Capitolo 1 I fondamenti del FEM

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1 Capitolo 1 I fondamenti del FEM 1.1 Il percorso base Prima di avventurarci nel dettaglio nell utilizzo del programma Femap è bene fissare dei punti di riferimento tra i quali mi sembra doveroso individuare il percorso base che si segue nell utilizzazione di questi software. Il Femap è un preprocessore ed un postprocessore nonché un visualizzatore grafico che deve essere abbinato al vero e proprio programma di calcolo rappresentato dal Nastran. Dovendo eseguire un analisi le operazioni che andremo ad eseguire sarebbero le seguenti: Creazione del modello strutturale completo per mezzo del preprocessore Femap e relativa creazione di un file di INPU (in particolare si genera un file con estensione.nas); Fase di calcolo in cui il file di INPU è inserito ed elaborato dal Nastran che a sua volta produce un file di OUPU (con estensione.f06) dove sono contenuti i risultati. Oltre al file di OUPU vengono anche generati files di controllo delle operazioni eseguite con estensioni.f04,.op2,.log etc..; Il file di OUPU.f06 viene importato nel postprocessore Femap che essendo anche visualizzatore grafico provvede a mostrare su monitor i risultati ottenuti dall analisi. Di tutto il processo fin qui descritto deve restare ben chiaro che mentre l inserimento dati nel preprocessore è basata sull interazione fra uomo e macchina, la fase di calcolo rende l uomo estraneo all elaborazione. È quella che si definisce una scatola nera. Ci si affida ai risultati ottenuti in maniera assai critica in 1

2 Capitolo 1 I fondamenti F.E.M. quanto nella maggior parte delle occasioni gli errori sono derivanti dalla cattiva immissione dei dati da parte dell utente, ma può verificarsi il caso di un bug del software. L esosità del programma Nastran, a livello commerciale, viene a giustificarsi nel momento stesso che si deve certificare l affidabilità del calcolo effettuato in modo da assicurare all utente la veridicità del risultato ottenuto. 1.2 Il rapporto uomo-software Prima di ogni altra informazione in merito all inserimento dei dati bisogna ricordare il rapporto che esiste tra l utente e il software, L uomo è dotato di intelligenza mentre il programma è di base un insieme di sequenze 1 0 che esegue meccanicamente le operazioni da noi richieste. Questa apparente divagazione filosofica serve ad introdurre un concetto assai importante quello relativo alle unità di misura utilizzate nell inserimento dei dati e nella quantificazione del calcolo effettuato. Si ricordi che il programma non si intromette nella decisione del sistema metrico adottato, si deve quindi sceglierne uno, comunemente il sistema MKSA, e lo si utilizza fin in fondo con coerenza. Ad esempio nel caso in cui un modulo di Young del materiale 1 venga introdotto come GPa (EB1B=70 GPa) ed il modulo del materiale 2 come Pa (EB1B= Pa) si crea un mal condizionamento della matrice di rigidezza [K che porta ad un sicuro errore di calcolo (si ricorda inoltre che la matrice deve essere anche invertita nel calcolo degli spostamenti nodali). Con lo stesso spirito di coerenza si ragiona quando si interpretano i risultati. Se le dimensioni del corpo sono state immesse in metri ( m ) allora le deformazioni saranno ovviamente riportate in metri. Al fine di determinare la bontà del calcolo eseguito all interno del file di OUPU viene inserito un controllore numerico individuato dalla scrittura *** USER INFORMAION MESSAGE 5293 (SSG3A) LOAD SEQ. NO. EPSILON EXERNAL WORK E E+01 2

