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1 appello ENE - docente: E. Piazza obbligatorio - n. iscrizione sulla lista se non ve lo ricordate siete fritti; o no? il presente elaborato si compone di x (ics) pagine Cognome Nome matr.n. Avvertimento: nello svolgimento degli esercizi se una quantità è indicata con il simbolo x continuare a chiamarla x, e se si chiama W non chiamarla X, e se si chiama t i non chiamarla x i, e se si chiama T n nonindicarlacon X n.sevoletescriveredipendentinonscriveteindipendenti,sedovete sottrarre non sommate. Si fanno troppi errori di distrazione. Mi raccomando: concentrazione. Si consiglia di lavorare con 3 decimali, arrotondando opportunamente. Problema 1. Gli arrivi delle auto al distributore della BENZON sono ben descritte da un processo di Poisson. Mediamente in un ora si presentano alla pompa 10 automobili. Il distributore apre alle 7: Qual è la probabilità che la prima auto si presenti esattamente alle 7:35? Sia N(t) il numero di auto che si presentano alla pompa in t minuti, per cui N(t) Pois(tν), ν= = 1 6, e sia T il tempo di attesa per la prima auto alla pompa, per cui T exp(ν). P[T =5]= Qual è la probabilità che la prima auto si presenti dopo le 7:35? P[T >5]=P[N(5)=0]=P[Pois(5ν)=0]=e ν5 =e 5/6 = Qual è la probabilità che la seconda auto si presenti al distributore dopo 20 minuti dall apertura? P[N(20) 1]=P[Pois(20ν) 1]=P[Pois(20ν)=0]+P[Pois(20ν)=1]= =e 20ν +20νe 20ν =0.1546= = Qual è la probabilità che arrivino esattamente 6 auto tra le 8 e le 8:30? P[N(30)=6]=P[Pois(30ν)=30]=e 30ν(30ν)6 = ! 1.5 Mediamente quanto tempo intercorre tra l arrivo di un auto e la successiva? E[T]=1/ν=6 minuti. La pompa rimane aperta 8 ore ogni giorno. 1.6 Quanto vale la media giornaliera degli arrivi? E[N(480)]=480 ν= Qual è la probabilità che in 200 giorni gli arrivi superino il numero di 16 mila? In 200 giorni la pompa rimane aperta minuti, per cui N(96 000) P(16 000). Poichè >5, vale N(96 000) N(16 000;16 000), per cui P[N(96 000) >16 000] 0.5 1

2 Problema 2. Un agenzia pubblicitaria è sul punto di decidere in merito ad un ingente investimento in vista dei mondiali di calcio che si svolgeranno in Russia nel Vuole quindi capire se intraprendere una determinata campagna promozionale attraverso Twitter, e a tal fine vuole verificare se la percentuale p di tifosi che commenta su Twitter i mondiali di calcio sia in crescita dal 2010 al L agenzia sta per ricevere i risultati di un intervista fatta al termine dei mondiali del 2010 a un campione casuale di 120 tifosi ai quali è stato semplicemente chiesto se durante quei mondiali abbiano pubblicato almeno un tweet per commentarli. Analogamente il 15 luglio, al termine dei mondiali del 2014, l agenzia porrà lo stesso quesito a un nuovo campione casuale, sempre di 120 tifosi. 2.1 Si introduca un opportuno test statistico per verificare l ipotesi di interesse per l agenzia, sulla base dei dati campionari che saranno a disposizione il 15 luglio. Si introducano esplicitamente: variabili (o popolazioni) oggetto dell inferenza, ipotesi nulla, ipotesi alternativa, campioni casuali, regione critica di livello α. 1, almeno un tweet X 2010 = risposta di un tifoso nel 2010= B(p 2010 ) 0, altrimenti, 1, almeno un tweet X 2014 = risposta di un tifoso nel 2014= B(p 2014 ) 0, altrimenti, p k = percentuale di tifosi che commenta i mondiali con almeno un tweet nell anno k H 0 : p 2010 p 2014 vs H 1 : p 2010 < p 2014 X 2010,1,...,X 2010,120 campione casuale B(p 2010 ) X 2014,1,...,X 2014,120 campione casuale B(p 2014 ) p 2010 p 2014 R α : Z 0 = < z α p (1 p) ( ) dove 120 j=1 p k = X 120 k,j j=1, p= X 2010,j+ 120 j=1 X 2014,j Arrivano i risultati della prima intervista: nel 2010, su 120 tifosi, 78 hanno pubblicato almeno un tweet sui mondiali. Impazienti di dare una risposta all agenzia, a bordo di una DeLorean raggiungiamo il 15 luglio 2014: nel 2014, su 120 tifosi, 102 hanno pubblicato almeno un tweet sui mondiali. 2,2 Dare una risposta all agenzia ad un livello di significatività del 5%. Essendo p 2010 =0.65, p 2014 =0.85, p=0.75, risulta Z 0 = < z α = 1.645, pertanto l ipotesi nulla viene rifiutata a livello 0.05: l agenzia ha motivo di ritenere che la percentuale di tifosi che commenta su Twitter i mondiali di calcio sia aumentata. 2,3 La conclusione è forte o debole? La conclusione è forte. 2.4 Calcolare il p-value dei dati raccolti. Il p-value dei dati raccolti è il livello α per cui Z 0 = = z α, per cui z α = α=φ(z α )=Φ( )= α= =

