2; 3 ; 5 ; p 7 4 = < 2 < 3; 2 3 = < < < < 93

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1 Università di Siena - Anno accademico 0- - Corso di laurea in farmacia Corso di allineamento (propedeutico) in matematica (prof. a.battinelli) Prova nale del ottobre 0 - Testo e svolgimento Ordina in modo crescente, senza far uso della calcolatrice, i seguenti numeri: 7 ; 5; ; 8 5 ; p ; ; Svolgimento. Per svolgere questo esercizio è su ciente riferirsi ad una rappresentazione dei due numeri irrazionali p e arrestata alla prima cifra decimale: p è compreso tra ; e ; 5 è compreso tra ; e ; Il confronto tra i 6 numeri dati è immediato se essi e/o le loro stime per difetto ed eccesso vengono scritti in forma omogenea, ossia nel caso presente mediante rappresentazione frazionaria con denominatore comune: ; 5 = 5 0 = = = 96 = 0 = ; < p < ; 5 = 5 0 = 90 = ; < < ; = 6 9 = ; < < ; = 96 ordinando le frazioni ottenute 6 < 6 < 8 < 90 < 9 < 96 pervengo alla risposta: < p < ; 5 < < 8 5 < 7 Disegna una retta e ssa a tuo piacere su di essa un sistema di ascisse speci cando la tua scelta dell origine O, unità di misura u, e orientamento. Rappresenta poi i punti: A di ascissa 5 B di ascissa C di ascissa D di ascissa 0 E di ascissa 0; 5 F di ascissa ; G di ascissa ; 6 H di ascissa

2 Svolgimento. A H FC D O E B G u Nel sistema di riferimento dell esercizio precedente sposta l origine nel punto O 0 di ascissa e determina le nuove ascisse dei punti A, B, D, H. Svolgimento. Le formule di trasformazione delle coordinate sono state illustrate nella lezione di martedì.09.: 0 = in cui è la coordinata della nuova origine O 0 nel sistema di riferimento di origine O; nel caso presente, queste formule divengono 0 = ( ) = + e forniscono 0 A 5 B 5 C D 0 E 0; 5 ; 5 F ; 0; 8 G ; 6 5; 6 H A H O' FC D O E B G u

3 Nell esercizio qual è la misura assoluta del segmento orientato AB? Quella del segmento orientato DH? Quali sono le misure relative dei due segmenti? Come cambiano queste misure allorché consideri il sistema di riferimento dell esercizio? Svolgimento. Le misure dei due segmenti si ottengono per di erenza delle ascisse dei loro due estremi. Una misura assoluta è positiva per de nizione, quindi la di erenza è tra l estremo di ascissa maggiore e quello di ascissa minore: AB = B A = ( 5) = 8 DH = D H = 0 ( ) = Una misura relativa ha invece segno positivo oppure negativo secondo che il verso di percorrenza del segmento dal primo estremo al secondo sia concorde oppure opposto all orientamento ssato nella costruzione del sistema di riferimento; e si ottiene sempre per di erenza tra le ascisse del secondo e del primo estremo (in quest ordine): 5 Calcola: AB = B A = ( 5) = 8 DH = H D = 0 = a + b ; a b 5 b c ; (a b + c) : Svolgimento. Applico la formula del prodotto notevole "quadrato del binomio" ( + y) = + y + y ai due binomi a+b ( = a e y = b ), e a b 5 b c ( = a b e y = 5 b c): a + b = (a) + a b + b = a + ab + 9b a b 5 b c = a b + a b = 9 a6 b 5 a b c + 5 b c 5 b c + 5 b c e poi - in sequenza - ai binomi (a b) + c ( = (a b) e y = c) e a b ( = a e y = b): (a b + c) = (a b) + (a b) (c) + (c) = a ab + b + 6ac bc + 9c = a + b + 9c ab + 6ac bc

4 6 Calcola: 5 a + b 5 a b ; a b + a + b : Svolgimento. La formula da applicare è adesso quella del prodotto notevole di erenza di quadrati y = ( + y) ( y) nel primo caso con = 5 a e y = b, nel secondo con = a e y = b + : 5 a + b 5 a b = 5 a b = 9 5 a 6 b a b + a + b = a b + = a b + = a b + b b + 7 Scomponi in un prodotto di almeno fattori di grado inferiore la di erenza: 6 5 a 9 b8 Svolgimento. Anche qui può esser messo in azione per ben due volte consecutive il prodotto notevole "di erenza di quadrati", infatti, 6 5 a = 9 b8 = 5 a6 = 0 b a! 0! p p 5a A 5 5 p! 0 p b A p! 6 b A e quindi, applicandolo una prima volta con = 5 a6 e y = b, e una seconda con = p 5a 5 e y = p 6 b ottengo 6 5 a 9 b8 = 5 a6 + b 5 a6 b = 5 a6 + p p! 5a 6 p p! 5a 6 b + 5 b 5 b

5 8 Risolvi le seguenti disequazioni: < Svolgimento. A) Riscrivo subito la prima disequazione isolando la frazione il cui denominatore contiene l incognita (e "neutralizzando" il segno meno che la precede cambiando segno al denominatore): > + L e etto della moltiplicazione membro a membro per dipende dal segno di, che è positivo se < e negativo se > ; occorre quindi distinguere due casi: I : < e < II : > e > Nel primo caso la seconda disequazione si può riscrivere come > che è sempre vero; nel secondo invece come < che è sempre falso. L insieme delle soluzioni è dunque ( ; ). B) ( + ) ( ) = ( ) ( ) Numeratore e denominatore della frazione sono entrambi trinomi di secondo grado, col coe ciente del termine di secondo grado positivo (uguale ad per la precisione). Pertanto essi assumono valore negativo internamente all intervallo delle radici, e positivo all esterno. La radice = è comune, l altro cambiamento di segno è in N = per il numeratore e in D = per il denominatore N N D D O [ ) 5

