 = 2): b 1 b 2 b 3 5 ( )

6 cioè x y z a 1 a 2 a 3 = 0 b 1 b 2 b 3 (a 2 b 3 a 3 b 2 )x (a 1 b 3 a 3 b 1 )y + (a 1 b 2 a 2 b 1 )z = 0 Quindi si può descrivere un piano vettoriale in R 3 con una equazione lineare omogenea a coefficienti non tutti nulli. Adesso passiamo ai piani qualsiasi: sia Q = (c 1, c 2, c 3 ) un punto fissato e sia M il piano passante per Q e e parallelo ad H ; allora abbiamo che M = P S v H, OP = OQ+v} }} = P S v H, P = Q+v} =: Q+H identificando punti e vettori Cioé, M = P S P Q H} M Q P H O u Si hanno quindi equazioni parametriche per M: cioè M = (c 1 + λa 1 + µb 1, c 2 + λa 2 + µb 2, c 3 + λa 3 + µb 3 ) R 3, λ, µ R} M : x = c 1 + λa 1 + µb 1 y = c 2 + λa 2 + µb 2 z = c 3 + λa 3 + µb 3 λ, µ R Se vogliamo equazioni cartesiane per M allora dobbiamo eliminare i parametri; il modo più veloce è considerare che le ( ) sono equivalenti a dire che (x ( c 1, y c 2, z ) c 3 ) è c.l.di w e u, quindi sono a1 a equivalenti a (ricordiamo che w e u sono l.i. cioé rk 2 a 3 = 2): b 1 b 2 b 3 ( ) 6

7 cioè x c 1 y c 2 z c 3 a 1 a 2 a 3 = 0 b 1 b 2 b 3 (a 2 b 3 a 3 b 2 )(x c 1 ) (a 1 b 3 a 3 b 1 )(y c 2 ) + (a 1 b 2 a 2 b 1 )(z c 3 ) = 0 Quindi si può descrivere un piano in R 3 con una equazione lineare a coefficienti non tutti nulli; l equazione omogenea associata descrive il piano H, che viene chiamato giacitura di M. 1.4 Esercizi Esercizio 1.1 Si suppone fissato un sistema di coordinate cartesiane x, y nel piano. Si determinino equazioni parametriche e cartesiane per la retta r nel piano dove: a) r è la retta per i punti (1,0) e (2,3); b) r è la retta per il punto (-3,4) e con vettore di direzione (5,8); c) r è la retta per il punto (1,4) e parallela alla retta 3x 5y + 7 = 0. Esercizio 1.2 Si suppone fissato un sistema di coordinate cartesiane x, y, z nello spazio. Si dica cosa rappresentano le seguenti equazioni parametriche: a) x = 1 + 2t y = t z = 5 3t t 1, t 2 R b) x = 2 + 2t 1 2t 2 y = 6 t 1 + 4t 2 z = 5 t 1 t 2 t 1, t 2 R c) x = 3 2t 1 2t 2 8t 3 y = 1 + t 1 + 4t t 3 z = t 1 t 2 4t 3 t 1, t 2, t 3 R, Esercizio 1.3 Si suppone fissato un sistema di coordinate cartesiane x, y, z nello spazio. Si determinino equazioni parametriche e cartesiane per la retta r dove: a) r è la retta per i punti (1, 0, 2) e (2, 3, 2); b) r è la retta per il punto ( 3, 4, 2) e con vettore di direzione (5, 8, 0); x = 3 ρ c) r è la retta per il punto (0,3,1) e parallela alla retta L : y = 2 + 4ρ. z = 1 + 2ρ ρ R Esercizio 1.4 Si suppone fissato un sistema di coordinate cartesiane x, y, z nello spazio. Si determinino equazioni parametriche e cartesiane per il piano α dove: a) α è il piano per i punti (1,0,2), (2,3,2), (3,1,1); b) α è il piano per il punto (-3,4,2) e con giacitura 2x y + z = 0; c) α è il piano per il punto (-3,4,2) e con giacitura < (1, 1, 0), (2, 4, 1) >. 7

