Chi non risolve esercizi non impara la matematica.

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1 .7 esercizi 5.7 esercizi Chi non risolve esercizi non impara la matematica. La relazione f: { studenti del Versari-Macrelli } { classi del Versari-Macrelli } «lo studente è iscritto alla classe» è una funzione? È suriettiva? È iniettiva? È biunivoca? La relazione f: { bambini } { madri } «è figlio naturale di» è una funzione? È suriettiva? È iniettiva? È biunivoca? 3 La relazione f: { bambini } { donne } «è figlio naturale di» è una funzione? È suriettiva? È iniettiva? È biunivoca? 4 La relazione f: { Paesi dell Unione Europea } { capitali dei Paesi dell UE } «ha per capitale» è una funzione? È suriettiva? È iniettiva? È biunivoca? 5 La relazione f: { Regioni italiane } { mari italiani } «è bagnata da» è una funzione? Determina il dominio delle seguenti funzioni algebriche: 6 = = = = = = + 0 = = = = + ( 4) [ { R \ ± 3 }] [R \ {, 3 }] [ R \ { 5 [R] }] [R \ { 7, }] [R \ {, 0 }] [R \ { 0 }] [R \ { 7 }] [R \ { 7, }] [R \ {, 0, }] 6 = [R \ { 0, 4 }] 7 = 5 [ { R \ ± }] 5 8 = 4 9 = = 0 = 3 [R \ { }] [R \ { ±3 }] [R \ { 4, 5 }] [R \ { 0 }] = = + + [R \ {, 0 }] [R \ { 0 }] 4 = [R \ { 0 }] 5 = 6 [ 4 4] 6 = 5 [ 5 5] 7 = [ ] 8 = 0 [0 0] 9 = [ 5 6] 30 = [R] 3 = [ 5] + 3 = [ < 5 ] + 5

2 6 introduzione all analisi 5 33 = [0 5 3] 3 34 = [R \ {, 0 }] = [ > 3] = [ > 4] 4 37 = 5 + [ 5] 38 = + + [ ] 3 39 = [ < 4 3] = + 4 = = = 6 [ > 0] [ 8 < < ] [ > ] [, 3] 44 = 3 [R] 45 = 3 [R \ { 0 }] 46 = 3 8 [ < 4] 47 4 = [R \ { 4,, }] = [R \ {, 3, 4 }] 4 49 = [ < 0 < 4] 50 = 4 [ 4 ] + 5 = [ 0 > ] 8 [ 5 = < < < ] 4 53 = [ 7 < ] 4 54 = 4 + [ < > ] 55 = 3 [ 3 ] 3 Determina il dominio delle seguenti funzioni trascendenti. 56 = ln( ) [ > ] 57 = ln [R \ { }] 58 = ln( 5 + 6) [ < > 3] 59 = e [R] 60 = e [R \ { 0 }] 6 = e 4 [R \ { }] 6 Determina il dominio della funzione rappresentata nella figura 0a (il tratteggio indica che il grafico prosegue indefinitamente).

3 .7 esercizi 7 (a) (b) Figura 0: Lettura di un dominio sul grafico Soluzione. Il dominio è l insieme delle ascisse dei punti che appartengono al grafico della funzione. Per individuare il dominio per via geometrica immaginiamo di proiettare tutti i punti del grafico sull asse (figura 0b): otteniamo la semiretta costituita dai punti dell asse di ascissa minore o uguale a, compresa l origine della semiretta che ha coordinate (, 0). Perciò il dominio della funzione è l insieme dom f = { } 63 Determina il dominio delle funzioni rappresentate nella figura. (a) (b) (c) (d) (e) Figura : Lettura di domini sul grafico (f)

4 8 introduzione all analisi Determina il dominio, gli eventuali punti di intersezione con gli assi cartesiani e il segno delle seguenti funzioni: 64 = ( )( )( 3) intersezioni con gli assi: (, 0), (, 0), (3, 0), (0, 6) è positiva per < < > 3 65 = ( )( )(3 ) intersezioni con gli assi: (, 0), (, 0), (3, 0), (0, 6) è positiva per < < < 3 66 = intersezioni con gli assi: (, 0), (0, 0), (, 0) è positiva per < < 0 > 67 = intersezioni con gli assi: ( 74 ), 0, (0, 0), (, 0) è positiva per 7 4 < < 0 > 68 = intersezioni con gli assi: (±, 0), (±, 0), (0, 4) è positiva per < < < > 69 = intersezioni con gli assi: (± ) (, 0, (±, 0), 0, ) 4 4 è positiva per < < < > 70 = 5 3 intersezioni con gli assi: (0, 0), (±, 0) è positiva per < < 0 > 7 \ { 5, } = intersezioni con gli assi: (0, 0) è positiva per 5 < < 0 > 7 = = = = 4 \ { ± } intersezioni con gli assi: (, 0), (3, 0), ( 0, 3 ) 4 è positiva per < < < > 3 \ { } intersezioni con gli assi: ( 3, 0), (, 0), è positiva per 3 < < > ( 0, 3 ) dom f = { 0 } intersezioni con gli assi: (, 0) positiva per < > 0 \ { ± } intersezioni con gli assi: (0, 0) è positiva per < < 0 >

