CAPITOLO 6 CAMPI MAGNETICI

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1 CAPITOLO 6 CAMPI MAGNETICI

2 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Magnetismo: proprietà osservata fin dall antichità in alcuni minerali (es. MAGNETITE) di attirare la limatura di ferro

3 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Proprietà di attrazione non uniforme Localizzata in determinate parti del magnete POLI DEL MAGNETE

4 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo) 1. Come per le forze di natura elettrostatica: Un magnete GENERA UN CAMPO MAGNETICO Forza attrattiva o repulsiva POLI POSITIVI e POLI NEGATIVI I poli di UNO STESSO MAGNETE sono sempre di SEGNO OPPOSTO Non ci sono cariche elettriche in azione!

5 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo) 2. Una bacchetta di ferro immersa nel campo magnetico generato dalla magnetite si MAGNETIZZA Magnete artificiale o calamita Se molto piccolo: Ago magnetico

6 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo) 3. Ago magnetico si comporta come un DIPOLO MAGNETICO che lasciato libero si orienta nella direzione e verso del campo magnetico TERRESTRE esistente in quel punto Polo NORD: si orienta verso il nord geografico, segno POSITIVO Polo SUD: segno NEGATIVO

7 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo) 4. Interazione tra poli dello stesso segno: REPULSIVA; Interazione tra poli di segno opposto: ATTRATTIVA Per poli puntiformi (es. sbarra lunga e sottile): Andamento della FORZA MAGNETICA risulta inversamente proporzionale al quadrato della distanza

8 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo) 5. Esperimento della calamita spezzata: I poli magnetici sembrano esistere sempre a COPPIE di egual valore e segno opposto Non esiste il MONOPOLO magnetico (polo magnetico isolato), ma vi sono solo DIPOLI MAGNETICI Differenza fondamentale tra forza elettrica e magnetica!

9 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Osservazioni sperimentali (Gilbert XVI secolo) 6. I granelli di limatura di ferro si dispongono in modo ORDINATO lungo linee REGOLARI Ciascun granello magnetizzato diventa dipolo magnetico e si orienta parallelamente al campo magnetico stesso LINEE DI CAMPO MAGNETICO

10 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Interazione magnetica Vettore campo magnetico: Verso: dal polo Sud al polo Nord Proprietà delle linee di campo magnetico analoghe a quelle del campo elettrostatico Punto: campo uscente Croce: campo entrante S magnetico N geografico x x x x x S geografico

11 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Elettricità e magnetismo Osservazioni sperimentali 1. Un filo percorso da corrente elettrica produce un campo magnetico (Oersted XIX secolo) La limatura di ferro evidenzia le linee di campo attorno al filo i 2. Due fili percorsi da corrente interagiscono tra loro (Ampère XIX secolo) Le azioni magnetiche sono una manifestazione dell interazione tra cariche elettriche in MOVIMENTO i 1 i 2 i 1 i 2 F F F

12 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Forza magnetica su una carica in moto Come prima cosa, investighiamo gli effetti di un campo magnetico esterno su particelle cariche in movimento (particelle isolate o correnti). Una carica di massa m e carica q in moto con velocità v e immersa in un campo magnetico risente della forza di Lorentz: F = q v Modulo della forza: F = q v senθ Forza perpendicolare sia a v che a No componente tangenziale Forza sempre centripeta Forza compie sempre lavoro nullo L energia cinetica della particella in Moto SI CONSERVA +q q F F θ θ v v

13 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Forza magnetica su una carica in moto Forza magnetica ORTOGONALE a Contrariamente a quanto succede per il campo elettrico, in cui la forza elettrostatica risulta PARALLELA a E Unità di misura del campo magnetico Tesla (T), 1 T Gauss (G) = 10 4 T (meno utilizzata) UNITÀ DI MISURA T

14 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Forza magnetica su un conduttore percorso da corrente Densità di corrente in un conduttore F j = n e v d n = N/V: n o elettroni liberi per unità di volume e: carica elementare v d : velocità di deriva Se il conduttore è immerso in un campo magnetico, ciascun elettrone risente della forza di Lorentz i ds F = e v d Nel caso di un conduttore filiforme di lunghezza ds e sezione Σ ottengo dunque df = i ds dove V = Σds SECONDA LEGGE ELEMENTARE DI LAPLACE

