Marco Listanti. Lo strato Fisico. Caratterizzazione dei canali di. comunicazioni digitali. DIET Dept

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1 Marco Listanti Lo strato Fisico Parte 3 Caratterizzazione dei canali di comunicazione e limiti fondamentali delle comunicazioni digitali

2 Canali di comunicazione 2 Per canale di comunicazione si intende l unione dei mezzi trasmissivi e dei dispositivi (elettronici o ottici) i) che sono attraversati ti dal segnale lungo il percorso tra sorgente e destinazione Equalizzatori, i amplificatori, i ecc. Spesso si usa il termine filtro per indicare gli effetti del canale sul segnale che lo attraversa Sorgente Filtro in trasmissione Mezzo di comunicazione Filtro in ricezione r(t) Ricevitore

3 Filtro passa basso ideale 3 Filtro passa basso ideale tutte le frequenze f<w c non subiscono attenuazione e sono ritardate di secondi le frequenze f>w c sono bloccate y(t) = A in cos (2ft - 2f ) = A in cos (2f(t - )) = x(t- ) Risposta in ampiezza Risposta in fase / 2 f (f) =-2f W c f

4 Filtro passa basso reale 4 Filtro passa basso reale le frequenze sono attenuate in modo diverso e subiscono ritardi diversi Risposta in ampiezza Risposta in fase A( f ) 2 4 f 2-45 o / 2 f ( f ) arctg (2 f ) f -9 o

5 Canale passabanda 5 Amplitude Response A(f) W c Alcuni canali di comunicazione si comportano come un filtro passa-banda bloccano le basse e le alte frequenze La larghezza di banda è l ampiezza dell intervallo di frequenze per cui il segnale in uscita ha una potenza non trascurabile f

6 Distorsione 6 x(t) = a k cos (2f k t + θ k ) Canale y(t) Il canale introduce sul segnale in ingresso x(t) due effetti Se la risposta in frequenza non è piatta, le componenti di frequenza del segnale d uscita y(t) avranno ampiezza diversa rispetto a quelle del segnale d ingresso x(t) Se la risposta in fase non è piatta, le componenti di frequenza del segnale d ingresso x(t) subiranno ritradi diversi y(t) = A(f k ) a k cos [2f k t + θ k + Φ(f k )]

7 Esempio: Distorsione di ampiezza () 7 x(t) ms t 4 ( ),5 x t sen cos2 t sen cos2 2t sen cos2 3t... 4 Sia x(t) il segnale in ingresso ad un canale che si comporta come un filtro passa basso ideale ritardo nullo W c =.5 khz, 2.5 khz, o 4.5 khz Se W c =.5 khz passano solo i primi due termini Se W c =25kHzpassanosoloi 2.5 solo primi tre termini W c = 4.5 khz passano solo i primi i cinque termini i

8 Esempio: Distorsione di ampiezza (2) 8.5 (a) Harmonic (b) 2 Harmonics (c) 4 Harmonics Tanto maggiore è la banda del canale, tanto minore sarà la distorsione introdotta dal canale sul segnale di ingresso

9 Caratterizzazione nel dominio del tempo 9 t Canale h(t) () La caratterizzzione i di un canale nel dominio i del tempo richiede la conoscenza della risposta impulsiva h(t) Si applica in ingresso al canale un impulso di durata molto breve si osserva il segnale in uscita tipicamente h(t) è una copia ritardata e distorta dell impulso in ingresso La larghezza della risposta impulsiva fornisce un indicazione di quanto velocemente l uscita segue l ingresso e quindi di quanto velocemente possono essere trasmessi gli impulsi in ingresso t d t

10 L impulso Limpulso matematico Rappresenta un segnale di durata brevissima (al limite, zero) e di ampiezza elevatissima (al limite, infinita) it il cui integrale è unitario i t ( t) lim rect ( t) ( t ) t t t t area t rect t ( t) (t) t t t t 2 2

11 Impulso matematico Proprietà l impulso limpulso matematico ha area unitaria t t () tdt ( t t ) dt, per ogni proprietà di campionamento dell impulso matematico xt () ( tt ) dt xt ( )