8 1.5 Posizioni reciproche di due rette nel piano Nel seguito si suppone sempre fissato un sistema di coordinate cartesiane coordinate x, y nel piano ordinario P, con origine O. Abbiamo visto che una retta del piano è descritta da un equazione della forma ax + by + c = 0, con (a, b) (0, 0). Vediamo quali sono le possibili posizioni reciproche di due rette nel piano; per fare questo, vediamo come si intersecano 2 rette nel piano. Rette incidenti Consideriamo le due rette: r : 2x 3y 6 = 0, s : x 4y + 2 = 0 Intersecare r ed s significa cercare le soluzioni comuni alle due equazioni, cioé risolvere il sistema: 2x 3y = 6 x 4y = La matrice dei coefficienti è A = e la matrice completa è AB = ; poiché rk(a) = 2 = rk(ab) il sistema è risolubile e ha 1 soluzione, che è il punto di intersezione delle due rette. Vediamo vari modi per risolvere il sistema: piccolo è per sostituzione: il modo più semplice di risolvere un sistema così 2x 3y = 6 x 4y = 2 2x 3y = 6 x = 4y 2 2(4y 2) 3y = 6 x = 4y 2 y = 2 x = 4y 2 y = 2 x = 6 Ma si può usare la regola di Cramer, dato che deta = 5: x = = 6, y = deta deta = 2 Oppure, avremmo potuto usare il metodo di riduzione: (AB) = con (AB) (2) (AB) (2) 1 2 (AB)(1) diventa ( ) che corrisponde ad un sistema equivalente al precedente e che risolviamo per sostituzione partendo dal basso : 2x 3y = y = 5 2x 3y = 6 y = 2 2x 6 = 6 y = 2 x = 6 y = 2 8

9 Rette parallele senza punti in comune Consideriamo le due rette: r : 2x 3y 6 = 0, t : 4x 6y 1 = 0 e cerchiamo di capire qual è la loro posizione reciproca: per fare questo studiamo la loro intersezione: La matrice dei coefficienti è A = 2x 3y = 6 4x 6y = e la matrice completa è AB = Si ha rk(a) = 1 perché deta = 0, quindi rk(a) < 2, ma A non è la matrice nulla, quindi rk(a) = 1; invece rk(ab) = 2, perché ad esempio il minore Il sistema non ha quindi soluzioni: le due rette sono parallele e distinte. Rette parallele e coincidenti Consideriamo ora le due rette: e studiamo la loro intersezione: r : 2x 3y 6 = 0, u : 4x 6y 12 = 0 2x 3y = 6 4x 6y = La matrice dei coefficienti è A = e la matrice completa è AB = Si ha, come prima, rk(a) = 1, ma stavolta rk(ab) = 1, e questo si vede osservando che i tre minori di ordine 2 sono nulli, e AB non è la matrice nulla. Il teorema di Rouché - Capelli ci dice che il sistema è risolubile, che, essendo un sistema di rango 1 in 2 incognite ha 2 1 = 1 soluzioni, e infine che dato che le due righe di AB sono l.d., e la prima riga è 0, possiamo buttare via la seconda riga, cioé la seconda equazione, e rimaniamo con l equazione 2x 3y 6 = 0, il che significa che sono soluzioni del sistema tutti e soli i punti della retta r. In effetti la retta u ha equazione 2(2x 3y 6) = 0 e un punto ( x, ȳ) è soluzione di questa equazione se e solo se è soluzione di 2x 3y 6 = 0. La soluzione generale del sistema si può scrivere prendendo come incognita libera x, nel qual caso troviamo (x, 2 3 x 2), oppure prendendo come incognita libera y, nel qual caso troviamo ( 3 2y + 3, y). Se avessimo scelto di risolvere il sistema per riduzione: AB = con (AB) (2) (AB) (2) 2(AB) (1) diventa 9

