Giochi non cooperativi

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Giochi non cooperativi"

Transcript

1 Indice 1 Giochi non cooperativi 5 11 Teoria delle decisioni 5 12 Decisioni sotto stretta incertezza 8 13 Decisioni intertemporali Preferenze e funzioni di utilità Equilibri di Nash Giochi in forma estesa I Giochi in forma estesa II Raffinamenti degli equilibri di Nash Esempi di giochi con strategie dominate Evasione fiscale (Li-Calzi) Giochi con potenziale Giochi di contrattazione Corsa agli sportelli (gioco a due stadi) Dilemma del prigioniero ripetuto n volte Giochi ripetuti e automi finiti 87 2 Evolutionary Game Theory da Weibul Elementi della Teoria dei Giochi non cooperativi Criteri di stabilità evolutiva Dinamica del replicatore 115 3

2

3 Capitolo 1 Giochi non cooperativi 11 Teoria delle decisioni Esempio 11 Roulette russa Due persone della stessa età e della stessa salute hanno ciascuna una rivoltella Il primo tizio ha 3 proiettili nel tamburo della pistola a 6 colpi Il secondo tizio ha 1 proiettile nel tamburo della pistola a 6 colpi Ciascuno sta per ruotare il tamburo, puntare la pistola alla propria testa e premere il grilletto Questo è tutto ciò che sai Puoi togliere 1 solo proiettile da una delle pistole prima che essi premano il grilletto Da quale pistola toglieresti il proiettile? Cerchiamo di schematizzare il problema: ci sono 2 azioni: AZIONE 1: prendere 1 proiettile da quella che ne ha 3 AZIONE 2: prendere 1 proiettile da quella che ne ha 1 5

4 Vediamo di schematizzare con le probabilità dei possibili esiti: 0 MORTI 1 MORTO 2 MORTI AZIONE 1 20/36 14/36 2/36 AZIONE 2 1/2 1/2 0 Consideriamo una funzione perdita o misura di utilità negativa v(0) = 0 v(1) = l 0 < l < 1 v(2) = 1 Se non amo il rischio: la perdita attesa dal azione 1 (lotteria L 1 ) sarà minore della perdita attesa dall azione 2 (lotteria L 2 ) L 1 : MORTI 20/36 14/36 2/36 PROBABILITÀ L 2 : MORTI 1/2 1/2 0 PROBABILITÀ 6

5 Se non amo il rischio: εv(l 2 ) < εv(l 1 ) cioè v(0) v(1) v(2) 0 < v(0) + v(1) v(2) 2 36 v(1) 1 2 l 1 2 < v(1) v(2) 2 36 < l l > 1 l > 1 2 quale interpretazione possiamo dare? Naturalmente preferiamo l azione che limita il possibile numero di morti Rischiare 2 morti è più di due volte brutto che rischiarne uno 2l > 1, 2l < 1, v(2) > 2v(1) e questo è in accordo con ciò che la gente pensa usualmente In generale un singolo incidente che comporta più morti è considerato peggiore di più incidenti separati che conducono allo stesso numero di morti Questo problema si può confrontare con un altro reale a cui si trovano di fronte i medici: le risorse mediche sono limitate e non è possibile trattare tutti i pazienti che hanno bisogno di cure Consideriamo ad esempio un cardiologo che può curare solo 1 di 2 pazienti: 7

6 senza trattamento il I ha 1 2 probabilità di morire subito 1 2 probabilità di diventare vecchio con il trattamento il I ha 1 3 probabilità di morire per il II paziente: senza trattamento il II ha 1 6 probabilità di morire con il trattamento il II guararà cosa sceglierà il medico? Il problema è esattamente quelo di prima 12 Decisioni sotto stretta incertezza Possiamo dividere i problemi decisionali in 3 classi: 1 DECISIONI CON CERTEZZA 2 DECISIONI CON RISCHIO 3 DECISIONI CON STRETTA INCERTEZZA Raccontiamo un esempio dovuto a Savage (1972): Tua moglie ha appena rotto 5 uova buone in un tegame quando tu arrivi per fare l omelette Esiste un sesto uovo non rotto davanti al tegame, può essere usato per l omelette o per qualche cos altro Devi decidere cosa fare con questo, cioè hai 3 possibili azioni: 8

7 1 ROMPERLO NEL TEGAME CHE CONTIENE GLI ALTRI 5 2 ROMPERLO IN UN PIATTO PER ISPEZIONARLO 3 BUTTARLO VIA SENZA ISPEZIONARLO Dipendendo dallo stato delle uova, queste 3 azioni avranno delle conseguenze STATI BUONO: ϑ 1 CATTIVO: ϑ 2 ROMPERE OMELETTE DI NESSUNA OMELETTE NEL TEGAME 6 UOVA E 6 UOVA BUONE α 1 x 11 DISTRUTTE x 12 ROMPERE OMELETTE DI OMELETTE DI NEL PIATTO 6 UOVA + 5 UOVA α 2 1 PIATTO DA E 1 PIATTO DA LAVARE LAVARE x 21 x 22 BUTTARE OMELETTE DI OMELETTE DI VIA 5 UOVA E 1 5 UOVA α 3 BUON UOVO x 32 DISTRUTTO x 31 Le conseguenze x ij non sono numeri ma si può sempre associare un valore che misura x ij cioè intendiamo per misura del valore > preferenza del decisore v(x ij ) > v(x kl ) x ij > x kl I problemi decisionali sono stati classificati in accordo alle conoscenze del 9

