GRAFICO DI FUNZIONI GONIOMETRICHE

Transcript

1 GRAFICO DI FUNZIONI GONIOMETRICHE y = A* sen x ( ω + ϕ ) Prerequisiti e Strumenti Obiettivi Tempi di lavoro Problema stimolo Descrizione consegne Verifica e valutazione

2 Prerequisiti Prerequisiti disciplinari: grafico e principali proprietà delle funzioni x e y = cos x ; conoscenza dei termini traslazione e dilatazione. Prerequisiti da altre discipline: saper giustificare l utilizzo della funzione in altri ambiti; padroneggiare il concetto di energia, il concetto di frequenza, e le nozioni base riguardanti il moto circolare uniforme. Prerequisiti generali: saper utilizzare correttamente il programma Derive. Strumenti necessari: programma applicativo Derive. Obiettivi Obiettivi disciplinari: comprensione del significato geometrico dei termini ampiezza, pulsazione, sfasamento; comprensione degli effetti sul grafico delle trasformazioni considerate; capacità di costruire il grafico di una funzione del tipo studiato; intuire le principali caratteristiche di una funzione a partire dalla sua rappresentazione grafica. Obiettivi generali: capacità di dedurre regole generali dall analisi grafica dei singoli casi trattati anche in ambiti disciplinari diversi; potenziamento della capacità di utilizzare il metodo sperimentale. Tempi di lavoro Lezioni in classe: Lavoro a casa: Verifica: Totale: 7 ore ora ore 0 ore

3 Problema stimolo Le onde sonore: sperimentazione con software programmato in Labwiev che riproduce istantaneamente il grafico di un suono ( Oscilloscopio.vi ). Altro materiale è reperibile in rete alle pagine /suono.htm /suoniarmonici.htm /consonanze.htm Descrizione delle consegne ) ore classe intera Analizzare il materiale distribuito e osservare le caratteristiche più rilevanti della funzione analizzata. Effettuare dei collegamenti con le funzioni già note. ) ore lavoro individuale al PC Utilizzando il programma Derive, tracciare il grafico delle funzioni indicate. Confrontare ognuna di esse con la funzione x. Dedurre dai grafici il significato delle operazioni sulla funzione. x y = senx Domande poste ai ragazzi: Il grafico della funzione y=senx e quello della funzione y=-senx hanno lo stesso periodo? Se hanno lo stesso periodo, le due onde che rappresentano le due funzioni hanno anche la stessa.. (frequenza). Le due onde hanno anche la stessa ampiezza? Le due onde presentano uno sfasamento? Il grafico della funzione y=-sex può essere ottenuto da quello della funzione y=senx con una trasformazione del piano? Quale (simmetria rispetto all asse delle x)?

4 x y = + senx Domande poste ai ragazzi: Il grafico della funzione y=senx e quello della funzione y=+senx hanno lo stesso periodo? Se hanno lo stesso periodo, le due onde che rappresentano le due funzioni hanno anche la stessa.. (frequenza). Le due onde hanno anche la stessa ampiezza? Le due onde presentano uno sfasamento? Il grafico della funzione y=+senx può essere ottenuto da quello della funzione y=senx con una trasformazione del piano? Quale (traslazione lungo l asse delle y di un vettore traslazione v ( 0,) )? C è un legame tra l ordinata del punto in cui il grafico della funzione y=+senx interseca l asse delle y e quella del vettore traslazione? Come ti aspetti che sarà il grafico della funzione y=-+senx rispetto a quello della funzione y=senx (le due onde avranno ancora lo stesso periodo e la stessa ampiezza? Quale trasformazione del piano occorrerà applicare al grafico della funzione y=senx per ottenere quello della funzione y=-+senx? Controlla se quello che ti aspetti è esatto tracciando con Derive il grafico della funzione y=-+senx. x x

5 Domande poste ai ragazzi: Il grafico della funzione y=senx e quello della funzione y=senx hanno lo stesso periodo? Se non hanno lo stesso periodo, le due onde che rappresentano le due funzioni non hanno neanche la stessa.. (frequenza). Più precisamente, poiché l onda che rappresenta la funzione y=senx ha periodo doppio rispetto a quella che rappresenta la funzione y=senx, la frequenza della prima sarà (metà) della seconda. Di conseguenza, il suono legato alla y=senx sarà più acuto rispetto a quello legato alla y=senx. Le due onde hanno la stessa ampiezza? Il grafico della funzione y=senx può essere ottenuto da quello della funzione y=senx con una trasformazione del piano? Quale (dilatazione lungo l asse delle x)? C è un legame tra la dilatazione che occorre applicare e il rapporto tra il periodo della funzione y=senx e quello della funzione y=senx? Come ti aspetti che sarà il grafico della funzione y=senx rispetto a quello della funzione y=senx (quale sarà il rapporto tra il periodo della seconda e quello della prima? Ed il rapporto tra le loro frequenze? E l ampiezza rimarrà la stessa? Quale trasformazione del piano occorrerà applicare al grafico della funzione y=senx per ottenere quello della funzione y=senx? Controlla se quello che ti aspetti è esatto tracciando con Derive il grafico della funzione y=senx. x x Domande poste ai ragazzi: Il grafico della funzione y=senx e quello della funzione y=senx hanno lo stesso periodo? Se hanno lo stesso periodo, le due onde che rappresentano le due funzioni hanno anche la stessa.. (frequenza). Le due onde presentano un sfasamento? Le due onde hanno la stessa ampiezza? Di conseguenza, il suono legato alla y=senx sarà più forte rispetto a quello legato alla y=senx. Il grafico della 5