10 2 3 6 che corrisponde ad un sistema equivalente al precedente; per risolvere quest ultimo buttiamo via la riga nulla e rimaniamo con l equazione 2x 3y 6 = 0. Osserviamo che il sistema omogeneo associato al sistema che ci dà l intersezione delle rette nel caso delle rette incidenti ha solo la soluzione nulla, mentre nel caso delle rette parallele, sia che non abbiano alcun punto in comune, sia che siano coincidenti, ha 1 soluzioni. Osserviamo inoltre che non si possono presentare altri casi oltre a questi tre, infatti se intersechiamo due rette qualsiasi r : ax + by + c = 0, dove (a, b) (0, 0), s : dx + ey + f = 0 dove (c, d) (0, 0), dobbiamo risolvere il sistema: ax + by + c = 0 dx + ey + f = 0 a b a b c La matrice dei coefficienti è A = e la matrice completa è AB =. d e d e f Si ha rk(a) > 0 perché (a, b) 0, rk(ab) 2 perché (AB) ha due righe, e rk(a) = rk(ab) oppure rk(a) = rk(ab) 1, dato che AB si ottiene aggiungendo ad A una sola colonna; quindi sono possibili solo i seguenti casi: rk(a) = 1 e rk(ab) = 1; rk(a) = 1 e rk(ab) = 2; rk(a) = 2 e rk(ab) = 2. 10

11 1.6 Posizioni reciproche di due piani nello spazio Nel seguito si suppone sempre fissato un sistema di coordinate cartesiane coordinate x, y, z nello spazio ordinario S, con origine O. Un piano dello spazio ordinario è descritto da un equazione della forma ax + by + cz + d = 0, con (a, b, c) (0, 0, 0). Vediamo quali sono le possibili posizioni reciproche di due piani nello spazio; per fare questo, vediamo come si intersecano 2 piani. Piani incidenti Consideriamo i due piani: α : 3x 2y + 5z 9 = 0, β : x + 2y z + 5 = 0 Intersecare α e β significa cercare le soluzioni comuni alle due equazioni, cioé risolvere il sistema: 3x 2y + 5z = 9 x + 2y z = La matrice dei coefficienti è A = e la matrice completa è AB = ; poiché ad esempio il minore M 1 = = 8 è 0, si ha rk(a) = 2 = rk(ab). Il teorema di Rouché - Capelli ci dice che - il sistema è risolubile; - che, essendo un sistema di rango 2 in 3 incognite, ha 3 2 = 1 soluzioni - che, dato che la colonna di A che non interviene a formare il minore M 1 è la terza, la z si può prendere come incognita libera. Però attenzione: anche il minore M 2 = = 8 0, quindi volendo possiamo prendere y come incognita libera; così pure il minore M 3 = = 8 0, quindi volendo possiamo prendere x come incognita libera. Vediamo vari modi per risolvere il sistema: il modo più semplice di risolvere un sistema così piccolo è per sostituzione: 3x 2y + 5z = 9 3x 2y + 5z = 9 3( 2y + z 5) 2y + 5z = 9 x + 2y z = 5 x = 2y + z 5 x = 2y + z 5 8y + 8z 24 = 0 x = 2y + z 5 y = z 3 x = 2y + z 5 y = z 3 x = 2(z 3) + z 5 y = z 3 x = z + 1 La soluzione generale del sistema è quindi: ( z + 1, z 3, z) 11

