Bergamini Es. Parabola pag. L 236. n y 0 y x=16 8 y y 2

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1 ergamini Es. Parabola pag. L 36 n 14 a. L'equazione può essere scritta: 16 8 x=4 y { 4 y 0 y x=16 8 y y x= 1 8 y y e quindi rappresenta la metà inferiore di una parabola avente asse di simmetria di equazione y=4, concavità rivolta s verso destra, vertice, 4 e passante per l'origine degli assi. b. La tangente nel vertice r è parallela all'asse y, ed ha quindi equazione x=. O c. Sappiamo dalla formula di sdoppiamento che, se la parabola ha equazione del tipo y=ax bx c, allora il coefficiente angolare della retta tangente nel suo punto di ascissa x 0 è r m= ax 0 b. In maniera analoga, potremmo dimostrare che, se la parabola ha equazione del tipo x=ay by c, allora il coefficiente angolare della retta tangente nel suo punto di ordinata y 0 è m= 1 ay 0 b. (Infatti, scambiando tra loro la x e la y, anche: m= y x x y = 1 m ). Nel nostro caso: m= 1 = 1, quindi l'equazione della tangente è y= x. 0 1 { y= x x=,. d.,0, 0, 4. O è un trapezio rettangolo: rea O = 1 4 =6. O è un triangolo rettangolo: rea O = 1 = rea O rea O =3. e. Indico con 1 l'area richiesta dal testo (triangolo mistilineo O) e con l'area del triangolo mistilineo compreso tra la retta r, l'asse x e la curva (O). Per il teorema di rchimede, è 1/3 dell'area del rettangolo O. Quindi: 1 = O = 1 3 rea O O = = 8 3 = 3.

2 n 15 a. L'equazione è della forma y=ax bx c. Passaggio per : 16 a 4 b c=16. Passaggio per : c=1. ondizione sull'ascissa del vertice: b = 4 b=8 a. a Dal sistema ottengo: a= 1 4 ; b= ; c=1 y= 1 4 x x 1. b. Metodo di sdoppiamento: d Q m= ax 0 b= 1 4 = 3. F x= y=7 P,7. Equazione della tangente in P: y 7= 3 x y= 3 x 13. c. x F =x = 4 ; y F = y 1 4 a =16 1=15. Quindi: F 4,15. y d = y 1 4 a =16 1=17. Equazione direttrice: y=17. Quindi: Q,17. m FQ = =1 3 m asse= 3. Punto medio FQ: M 1,16. Equazione asse di FQ: y 16= 3 x 1 y= 3 x 17, che coincide con la tangente in P. d. FP= 6 8 =10 ; FQ= 6 = 10 ; PQ=17 7=10 ; p FPQ =0 10. rea FPQ = 1 PQ FH = =30. P

3 n 16 a. x=1 y= 1, ; x=6 y=1 6,1. ondizione passaggio per e : { m q= 6 m q=1 { m= q=0 y= x. b. Dobbiamo determinare la tangente u alla parabola avente coefficiente angolare m=. Dal metodo di sdoppiamento: m= ax 0 b x 0 5= x 0 = 7 y 0= 3 4. Equazione della tangente u: u y 3 4 = x 7 8 x 4 y 5=0. Distanza del punto (o ) dalla tangente u: d = = = 5 10 =5 5. segm par = 3 rettangolo= =15 6 c. Tangente in : m = ax b= 1 5= 3 y = 3 x 1 y= 3 x 5. Tangente in : m = ax b= 6 5=7 y 1=7 x 6 y=7 x 30. Punto : 7 x 30= 3 x 5 10 x=35 x= 7 y= 11 7, 11. d. alcolo la distanza tra il vertice e la retta : h= 7 11/ 4 1 = 5 5. rea = =

