= 2x 2λx = 0 = 2y 2λy = 0

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1 ESERCIZI SULLA OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA ESERCIZIO Determinare i punti di massimo e minimo di f x, y = x y soggetta al vincolo x + y = Il vincolo è chiuso e limitato (circonferenza di raggio ) e la funzione di classe C per cui al suo interno avremo un minimo e un massimo assoluto, per il Teorema di Weierstrass. Scriviamo per prima cosa la Lagrangiana e calcoliamo tutte le sue derivate parziali ponendole uguali a zero. La Lagrangiana è pari a: f x, y, λ = x y λ(x + y ) δλ ovvero δλ = x λx = y λy = x + y x λ y + λ x + y La prima equazione si annulla per x e λ =. Sostituendo x nella terza si ottiene y = ± e λ =. "Sopprimendo" la terza componente si ottiene (0,) e (0,-) come candidati punti di massimo o minimo. Sostituendo in f(x,y) entrambi hanno valore. Sostituendo invece λ = nella seconda equazione abbiamo y che nella terza equazione fornisce x = ±. Per cui avremo due candidati punti di massimo o minimo che saranno (,0) e (-,0), ambedue di valore. Per il Teorema di Weierstrass avremo quindi minimi di valore - in (0,) e (0,-) e massimi di valore in (,0) e (-,0).

2 ESERCIZIO Determinare gli estremanti assoluti della funzione f x, y = x y vincolati all' insieme S = x, y R : x + y In questo esercizio, abbiamo una funzione di classe C ovvero infinite volte derivabile e un vincolo formato da un insieme chiuso e limitato, per cui la funzione avrà massimo e minimo nel vincolo. Per i massimi e minimi all' interno del vincolo procediamo come nel caso dei massimi e minimi liberi calcolando il gradiente: per cui xy x y in (0,0) si ha un possibile estremo. x Derivate seconde y y = y x x per cui essendo l' Hessiano nullo non possiamo sapere se si tratti di un massimo o di un minimo. Vedendo che tuttavia la funzione f(x,y) può assumere sia valori positivi sia negativi, certo non sarà un estremo assoluto, per cui passiamo oltre. Conviene procedere in questo caso per il bordo, ovvero per x + y = con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, quindi scriveremo una funzione Lagrangiana determinando le derivate parziali rispetto a x, a y e a λ della funzione: f x, y, λ = x y λ(x + y ) ossia xy λx x λy x + y Ora dobbiamo determinare tutte le soluzioni del sistema: x y λ x λy x + y

3 La prima equazione si annulla per x e y = λ. Con x la terza equazione si risolve per y = e y = mentre della seconda λ. Con y = λ avremo nella seconda equazione x = λ mentre nella terza 3λ =, dalle quali x = ±λ e λ = ± 3 per cui y = ± 3 e quindi x = ± 3 Per cui avremo diversi punti candidati di massimo o minimo assoluto (estremi) e dovremo verificare se sono assoluti. Calcoliamo il valore di f x, y nei punti candidati. Ad esempio, in 0, e 0, la funzione è nulla. I punti di estremo saranno (, ),,,,, (, ) In ±, 3 3 la funzione f(x,y) vale 3 3, in ± 3, 3 vale 3 3 (0,0) non è né di massimo né di minimo assoluto, mentre ± 3, 3 sono punti di massimo assoluto e ±, 3 3 invece di minimo assoluto.

4 ESERCIZIO 3 Si determinino gli estremanti assoluti della funzione f x, y = e x y vincolati all' insieme S = x, y R : x 0, y 0, x + y 3 Ricordando che x + y 3 può essere scritto come x + y x + 3, possiamo procedere a disegnare il vincolo S espresso dalle tre disequazioni rappresentato qui di seguito: Si ricordi il Teorema di Weierstrass per cui essendo quello in figura un insieme chiuso e limitato (compatto), la funzione assumerà per forza un massimo e un minimo (assoluto) nell' insieme indicato. La funzione è di classe C Per prima cosa vediamo se la funzione presenta massimi e minimi liberi all' interno dell' insieme S, per cui procederemo, all' inizio, come nell' ottimizzazione libera, determinando le derivate parziali prime ed annullandole: xe x y ye x y ossia il gradiente f x, y se x, y = (0,0). Questo punto, risultando esterno al vincolo, non ci interessa dal punto di vista dei massimi e minimi, per cui non si procede a calcolarne la matrice hessiana. Ora, dato che all' interno non sono presenti massimi e minimi, studiamo il bordo del vincolo e i vertici. Per prima cosa studiamo il caso x che produce f 0, y = e y La sua derivata (funzione di una variabile) è ye y positiva per y < 0, nulla per y (studiare la disequazione) e negativa per i restanti valori per cui in (0,0) si avrà un massimo e la funzione sull' asse y è decrescente (studieremo poi i vertici)