12 Risposta impulsiva di un sistema lineare 2 x(t) = δ(t) Filtro y(t) = h(t) La risposta impulsiva h(t) di un sistema lineare e permanente (filtro) è definita come l uscita y(t) del sistema quando all ingresso è applicato limpulso l impulso unitario x(t)=δ(t) Proprietà elementari di h(t) permanenza x() t ( tt ) y() t h tt linearitàità x ( t ) a ( t ) b ( t ) y ( t ) ah t bht

13 Convoluzione 3 x(t) Filtro h(t) y(t) Se un filtro è LP con risposta impulsiva h(t), allora l uscita y(t) corrispondente ad un generico segnale di ingresso x(t) è pari a yt () x()( ht) d xt () ht (), t L integrale precedente è detto integrale di convoluzione tra l ingresso x(t) e la risposta impulsiva i h(t) del filtro

14 Convoluzione 4 L operazione di convoluzione è commutativa ti xt ()* ht () ht ()* xt () L operazione di convoluzione è associativa [ xt ()* ht ()]* z () t xt ()*[ ht ()* z ()] t L operazione di convoluzione è distributiva rispetto alla somma [ xt ( ) zt ( )]* ht () [ xt ()* ht ()] [ ht ()* zt ()] La convoluzione di x(t) con δ(t-t ) trasla x(t) di t xt ()* ( tt) xt ( t)

15 Risposta in frequenza di un filtro 5 x(t) Filtro h(t) y(t) X(f) Filtro H(f) Y(f) La trasformata di Fourier della convoluzione è uguale al prodotto delle trasformate y () t x()* t h() t Y ( f ) X ( f ) H ( f ) dove H(f)=FT{h(t)} H(f) è detta risposta in frequenza del filtro o funzione di trasferimento del filtro

16 Risposta impulsiva di un filtro ideale 6 Per canali ideali passa basso di larghezza di banda W c, la risposta impulsiva è rappresentata dalla funzione impulso di Nyquist h(t)=s(t () ( ), dove T = /2 W c, e s ( t ) sen (2 Wc t ) 2W t -7T -6T -5T -4T -3 T -2 T --.2 T T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T -.4 s(t) vale zero in t = kt, k = +, +2, Gli impulsi possono essere inviati ogni T secondi senza interferenza (si sovrappongono in corrispondenza degli zeri) t c

17 Trasmissione in banda base 7 Sia p(t) il segnale ricevuto dal ricevitore in risposta alla trasmissione di un singolo impulso sia r(t) il segnale che viene ricevuto a seguito della trasmissione di una sequenza di impulsi In generale se si campiona il segnale r(t) negli istanti t=kt il valore del campione è alterato dalla presenza di Interferenza Intersimbolica (ISI); ad esempio per t= Se p(t)=s(t), quindi p(t) sono impulsi di Nyquist, il segnale r(t) ha ISI nulla negli istanti t=kt Segnale PAM (Pulse Amplitude Modulation) r ( t ) Ak p ( t kt ) r () A p k k () Ak p( kt ) k +A -A T 2T 3T 4T 5T t Segnale ricevuto Filtro in Mezzo di Filtro in trasmissione comunicazione ricezione r(t) Ricevitoreit

18 Esempio 8 +s(t) Tre impulsi di Nyquist sovrapposti s(t), s(t-t); -s(t-2t) Forma d onda d complessiva r(t) = s(t)+s(t-t)-s(t-2t) r(t) campionato in corrispondenza degli istanti t=kt r()=s()+s(-t)-s(-2t)=+ r(t)=s(t)+s()-s(-t)=+ +s(t-t) T T T T T T r(t) r(2t)=s(2t)+s(t)-s()= s(t-2t) t Interferenza intersimbolica (ISI) nulla agli istanti di campionamento t=kt T T T T T T t -2

19 Trasmissione in banda base 9 Se il canale si comporta come un filtro passa basso ideale con larghezza di banda W c, il massimo rate di trasmissione di una sequenza di impulsi senza ISI è uguale a 2W c (Nyquist Signalling Rate) r max =2W c Si noti che s(t) è un esempio della classe degli impulsi di Nyquist con ISI nulla L ampiezza dei lobi laterali di s(t) può causare errori anche notevoli se si commettono errori anche piccoli negli istanti di campionamento del segnale Richiede una sincronizzazione molto accurata

