RACCOLTA DI ESERCIZI PER IL TUTORATO

Transcript

1 RACCOLTA DI ESERCIZI PER IL TUTORATO GIORGIO STEFANI Vi propongo questi esercizi per rafforzare la vostra preparazione per il corso del Professor Ricci. Se volete controllare l esattezza delle vostre soluzioni, potete portarle al nostro incontro settimanale oppure potete passare direttamente nel mio ufficio. Non scriverò le soluzioni di questi esercizi. Lo svolgimento di questi esercizi non è obbligatorio. Per ulteriori esercizi, vi consiglio i seguenti riferimenti: Esercizi e complementi di analisi matematica di E. Giusti, ed. Bollati Boringhieri, 1991, Voll. 1 e 2; Principi di analisi matematica di W. Rudin, ed. McGraw Hill, Aggiornerò questa raccolta a seconda delle vostre richieste e dell andamento del tutorato. Questa è la versione Teoria degli insiemi, topologia Esercizio 1.1. Ad un torneo partecipano n N squadre, n 3. Ogni squadra gioca una volta con ogni altra squadra. Se una squadra vince una partita guadagna un punto, se la perde guadagna zero punti. Sappiamo che ci sono tre squadre A, B, C tali che A sconfigge B, B sconfigge C e C sconfigge A. Dimostrare che alla fine del torneo ci sono almeno due squadre a pari punti. Esercizio 1.2. Siano A e B due insiemi e sia f : A B una funzione. Dimostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti. (1) La funzione f è iniettiva. (2) Per ogni coppia di sottoinsiemi X e Y di A tali che X Y =, si ha che f(x) f(y ) =. (3) Per ogni coppia di sottoinsiemi X e Y di A, si ha che f(x \ Y ) = f(x) \ f(y ). Esercizio 1.3. Si provi che gli insiemi A = N N e B = {2 n : n N} hanno la medesima cardinalità. Esercizio 1.4. Siano (X, τ), (X, τ ) due spazi topologici con intersezione non vuota tali che τ X X = τ X X. Dimostrare che esiste una topologia σ sull insieme X X tale che σ X = τ, σ X = τ. Dimostrare che, in generale, una tale topologia non è unica. 1

2 2 G. STEFANI Esercizio 2.1. Calcolare il seguente limite 2. Successioni e limiti 2n 2 + 3n 4 lim n 3n cos n e verificare il risultato usando la definizione di limite. Esercizio 2.2. Calcolare il valore L R {± } del seguente limite ( L = n lim n n2 n ) e verificare la correttezza del risultato usando la definizione di limite. Esercizio 2.3. Sia (a n ) n N una successione reale positiva, a n > 0 per ogni n N. Supponiamo che esista finito il limite Provare allora che anche a n+1 L = n lim. a n lim n n an = L. Esercizio 2.4. Al variare di b R con b > 0, studiare la convergenza della successione (a n ) n N definita da a n = 1 ( ) 2n, n N. b n n 2πn( n e ) n Esercizio 2.5. La formula di Stirling afferma che lim n = 1. In questo esercizio proviamo una versione debole di questo risultato. Dimostrare che per ogni naturale n! n 2 si ha che ( ) 0 < log(n!) (n log n n + 1) < log n. Usare questa stima per calcolare lim n n n! n. Hint: provare ( ) stimando opportunamente n 1 log x dx. Esercizio 2.6. Sia α R, α 0. Definiamo la successione (a n ) n N ponendo a 0 = α, a n+1 = a2 n + α 2a n, n N. Provare che (a n ) n N è convergente e calcolarne il limite.