6 funzione y=senx può essere ottenuto da quello della funzione y=senx con una trasformazione del piano? Quale (dilatazione lungo l asse delle y)? C è un legame tra la dilatazione che occorre applicare e il rapporto tra l ampiezza della funzione y=senx e quello della funzione y=senx? Come ti aspetti che sarà il grafico della funzione y=senx rispetto a quello della funzione y=senx (il periodo sarà ancora lo stesso? Ed il rapporto tra l ampiezza dell onda che rappresenta la funzione y=senx e quella che rappresenta l onda y=senx quale sarà? Quale trasformazione del piano occorrerà applicare al grafico della funzione y=senx per ottenere quello della funzione y=senx? Controlla se quello che ti aspetti è esatto tracciando con Derive il grafico della funzione y=senx. x ( ) Domande poste ai ragazzi: Il grafico della funzione y=senx e quello della funzione hanno lo stesso periodo? Se hanno lo stesso periodo, le due onde che rappresentano le due funzioni hanno anche la stessa.. (frequenza). Le due onde hanno anche la stessa ampiezza? Le due onde presentano uno sfasamento? Di quanto (,0, pari alla minima ascissa positiva dei punti di intersezione del grafico della funzione con l asse della x)? Il grafico della funzione può essere 6

7 ottenuto da quello della funzione y=senx con una trasformazione del piano? Quale v,0 (traslazione lungo l asse delle x di vettore traslazione )? Come ti aspetti che sarà il grafico della funzione rispetto a quello della funzione y=senx (il periodo sarà ancora lo stesso? E l ampiezza? Quale trasformazione del piano occorrerà applicare al grafico della funzione y=senx per ottenere quello della funzione )? Controlla se quello che ti aspetti è esatto tracciando con Derive il grafico della funzione. 7

8 ) ore lavoro di gruppo Costruire su carta il grafico delle seguenti funzioni eseguendo un passaggio alla volta ed indicando la trasformazione effettuata. y = cosx y = sen ) ore classe intera Schematizzazione del lavoro svolto 5) ora lavoro a casa Esercizi di applicazione 6) ore lavoro individuale Verifica 8

9 Verifica e valutazione È stato predisposto un esempio di verifica che permetta di valutare: il raggiungimento degli obiettivi minimi intesi come applicazione di una singola trasformazione; il raggiungimento di buone capacità operative; la capacità di descrivere con proprietà di linguaggio come si determina il grafico ottenuto dalla composizione di più trasformazioni (raggiungimento dell eccellenza). Verifica ) Costruire il grafico delle seguenti funzioni: a) x (punti 0,9) b) (punti 0,9) c) y = cosx (punti 0,9) d) x + (punti,5) e) y = cos x (punti 0,6) f) y = cos 6x (punti,5) g) y = cos ( punto) ) Il grafico delle funzioni x e x è lo stesso? Motivare esaurientemente la risposta. ( punti ) Punteggio minimo:. L Unità di apprendimento è stata elaborata dalle professoresse Paola Cerrocchi, Paola Previdi, Federica Manaresi. 9

10 Riportiamo alcune osservazioni dell insegnante Federica Manaresi, componente del gruppo di lavoro all interno del Laboratorio didattico, sulla sperimentazione in classe dell unità di apprendimento. La sperimentazione ha riguardato durante l anno scolastico 00/005 la classe IVB del Liceo della Comunicazione Toniolo che è formata da alunni. L attività in laboratorio ha interessato molto i ragazzi, probabilmente anche perché essi possedevano già ottime conoscenze nell utilizzo del Pc ed alcuni avevano già utilizzato, in una precedente occasione, il programma applicativo Derive. È stato necessario svolgere una lezione preliminare sui principali comandi di Derive ma i ragazzi non hanno mostrato nessuna diffidenza nei confronti del nuovo programma. Ogni ragazzo ha avuto a disposizione un Pc per sé. È stata seguita la scansione temporale delle attività prevista dal progetto; si è ritenuto opportuno che i ragazzi, dopo aver risposto verbalmente alle domande poste loro dall insegnante, scrivessero le osservazioni fatte come annotazioni ad ogni grafico, in modo tale da poterle ritrovare alla successiva lezione. Il fatto che quasi tutti gli alunni non possedessero a casa il programma applicativo Derive non ha rappresentato alcun ostacolo. Anche coloro che non hanno assistito alle prime lezioni, perché assenti, non hanno avuto alcuna difficoltà a recuperare, grazie al supporto dei compagni. Gli alunni si sono mostrati curiosi, attivi e partecipi. L esito della verifica è stato poi sorprendente (vedasi grafico). Si ritiene che un elemento indispensabile per la riuscita dell esperienza sia la possibilità di lavorare in una classe poco numerosa o con pochi alunni alla volta perché altrimenti è impossibile per l insegnante rispondere in breve tempo alle domande di tutti e gli alunni potrebbero perdere interesse. È necessario, inoltre, che gli alunni siano in grado di operare con sicurezza con il Pc, pur eventualmente non conoscendo Derive. Esito verifica Voto < 5,5 5,5-6,5 6,6-7,5 7,6-8,5 8,6-0 0