5 Con y si ottiene xe x positiva per valori x < 0 nulla per x e negativa per i restanti valori per cui in (0,0) si avrà un massimo e la funzione anche sull' asse x è decrescente (studieremo poi i vertici). Procediamo poi con le due rette: y = x + e y = x + 3 sostituendo i relativi valori della y in f x, y. Con y = x + troviamo: f x, x + = e x ( x+) = e x (x + x) = e x +x la cui derivata f è f = ( 4x)e x +x che risulta positiva per x < negativa per x > e nulla per x = dove sussiste un massimo (vedremo poi se relativo o assoluto) di coordinate (, ) che ha valore pari a e (sostituendo le coordinate in f(x,y)). Si ripete poi il medesimo procedimento sulla retta y = x + 3 f x, x + 3 = e x ( x+3) = e x (x +9 6x) = e x +6x 9 la cui derivata sarà f = (6 4x)e x +6x 9 positiva per x < 3 negativa per x > 3 e nulla per x = 3 che rappresenta il massimo di coordinate ( 3, 3 ) che sostituito in f(x,y) è pari a e 9. Non sarà un massimo assoluto perché e 9 < e. Restano da studiare i vertici del trapezio (0,), (0,3), (,0), (3,0) in (0,) f x, y = e 0 = e in (0,3) f x, y = e 0 3 = e 9 in (,0) f x, y = e 0 = e in (3,0) f x, y = e 3 0 = e 9 Ricordiamo che in (, ) e = e Per cui i punti di coordinate (0,3) e (3,0) saranno minimi assoluti, mentre (, ) sarà un massimo assoluto.

6 ESERCIZIO 4 Si determinino gli estremanti assoluti della funzione f x, y = e x +y 4y+ vincolati all' insieme S = x, y R : x + y 4, y 0 Il vincolo " si può semplicemente rappresentare come una semicirconferenza di raggio. Inoltre si ricorda che per il Teorema di Weierstrass la funzione ammette minimi e massimi in un insieme chiuso e limitato (si dice compatto) e la funzione è di classe C. Qui sotto viene rappresentato il vincolo: Per prima cosa studiamo massimi e minimi liberi e vediamo se ne troviamo qualcuno all' interno del bordo ossia nell' area x + y < 4 Calcoliamo quindi il gradiente della funzione: (0,) = (4x)e x +y 4y+ = 4y 4 e x +y 4y+ che si annulla se x e y =, ossia in (0,) è un punto interno all' insieme, per cui procediamo con la matrice Hessiana, con le derivate parziali seconde che risultano pari a (applicare la formula della derivazione del prodotto e la derivazione di una funzione composta!): y y = (6x 4 + 4)e x +y 4y+ 4x(4y 4)e x +y 4y+ 4x(4y 4)e x +y 4y+ [4 + (4y 4) ] e x +y 4y+ nella quale, una volta sostituite le coordinate (0,) si ottiene 4 0. La matrice 0 4 risulta definita positiva per cui f(x,y) presenta un minimo (non sappiamo se relativo o assoluto) di valore e = Ora studiamo tutto il resto del bordo x + y = 4 per i valori y 0

7 Per ricavare y in funzione di x procediamo in questo modo: y = 4 x e quindi y = 4 x ma interessandoci solo y 0 avremo y = 4 x. Per studiare la parte di bordo del vincolo che giace sulla circonferenza quindi si pone f x, y = f x, 4 x ovvero e x + 4 x 4 4 x x = e Applicando le formule di derivazione di una funzione composta si ottiene: f = e x (4x) e studiandone il segno si vede subito che: essendo la 4 x funzione definita per x l' esponenziale è sempre positivo, il numeratore è positivo per x > 0, nullo per x e negativo per x < 0. La derivata nei punti x = e x = non esiste ma questo non ha rilevanza in quanto in quei punti la funzione è definita e non ci interessa in questo caso lo studio di punti a tangente verticale o angolosi. Si ha perciò un minimo per (0,). Sostituendo (0,) nella funzione originaria f(x,y) si avrà e per cui sarà un minimo relativo. Studiando invece il bordo y otteniamo f(x,0)=e x + la cui derivata f = 4xe x + si annulla per x è positiva per x > 0 e negativa per x < 0 Per cui in x=0 avremo un minimo relativo, perché (0,0) è punto di minimo di valore e Data la decrescita e la successiva crescita della funzione sul bordo studiamo i vertici di ordinate (-,0) e (,0). Sostituendo in f(x,y) si ottiene un valore della funzione pari a e 0 in entrambi casi fornendo massimi assoluti nel vincolo richiesto. Il minimo assoluto, invece è determinato in (0,) ed è di valore pari a.