3 RACCOLTA DI ESERCIZI PER IL TUTORATO 3 Esercizio 2.7. Siano a, b, c R strettamente positivi. Supponiamo che, per ogni n N, esista un triangolo T n con lati di lunghezza a n, b n, c n. Dimostrare che T n è isoscele per ogni n N. Esercizio 2.8. Data una successione (a n ) n N di numeri reali, si dice che il prodotto infinito converge se n lim a k = lim a 0 a 1 a n n n k=0 esiste finito. Si dimostrino le seguenti due affermazioni. (1) Se n=0 a n converge ad un numero reale non nullo, allora lim n a n = 1. (2) Sia a n 1 per ogni n N. Allora n=0 a n converge se e solo se la serie n=0 (a n 1) converge. 3. Serie numeriche Esercizio 3.1. Studiare la convergenza delle seguenti serie numeriche: log n a) n ; b) 1 ; c) n log(2n + 1) 4 n 3 n + 5 n ; d) (n!) 2 2 n2. Esercizio 3.2. Calcolare esplicitamente la somma delle seguenti serie: 1 a) n 2 + 2n ; b) n 2 ; c) 1 n sinh(2 n ). Esercizio 3.3. Determinare esplicitamente una successione reale (a n ) n N strettamente positiva e infinitesima tale che per ogni n N renda vera la disuguaglianza n 1 k 2 a n. 2 k=1 Esercizio 3.4. Studiare la convergenza della serie 2 nx (n + 1) n+2 al variare di x R. (n + 3)! Esercizio 3.5. Sia α R. (1) Si dica per quali α 0 la serie 1 (n 1,n 2 ) N 2 (n 1 +n 2 converge. +1) α (2) Si dica per quali α 0 la serie 1 (n 1,n 2,n 3 ) N 3 (n 1 +n 2 +n 3 converge. +1) α (3) Sia k N, k 2. Si dica per quali α 0 la serie 1 (n 1,n 2,...,n k ) N k (n 1 +n 2 + +n k +1) α converge.

4 4 G. STEFANI Esercizio 3.6. Sia (a n ) n N R una successione di numeri reali tali che a n 0 e a n+1 a n per ogni n N. Sia (I n ) n N N una successione di numeri naturali tali che I n+1 > I n per ogni n N. Assumiamo che esista una costante M 0 tale che I n sup M, n N I n 1 dove I n = I n+1 I n è l incremento finito di I n al variare di n N. Dimostrare allora che la serie n N a n è converge se e solo se la serie n N a In I n è convergente. Esercizio 3.7. Sia (a n ) n N R una successione di numeri reali tali che a n > 0 e a n+1 a n per ogni n N. Dimostrare le seguenti due affermazioni. (1) Se sup a n <, allora le serie n N ( ) ( n N 1 a n a n+1 ) e n N ( ) an+1 1 a n sono convergenti. (2) Se sup a n =, allora le serie in ( ) sono divergenti, ma la serie n N a n+1 a n ( ) a p 1 n a n+1 n N è convergente per ogni p (1, ). Esercizio 3.8. Siano (a n ) n N R e (b n ) n N [0, ) due successioni. Supponiamo che la serie a n sia convergente; la serie b n sia divergente; la serie A n b n sia convergente, dove A n = n a k per ogni n N. Calcolare il valore di a n. k=1 4. Disuguaglianze Esercizio 4.1. Sia n N, n 2. Dati x 1,..., x n numeri reali non negativi, provare che ( n 1 n ) 2 4 x i x i+1 x i. i=1 i=1 Esercizio 4.2. Sia n N e siano x 1, x 2..., x n 0. (1) Dimostrare che vale la disuguaglianza x 1 + x x n (x 1 x 2 x n ) 1/n, n con uguaglianza se e solo se x 1 = x 2 = = x n.

5 RACCOLTA DI ESERCIZI PER IL TUTORATO 5 (2) Dimostrare che, in realtà, vale la disuguaglianza x 1 + x x n (x 1 x 2 x n ) 1/n + 1 n ( x i x) 2, n n i=1 ove x = (x 1 x 2 x n ) 1/n, con uguaglianza se e solo se x 1 = x 2 = = x n. (3) Sia n 2. Dimostrare che vale la disuguaglianza x 1 + x x n (x 1 x 2 x n ) 1/n 1 + ( x i x j ) 2, n n(n 1) con uguaglianza se e solo se x 1 = x 2 = = x n. 1 i<j n Esercizio 4.3. Sia α R, α 1. Per ogni x > 1, dimostrare che (1 + x) α 1 + αx. Hint: ridursi al caso α Q e usare l Esercizio 4.2. Esercizio 4.4. Sia n N. Per ogni reale 0 x 1, dimostrare che (1 x) n nx. Esercizio 4.5. Sia α R. Dimostrare che per ogni n N esistono p, q Z tali che 1 q n e α p q < 1 nq. Esercizio 4.6. Sia α (0, 1]. Dimostrare che 1 x α α(1 x) per ogni x [0, 1]. 5. Spazi metrici e funzioni Lipschitziane Esercizio 5.1. Sia (X, d X ) uno spazio metrico e siano A, B X. Provare che (1) A B = A B; (2) A B A B, con inclusione che può essere stretta. Esercizio 5.2. Siano (X, d X ) e (Y, d Y ) due spazi metrici. Sia f : X Y una funzione biiettiva e continua. Dimostrare che, se lo spazio metrico (X, d X ) è compatto, allora la funzione inversa f 1 : Y X è continua. Esercizio 5.3. Sia (X, d X ) uno spazio metrico completo e sia (K n ) n N una successione di sottoinsiemi chiusi non vuoti di X tali che (1) K n+1 K n per ogni n N; (2) lim n diam(k n ) = 0.