4 n 17 a. La funzione può essere scritta: y={ x 4 x 1 per x 0 x 4 x 1 per x 0. Il suo grafico è quindi formato da archi di due parabole simmetriche rispetto all'asse y, aventi concavità rivolta verso l'alto, di vertici 1 ±, 3. b. Poiché m =1, la retta ha equazione y 1=x y=x 1. { x 4 x 1 y=x 1 x 5 x=0 0,1 ; 5,6 ; accettabili. { x 4 x 1 y=x 1 x 3 x=0 0,1 ; 3, ; accettabili. c. = 8 8 =8. d. Punto medio : M 5, 7 ; r= =5 = 5. D Equazione circonferenza: x 5 y 7 = 5 x y 5 x 7 y 6=0. { x 4 x 1 x y 5 x 7 y 6=0 x4 8 x 3 1 x 15 x=0 x x 5 x 3 x 3 =0. Dai primi due fattori riotteniamo i punti e ; dal terzo: x 3 x 3=0 x 3 = 3 1 non accettabile ; x 4 = 3 1 La soluzione accettabile è l'ascissa del punto D cercato. Dovremmo considerare anche il sistema { x 4 x 1 x y 5 x 7 y 6=0 risolvente accettabile., che conduce all'equazione x 4 8 x 3 1 x 5 x=0. Essa ammette soltanto due soluzioni: una è x=0, che corrisponde al punto, e l'altra è positiva, e quindi non accettabile. onfesso di non capire come possiamo verificarlo con le nostre nozioni attuali. Probabilmente il libro di testo fa appello al grafico per vedere che in questo caso non possono esserci punti di intersezione.

5 n 19 a. Equazione del luogo: PF =Pd x y 4 x y = 5 5 x 4 x 4 y 8 y 16 =4 x y 4 4 xy 8 x 4 y x 4 xy 4 y 8 x 44 y 96=0. Si tratta di una parabola per definizione (luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso e da una retta fissa). b. Determino l'equazione dell'asse di simmetria della parabola (retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice): y 4= 1 x y= 1 x 3. Il vertice è il punto di intersezione tra la parabola ed il suo asse di simmetria: { y=x/ 3 x 4 xy 4 y 8 x 44 y 96=0 x 4 x x 3 4 x 3 8 x 44 x 3 96=0 50 x=0 x=0 y=3 0,3. La tangente t nel vertice è parallela alla direttrice (o perpendicolare all'asse di simmetria): y 3= x y= x 3. c. { x 1=0 x 4 xy 4 y 8 x 44 y 96=0 1 4 y 4 y y 96=0 16 y 168 y 441=0 4 y 1 =0 y= 1 4 1, 1 4. { y 1=0 x 4 xy 4 y 8 x 44 y 96=0 x 4 x 4 8 x 44 96=0 x 4 x 144=0 x 1 =0 x=1 1, 1. d. Il triangolo è rettangolo in 1, 1. rea = 1 = = 16 e. Poiché il triangolo è rettangolo, il centro della circonferenza circoscritta è il punto medio dell'ipotenusa M 3 4, 17 8 ed il raggio r= = = Equazione della circonferenza circoscritta: x 3 4 y 17 8 = d x y 3 x 17 4 t r F y 45 4 =0. s a.

6 n 0 a. Seguiamo lo svolgimento del n 19: PF =Pd x 3 y x y 9 = 5 5 x 6 x 9 y 4 y 4 =x 4 y 81 4 xy 18 x 36 y 4 x 4 xy y 1 x 56 y 16=0. b. Equazione asse: y = x 3 y= x 8. oordinate vertice: { y= x 8 4 x 4 xy y 1 x 56 y 16=0 4 x 4 x x 8 x 8 1 x 56 x 8 16=0 100 x 400=0 x=4 y=0 4,0. Equazione tangente t: y= 1 x 4 y= 1 x. c. 0,. y=0 4 x 1 x 16=0 x 1 = 1 ; x =4. a Quindi: 1,0. m =, m F = 1 ; il triangolo F è rettangolo in. F t = 5, F=5, F = 5 ; p F =5 3 5 ; d rea F = 1 5 5=5. d. Il centro è il punto medio di F: M 3,0 ; r= F = 5. Equazione circonferenza: x 3 y = 5 x y 3 x 4=0. Per ottenere la semicirconferenza, determino l'equazione della retta F: y= 4 x 4 x 3 y 6=0 e osservo che le coordinate del punto rendono negativo il 3 primo membro, quindi il semipiano di origine F e contenente è individuato dalla disequazione 4 x 3 y 6 0. e. Impongo le condizioni di passaggio: { c= a b c=0 b=a b= 3/ 16 a 4b c=0 8 a b 1=0 10 a 5=0 a=1/ Equazione della parabola: y= 1 x 3 x.