Analisi Matematica 2. Michele Campiti. Prove scritte di. Ingegneria Industriale a.a

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1 Michele Campiti Prove scritte di Analisi Matematica 2 Ingegneria Industriale a.a Grafico della funzione f(x, y) := sin(2x 2 y) cos(x 2y 2 ) in [ π/2, π/2] 2 Raccolta delle tracce di Analisi Matematica 2 per Ingegneria classe Industriale Facoltà di Ingegneria, Università del Salento

2 1 16 gennaio 2015, A 1. Studiare la sviluppabilità in serie di Fourier della funzione periodica di periodo 2π definita come segue: e scrivere la sua serie di Fourier. f(x) = sin x cos x, x 2 + y 1 + x 2 dx dy, + y2 dove = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1, y x}. 3. eterminare il massimo e il minimo assoluto della f(x, y) = y 2 2xy nel settore circolare del cerchio di centro 0 e raggio 1 contenuto nel primo quadrante e delimitato dalle rette y = 3x e x = Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y (4) 5y 36y = e 3x.

3 2 16 gennaio 2015, B 1. Studiare la sviluppabilità in serie di Fourier della funzione periodica di periodo 2π definita come segue: e scrivere la sua serie di Fourier. f(x) = cos 2x, x + y x 2 dx dy, + y2 dove = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1, y 0}. 3. eterminare il massimo e il minimo assoluto della f(x, y) = x 2 2xy nella corona circolare di centro 0 e raggi 1 e Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y (4) 4y + 5y 4y + 4y = e 2x.

4 3 6 febbraio 2015, A 1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni: f n (x) = nxe nx, n N, x R. e x y dx dy, dove è il triangolo di vertici (0, 0), (2, 0) e (1, 2). 3. eterminare il massimo e il minimo assoluto della f(x, y) = e xy nell insieme = {(x, y) R 2 x 2 y 9}. { x y y = x sin x y 3, y(1) = 1.

5 4 6 febbraio 2015, B 1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni: f n (x) = x n enx, n 1, x R. e y x dx dy, dove è il triangolo di vertici (0, 0), (0, 2) e (2, 1). 3. eterminare il massimo e il minimo assoluto della f(x, y) = e xy nell insieme = {(x, y) R 2 x 2 y 9}. { y + x y = x 3 y 2, y(1) = 1.

6 5 19 febbraio 2015, B 1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente serie di funzioni e calcolarne eventualmente la somma: f n (x) = + n=0 n x e nx2, x R. log(x 2 + y 2 ) x 2 (x 2 + y 2 dx dy, ) dove = {(x, y) R 2 x 0, 0 y x, 1 x 2 + y 2 4}. 3. eterminare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della f(x, y) = 1 + x y2 1 + x 2 + y 2. { y = 2x 3 (1 + y 2 ), y(0) = 1.

7 6 8 giugno 2015, A 1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie di Fourier della funzione 2π-periodica: e calcolarne i coefficienti. f(x) = x x, π < x π, x 2 y dx dy, dove = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 4, x 2 + y 2 x 0}. 3. eterminare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della f(x, y) = log xy x. y y = x 2, y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = 0.

8 7 8 giugno 2015, B 1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della serie di Fourier della funzione 2π-periodica: e calcolarne i coefficienti. f(x) = x + x, π < x π, xy 2 dx dy, dove = {(x, y) R 2 x 0, x 2 + y 2 1, x y2 1}. 3. eterminare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della f(x, y) = log xy y. y y = x 3, y(0) = 1, y (0) = 0, y (0) = 0.

9 8 22 giugno 2015, A 1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente serie di funzioni: + ( 1) n arctann x n + 1 n=0 e calcolarne la somma nell insieme di convergenza. 2. Calcolare la lunghezza della curva φ : [π/6, π/3] R 2 definita ponendo, per ogni t [0, 1]: φ(t) = (log(sin t), t). 3. eterminare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della f(x, y) = sin(2x y) nel dominio = {(x, y) R 2 0 x 3, 0 y x}. { y y = x 2 y 2, y(0) = 1.

10 9 22 giugno 2015, B 1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente serie di funzioni: + ( 1) n n sin n x. n=1 e calcolarne la somma nell insieme di convergenza. 2. Calcolare la lunghezza della curva φ : [π/6, π/3] R 2 definita ponendo, per ogni t [0, 1]: φ(t) = (log(cos t), t). 3. eterminare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della f(x, y) = cos(2x y) nel dominio = {(x, y) R 2 0 x 2, 0 y 2 x}. { y + y = xy 2, y(0) = 1.

11 10 7 luglio 2015, B 1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni: f n (x) = arctan x n arctan(nx), n 1, x R. 2. Calcolare la lunghezza della curva φ : [0, 2π] R 3 definita ponendo, per ogni t [0, 2π]: φ(t) = (t, t sin t, t cos t). 3. eterminare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della f(x, y) = x 2 y e 2x y nel quadrato di vertici ( 1, 1), (1, 1), (1, 1) e ( 1, 1). 4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y y = xy 4.

12 11 8 settembre 2015, B 1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni: n 2 x 2, x [ 0, n] 1, f n (x) = 1 n 2 x 2, x ] 1 n, + [. ire se si può usare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale negli intervalli [0, 1] e [1, 2]. x 2 y dx dy, dove è il sottoinsieme limitato di R 2 delimitato dall asse x e dalla parabola y = x eterminare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della f(x, y) = x e xy nel triangolo di vertici (0, 1), ( 2, 1), (2, 1). 4. Trovare le soluzioni della seguente equazione differenziale: y = y2 x 2 xy.

13 12 23 settembre 2015, B 1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni: f n (x) = x sin n x, x [ π, π]. x x 2 + y 2 dx dy, dove = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 1, x y 3x}. 3. eterminare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della f(x, y) = x e xy in R 2. { x 2 y = xy 2y 2, y(1) = 1.

14 13 26 ottobre 2015, B 1. Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della seguente successione di funzioni: f n (x) = 4n arctan n x π n, x R. x 2 y dx dy, dove = {(x, y) R 2 1 x 1, 0 y 1 x 2 }. 3. eterminare massimi e minimi relativi ed eventualmente assoluti della f(x, y) = x log(x 2 + y 2 ) nella corona circolare compresa dalle circonferenze di centro 0 e raggi 1 e 2. y (3) 2y + y = e x, y(1) = 1, y (1) = 0, y (1) = 0.