15 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Forza magnetica su un conduttore percorso da corrente Nel caso di un filo conduttore indeformabile di lunghezza finita percorso da una corrente stazionaria, si ottiene P e Q: estremi del filo Q F = i P ds può variare in modulo, direzione e verso, ma è costante su ciascuna SEZIONE del filo

16 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Forza magnetica su un conduttore percorso da corrente 1. Filo rettilineo e costante: F F = i l i l Modulo: F = i l senθ 2. Filo curvo in un piano e costante F = i PQ ds Q La forza sul filo non dipende dalla sua forma P

17 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Esercizio 6.1 In un circuito chiuso a forma di semicirconferenza di raggio R fluisce una corrente di intensità i. Il circuito è contenuto nel piano xy con il tratto rettilineo PQ parallelo all asse x ed è immerso in un campo magnetico uniforme parallelo all asse y. 1. Calcolare la forza magnetica sul tratto rettilineo e su quello curvo. y i R x P O Q

18 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Momenti meccanici su circuiti piani In generale, si consideri la forza magnetica come una FORZA RISULTANTE di un sistema di forze applicate in punti diversi Può provocare uno spostamento (Teorema del moto del centro di massa) Inoltre, il sistema di forze può avere MOMENTO RISULTANTE non nullo Può provocare una rotazione Consideriamo CIRCUITI PIANI RIGIDI percorsi da corrente e immersi in CAMPO MAGNETICO UNIFORME FORZA RISULTANTE NULLA Il circuito non si sposta e non si deforma MOMENTO RISULTANTE può essere DIVERSO DA ZERO Rotazione del circuito

19 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Momenti meccanici su circuiti piani Spira rettangolare PQRS di superficie Σ = ab orientata secondo u n e percorsa da una corrente i, immersa in un campo magnetico uniforme P F 1 F 4 i Q a F 1 M θ u n x F 2 S i M u n θ R i F 3 b b senθ F 2

20 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Momenti meccanici su circuiti piani Spira rettangolare PQRS di superficie Σ = ab orientata secondo u n e percorsa da una corrente i, immersa in un campo magnetico uniforme P F 1 F 4 i Q a F 1 M θ u n x F 2 S i M u n θ R i F 3 b b senθ F 2

21 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Momenti meccanici su circuiti piani Si definisca il MOMENTO MAGNETICO della spira m = i Σ u n Il momento MECCANICO vale dunque M = m = i Σ u n Relazione valida per qualunque spira piana Modulo: M = i Σ senθ Se la spira è composta da N avvolgimenti sovrapposti: Relazione va moltiplicata per N θ: angolo tra u n e. Se m (ovvero se la spira è perpendicolare al campo magnetico), allora M = 0. Se θ = 0 si parla di equilibrio STAILE Analogia con il dipolo elettrico per cui M = p E

22 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Momenti meccanici su circuiti piani Si consideri un asse di rotazione parallelo a M e sia I il momento d inerzia della spira rispetto all asse. Si supponga di SPOSTARE la spira dalla posizione di equilibrio stabile di un angolo I piccolo. Il momento meccanico della spira vale M = msenθ mθ Segno indica che il momento richiama la spira verso la posizione di equilibrio Ricordando il teorema del momento angolare: M = dl dt = Iα = I d2 θ dt 2 Che ha soluzione d2 θ dt 2 + ω2 θ = 0 Avendo definito ω = m I e T = 2π I i Σ Pulsazione e periodo delle oscillazioni armoniche della spira

23 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Momenti meccanici su circuiti piani Definiamo l energia POTENZIALE per il dipolo magnetico: U P = m = m cosθ = i Σ cosθ Analogia con il dipolo elettrico per cui U e = p E Relazione tra momento meccanico ed energia potenziale: M = du P = m senθ dθ Analogia con il dipolo elettrico per cui U e = p E cosθ Forza su un dipolo magnetico in un campo magnetico variabile = x u x Se m concorde a d dx > 0 F(x) = m d dx

24 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Effetto Hall Si consideri una sottile lamina conduttrice di sezione Σ = ab percorsa da corrente di intensità i (e densità j) diretta lungo l asse x ed immersa in campo magnetico diretto lungo l asse y z y a + + Q E H b E el j x P

