Il grafico di una funzione reale a due variabili è un sottoinsieme del prodotto cartesiano :

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1 ANALISI ESERCITAZIONE DEL 5/10/010 DOMINIO DI UNA FUNZIONE Sia A. Una funzione f : A è una legge di composizione che associa ad ogni elemento di A uno e un solo numero reale. L insieme A è detto dominio di f (dom f ). Se di una funzione viene data solo la legge e non il dominio si intende che questo sia l insieme più grande per il quale la relazione ha senso. GRAFICO DI UNA FUNZIONE Il grafico di una funzione reale a due variabili è un sottoinsieme del prodotto cartesiano : f,,, G y z z f y. INSIEMI DI LIVELLO Uno dei modi di rendere in due dimensioni l andamento di una superficie tridimensionale è disegnarne gli insiemi (o linee) di livello, che si ottengono intersecando la superficie z f, y con un piano di equazione z k, con k, e proiettando i punti comuni alla superficie e al piano z k sul piano y. Gli insiemi di livello sono definiti come E, y f, y k. ZERI DI UNA FUNZIONE Insiemi di livello notevoli sono quelli corrispondenti a k 0. Sono le intersezioni della superficie con il piano z 0. PIANO k figura 1 Gli insiemi di livello di un piano sono rette. Prendiamo ad esempio 1 f, y y. L equazione y k rappresenta, per ogni valore reale del parametro, una retta di coefficiente angolare, di

2 ANALISI ESERCITAZIONE DEL 5/10/010 cui varia solo l ordinata nell origine., y y k, k. Non ci sono condizioni sul valore del parametro: la funzione è illimitata superiormente e inferiormente (figura 1). CONO figura Gli insiemi di livello di un cono sono circonferenze. Prendiamo ad esempio la funzione f : f, y 1 y (figura ): si tratta della parte superiore di un cono con vertice definita da nel punto 0,0,1, con generatrice che forma un angolo di con la verticale. 4 L equazione 1 y k ha soluzioni solo per k 1. Si tratta di circonferenze di centro 0,0 e di raggio Rk 1, che aumenta linearmente con la quota: E, y y k 1, k 1. La funzione è illimitata superiormente, mentre ha come k valore minimo 1. PARABOLOIDE Gli insiemi di livello di un paraboloide di rotazione sono circonferenze. Prendiamo ad esempio la funzione f : definita da f, y y (figura ) : si tratta di un paraboloide a sezione circolare con apertura verso il basso e vertice in 0,0,. L equazione soluzioni solo per k. Si tratta di circonferenze di centro y k ha 0,0 e di raggio R k : E, y y k 1, k 1. La funzione è illimitata inferiormente, mentre ha come k valore massimo.

3 ANALISI ESERCITAZIONE DEL 5/10/010 figura Le linee di livello di un parabolide iperbolico sono invece iperboli. Vediamo ad esempio k 0 la coppia di rette y figura 4 f, y y (figura 4). Dall equazione, che sono gli zeri della funzione: y k otteniamo per E y y. 0, Per k 0 otteniamo iperboli equilatere centrate in 0,0 che hanno per asse trasverso l asse e per k 0 iperboli equilatere centrate in 0,0 che hanno per asse trasverso l asse y:

4 ANALISI ESERCITAZIONE DEL 5/10/010, y y k. Notiamo che la funzione è illimitata sia superiormente che inferiormente. 1. Determinare il dominio di f, y y y e studiarne gli insiemi di livello (figura 5). La funzione non è definita per y dom, f y y. Dall equazione y y, cioè in corrispondenza delle bisettrici dei quadranti k otteniamo y k 1 per k 1 k 1. Sono le equazioni di rette k 1 k passanti per l origine., \ 0,0 1 k 1 y y y, k 1 k 1. k1 k1 Osserviamo che da queste condizioni deduciamo che la funzione è illimitata sia superiormente che inferiormente. Per k 1, dall equazione di partenza troviamo l asse 0 (escluso il punto 0,0 ) e per k 1 l asse y 0 (escluso il punto 0,0 ), quindi 1 1 E, y \ 0,0 0 e E, y \ 0,0 y 0 figura 5 Per valori compresi nell intervallo 1 k 1 invece non abbiamo soluzioni, cioè la funzione non assume mai valori appartenenti a questo intervallo: per 1 k 1. 4

5 ANALISI ESERCITAZIONE DEL 5/10/010. Determinare dominio e insiemi di livello della funzione f, y y y 1 Per determinare il dominio impostiamo le condizioni y 0 y 0 y 1 0 y 1 0 Dal primo sistema ricaviamo y 1, che sono i punti del I e III quadrante rispettivamente sopra il 1 ramo positivo e sotto il ramo negativo dell iperbole y, grafico compreso. Dal secondo sistema ricaviamo invece y 0, cioè il II e IV quadrante, assi compresi. dom f A1 A dove, A1, y : y 1 A y y., : 0 Gli insiemi di livello si ottengono dall equazione y y 1 k per k 0. 1 k da cui y y k y y 0 con soluzioni 1 14k y. Abbiamo quindi: E0, y dom f : y 1 0 y 0 cioè l iperbole equilatera y 1 e gli assi coordinati 1 1 4k 1 1 4k, ydom f : y y, k 0 ; sono tutte iperboli equilatere. figura 6 Nella figura 6 i grafici in viola corrispondono al segno + davanti al radicale e i grafici in azzurro al segno. La funzione è illimitata superiormente. 5

6 ANALISI ESERCITAZIONE DEL 5/10/010 Trattandosi di un radicale pari, la funzione non può ovviamente assumere valori negativi: per k 0 e quindi ha come valore minimo 0. f, y y (figura 7). Determinare dominio e insiemi di livello di La legge di composizione è data da un polinomio, quindi è definita su tutto il piano: L equazione y k per k 0 ci permette di studiare gli zeri della funzione. y y 0 ha come soluzioni l asse y e le bisettrici dei quadranti. Per k 0, invece, l equazione ci porta a definire gli insiemi di livello come k y y k,, 0. dom f. figura 7 Capire quali valori di k sono permessi e come sono queste curve ci richiede un minimo di studio di funzione. k La disuguaglianza 0 ha sempre soluzioni che sono insiemi non vuoti per ogni valore reale di k, quindi possiamo affermare che la funzione è illimitata sia inferiormente che superiormente. k Il grafico della funzione g, definita per 0 o k se k 0 e definita invece per k o 0 se k 0, è costituito da due rami. Presenta un asintoto verticale e due asintoti obliqui: 0 e y. 6

7 ANALISI ESERCITAZIONE DEL 5/10/010 figura 8 Disegnati i grafici per alcuni valori di k basta poi disegnare i grafici di studio (figura 8). g per completare lo 7