5 .7 esercizi 9 76 = = = = = = = = = + 85 = 3 86 = = = intersezioni con gli assi: (, 0), (0, ) è positiva per > \ { 5 } \ { } intersezioni con gli assi: (0, ) è positiva per > intersezioni con gli assi: (3, 0), (7, 0), è positiva per 3 < < 5 > 7 ( 0, ) 5 \ { ± } intersezioni con gli assi: (0, ) è positiva per < > \ { } intersezioni con gli assi: (0, 0), (4, 0) è positiva per 0 < < < < 4 \ {, } intersezioni con gli assi: (, 0), (, 0), (0, ) è positiva per < < < > \ { ± } intersezioni con gli assi: (, 0), (0, 4) è positiva per < > \ {, 4 } intersezioni con gli assi: (, 0), (3, 0), ( 0, 3 ) 8 è positiva per < < < 3 > 4 \ { 0, } non interseca gli assi è positiva per < 0 > \ { 0 } intersezioni con gli assi: (0, 0) è positiva per < 0 > intersezioni con gli assi: (0, 0) è positiva per > 0 \ {, 3 } intersezioni con gli assi: ( 3 ), 0, (0, ) è positiva per 3 < < > 3 dom f = { < > } intersezioni con gli assi: (±, 0) positiva per < >

6 30 introduzione all analisi (a) (b) (c) (d) (e) Figura : Funzioni pari e dispari (f) 89 = 4 dom f = { 0 < 4 } passa per l origine è positiva per 0 < < 4 90 Stabilisci se le seguenti funzioni sono pari, dispari o né pari né dispari: a. = + b. = 8 5 c. = d. = 8 6 e. = 4 f. = 5 3 g. = h. = 4 [Tre funzioni pari, tre dispari, due né pari né dispari] 9 Stabilisci se le funzioni aventi i grafici riportati nella figura sono pari o dispari. 9 In riferimento al grafico della funzione f rappresentato nella figura 3, rispondi alle seguenti domande. Qual è il dominio di f? Quanto vale f( 4)? E f(4)? Per quali valori f si annulla? In quali punti f interseca gli assi? f() è positivo o negativo? E f( )? La funzione è pari? È dispari? 93 Indica la risposta corretta.

7 .7 esercizi 3 Figura 3: Una funzione a. La funzione = + è definita: R R, C D per nessun valore reale di per ogni valore di, tranne = b. Data la funzione = si può affermare che: la variabile indipendente è C = ( + ) la funzione è intera di sesto grado D la funzione è sempre definita c. La funzione = + è definita: per tutti i valori di diversi da ± C R, 0 R D solo per > d. Quale delle seguenti rappresenta una funzione f tale che f( ) = 3 e f(3) =? = + = + 5 C = 5 D = e. La funzione = + è definita per: log( ) < > con C con D > f. Data la funzione f() = il suo dominio è: 0 0 C 0 < D 0 g. Data la funzione f( + ) = f() + e f() = quanto vale f()?

8 3 introduzione all analisi 0 C D 3 h. Il dominio di f() = ln(e ) è: > < 0 > C > e 3 D > 3 i. Data la funzione = si può affermare che: + per = non è definita C per = 5 è definita per = 0 non è definita D è definita solo per = ± j. Indica fra le seguenti l affermazione errata: la funzione = log( + ) è definita R la funzione = 3 è definita ovunque C la funzione = non è definita per = 8 7 D la funzione = 4 non è definita per = 3 94 Indica la risposta corretta. [Una risposta, tre, quattro C e due D] a. Data la funzione = + 5 indica quale affermazione è vera: è definita per 5 3 C è definita solo per 3 è definita per 5 3 D nessuna delle precedenti b. Data la funzione = log( + ) indica l affermazione falsa: per = 4 non è definita C per = 3 non è definita per = 4 non è definita D per = 5 è definita c. Data la funzione = log il suo dominio è > 0 5 indica quale affermazione è vera: + C il suo dominio è R il suo dominio è 0 D per = 0 vale = 0 d. La funzione f() = ln è positiva nell intervallo