8 ESERCIZIO 5 Si determinino gli estremanti assoluti della funzione f x, y = e x 4 y vincolati all' insieme S = x, y R : x + y, Il bordo del vincolo x + y = lo si rappresenta svolgendo il modulo nel caso in cui sia x e y siano entrambi maggiori di zero, entrambi minori di zero e i casi in cui x e y sono discordi. Sarà il quadrato racchiuso dalle seguenti rette: y = x +, y = x +, y = x +, y = x che qui sotto viene rappresentato, chiuso e limitato, quindi compatto, perciò varrà il Teorema di Weierstrass che afferma che in un insieme chiuso e limitato (compatto) una funzione ammette massimo e minimo. Cominciamo a valutare se ci sono estremi all' interno del bordo: = xe x 4 y = che si annulla in (x,y)=(0,0) ye x 4 y Si trova all' interno del dominio, per cui studiamo le derivate parziali seconde: δf(x, y) δf(x, y) y δf(x, y) δf(x, y) y = (4x )e x 4 y xye x 4 y xye x 4 y ( 4 y )e x 4 y

9 Sostituendo (0,0) abbiamo di valore pari a e 0 = 0 0 definita negativa, ovvero (0,0) è di massimo Ora si studia il bordo, formato dalle quattro rette y = x +, y = x +, y = x, y = x + Ora i quattro casi delle singole rette possono essere ridotti a due in quanto sostituendo in f(x,y) y = x + e y = x si perviene alla medesima funzione e lo stesso vale per y = x + e y = x. Avranno solo ordinate diverse Primo caso: y = x + e y = x f(x,y)=f(x, x + )=e x 4 (x+) = e 5 4 x x 4 f x, x + = e 5 4 x x 4( 5 x ) per cui la funzione cresce per x < 5,decresce per x > 5, ha un massimo per x = 5 e quindi che avrà coordinate ( 5, 4 5 ) sulla retta y = x + e avrà coordinate (, 4 ) sulla retta y = x 5 5 Per entrambi (basta sostituire!) il massimo ha valore pari a e = e 5 = 5 < per cui è un massimo relativo e non assoluto Secondo caso: y = x + e y = x. e f(x, x + )=e x 4 (x ) = e 5 4 x + x 4 f x, x + = e 5 4 x + x 4( 5 x + ) per cui la funzione cresce per x < 5,decresce per x >, ha un massimo per x = che avrà coordinate, 4 su y = x e, 4 su y = x. In entrambi i casi il massimo ha valore pari a e = 5 5 = e 5 = 5 < come sopra, per cui sarà massimo relativo. e Studiamo quindi i 4 vertici (-,0), (,0), (0,), (0,-). in,0 e,0 f x, y = e, mentre in 0, e 0, f x, y = e 4 Per cui il massimo assoluto sarà in (0,0), mentre i minimi assoluti saranno nei punti,0 e,0

10 ESERCIZIO 6 Si determinino gli estremanti assoluti della funzione f x, y = x +y insieme Q=[0,] x [0,] x +y + vincolati all' Qui la funzione è sempre definita ed è di classe C. Il quadrato Q rappresentato qui sotto è un insieme chiuso e limitato per cui vale il teorema di Weierstrass, per cui la funzione, nel vincolo, ammetterà massimo e minimo. Determiniamo gli estremanti all' interno del bordo. La derivata del quoziente, ossia di f(x) x g x f(x)g x g x è:f [g(x)] = x(x +y +) x(x +y) (x +y +) = (x +y +) y(x +y) (x +y +) ossia = x(y y+) (x +y +) = x +y + yx y (x +y +) La prima equazione si annulla per x, la seconda invece per y = e y = Non consideriamo y = fuori dal vincolo. In questo caso si può evitare studiare le derivate seconde in quanto (0,) si trova proprio sul bordo, che valutiamo qui di seguito. Studieremo quindi 4 casi: x, x =, y, y = x (asse delle y) con x f 0, y = y y + per cui f 0, y = (y +) y y (y +) = y (y +) La derivata è positiva per < y < nulla per y = e y = negativa per restanti valori, per cui la funzione nell' intervallo compreso tra l' ordinata 0 e è crescente.

11 x = f, y = y+ con f, y = (y +) (y+) y = y + y y = y y+ y + (y +) (y +) (y +) Si studia il segno del numeratore (denominatore sempre positivo) la derivata è quindi positiva per i valori 3 < y < 3 nulla per 3 e 3 e negativa per y < 3 e y > 3 Nel tratto 0 y si ha perciò un massimo in 3 (, 3 ) è punto di massimo. y Con y f x, 0 = x f x, 0 = x(x +) x x = x che risulta positiva per x + (x +) (x +) x > 0, nulla per x, negativa per x < 0 (0,0) è perciò un punto di minimo (vedremo se relativo o assoluto) in cui f x, y y = Con y = f x, 0 = x + f x, 0 = x(x +) (x +) x = x che ha le stesse x + (x +) (x +) caratteristiche del caso y, è perciò crescente nell' intervallo 0 < x < con un minimo in x in cui f x, y = f 0, = (minimo relativo) Nel vertice,0 f x, y = Nel vertice, f x, y = 3 Il minimo assoluto sarà in (0,0) il massimo assoluto è individuato dallo studio di f, y in (, 3 ).