12 Oppure, possiamo considerare il sistema come un sistema di Cramer, per esempio utilizzando il fatto che M 1 0, scrivendo il sistema così: 3x 2y = 5z + 9 x + 2y = z 5 ( 5z + 9 e considerando come colonna dei termini noti la colonna z 5 5z z + 9 z z z 10 1 z 5 x = = = z+1, y = = detm 1 8 detm 1 ) ; si ha quindi 3z z 9 8 = z 3 O ancora, avremmo potuto usare il metodo di riduzione: AB = con (AB) (2) (AB) (2) 1 3 (AB)(1) diventa che corrisponde ad un sistema equivalente al precedente e che risolviamo per sostituzione partendo dal basso : 3x 2y + 5z = 9 3x 2y + 5z = 9 3x 2y + 5z = 9 8 x + 2y z = 5 3 y 8 3 z = 8 y = z 3 3x 2(z 3) + 5z = 9 x = z + 1 y = z 3 y = z 3 In conclusione, l intersezione dei due piani è una retta, data dall insieme dei punti ( z+1, z 3, z) R 3, z R}. Piani paralleli senza punti in comune Consideriamo i due piani: α : 3x 2y + 5z 9 = 0, γ : 9x 6y + 15z 2 = 0 e cerchiamo di capire qual è la loro posizione reciproca: per fare questo studiamo la loro intersezione: 3x 2y + 5z = 9 9x 6y + 15z = La matrice dei coefficienti è A = e la matrice completa è AB = ( ) Si ha rk(a) = 1 perché A ha due righe proporzionali, quindi rk(a) < 2, ma A non è la matrice nulla, quindi rk(a) = 1; invece rk(ab) = 2, perché ad esempio il minore Il sistema non ha quindi soluzioni: i due piani sono paralleli e distinti. 12

13 Piani paralleli e coincidenti Consideriamo ora i due piani: e studiamo la loro intersezione: α : 3x 2y + 5z 9 = 0, δ : 9x 6y + 15z 27 = 0 3x 2y + 5z = 9 9x 6y + 15z = La matrice dei coefficienti è A = e la matrice completa è AB = Si ha, come prima, rk(a) = 1, ma stavolta anche rk(ab) = 1, perché anche in AB le due righe sono proporzionali, in quanto (AB) (2) = 3(AB) (1), e AB non è la matrice nulla. Il teorema di Rouché - Capelli ci dice che il sistema è risolubile, che, essendo un sistema di rango 1 in 3 incognite ha 3 1 = 2 soluzioni, e infine che dato che le due righe di AB sono l.d., e la prima riga è 0, possiamo buttare via la seconda riga, cioé la seconda equazione, e rimaniamo con l equazione 3x 2y + 5z = 9, il che significa che sono soluzioni del sistema tutti e soli i punti del piano α. Poiché i coefficienti di x, di y e di z nell equazione 3x 2y + 5z = 9 sono tutti e tre non nulli, la soluzione generale del sistema si può scrivere prendendo come come incognite libere x e y, oppure prendendo come incognite libere y e z, nel qual caso troviamo ( 2 3 y 5 3z + 3, y, z), oppure prendendo come incognite libere x e z. Se avessimo scelto di risolvere il sistema per riduzione: AB = con (AB) (2) (AB) (2) 3(AB) (1) diventa che corrisponde ad un sistema equivalente al precedente; per risolvere quest ultimo buttiamo via la riga nulla e rimaniamo con la prima equazione. Osserviamo che il sistema omogeneo associato al sistema che ci dà l intersezione dei due piani, nel caso dei piani incidenti ha 1 soluzioni, mentre nel caso dei piani paralleli, sia che non abbiano alcun punto in comune, sia che siano coincidenti, ha 2 soluzioni. Osserviamo inoltre che non si possono presentare altri casi oltre a questi tre, infatti se intersechiamo due piani qualsiasi ax + by + cz + d = 0, dove (a, b, c) (0, 0, 0), a x + b y + c z + d = 0 dove (a, b, c ) (0, 0, 0), dobbiamo risolvere il sistema: ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 a b c La matrice dei coefficienti è A = a b c e la matrice completa è AB = 13 a b c d a b c d.