3 Problema 3. Dopo la delusione mondiale, il difensore della Juventus e della nazionale Leonardo Bonucci, notoriamente avvezzo al gioco d azzardo, decide di consolarsi con le scommesse. In particolare è molto interessato alle quote che i bookmaker inglesi danno per la somma dei Km percorsi dalle due squadre durante i 90 minuti della finale mondiale 2014, e vorrebbe scommettere sul fatto che tale somma sarà maggiore di 190. Pertanto raccoglie informazioni sulla variabile Y = somma dei Km percorsi dai giocatori delle due squadre durante una partita dei mondiali 2014 analizzando i dati relativi alle 48 partite della fase a gironi 1. Per questi dati y= s 2 y= Inoltre il test di Shapiro-Wilk per la normalità di Y, eseguito sempre su questi dati, restituisce un p value di , mentre il loro Normal Probability Plot è riportato in Figura. Bonucci però non si accontenta dei dati relativi alla sola variabile Y, poiché ritiene che ci possa essere una relazione tra la somma Y dei Km percorsi e la temperatura x (in gradi centigradi) alla quale è stata giocata la partita, e vorrebbe sfruttare questa relazione prima di scommettere. 1 per questo esercizio sono stati utilizzati i dati veri raccolti direttamente dal sito ufficiale della FIFA 3

4 Per fare questo raccoglie le temperature relative alle stesse 48 partite e imposta il seguente modello empirco gaussiano di regressione lineare: Y = β 0 +β 1 X+ε, ε N(0,σ 2 ). I risultati ottenuti elaborando i dati tramite il software statistico R sono i seguenti: Inoltre in figura 4

5 sono riportati i grafici di diagnostica dei residui, mentre il test di Shapiro-Wilk sui residui restituisce un p-value di Scrivere l equazione della retta ai minimi quadrati. y= x. 3.2 Discutere la validità dell ipotesi gaussiana del modello empirico di regressione lineare. Le ipotesi gaussiane del modello di regressione lineare sono rispettate, infatti dal grafico dei residui osservo che non ci sono tendenze o andamenti anomali della variabilità (quindi l ipotesi di omoschedasticità è rispettata), mentre dal Normal Probability Plot e dal valore piuttosto alto del p-value del test di Shapiro-Wilk non ho evidenza per rifiutare l ipotesi di normalità dei residui. 3.3 Discutere più in generale la bontà del modello empirico di regressione lineare. Questo modello di regressione non risulta essere adatto al problema in analisi: la percentuale di variabilità di Y spiegata dal modello con la variabilità di x è bassissima (R 2 = ) e la regressione non risulta essere significativa (p-value della regressione molto alto: ). 3.4 Costruire un opportuno intervallo di previsione al 95% per la somma Y dei km percorsi dalle due squadre durante la finale dei mondiali di calcio Suggerimento: ricordiamo che data una variabile aleatoria gaussiana Y sia (Y 1,...,Y n ) un campione di n osservazioni da Y. Allora un intervallo di previsione per un ulteriore osservazione Y n+1 si può ottenere considerando che Y n+1 Y n t n 1. S 1+ 1 n Essendo il modello non significativo non ha senso utilizzarlo per fare previsione. Fortunatamente però, non abbiamo evidenza per rifiutare l ipotesi di normalità di Y, e possiamo quindi utilizzare l intervallo di previsione per una popolazione gaussiana: y±s y 1+ 1 n t α/2;n 1= y±s y t 0.025;47= ± =( , ). 3.5 Consigliereste a Bonucci di scommettere? Essendo l intervallo di previsione completamente superiore al valore 190, cosiglieremmo a Bonucci di scommettere. 5

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