6 6 G. STEFANI Dimostrare che esiste un unico x X tale che K n = {x}. Qui e nel seguito, il diametro di un insieme A X è definito ponendo diam(a) = sup d X (x, y). Cosa succede se, invece x,y A di lim diam(k n ) = 0, assumiamo che lim diam(k n ) > 0? n n Esercizio 5.4. Sia (X, d X ) uno spazio metrico con la seguente proprietà. Per ogni successione (K n ) n N di sottoinsiemi chiusi non vuoti di X tali che (1) K n+1 K n per ogni n N; (2) n lim diam(k n ) = 0; esiste un unico x X tale che K n = {x}. Dimostrare che (X, d X ) è completo. Esercizio 5.5. Sia (X, τ X ) uno spazio topologico e sia (K n ) n N una successione di sottoinsiemi compatti non vuoti di X tali che Dimostrare che K n. K n+1 K n per ogni n N. Esercizio 5.6. Sia (X, d) uno spazio metrico. Diciamo che A X è recintato in X se vale la seguente proprietà: per ogni x X esiste a x A tale che d(x, a ) = d(x, a x ) + d(a x, a ) a A. In tal caso, diciamo che a x è un cancello per x in A. (1) Provare che X e che ogni singoletto di X sono sottoinsiemi recintati in X (detti recintati banali). Costruire uno spazio metrico (X, d) contenente almeno un sottoinsieme recintato non banale. È vero che ogni spazio metrico contiene sempre un sottoinsieme recintato non banale? (2) Provare che, se A è recintato in X, allora A è chiuso in X. (3) Sia A recintato in X. Provare che, per ogni x X, esiste un unico cancello di x in A. Dimostrare inoltre che la funzione π A : X A, che associa ad ogni punto il suo cancello in A, è continua e soddisfa d(π A (x), π A (y)) d(x, y) x, y X. (4) Siano A 1, A 2 X due recintati in X. Poniamo B 1 = π A1 (A 2 ) e B 2 = π A2 (A 1 ). Dimostrare che B 1 e B 2 sono due sottospazi metrici chiusi di X tra loro isometrici. Esercizio 5.7. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A X. Sia L > 0 e sia {f i : i I} una famiglia di funzioni f i : A R L-Lipschitziane su A, cioè tali che Provare che le funzioni f i (x) f i (y) L d(x, y) x, y A, i I. A x inf f i(x) e A x sup f i (x) i I i I