3 Affinché si abbia la tranquillità che il calcolo sia stato effettuato in maniera corretta con matrici ben condizionate il valore di EPSILON deve essere molto piccolo. Valori accettabili di tale parametro sono infatti quelli che risultano essere ε Per valori maggiori di quello indicato è necessario rimettere in discussione le scelte fatte per la costruzione del modello Ecco quindi come il discorso accennato nell introduzione riguardante il fatto di sapere leggere i risultati e saperli criticare a ragion veduta prende corpo qualificando, di necessità, l utente seduto dietro il monitor. 1.3 Finite Element Method F.E.M. Nel momento stesso che si effettuano delle operazioni seppur automatizzate grazie all utilizzo di un calcolatore, oggi ne esistono di potentissimi, bisogna a- vere il percorso logico e teorico da seguire ben chiaro in testa. Possedere questo schema consente all operatore di avere un controllore sul sistema in più, quindi offre la possibilità di comprendere almeno concettualmente il funzionamento di quella black box su cui non si può intervenire, ma di cui almeno concettualmente si può seguire il percorso operativo. A tale proposito riporto qui di seguito la consecuzione cronologica delle o- perazioni da svolgere per applicare il metodo F.E.M. anche se queste sono nascoste da schermate video e automatizzate dalla pressione di mille ed un pulsante. Riportiamo quindi le singole operazioni secondo la loro progressione temporale indicando se esse sono seguite dall utente o dal calcolatore: Discretizzazione della struttura in base alle sue caratteristiche geometriche (operazione che deve effettuare l uomo per realizzare un buon modello); S} Identificazione del comportamento dei singoli elementi in relazione ad una data teoria classica. Ad esempio si individuano gli elementi trave, piastra o guscio per poi trattarli di conseguenza (operazione dell uomo, da ciò dipende la bontà dell analista); Discretizzazione del comportamento dell elemento rappresentando le variabili cinematiche { attraverso un numero discreto di parametri definiti 3

4 P PP P Si P F FPP Capitolo 1 I fondamenti F.E.M. solo ed unicamente ai nodi della struttura { Δ } detti spostamenti nodali. Si ottiene quindi { S ( x, } = [ N( x, La matrice [ N( x, = [ Φ( x, [ Φ ( x, 1 funzioni continue e 1 [ Φ ( x, Ni Ni ( ) P, dove [ Φ ( x, sono sono funzioni continue calcolate in ogni nodo dell elemento, con sente di esprimere in ogni punto lo spostamento all interno dell elemento in funzione degli spostamenti nodali. Viene perciò definita come matrice di interpolazione degli spostamenti nodali (operazione del calcolatore); Espressione delle deformazioni in termini di spostamenti nodali { ε } = [ B ( x, (operazione eseguita dal calcolatore); Espressione, attraverso i legami costitutivi del materiale, degli sforzi in funzione delle deformazioni { σ } = [ C { ε } = [ C [ B( x, (operazione eseguita dal calcolatore); Espressione delle forze elastiche in termini di spostamenti nodali attraverso il principio dei lavori virtuali δl = { δε } { σ} dv δl = { δδ} [ B [ C [ B dv { δδ} = { δδ} [ K { δδ} V V ma sapendo che δl = { δδ } { R} si ottiene quindi che [ K { δ Δ } = {R sciuta come Legge di Hooke (operazione eseguita dal calcolatore); } cono- Concentrazione delle forze distribuite ai dell elemento in questione (operazione eseguita dal calcolatore); ( ) ricorda all attento lettore che questa matrice deve godere delle proprietà di Completezza e Compatibilità. Nel caso in cui entrambi questi due requisiti fossero presenti si direbbe che la matrice e quindi l elemento da essa descritto sarebbero Conformi. 4

5 Scrittura delle equazioni di equilibrio per l elemento (operazione eseguita dal calcolatore); Arrivati a questo punto si hanno tutte le informazioni per risolvere i sistemi di equazioni e trovare le incognite richieste dal problema in esame. Utilizzo dei risultati di calcolo al fine progettuale (solo e soltanto l uomo né è incaricato). Affinché il metodo F.E.M. sia applicabile vi è bisogno della rispondenza ad alcune ipotesi, di seguito riportate, da parte della matrice [ N ( x Ipotesi di completezza: si dice che [ N ( x, :, è completa quando si posso descrivere tutti gli stati di deformazione dell elemento compresi quelli di deformazione nulla e costante. Ipotesi di compatibilità: si afferma che [ N ( x, è compatibile quando ha 0 1 continuità di classe C nel caso di problemi di elasticità e di classe C nel caso di problemi di tipo flessionale. Serve a descrivere i requisiti di impenetrabilità e di non lacerazione degli elementi. Ipotesi di convergenza: se l elemento presenta i requisiti di completezza e compatibilità allora esso verrà detto Conforme e convergerà alla soluzione vera in modo monotono e velocemente. Nel caso in cui non rispondesse ad entrambi i requisiti allora convergerà in maniera più lenta e non monotona, ad esempio oscillando attorno alla soluzione vera. Esistono dei casi che pur essendo l elemento non conforme converge rapidamente alla soluzione, per cui si utilizzano anche questo tipo di elementi. È ora importante riuscire ad applicare queste informazioni e produrre dei risultati in modo tale da iniziare a comprenderne le regole, farle proprie ottimizzando man mano i risultati in modo da ottenerne sempre di più precisi. 5

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