25 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Effetto Hall La densità di corrente j = i ab u x = n e v D Ha lo stesso verso qualunque sia il segno dei portatori Su ciascun portatore agisce la forza di Lorentz F = e v D Tale forza NON è di natura elettrostatica! Nel grafico precedente, tale forza è diretta lungo l asse z Si può definire dunque un campo elettrico DI ORIGINE MAGNETICA: E H = F e = v D = j n e

26 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Effetto Hall CAMPO ELETTROMOTORE o CAMPO DI HALL: E H = v D Campo ELETTRICO di origine MAGNETICA Campo NON CONSERVATIVO E H diretto lungo l asse z Deflessione nel moto delle cariche Accumulo di cariche di segno opposto sulle facce ortogonali a E H L accumulo di cariche da origine ad un campo elettrostatico E el Tale campo si oppone all accumulo (e sarà quindi di verso opposto a E H ) Se e > 0 (portatori positivi): E H concorde all asse z Se e < 0 (portatori negativi): E H discorse all asse z

27 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Effetto Hall Alla luce di queste considerazioni, possiamo andare ad indicare i nuovi campi elettromotore ed elettrostatico nel grafico precedente, insieme con le distribuzioni di carica sulle superfici superiore ed inferiore z y a + + Q E H e > 0 b E el j x P

28 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Effetto Hall Situazione di equilibrio E H + E el = 0 La tensione del campo elettromotore Ɛ H = Segno + se e > 0, segno se e < 0 Modulo: Sonda di Hall P Q E H dz = E H PQ = ± E H b Ɛ H = E H b = j i b b = ne ab ne = Effetto Hall TRASVERSALE i n e a Misuratori di campo magnetico: = n e a V i = V α dove α = i n e a

29 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Moto di una particella carica in campo magnetico Supponendo un campo magnetico uniforme e una velocità iniziale v della particella carica ortogonale a : Forza di Lorentz (centripeta!) risulta anch essa ortogonale, e devia continuamente il moto della particella carica: F = qv = ma n = m v2 r Moto CIRCOLARE uniforme con RAGGIO DI CURVATURA costante r = mv q = p q Traiettoria: arco di cinconferenza o circonferenza completa se la particella rimane entro la zona con q F C v

30 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Moto di una particella carica in campo magnetico VELOCITÀ ANGOLARE della particella: ω = v r = q m ω = q m ω Sempre PARALLELA a Carica negativa Moto ANTIORARIO Carica positiva Moto ORARIO q ω x ω x x x x x + +q PERIODO DEL MOTO circolare uniforme: T = 2π m q +q x x x x x q + x ω ω x x x x x x x x x x In generale, se è presente una iniziale componente della velocità in direzione del campo magnetico, questa componente non viene modificata ed il moto risultante è ELICOIDALE

31 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Moto di una particella carica in campo magnetico Espressione completa della forza di Lorentz: F = q E + v Da essa si ricava la legge del moto di particelle cariche in campo magnetico in presenza contemporanea di campo elettrico Dispositivi che deducono alcune proprietà delle particelle stesse: Spettrometri, Ciclotroni, Sincrotroni, etc. Es.1: Spettrometro di massa A parità di energia cinetica e di carica: a masse diverse corrispondono velocità diverse, dunque raggi diversi. Misurando il raggio risalgo al valore del rapporto m/q

32 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Moto di una particella carica in campo magnetico qv E + v + qe V Es.2: Selettore di velocità Campi E e con direzioni perpendicolari tra loro («incrociati»). Se v perpendicolare a : v = E I campi incrociati permettono di effettuare MISURE DI VELOCITÀ delle particelle cariche

33 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Esercizio 6.2 Un fascio di elettroni viene accelerato da fermo con una differenza di potenziale V = 500 V e inviato in una regione in cui agisce un campo magnetico uniforme, perpendicolare alla direzione di volo degli elettroni. Gli elettroni descrivono una circonferenza di raggio r = 10 cm. 1. Determinare il valore di.

34 Elisabetta issaldi (Politecnico di ari) - A.A Esercizio Si calcolino l intensità e la direzione di necessari a far levitare un filo di rame avente densità per unità di lunghezza ρ L = g e percorso da una m corrente i = 15 A uscente nel foglio come in figura. ii mg