CALCOLO DELLE PROBABILITA'

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1 STATISTICA Esercitazione 5 Dott.ssa Vera Gurtovaya 9//05 CALCOLO DELLE POBABILITA' Elemen del calcolo delle probabilità:. Esperimento: fenomeno cui sono interessato, il cui esito è caraerizzato da incertezza ) Evento: uno dei possibili risulta dell'esperimento 3) Probabilità: valutazione numerica associata ad un evento (misura per quan$care l'incertezza) Esempio: Lancio di una moneta I possibili risulta (even) dell esperimento lancio di una moneta sono : T = Testa e C = Croce. La probabilità associata che esca Croce è uguale al 50%. De$niamo prova ogni esperimento soggeo ad incertezza. Indichiamo con Ω lo spazio campionario, ovvero l insieme di tu4 i risulta di una prova. Operazioni sugli even: ) L unione tra due even A e B è l evento C che si veri$ca quando si veri$ca almeno uno dei due even A e B, ovvero: se si veri$ca A, se si veri$ca B o se si veri$cano contemporaneamente A e B. ) La negazione dell evento A è de$nita come quell evento che si veri$ca quando non si veri$ca A e lo indichiamo con Si legge: non A oppure A negato. A B 3) L intersezione di A e B è quell evento C che si veri$ca se e solo se si veri$cano contemporaneamente sia A che B. A Si legge: A e B oppure A intersecato con B. C A B Principio di inclusione-esclusione: A B A è incluso in B ; B A B include A Due even A e B si dicono incompabili se non possono veri$carsi contemporaneamente, ovvero se: A B=Ø Se A B=Ø, A Da due even AeB,,la probabilità che si veri$chi l'evento B dato che si è veri$cato l'evento A è data da: A B Ciò implica che A B Se A e B sono even indipenden B = e Probabilità dell'unione di due even compabili: A A A Esercizio Nella prova "lancio di un dado" si generano 6 possibili risulta espressi dai possibili valori di ciascuna delle 6 facce del dado. Indicare lo spazio campionario. Ω={,,3,4,5,6} - insieme degli even elementari

2 Esercizio Determiniamo lo spazio campionario nella prova "lancio di due dadi" per l evento, ovvero la somma dei pun sulle facce dei due dadi. Si possono generare 36 possibili combinazioni, la somma dei pun sulle facce dei due dadi assumerà valori compresi tra e ( j =,,, ). Quindi, Ω={S,S3,S4,S5,S6,S7,S8,S9,S0,S,S} che costuisce la collezione di tu4 i possibili risulta della prova. Esercizio 3 Supponiamo di lanciare tre volte una moneta. De$nire il più piccolo spazio degli even elementari che descrive l'evento numero di teste, il più piccolo spazio degli even elementari che descrive l evento massimo numero di teste consecuve ed in$ne il più piccolo spazio degli even elementari che descrive i preceden due even. Soluzione : Indichiamo il risultato testa con T e croce con C. La parzione che descrive l evento numero di teste è costuita dai seguen even elementari: (TTT) (TTC, TCT, CTT) (TCC, CTC, CCT) (CCC) La parzione che descrive l evento numero massimo di teste consecuve è: (TTT) (TTC, CTT) (TCT, TCC, CTC, CCT), (CCC) La minima parzione che descrive entrambi gli even compos è: (TTT), (TTC, CTT) (TCT), (TCC, CTC, CCT), (CCC) Esercizio 4. Sul banco di un supermercato ci sono 45 confezioni di lae, delle quali 5 scadono oggi e 0 domani. Si calcoli la probabilità che confezioni estrae senza reinserimento abbiano la stessa data di scadenza. Indichiamo con Oi l evento "la i-esima confezione estraa scade oggi" e con Di l evento "la i-esima confezione estraa scade domani", i=,. La probabilità di estrarre due confenzioni che scadono oggi è data da: O O ) O ) O O ) Analogamente, la probabilità di estrarre due confenzioni che scadono domani è data da: D D ) D ) D D ) La probabilità che le due confezioni estrae abbiano la stessa data di scadenza è data da: O O ) D D )