6 La disequazione non è de nita per f; g. Il numeratore e il denominatore sono concordi e positivi per <, discordi per < <, concordi e negativi per < <, nuovamente concordi e positivi per >. Poiché la disequazione è debole, essa è soddisfatta anche in N. L insieme delle soluzioni è [ ; ). 9 Nel triangolo con i vertici nei punti P = ( ; ), Q = (; ), R = (; ) determina: l equazione della retta che contiene il lato P Q; il perimetro; l altezza relativa al lato QR. Svolgimento. ( ; ; ; ; ; ; ; ) y Q P H R La determinazione dell equazione di una retta passante per due punti dati è stata discussa in dettaglio nella lezione di mercoledì y Q y P = = ( Q P ) = ( ( )) = Q y P P y Q = ( ) = 0 La retta contenente i due vertici P e Q ha così equazione: Nello stesso modo, y + 0 = 0 y Q y R = ( ) = 7 ( Q R ) = ( ) = Q y R P y R = ( ) = 0 6

7 e la retta contenente i due vertici Q ed R ha equazione 7 y 0 = 0 Segue da quest ultima (lezione di giovedì 6.09.) che una generica retta ad essa perpendicolare ha equazione + 7y + c = 0 con c da determinarsi. Nel caso presente, ossia quello dell altezza relativa al lato QR, ciò è fatto imponendo il passaggio per il vertice opposto P : c = 0 ossia c = 5. Se chiamo P H l altezza, le coordinate del punto H si ottengono risolvendo il sistema 8 < : 7 y 0 = 0 + 7y 5 = 0 Moltiplicando ambo i lati della seconda equazione per 7, e sottraendovi membro a membro la prima equazione ottengo 50y = 5 da cui y H = e H =. Le lunghezze dei tre lati seguono immediatamente dal teorema di Pitagora: P Q = ( Q P ) + (y Q y P ) = = 5 P R = ( R P ) + (y R y P ) = = 5 QR = ( R Q ) + (y R y Q ) = + 9 = 50 Il perimetro è dunque pari a 5 + p. Inoltre, il calcolo rivela che il triangolo P QR è isoscele in P ; e infatti, si vede subito che H è anche il punto medio del lato QR. 0 Nella parabola di equazione + y = 0 determina il vertice e i punti di intersezione con gli assi. Svolgimento. Riscrivo l equazione della parabola (che chiamo ) in forma esplicita: y = + + Si ha dunque per i coe cienti dell equazione a = ottiene il discriminante =, b =, c =, da cui si = + =. Le coordinate del 7

8 vertice (lezione di martedi 0-0-) sono allora V = y V = b a = = a = = Il punto di intersezione con l asse verticale ha coordinate (0; c) = 0;. I punti di intersezione con l asse orizzontale, che esistono perché il discriminante è maggiore di zero, hanno coordinate ( ; 0) e ( ; 0), dove e sono le soluzioni dell equazione + + = 0 Pertanto, = = b + p = a p b = a + = = y V 6 Nella circonferenza di equazione + y 8 y 8 = 0 determina il centro, il raggio, e l equazione delle rette tangenti passanti per il punto S = ( ; ). Svolgimento. I coe cienti dell equazione della circonferenza sono a = 8, b =, c = 8. Le coordinate del centro e il raggio (lezione di lunedi 0-09-) sono allora a C = = b y C = = q r = C + y C c = p 5 = 5 8

9 L equazione della retta passante per S e avente coe ciente angolare m è r m : y = m ( + ) e le coordinate dei suoi eventuali punti di intersezione con si ottengono risolvendo il sistema 8 < + y 8 y 8 = 0 : y = m ( + ) + Sostituendo la seconda equazione nella prima ottengo ossia + [m ( + ) + ] 8 [m ( + ) + ] 8 = 0 m + + m + m 9 = 0 Il discriminante (ridotto) dell ultima equazione è 0 m = m m + m 9 = m 6m + 6 m + 5m + 9 = m + 5 e l esistenza di un unico punto di intersezione tra e r m richiede 0 m = 0 cioè m = 5p oppure m = 5p. Le equazioni delle due rette tangenti richieste sono pertanto r m : y = 5p ( + ) + r m : y = 5p ( + ) + 9

10 Trova le soluzioni dell equazione cos + sen = 0 Svolgimento. v u L opposizione tra seno e coseno (cos = sen ) corrisponde all intersezione tra la circonferenza goniometrica (di equazione u + v =, con u = cos e v = sen ) e la bisettrice del II e IV quadrante (di equazione u + v = 0) Sostituendo l equazione della seconda p in quella della p prima si perviene alla coppia di punti aventi coordinate e, corrispondenti agli angoli = ; p ; p e =. Inoltre, tenendo presente che la condizione = conduce ad una divisione per dell angolo, si devono considerare anche gli angoli equivalenti (rispettivamente) ad e, cioè = + = 7 e = = 5. Dunque dalla condizione si perviene alle soluzioni cos + sen = 0 = = 8 = = 8 = = 7 8 = = 5 8 y π π y = cos in blu, y = sen in rosso 0

11 Determina l insieme delle soluzioni della disequazione cos Svolgimento. Pongo z cos e risolvo la disequazione z ottenendo p p z Dal gra co della funzione coseno nell intervallo [ di equazione y = p e y = p ; ] confrontato con le rette y π 5π/6 π/6 π/6 5π/6 π ottengo l insieme delle soluzioni, che è 5 6 ; 6 [ 6 ; 5 6 ;.