Cognome. Nome. matricola. Matematica Finanziaria a.a Prof. Ragni Ferrara 05 luglio 2017

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1 Matematca Fnanzara aa Prof Ragn Ferrara 05 luglo 2017 Cognome Nome matrcola Frma e posta elettronca (solo per ch non s è regstrato sul sto) NOTA BENE: s accetta una sola correzone nel gruppo d quest 1 Un captale C vene mpegato a regme msto a tasso composto e tasso semplce 1 = 2% per tre ann e se mes fno a crescere del 4% Determnare l tasso (a) =0,95% (b) =1,12% (c) =0,98% (d) =1,05% 2 Un mpresa ha un credto S a forte rscho d nsolvenza scadente tra due ann Lo cede ad un azenda specalzzata che paga l valore attuale del solo 10% d S, a sconto composto e tasso =1%, po nveste l rcavato per due ann a regme composto e tasso 1 Nel frattempo, l azenda, scadut due ann, resce a ncassare l 10,1% d S Per quale tasso 1 le due operazon sono fnanzaramente equvalent? (a) 1 = 1,65% (b) 1 = 1,50% (c) 1 = 1,40% (d) 1 = 1,58% 3 Il valore attuale d una rendta é par a 4580, mentre l tasso annuo composto é = 5% Se la rendta frutta dodc rate costant par a 500 ne prm dodc ann e una rata fnale R l tredcesmo anno, determnare R (a) R = 285,78 (b) R = 271,78 (c) R = 279,78 (d) R = 290,78 4 Se versate una rata R=1500 per quattro semestr consecutv a tasso annuo composto =2,5%, quale captale v rtroverete dopo esattamente cnque semestr? (a) 6188,67 (b) 6195,67 (c) 6180,67 (d) 6193,67 5 Un prestto d vene rmborsato n 10 ann a rata annua costante R con tasso =2% ne prm 5 ann e 1 = 2,5% ne rmanent 5 ann A quanto ammonta R? (a) R=1125,80 (b) R=1115,90 (c) R=1130,80 (d) R=1120,90 6 S acqusta un BOT con vta resdua d 8 mes a prezzo A = 940, nomnale N = 1000, alquota fscale al momento della scadenza par ad α>0 e rendmento netto asscurato par a r N = 1,5% Determnare α (a) 5,06% (b) 5,01% (c) 4,96% (d) 5,15% 7 Dovete sceglere, n base al crtero del TIR, tra due nvestment: a seguto d un versamento d 100, l prmo v garantsce un guadagno d 143 dopo 2 ann a fronte d un ulterore versamento d 43 dopo un anno, mentre l secondo v garantsce solo una cedola fnale par ad a dopo 2 ann Stablre per qual a>0 l secondo è mglore del prmo Rsposta:

2 8 Un mpresa ha contratto un mutuo d ammontare 1000 al tasso annuo d nteresse composto =4% Ne due ann successv ha versato due rate d ammortamento par a 420 cascuna a) Calcolare l debto resduo D 2 che l mpresa ha dopo le prme due rate versate b) L mpresa chede alla banca fnanzatrce d poter estnguere l suo debto con due versament ugual par a R nel terzo e quarto anno La banca accetta, ma porta l tasso annuo al 5% Stlare l pano completo n funzone d R e po determnare R (approssmata alle prme due cfre decmal) c) Determnare la quota captale C 3, compresa nel versamento d ammontare R d) Dmostrare che a tale pano corrsponde un tasso costante (per tutto l perodo) compreso tra l 4,1% e l 4,2% Svolgmento Teora Dmostrare perché l regme semplce, per una durata t, scomponble n t 1 e t 2 tal che t 1 + t 2 = t, con tasso annuo arbtraro x, non è scndble

3 Soluzone prmo questo S ha che M= C(1+) n (1+α 1 ), ove n=3, mentre α=0,5 e 1 = 0,02 Se ponamo M= 1,04C, la precedente equazone dvene 1,04=(1+) 3 (1+ 1 /2) Se ora rcavamo algebrcamente, s trova che Se nserte dat, s trova che = 0,98% 1,04 = 3 1+0,02 0,5 1 Soluzone secondo questo Se l mpresa cede all azenda specalzzata l suo credto S secondo l accordo descrtto, l valore attuale che realzza é (1+) 2, ove α = 0,1 e = 0,01 Se l mpresa renveste per due ann a regme composto e tasso 1 tale rcavato, realzzerá l seguente montante: (1+) 2 (1+ 1) 2 Pertanto, l equazone da mpostare é ove β=0,101, da cu ossa, nserendo dat, 1 = 1,50% (1+) 2 (1+ 1) 2 = βs, 1 = β α (1+) 1, Soluzone terzo questo Questa rendta é costante e perodca (ossa standard) per prm dodc ann, po camba la rata al tredcesmo anno Pertanto, l valore attuale A = 4580 d questa rendta s puó scrvere come la somma della attualzzazone d una rendta standard, per cu esste una nota formula, e della sngola rata R relatva al tredcesmo anno, ossa A=500 1 (1+) 12 + R 1 (1+) 13, con =0,05 Se s rcava R, dopo qualche semplce passaggo algebrco, s trova: R = A(1+) (1+)13 (1+) = 279,78 Soluzone quarto questo S deve calcolare l montante all epoca t= 5 d una rendta cu versament sono par a R=1500 alle epoche t= 1,2,3,4: tenete conto che tutte le epoche sono ntese n semestr e che l tasso semestrale é denotato S Allora, secondo una ben nota formula che fornsce l montante d una rendta standard, l montante dopo quattro semestr, chamato M 4, é dato da M 4 = 1500 (1+ s) 4 1 S, ossa, dopo la conversone da semestrale ad annuo del tasso, secondo la solta formula s = 1+ 1, s ha che M 4 = 1500 (1+) Tuttava, l montante fnale, chamato M 5, corrsponde alla captalzzazone d M 4 per un ulterore semestre, ossa M 5 = M 4 (1+ s )=M 4 1+=1500 (1+) = 6188,67