9 .7 esercizi 33 (0, e ) (, ) C (0, + ) D (e, + ) e. Data la funzione f() = , il suo dominio è: R \ { 0 } C { < > 3 } R D R \ { } f. Per trovare il dominio di quale tra le seguenti funzioni si risolve la disequazione () 0? = () 3 () C = ln () D = () g. Il dominio della funzione = 9 è: ( 3, 3) [ 3, 3] C R \ { ± } D (, 3] h. Il dominio della funzione = + 5 è: R C > 0 < 5 > 0 D 5 0 i. La funzione f() = + 3 interseca l asse delle ascisse nel punto: + 4 (0, 3) (, 0) C ( 3, 0) D (3, 0) j. Il dominio della funzione = è: R C R \ {, 3 } { < > 3 } D { < < 3 } [Cinque risposte, tre, una C e una D] 95 Vero o falso? a. La funzione = è pari. V F b. La funzione = è dispari. V F c. Una funzione che non è pari è dispari. V F d. Una funzione pari è simmetrica rispetto all asse. V F e. Una funzione dispari è simmetrica rispetto all asse. V F [ affermazioni vere e 3 false]

10 34 introduzione all analisi 96 Indica la risposta corretta. a. La funzione = 9 : è sempre definita C è sempre positiva passa per l origine degli assi D non è definita per = 3 b. La funzione = 3 6 si annulla per: = = 0 C = D = 4 c. Quale tra le seguenti funzioni è pari? = 4 = 4/ C = 0 D = 3 d. Quale tra le seguenti funzioni è dispari? = 3 3 = 4/ C = 9 D = 3 e. Quale tra le seguenti affermazioni è falsa? Esistono funzioni simmetriche rispetto all asse C D Esistono funzioni simmetriche rispetto all asse Esistono simmetriche rispetto all origine Esistono funzioni né pari né dispari f. Quale tra le seguenti funzioni non interseca mai gli assi cartesiani? = + = + + g. Quale tra le seguenti funzioni ha come dominio R? C = + D = + = log( ) = + C = + D = + 97 La funzione = f() = è iniettiva? Soluzione. Poiché [Due risposte, due, una C e due D] f() = = ( )( 3) = f() = f(3) = 0 ci sono due valori distinti del dominio ( e 3) che hanno la stessa immagine (0): la funzione non è iniettiva.

11 .7 esercizi La funzione = f() = è suriettiva? Soluzione. Poiché 0 per ogni R, non esiste alcun tale che f() = : la funzione non è suriettiva. 99 Stabilisci se le curve rappresentate nella figura 4 sono funzioni o no. (a) Una funzione (b) Una relazione che non è una funzione Figura 4: Test delle rette verticali Soluzione. Data una curva nel piano cartesiano, si può stabilire se essa è il grafico di una funzione facendo il test delle rette verticali: una curva è il grafico di una funzione se e solo se nessuna retta verticale la interseca più di una volta. Quindi: la curva 4a è il grafico di una funzione (perché nessuna retta verticale la interseca più di una volta); la curva 4b non è il grafico una funzione (perché c è almeno una retta verticale che la interseca due volte). 00 Stabilisci se le funzioni f: R R rappresentate nella figura 5 sono iniettive, suriettive o biunivoche. Soluzione. Dato il grafico di una funzione f: R R si può stabilire se essa è iniettiva, suriettiva o biunivoca facendo il test delle rette orizzontali: una funzione è iniettiva se e solo se ogni retta orizzontale interseca il suo grafico al massimo una volta; una funzione è suriettiva se e solo se ogni retta orizzontale interseca il suo grafico almeno una volta; una funzione è biunivoca se e solo se ogni retta orizzontale interseca il suo grafico esattamente una volta.

12 36 introduzione all analisi (a) Una funzione iniettiva ma non suriettiva (b) Una funzione suriettiva ma non iniettiva (c) Una funzione né iniettiva né suriettiva (d) Una funzione biunivoca Figura 5: Test delle rette orizzontali Quindi: la funzione 5a è iniettiva (perché ogni retta orizzontale interseca il suo grafico al massimo una volta), ma non suriettiva (perché c è almeno una retta orizzontale che non lo interseca); la funzione 5b è suriettiva (perché ogni retta orizzontale interseca il suo grafico almeno una volta), ma non iniettiva (perché c è almeno una retta orizzontale che la interseca due volte); la funzione 5c non è né iniettiva né suriettiva; la funzione 5d è biunivoca.