7 RACCOLTA DI ESERCIZI PER IL TUTORATO 7 sono L-Lipschitziane su A se sono finite in almeno un punto. Esercizio 5.8. Sia (X, d) uno spazio metrico e sia A X. Sia L > 0 e sia f : A R una funzione L-Lipschitziana su A, cioè tale che Dimostrare le seguenti due affermazioni. f(x) f(y) L d(x, y) x, y A. (1) Esiste una funzione F : X R L-Lipschitziana su X tale che F A = f. (2) Esistono due funzioni m, M : X R L-Lipschitziane su X tali che m A = M A = f con la seguente proprietà: se F : X R è una funzione L-Lipschitziana su X tale che F A = f, allora m F M su X. Hint: usare l Esercizio 5.7. Esercizio 5.9 (Teorema delle contrazioni). Sia (X, d) uno spazio metrico completo. Sia λ (0, 1) e sia T : X X una λ-contrazione, cioè d(t (x), T (y)) λ d(x, y) x, y X. Provare che esiste un unico x X tale che T (x) = x. Esercizio Sia (X, d) uno spazio metrico compatto e sia T : X X tale che d(t (x), T (y)) < d(x, y) x, y X, x y. Provare che esiste un unico x X tale che T (x) = x. Esercizio Sia (X, d) uno spazio metrico e sia T : X X una mappa continua. Assumiamo che (1) T (X) è un sottoinsieme compatto di X; (2) per ogni ε > 0, esiste x ε X tale che d(t (x ε ), x ε ) < ε. Dimostrare che esiste x X tale che T (x) = x. Esercizio Sia X un insieme e sia (Y, d Y ) uno spazio metrico. Sia ϕ: X Y una funzione iniettiva. Definiamo la funzione d ϕ : X X [0, ) ponendo d ϕ (x, x ) = d Y (ϕ(x), ϕ(x )) x, x X. Dopo aver verificato che (X, d ϕ ) è uno spazio metrico, si dimostri che (X, d ϕ ) è completo se e solo se (ϕ(x), d Y ) è completo.

8 8 G. STEFANI Esercizio Sia (X, d) uno spazio metrico. Per ogni funzione f : X R, definiamo la sup-norma di f. Dimostrare che l insieme f = sup f(x) [0, ] x X C b (X; R) := {f : X R : f C(X; R), f < } dotato della sup-norma, è uno spazio di Banach. Esercizio Sia (X, d) uno spazio metrico. Dimostrare che esiste Φ: X C b (X; R) tale che Φ(x) Φ(y) = d(x, y) x, y X. Esiste un unica mappa Φ con questa proprietà? Esercizio Sia (X, d) uno spazio metrico. Supponiamo che Card(X) <. Definiamo T (X) l insieme di tutte le funzioni f : X R tali che (a) per ogni x, y X, vale f(x) + f(y) d(x, y); (b) per ogni x X, esiste y X tale che f(x) + f(y) = d(x, y). Per ogni f, g T (X), poniamo δ(f, g) = max f(x) g(x). Dimostrare che esiste una x X mappa Φ: X T (X) tale che δ(φ(x), Φ(y)) = d(x, y) x, y X. Esercizio Sia f : R R una funzione iniettiva e continua. Provare che esistono (finiti o infiniti) i limiti f(+ ) := lim t + f(t), Definiamo la funzione d: R R [0, + ) ponendo f( ) := lim f(t). t d(x, y) := f(x) f(y), x, y R. Verificare che lo spazio (R, d) è metrico. Provare che, se almeno uno tra f(+ ) e f( ) è finito, allora lo spazio (R, d) non è completo; in tal caso, trovarne il completamento. Esercizio Dimostrare che, a meno di isometrie, il completamento di uno spazio metrico è un sottoinsieme chiuso di uno spazio di Banach. Esercizio Sia (X, d) uno spazio metrico e sia x 0 X fissato. Parte 1. Definiamo LC(x 0 ) l insieme delle funzioni f : X R tali che (a) esiste k > 0 tale che f(x) f(y) k d(x, y) per ogni x, y X; (b) vale f(x 0 ) = 0.