14 Si ha rk(a) > 0 perché (a, b, c) 0, rk(ab) 2 perché AB ha due righe, e rk(a) = rk(ab) oppure rk(a) = rk(ab) 1, dato che AB si ottiene aggiungendo ad A una sola colonna; quindi sono possibili solo i seguenti casi: rk(a) = 1 e rk(ab) = 1; rk(a) = 1 e rk(ab) = 2; rk(a) = 2 e rk(ab) = Posizioni reciproche di una retta e un piano nello spazio Nel seguito si suppone sempre fissato un sistema di coordinate cartesiane coordinate x, y, z nello spazio ordinario S, con origine O. Vediamo quali sono le possibili posizioni reciproche di una retta un piano nello spazio; cominciamo con alcuni esempi. Esempi Si determini la posizione reciproca della retta r e del piano α, nei seguenti casi: a) r : x = 1 + t y = 2 + 3t z = 1 + t, α : 8x y 5z 4 = 0 b) r : x = 1 + t y = 2 + 3t z = 1 + t, α : 8x y 5z 11 = 0 c) r : x = 1 + t y = 2 + 3t z = 1 + t, α : x y 5z 18 = 0 a) Intersechiamo la retta e il piano: la risolvente 8(1 + t) (2 + 3t) 5( 1 + t) 4 = 0 0t = 7 non è verificata da alcun, quindi r α =. b) Intersechiamo la retta e il piano: la risolvente è verificata da ogni, quindi r α. 8(1 + t) (2 + 3t) 5( 1 + t) 11 = 0 0t = 0 c) Intersechiamo la retta e il piano: la risolvente (1 + t) (2 + 3t) 5( 1 + t) 18 = 0 7t = 14 ha come unica radice 2, e sostituendo t = 2 nelle equazioni parametriche di r troviamo il punto A = ( 1, 4, 3). 14

15 Osserviamo che in entrambi i casi a) e b) il coefficiente di t nella risolvente è 0, e questo equivale a dire che la direzione < (1, 3, 1) > della retta r è contenuta nella giacitura di α: 8x y 5z = 0. In altre parole, la direzione di r è una delle direzioni di α. Nel caso a) il piano e la retta sono paralleli e la retta non giace sul piano, nel caso b) il piano e la retta sono paralleli e la retta giace sul piano. Nel caso c) il piano e la retta sono incidenti nel punto A; osserviamo che la direzione < (1, 3, 1) > della retta r e la giacitura di α: x y 5z = 0 sono due sottospazi vettoriali che si incontrano solo in 0; la loro somma è diretta. Non ci sono altre possibilità per la posizione reciproca di una retta e di un piano nello spazio ordinario. Esercizio 1.5 Si dimostri che le uniche possibilità per la posizione reciproca di una retta e di un piano nello spazio ordinario sono le tre viste negli esempi, utilizzando equazioni cartesiane sia per la retta che per il piano. 1.8 Posizioni reciproche di due rette nello spazio Nel seguito si suppone sempre fissato un sistema di coordinate cartesiane coordinate x, y, z nello spazio ordinario S, con origine O. Siano r ed s rette nello spazio ordinario di equazioni cartesiane r : s : ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 ex + fy + gz + h = 0 e x + f y + g z + h = 0 a b c (rk a b c = 2) e f g (rk e f g = 2) Quali sono le possibili posizioni reciproche delle due rette? Intersechiamole: ax + by + cz + d = 0 a r s : x + b y + c z + d = 0 ex + fy + gz + h = 0 e x + f y + g z + h = 0 Questo è un sistema lineare di 4 equazioni in 3 incognite; sia A la matrice dei coefficienti del sistema e AB la matrice completa; A ha rango 2 per ipotesi e 3 essendo una matrice 4 3; vediamo i vari casi. a) rka = 2, rk(ab) = 2: il sistema è equivalente al sistema formato ad esempio dalle prime due equazioni, e ha 1 soluzioni: tutti i punti della retta r. Si tratta perció di due rette parallele e coincidenti: r = s.. Per esempio, r : 2x + y + 3 = 0 x z + 1 = 0 s : 3x + y z + 4 = 0 x + y + z + 2 = 0 Il secondo sistema è equivalente al primo, ed entrambi danno equazioni cartesiane per la retta r. 15