3 Esercizio 5. Considerando la prova "lancio di due dadi" (ognuno con le facce contrassegnate con i numeri da a 6) indicare il valore della somma dei pun sulle facce dei due dadi che ha probabilità più elevata. somma=7 (6 casi favorevoli su 36 possibili): -6, -5,... 6 S 7 ) 36 6 Esercizio 6. Considerando la prova "lancio di due dadi" (ognuno con le facce contrassegnate con i numeri da a 6) calcolare la probabilità : a) di avere due numeri uguali; b) che la somma dei pun delle due facce sia uguale a 6. a) Si possono generare 36 (6^) possibili combinazioni, la somma dei pun sulle facce dei due dadi assumerà valori compresi tra e ( j =,,, ). Le coppie delle facce con lo stesso numero dei pun sono 6: (,),(,), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), quindi la probabilità che escano due numeri iguali è data da: p=6/36=/6 b) La somma dei pun delle due facce uguale a 6 può essere data dalle seguen coppie: (,5), (,4), (3,3), (4,), (5,), i casi favorevoli sono 5, per cui la probabilità che la somma dei pun delle due facce sia uguale a 6 sarà data da: p=5/36 Esercizio 7. Considerando la prova "lancio di tre monete" calcolare la probabilità di avere due teste ed una croce. Numero di casi possibili è uguale a ^3=8 La minima parzione che descrive entrambi gli even compos è: (TTT), (TTC, CTT) (TCT), (TCC, CTC, CCT), (CCC) I casi favorevoli sono 3: (TTC), (CTT), (TCT), quindi la probabilità di avere due teste ed una croce è data da: p=3/8 Esercizio 8. Da un'urna che conene 5 palline rosse, 8 bianche e verdi si estraggono palline con reinserimento. Calcolare la probabilità di estrarre palline di colore diverso. i, Bi, Vi - sono le probabilità di estrarre, rispe4vamente, una pallina rossa, bianca e verde all'i-esima estrazione. Visto che abbiamo l'estrazione con reinserimento,, B, V e, B, V sono indipenden. p(i)=5/5=/3 p(bi)=8/5 p(vi)=/5 Esistono due modi per calcolare la probabilità di estrarre due palline di colore diverso: a) Troviamo la somma delle probabilità di estrarre tue le coppie possibili di colori diversi: B ) B ) B V ) V B ) V ) V )

4 B ) ) ) B )... V ) , ) b) Possiamo calcolare la probabilità dell'evento "estrarre due palline dello stesso colore" e poi calcolare la probabilità dell'evento complementare: B B ) ) V V ,586 ) Esercizio 9. Il 5% degli studen non supera l esame di matemaca, il 0% non supera l esame di stasca e il 5% non supera né l esame di matemaca né quello di stasca. Se scegliamo uno studente a caso: a) Qual'è la probabilità che non abbia superato l'esame di matemaca se non ha superato l esame di stasca? b) Qual'è la probabilità che non abbia superato l'esame di stasca se non ha superato l esame di matemaca? c) Qual è la probabilità che non abbia superato l'esame di matemaca o di stasca? Sia M l'evento "non supera l'esame di matemaca" e sia S l'evento "non supera l''esame di stasca". M ) 0,5 0, M 0,5 a) La probabilità che uno studente non abbia superato l'esame di matemaca se non ha superato l'esame di stasca è data da: M 0,5 M 0,75 0, b) La probabilità che uno studente non abbia superato l'esame di stasca se non ha superato l'esame di matemaca è data da: S M ) 0,5 S M ) 0,6 M ) 0,5 c) La probabilità che non abbia superato l'esame di matemaca o l'esame di stasca è data da: M M ) M 0,5 0, 0,5 0,3 Esercizio 0. Un'azienda produce gli elerodomesci che possono avere due dife4: il difeo X e il difeo Y. La probabilità che un elerodomesco abbia almeno uno dei due dife4 è pari a 0,; la probabilità che abbia il difeo X è pari a 0,5; la probabilità che abbia contemporaneamente sia il difeo X che Y è pari a 0,. Calcolare la probabilità che un elerodomesco abbia: il difeo Y, il difeo X dato che ha il difeo Y. X Y ) 0, X ) 0,5 X Y ) 0,. A A

5 Y ) X Y ) X ) X Y ) 0, 0,5 0, 0,5. A B X Y ) 0, X Y ) 0,67 Y ) 0,5 Esercizio. La tabella seguente riporta i da relavi a 00 studen classi$ca secondo il voto oenuto all esame di stasca a seconda che l'esame in oggeo sia stato il primo ad essere sostenuto o meno. Primo esame Voto SI NO Totale voto voto > Totale Calcolare la probabilità (per uno studente estrao a caso) che: a) il voto oenuto sia ; b) l'esame sostenuto sia il primo; c) il voto oenuto sia oppure che l'esame sia stato il primo esame sostenuto; d) l'esame sostenuto sia stato il primo dato che lo studente abbia oenuto il voto. Calcoliamo le probabilità congiunte: Primo esame Voto SI NO Totale voto 0, 0,5 0,5 voto > 0,5 0,5 0,75 Totale 0,6 0,4 Sia V l'evento "voto " e E l'evento "il primo esame sostenuto" a) V)=50/00=0,5 b) =0/00=0,6 c) V V ) V =0,5+0,6-0,=0,75 d) E V ) 0, E V ) 0,4 V ) 0,5 Veri$care se gli even V e E sono indipenden. Dobbiamo veri$care che valga una delle seguen condizioni: V V ) E V ) V V ) E V ) 0, V ) 0,5 0,6 0,5 Gli even V e E non sono, quindi, indipenden.