9 Per ogni f LC(x 0 ), poniamo RACCOLTA DI ESERCIZI PER IL TUTORATO 9 f := sup { f(x) f(y) d(x, y) : x y, x, y X Dimostrare che (LC(x 0 ), ) è uno spazio lineare normato. Parte 2. Definiamo LC (x 0 ) l insieme di tutte le funzioni lineari l : LC(x 0 ) R tali che l := sup{ l(f) : f 1, f LC(x 0 )} < +. Dimostrare che (LC (x 0 ), ) è uno spazio di Banach. Parte 3. Definiamo la mappa Φ: X LC (x 0 ) ponendo Φ(x) := δ x, dove Dimostrare che δ x (f) = f(x) f LC(x 0 ), x X. Φ(x) Φ(y) = d(x, y) x, y X. Parte 4. Dedurre che esiste un completamento dello spazio (X, d). Parte 5. Dimostrare che due completamenti di (X, d) sono sempre isometrici. }. Esercizio Dimostrare che ogni spazio metrico compatto è separabile. Esercizio 5.20 (Teorema di Baire). Sia (X, d) uno spazio metrico completo e sia (A n ) n N una successione di aperti densi in X. Dimostrare che A n è un insieme denso in X. n N 6. Funzioni, continuità Esercizio 6.1. Dimostrare che esistono delle funzioni f n, f : R R, n N, tali che (1) lim n f n (x) = f(x) per ogni x R; (2) per ogni a < b +, la convergenza al punto (1) non è uniforme su (a, b). Esercizio 6.2. Sia I R un intervallo chiuso e sia f : I R una funzione derivabile. Allora f ha la proprietà dei valori intermedi: se a, b I e a < b, allora per ogni y compreso tra f (a) e f (b) esiste x (a, b) tale che f (x) = y. Esercizio 6.3 (Teorema di Ascoli-Arzelà). Sia (X, d) uno spazio metrico compatto e sia C(X; R) lo spazio delle funzioni continue su X a valori reali dotato della norma uniforme. Dimostrare che F C(X; R) è compatto se e solo se è chiuso e si ha che (i) per ogni x X, vale sup f(x) < ; f F (ii) per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che, per ogni f F, d(x, y) < δ = f(x) f(y) < ε, x, y X.

10 10 G. STEFANI Esercizio 6.4 (Teorema di Dini). Sia (X, d) metrico compatto e siano f, f n : X R, n N, funzioni continue su X tali che (i) per ogni x X, si ha lim n f n (x) = f(x); (ii) per ogni x X e per ogni n N, vale f n (x) f n+1 (x). Dimostrare che la convergenza al punto (i) è uniforme. Esercizio 6.5. Sia f : [0, ) R una funzione tale che, per ogni x [0, ), si abbia lim f(nx) = 0. n Dimostrare che, se f è continua, allora lim f(x) = 0. x Dimostrare che il viceversa è falso. Hint: usare il Teorema di Baire (Esercizio 5.20). 7. Funzioni di più variabili, calcolo differenziale Esercizio 7.1. Una funzione f : R n \ {0} R si dice (positivamente) omogenea di grado α R se f(tx) = t α f(x) per ogni x 0 e t > 0. Data f C 1 (R n \ {0}), dimostrare che f è omogenea di grado α se e solo se, per ogni x 0, si ha f(x), x = αf(x). Esercizio 7.2. Sia K R n un insieme compatto con interno non vuoto, int(k). Sia f : K R una funzione tale che (1) f è continua su K; (2) f è differenziabile su int(k); (3) f è costante su K. Dimostrare che esiste almeno un punto x int(k) tale che f(x) = 0. Esercizio 7.3. Si consideri lo spazio X = C([0, 1]) dotato della sup-norma. Provare che, per α > 0, la mappa T : X X definita ponendo x T (f)(x) = e αx e αt f(t)dt ha un unico punto fisso in X. 0 Esercizio 7.4. Sia f : R R una funzione con costante di Lipschitz L = Lip(f) < 1. Dimostrare che la funzione F : R 2 R 2 definita come F (x, y) = (x + f(y), y + f(x)), (x, y) R 2, è iniettiva e suriettiva. È vero che F 1 : R 2 R 2 è Lipschitziana?