20 Trasmissione in banda base 2 La funzione coseno rialzato (raised cosine) è un ulteriore esempio di funzione a zero ISI Richiede una banda leggermente superiore a W c I lobi laterali decadono come /t 3 e quindi è più robusta ad errori di temporizzazione (sincronizzazione meno accurata) A(f) sen( t / T ) cos( t / T ) 2 t t / T (2 t / T ) ( α)w c W c ( + α)w c f

21 Trasmissione multilivello 2 Il criterio di Nyquist impone che il massimo rate in trasmissione con ISI= sia 2W c impulsi al secondo 2W c impulsi/wc Hz = 2 impulsi/hz Se si usano due livelli di segnale ogni impulso trasporta bit informativo Bit rate = 2W c bit/s Con M = 2m livelli, ogni impulsi trasporta m bit Bit rate = 2W c impulsi/s * m bit/impulso = 2W c m bit/s Il bit rate può essere aumentato incrementando il numero di livelli, tuttavia Il segnale r(t) include il rumore additivo che limita il numero di livelli che possono essere usati

22 Esempio di trasmissione multilivello 22 Quattro levelli lli {-, -/3, /3, +} per {,,,} } Forme d onda per,, con ampiezze +, +/3, -/3 Zero ISI negli istanti di campionamento (t=kt).2.8 Forma d onda complessiva

23 Effetto del rumore 23 Il ricevitore prende le decisioni in base al segnale che è la somma dell impulso trasmesso + rumore Il tasso di errore dipende dal valore relativo dell ampiezza del rumore rispetto alla spaziatura tra i livellilli Grandi valori di rumore possono comportare decisioni errate Nell esempio esempio il rumore ha influenza maggiore sul segnale a 8 livelli piuttosto che su quello a 4 livelli Segnale a 4 livell li +A +A +5A/7 +A/3 +3A/7 +A/7 -A/7 -A/3-3A/7 Typical noise -5A/7 -A -A Segnale a 8 livell i

24 Caratterizzazione del rumore 24 Il rumore termico è inevitabile Il rumore può essere caratterizzato mediante la densità di probabilità dell ampiezza dei campioni La distribuzione del rumore è Gaussiana x 2 = Potenza media di rumore x Pr[X(t)>x ] =? t x e Pr[X(t)>x ] x x

25 Probabilità di errore 25 Un errore accade se il valore di rumore supera un determinato valore di ampiezza Si osservi che la Prob. di avere grandi valori di rumore decade rapidamente con la distribuizione Gaussiana In una trasmissione a M livelli di un segnale di ampiezza [- A;A], la separazione tra livelli adiacenti è uguale a = 2A/(M-) La probabilità d errore (P e ) è data dalla probabilità che il rumore superi il valore /2 o sia inferiore a -/2 P e x x 2 e dx e dx e 2 x 2 dx 2Q 2

26 Probabilità di errore 26 Tabulando la funzione precedente si ha Pr[X(t)> ].E+.E-.E-2.E-3.E-4.E-5.E-6 6.E-7.E-8.E-9 E-.E-.E-.E /2

27 Capacità limite di Shannon 27 Dato un canale con banda W e rumore Gaussiano e fissato un valore di S/N, il massimo rate di trasmissione raggiungibile per cui è ottenibile un BER arbitrariamente piccolo è dato da C=Wlog 2 (+S/N)bit/s Si ottiene un BER arbitrariamente am piccolo mediante un opportuna Codifica di Linea

28 Esempio 28 Si consideri un canale con banda W=3 khz e si utilizzi una trasmissione a 8 livelli. Si confronti il bit rate (R) ottenibile con la capacità limite di Shannon a SNR=2 db R = 2*3 impulsi/sec * 3 bit/impulso = = 8 kbit/s 2 db SNR significa log S/N = 2, quindi S/N = La capacità limite di Shannon è quindi C = 3 log 2 (+) = 9,963 bits/second