Calcolo Numerico Laurea di base in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni

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1 Calcolo Numerico Laurea di base in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni Prof.ssa L. Pezza (A.A ) IV Lezione del laura.pezza 1

2 Equazioni non lineari Il problema: determinare le soluzioni o radici, dell equazione non lineare f(x) = 0 cioè quei valori ξ tali che f(ξ) = 0 (zeri della funzione ). I passi per risolvere numericamente il problema I. Separazione delle radici: per avere informazioni sulla dislocazione degli zeri di f II. Costruzione della successione {x n }: scegliere la legge per generare la successione in modo da garantire la convergenza a ξ; in pratica si vorrebbe anche una convergenza veloce III. Scelta dei criteri d arresto: l algoritmo iterativo è infinito si deve troncarlo. 2

3 Costruzione della successione: il metodo di bisezione Il metodo di bisezione o dicotomico si basa sul Teorema degli zeri. Ipotesi di applicabilità : i 1 E dato un intervallo, I = [a, b], di separazione della radice ξ di f(x) = 0 i 2 f(a)f(b) < 0. i 1 f C[a, b] e ξ è l unica radice in [a, b] i 2 ξ ha molteplicità dispari. 3

4 Step 1. Calcolare, x = (a + b)/2, (punto medio dell intervallo) Step 2. Se f(x ) 0 ( f(x ) = 0 x = ξ soluzione ), allora [a 1, b 1 ] = [x, b] se f(a)f(x ) > 0 [a, x ] se f(a)f(x ) < 0 I passi precedenti si applicano quindi di nuovo all intervallo [a 1, b 1 ] e poi iterativamente. 4

5 f(x) x 1 ξ x2 x a a 0 2 =a 1 b 2 b 1 =b 0 b 1 a 1 = b a 2, b 2 a 2 = b 1 a 1 2 = b a 2 2, 5

6 Il metodo costruisce quindi le successioni Proprietà delle successioni p 1 a k a k 1, b k b k 1, k p 2 p 3 a 0 = a, b 0 = b {a k }, {b k }, {x k }, k > 0 a k ξ b k, k elemento separatore b k a k = b a 2 k {a k }, {b k } (monotone, limitate) a k approssimazioni per difetto b k approssimazioni per eccesso 6

7 Convergenza del metodo di bisezione Errore di troncamento: e k = x k ξ e k = x k ξ < b k a k = b a 2 k 0 (Convergenza) Ordine di convergenza: e k+1 = 1 2 e k (asintoticamente) Ordine p = 1, costante asintotica C = 1 2 Ad ogni passo l errore viene dimezzato, = ad ogni passo si guadagna una cifra binaria per guadagnare una cifra decimale servono 3-4 iterazioni. 7

8 Stima del numero di iterate e k b a 2 k e k ε se (C.S.) b a 2 k ɛ k log(b a) log(ɛ) log 2 Condizione d arresto b k a k < ε, ε tolleranza prefissata. 8

9 Esempio f(x) = x 3 x 1, [a, b] = [1, 2] Stima delle iterate: ɛ = 10 8 : 2 k 10 8 k 26.6 a 26 = < ξ < = b 26 x = , e 27 = 0.75e 08, f(x 27 ) = 0.17e 07 9

10 Esercizio Data l equazione f(x) = x 3/2 2 log(x ) = 0 I. Separare le radici con un intervallo di ampiezza non superiore a 0.5 II.Stimare quante iterate sono sufficienti per ottenere un approssimazione alla 10 cifra decimale della radice maggiore con il metodo di bisezioni. I. f(x) = 0 f 1 (x) = x 3/2 = 2 log(x ) = f 2 (x), x 0. f 1, f 2 entrambe crescenti, f 1 > 0, x > 0, f 2 (0) < 0 10

11 Caso a: la potenza si mantiene sempre aldi sopra del logaritmo 5 Caso b: se la potenza incontra il logaritmo in un punto, allora gli due zeri sono necessariamente due f 1 è sempre sopra f 2 : non ci sono radici f 1 incontra f 2 in un punto: allora ci sono necessariamente 2 radici Per tabulazione si individuano le variazioni di segno: f(0) = 2 log 0.6 > 0, f(1.5) 0.2 < 0, f(3) 0.7 > 0 quindi esiste una radice ξ 1 [0, 1.5] e una radice ξ 2 [1.5, 3] 11

12 Affinamento dell intervallo (ampiezza 0.5) - Radice ξ 1 : f(0) > 0, f(1) > 0 ξ 1 [1, 1.5] - Radice ξ 2 : applichiamo bisezioni (f(1.5) < 0, f(3) > 0) n a k ( ) b k (+) x f(x ) Segue ξ 2 [2.25, 2.625] = [a 2, b 2 ] e b 2 a 2 = < 0.5. II. Stima del numero di iterate b a 2 k k log 2 log ( ) k