11 RACCOLTA DI ESERCIZI PER IL TUTORATO 11 Esercizio 7.5. Si consideri lo spazio X = C([0, 1]) dotato della sup-norma. Definiamo la mappa F : X R ponendo F (φ) = φ(t) 2 dt, φ X. Dimostrare che F è differenziabile in ogni φ X e calcolare df (φ) L(X; R). Esercizio 7.6. Siano p 1,..., p n+1 R n tali che gli n vettori siano linearmente indipendenti. p 1,..., p n+1 è l insieme S(p 1,..., p n+1 ) = p 2 p 1, p 3 p 1,..., p n+1 p 1 Allora il simplesso n-dimensionale generato dai punti { n+1 i=1 λ i p i : λ i 0, n+1 i=1 λ i = 1 Dimostrare che S(p 1,..., p n+1 ) è omeomorfo ad una palla chiusa. }. Esercizio 7.7. Sia S = S(p 1,..., p n+1 ) R n un simplesso n-dimensionale come definito nell Esercizio 7.6. Un sottosimplesso k-dimensionale, con 0 k n 1, di S è un simplesso S generato da k + 1 punti distinti scelti nell insieme {p 1,..., p n+1 }. I sottosimplessi (n 1)-dimensionali di S sono detti facce di S. Una suddivisione simpliciale P(S) di S è una partizione di S in simplessi più piccoli (detti celle di S) tale che ogni coppia di celle o è disgiunta, o ha un sottosimplesso k-dimensionale, con 0 k n 1, in comune. Una colorazione propria di P(S) è una mappa dai vertici della suddivisione P(S) nell insieme di colori {1, 2,..., n + 1} tale che i vertici di S abbiano n + 1 colori diversi e i vertici di P(S) appartenenti ad una faccia (n 1)-dimensionale di S siano colorati usando solo i colori dei vertici di S che generano quella faccia. Si dimostri il seguente risultato. Lemma (Sperner, 1928). Sia S R n un simplesso n-dimensionale e sia P(S) una suddivisione simpliciale di S. Per ogni colorazione propria di P(S), esiste un numero dispari di celle arcobaleno, cioè celle di P(S) i cui vertici hanno tutti colori diversi. Hint. Provare il caso n = 1 separatamente e poi procedere per induzione su n 2. Indicati con A il numero di celle arcobaleno in P(S); Q il numero di celle in P(S) con vertici colorati con tutti e soli i colori {1, 2,..., n}; F il numero di facce (n 1)-dimensionali contenute nella frontiera di S con vertici colorati con tutti e soli i colori {1, 2,..., n}; D il numero di facce (n 1)-dimensionali contenute nell interno di S con vertici colorati con tutti e soli i colori {1, 2,..., n}; dimostrare che F è dispari e A + 2Q = F + 2D.

12 12 G. STEFANI Esercizio 7.8. Sia n R n il simplesso n-dimensionale generato dai punti (0, 0,..., 0), (1, 0,..., 0), (0, 1,..., 0),..., (0, 0,..., 1) e sia P una suddivisione simpliciale di n (vedi Esercizi 7.6 e 7.7). Sia f : n n una funzione continua tale che f(x) x per ogni x n. Dimostrare che la funzione c dai vertici delle celle in P a valori in {1, 2,..., n+1} definita ponendo i se i {1, 2,..., n} è il minimo indice tale che f i (x) < x i, c(x) := n + 1 altrimenti. per ogni vertice x di una cella in P è una colorazione propria di P. Esercizio 7.9 (Teorema di Brouwer, 1911). Sia B R n una palla chiusa. Se f : B B è continua, allora esiste x B tale che f(x) = x. Hint: procedere per assurdo e applicare l Esercizio Equazioni differenziali ordinarie Esercizio 8.1 (Teorema di Cauchy-Lipschitz generalizzato). Siano Ω R R d un insieme aperto, (t 0, x 0 ) Ω e f C 0 (Ω; R d ). Supponiamo che esistano δ, ε > 0 tali che e, per ogni (t, x), (t, y) U δ,ε, si abbia U δ,ε := [t 0 δ, t 0 + δ] B ε (x 0 ) Ω f(t, x) f(t, y) L(t) x y, dove L: [t 0 δ, t 0 + δ] [0, + ) è una funzione con integrale convergente t0 +δ L(t) dt < +. t 0 δ Dimostrare allora che il problema di Cauchy x (t) = f(t, x(t)) x(0) = x 0 ammette un unica soluzione locale. Esercizio 8.2. Consideriamo il seguente problema di Cauchy x = t + x, t 0, (P) x(0) = 0. (i) Dimostrare che il Teorema di esistenza e unicità locale nelle ipotesi Lipschitz non può essere applicato al problema (P). (ii) Dimostrare che ogni soluzione del problema (P) verifica x(t) 2 3 t3/2 per t 0. (iii) Dimostrare che il problema (P) ammette un unica soluzione locale in un opportuno sottoinsieme di C 0 ([0, δ]) per un qualche δ > 0 usando l Esercizio 5.9.