16 Esistono infiniti piani che contengono la retta r: tutti i piani di equazione cartesiana per ogni scelta della coppia (λ, µ) (0, 0). λ(2x + y + 3) + µ(x z + 1) = 0 b) rka = 2, rk(ab) = 3: il sistema non è risolubile, quindi r s =. Guardando il sistema omogeneo associato, che dà l intersezione delle due giaciture, vediamo che è un sistema con 1 soluzioni: quindi le due giaciture sono uguali. Si tratta perció di due rette parallele e distinte nello spazio. Per esempio, r : 2x + y + 3 = 0 x z + 1 = 0 s : 3x + y z 2 = 0 x + y + z + 1 = 0 Esiste un piano che contiene le due rette: tra tutti i piani che contengono r basta scegliere il piano α passante per un punto Q di s. c) rka = 3, rk(ab) = 3: il sistema ha 0 soluzioni, cioé un punto: r ed s sono rette incidenti. Per esempio, 2x + y + 3 = 0 3x + y z + 4 = 0 r : s : x z + 1 = 0 z = 0 sono incidenti nel punto P = ( 1, 1, 0). Esiste un piano che contiene le due rette: tra tutti i piani che contengono r basta scegliere il piano α la cui giacitura contiene la giacitura di s. d) rka = 3, rk(ab) = 4: il sistema non è risolubile, quindi r s =. Guardando il sistema omogeneo associato, che dà l intersezione delle due giaciture, vediamo che è un sistema omogeneo di rango 3 in 3 incognite, quindi ha solo la soluzione 0. Quindi r ed s non sono parallele e non hanno punti in comune; questo è un caso nuovo rispetto ai casi possibili nel piano: si tratta di due rette sghembe. Per esempio, r : 2x + y + 3 = 0 x z + 1 = 0 s : 3x + y z + 1 = 0 z = 0 Non esistono piani che contengano entrambe le rette; se ne esistesse uno, le due rette dovrebbero essere incidenti o parallele. Due rette sono dette complanari se esiste un piano che le contiene entrambe. Quindi due rette dello spazio ordinario sono complanari se e solo se sono incidenti o parallele. Esercizio 1.6 Si dica se le seguenti coppie di rette sono complanari oppure no, e, se sì, si determini un piano che le contiene entrambe: a) x = 3t 1 y = 4t + 3 z = t 1 x = 2t 5 y = t z = 0 16

17 b) x = t 1 y = 3 z = 3t 1 x = 2t y = 7 z = 6t + 11 c) x = 3t 1 y = 2t + 4 z = t + 2 x = 6t 1 y = 0 z = t 1 2 Esercizi su somme e intersezione di sottospazi vettoriali Esercizio 2.1 Consideriamo nello spazio vettoriale R 3 i seguenti sottospazi: U 1 =< (0, 1, 1) >, U 2 =< ( 1, 1, 3) >, U 3 =< ( 1, 2, 4) > Si dica se le seguenti somme sono somme dirette: U 1 + U 2, U 1 + U 3, U 2 + U 3, U 1 + U 2 + U 3 Esercizio 2.2 Consideriamo nello spazio vettoriale R 4 i seguenti sottospazi (qui x, y, z, t sono coordinate rispetto alla base canonica): U =< (0, 1, 1, 0), (1, 2, 1, 0) >, W : x y + z = 0 2x y = 0 a) U e W sono in somma diretta? b) Si determini un sottospazio T < 0 > di W tale che U e T siano in somma diretta. c) In quanti modi è possibile determinare T come in b)? d) Si determinino due sottospazi V 1 < 0 >, V 2 < 0 > tali che W + V 1 + V 2 = R 4. La somma W + V 1 + V 2 è diretta? 17