13 Costruzione della successione: metodo di Newton In un intorno I di ξ, si approssima f con una sua tangente (tecnica di linearizzazione) Equazione della tangente t a f nel punto (x, f(x)): t : y f(x) = f (x)(x x) y = f(x) {y = 0} t {y = 0}: x = x f(x) f (x) 13

14 Interpretazione geometrica del metodo di Newton Prima iterazione: Approssimazione iniziale: x 0 Intersezione di t 0 (tangente a f in (x 0, f(x 0 ))) con y = 0 x 1 = x 0 f(x 0) f nuova approssimazione di ξ (x 0 ) (x 0,f(x 0 )). f(x) t 0 ξ x 1 x 0 a x b 14

15 Seconda iterazione: Approssimazione iniziale : x 1 Intersezione di t 1 (tangente a f in (x 1, f(x 1 ))) con y = 0 x 2 = x 1 f(x 1) f nuova approssimazione di ξ (x 1 ) (x 0,f(x 0 )). f(x) (x,f(x )) 1 1. t 1 ξ x 1 t 0 x 0 a x b 15

16 La funzione d iterazione del metodo di Newton In generale, se f 0 almeno in un intorno di ξ x 0 assegnato x k = x k 1 f(x k 1) f, k = 1, 2,... (x k 1 ) Metodo del punto unito con funzione d iterazione: ϕ NR (x) = x f(x) f (x) 16

17 Il metodo di Newton: un esempio f(x) = 4x 3 5x Vogliamo approssimare ξ = 0 a) x 0 = t f(x). ξ f(x). ξ t 0 1 t a x b x 2k = 0.5 x 2k+1 = 0.5 a x b 17

18 b) x 0 = 0.35 k x k x k x k 1 f(x k ) e e e e e e

19 c) x 0 = 0.65 k x k x k x k 1 f(x k ) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

20 Cosa succede dal punto di vista geometrico x 0 = ξ 5 t x 0 è vicina ad un punto estremale: cercata. si esce dall intorno della radice La successione è convergente e quindi (Teorema 1) converge ad uno zero di f (diverso da 0) 20

21 Metodo di Newton: convergenza x k = ϕ NR (x k 1 ) = x k 1 f(x k 1) f (x k 1 ), k = 1, 2,... ; x 0 dato Teorema di convergenza 1. Sia ξ l unica radice di f(x) = 0 in [a, b], di molteplicità µ = 1 i 1 f C 2 [a, b] i 2 f (x) 0, x [a, b], x ξ. t 1 un intorno di ξ, I(ξ) [a, b] tale che x 0 I(ξ) il metodo di Newton converge con ordine di convergenza p 2 Nota. Se µ > 1 allora p = 1, C = 1 1 µ 21

22 Dim. i 1, i 2 ϕ NR (x) = f(x)f (x) [f (x)] 2 C0 [a, b], x ξ f (ξ) 0 ϕ NR C0 [a, b], ϕ NR (ξ) = 0 I(ξ) in cui ϕ NR (x) γ < 1 Il metodo converge per il teorema del punto fisso. Dal teorema dell ordine di convergenza p > 1. 22

23 Definizione. Sia f C 2 [a, b] tale che f(a)f(b) < 0, f (x) 0, x [a, b]. Si dice estremo di Fourier di f quello dei due estremi a, b per il quale risulta f( )f ( ) > 0. a b b a 23

24 a b b a I quattro casi possibili di estremo di Fourier 24

25 Teorema di convergenza 2. Sia data l equazione f(x) = 0 avente una radice ξ [a, b] e siano verificate le seguenti ipotesi i 1 f C 2 [a, b] i 2 f(a)f(b) < 0 i 3 f (x) 0, x [a, b]. allora t 1 ξ è l unico zero di f in [a, b] t 2 se x 0 coincide con l estremo di Fourier di f, {x k } generata dal metodo di Newton è monotona e convergente a ξ con ordine p = 2. 25

26 Esempio f(x) = 4x 3 5x = 0 (v. prima) Si ha f (x) = 24x > 0 x > 0 e f(x) > 0 x > 2 ogni valore di x > 2 è estremo di Fourier per la radice maggiore Nel caso x 0 = 0.65 si ha x = l estremo di Fourier Il m. di N. converge alla radice maggiore (Teor. di convergenza 2) Se si sceglie per esempio x 0 [ 0.4, 0.4] il m. di N. converge a ξ = 0 (Teor. di convergenza 1) NOTA: A priori è generalmenete impossibile sapere quanto x 0 deve essere vicino alla radice. 26

27 Esempio Si consideri l equazione f(x) = cos x xe x = 0 (v. Lezione precedente). Si vuole approssimare ξ [ π, π/2]. f (x) = cos x e x (x + 2) non è a segno costante in [ π, π/2]. Si applica il teor. di convergenza 1. x 0 = 3π/4 3 a iterate: 6 cifre decimali 4 a 14 cifre decimali (si conquistano tutte le cifre con cui si lavora): ξ = Verificate che per approssimare la radice positiva si può applicare il teor. di convergenza 2. 27