4 Soluzone qunto questo Tale pano puó essere vsto come l unone d due mn -pan alla francese con tasso =0,02 ne prm cnque ann e 1 = 0,025 ne rmanent cnque Il valore attuale del prmo mn-pano é, secondo la ben nota formula, A 1 = R 1 (1+) 5, mentre l valore attuale del secondo mn-pano, ove questa volta attuale sgnfca che é rferto al qunto anno (per questo metteremo l astersco nel smbolo), é analogamente dato da A 2 = R 1 (1+ 1) 5 1 Per rportare A 2 all epoca zero (rcordando che l tasso é ne prm cnque ann), basta fare Ora s ha che D 0 = 10000=A 1 + A 2, ossa da cu Inserendo dat, s trova che R = 1120,90 A 2 = A (1+) 5 = R 1 (1+ 1) 5 Il rendmento netto n questo caso é nserto nella formula 1 (1+) 5 ( 1 (1+) 5 D 0 = R + 1 (1+ 1) 5 (1+) 5), 1 ( 1 (1+) 5 R=D (1+ 1) 5 (1+) 5) 1 1 Soluzone sesto questo N(1 α)=a(1+r N t), ove t = 2/3 Se s vuole rcavare α, s ha che α=1 A N (1+r N t) Inserendo dat, s ha che α=0,0506=5,06% Soluzone settmo questo La prma operazone ha un dscounted cash-flow (DCF) par a G 1 (x)= x (1+x) 2 Il suo TIR s ottene dall unca soluzone fnanzaramente accettable dell equazone G 1 (x)=0, che é par a zero In base al crtero del TIR, qund, la seconda operazone fnanzara, che ha DCF par a G 2 (x)= 100+ a (1+x) 2, sará pú convenente se l suo TIR é maggore d zero, l che s vede faclmente equvalere alla condzone a>100

5 Soluzone ottavo questo a) Abbamo l seguente pano d ammortamento fno all epoca t = 2: t C k I k R k D k ,20 24, ,80 dunque D 2 = 224,80 b) S deve completare l pano d ammortamento fno all epoca t = 4, n cu l debto vene estnto: t C k I k R k D k ,20 24, ,80 3 R 11,24 11,24 R 236,04 R 4 1,05R 11,802 11,802 0,05R R 0 Poché D 4 = D 3 C 4 e D 4 = 0, abbamo che D 3 C 4 = 0, ossa D 3 = C 4 Allora ottenamo la seguente equazone n R: 236,04 R=1,05R 11,802 da cu R = 120,90 c) Abbamo che C 3 = R 11,24=109,66 d) Per sapere a quale tasso costante avre ottenuto lo stesso pano, m basta mpostare la condzone d chusura fnanzara, ossa R k (1+) k = 1000, 4 k=1 ove R k, per k = 1,,4, sono le rate effettvamente pagate La formula precedente rsulta una equazone nell ncognta : per dmostrare che la soluzone d tale equazone é compresa tra valor ndcat, chamate e notate che (a) f(0)>0; f()= 4 k=1 (b) f()<0 per molto elevat; R k = (1+) k (1+) (1+) ,90 (1+) ,90 (1+) (c) f() é monotona decrescente (lo s vede faclmente calcolando la dervata d f()) Pertanto la soluzone che cerco é unca e sccome, attraverso lungh ma banal calcol, s verfca che f(0,041)>0, mentre f(0,042)<0, ho dmostrato che l unca soluzone che sto cercando é necessaramente compresa tra due valor d ndcat Soluzone questo teorco Da una parte s ha C(1+xt) e dall altra C(1+xt 1 ) (1+xt 2 ) La scndbltá equvale al fatto che le due quanttá precedentemente scrtte concdano, nvece s ha che C(1+xt)< C(1+xt 1 ) (1+xt 2 ), che equvale faclmente alla banale dsuguaglanza x 2 t 1 t 2 > 0