8 decisore sugli stati della natura Le decisioni sotto stretta incertezza sono quelle per cui il decisore non può dire nulla circa il vero stato della natura Non solo egli è ignorante del vero stato, ma non può quantificare la sua incertezza in alcun modo Egli può solo dire che ciascun ϑ j descrive un possibile stato del mondo e ϑ 1, ϑ 2,, ϑ n è una lista esaustiva delle possibilità Come sceglie un decisore sotto stretta incertezza? Vediamo alcuni criteri: 1 WALD S MAX-MIN RETURN (1950) Con l azione a i la peggior conseguenza possibile per il decisore è: s i = min v ij j = 1,, n È chiamato livello di sicurezza di a i Se interpretiamo v ij come un valore finanziario, s i può essere interpretato notando che a i garantisce al decisore un ritorno di almeno s i Il criterio del max-min ritorno suggerito suggerito da WALD è: scegliere l azione a k : è un criterio molto pessimista s k = max {min (v ij )} i j 2 HURCHIWICZ-INDICE DI OTTIMISMO/PESSIMISMO Definiamo il livello di ottimismo di a i come σ i = max v ij j = 1,, n cioè il valore della miglior conseguenza che a i può dare Il criterio del max-min ritorno è m m n σ k = max {σ i } = max {max (v ij )} i = 1 i = 1 j = 1 10

9 Questo è una critica al criterio pessimista di WALD: perché è più razionale essere pessimisti che ottimisti? Un vecchio proverbio dice: IT IS BETTER TO BE SAFE THAN SORRY Il criterio di WALD è più prudente ma NOTHING VENTURED, NO- THING GAINED HURCHIWICZ (1951) suggerì che poche persone sono così pessimiste o così ottimiste come questi estremi possono portare, suggerì così una strada di mezzo: sostenne che un decisore dovrebbe scegliere le azioni in accordo ad una media pesata dei livelli di sicurezza e di ottimismo αs i + (1 α)σ i con 0 α 1 α è l indice di ottimismo/pessimismo HURCHIWICZ raccomanda per la regola di decisione di scegliere n a k : αs k + (1 α)σ k = max {αs i + (1 α)σ i } i = 1 3 SAVAGE MIN-MAX REGRET Savage (1951) osservò che nell usare i valori v ij per guidare una scelta, il decisore confronta il valore della conseguenza di un azione sotto uno stato di natura con i valori di tutte le altre conseguenze qualunque sia lo stato di natura Savage definisce il RIMPIANTO di una conseguenza come: m r ij = max {v ij } v ij i = 1 cioè è la differenza tra il valore che risulta dalla miglior azione dato ϑ j e il valore che risulta da a i sempre in ϑ j (stato del mondo) Ad ogni azione si deve assegnare l indice n ρ i = max {r ij } = massimo rimpianto che deriva dall azione a i j = 1 11

10 Allora si deve scegliere un azione che minimizza ρ i cioè scegliere a k : m m n ρ k = min {ρ i } = min {max (r ij )} i = 1 i = 1 j = 1 4 LAPLACE (1825) osservò che non sapere nulla circa gli stati della natura è lo stesso che tutti gli stati hanno uguale probabilità Se è scelta l azione a i e tutti gli stati hanno uguale probabilità, allora il decisore ha valore atteso da queste conseguenze incerte: ( ) n 1 v ij n j=1 e dovrebbe cercare di massimizzare il suo valore atteso di questa scelta cioè scegliere a k : n m { n 1 v n kj = max 1 v n ij j = 1 i = 1 j = 1 } 12

11 T ABLE 1 : ESEMP IO DI MILNOR ϑ 1 ϑ 2 ϑ 3 ϑ 4 s i σ i j ( 1 n )v ij a /4 a a a T ABLE 2 : RIMP IANT I P ER L ESEMP IO DI MILNOR ϑ 1 ϑ 2 ϑ 3 ϑ 4 ρ i a a a a Esempio per il calcolo: r 22 = max{2, 1, 4, 3} 1 = 4 1 = 3 13

12 - CRITERIO DI LAPLACE: a 1 - CRITERIO DI WALD: a 2 - CRITERIO DI HURCHIWICZ: assegna gli indici 2(1 α), 1, 4(1 α), 3(1 α) rispettivamente ad a 1, a 2, a 3, a 4 In quanto αs k + (1 α)σ k = max{αs i + (1 α)σ i } 0 α < 1 4(1 α) > 2(1 α) 4(1 α) > 3(1 α) se α < 3/4 4(1 α) > 1 così il criterio di Hurchiwicz sceglie a 3 per α < 3/4 - CRITERIO DI SAVAGE: a 4 Ogni criterio sceglie un azione differente SONO TUTTI BUONI CRITERI? 13 Decisioni intertemporali Molti problemi decisionali hanno a che vedere con progetti in cui i costi e i benefici crescono con un certo numero di anni Consideriamo solo casi in cui i costi e i benefici sono interamente monetari Vediamo ad esempio il flusso di cassa (CASH-FLOW) dato nei 6 progetti della tavola seguente: 14

13 ANNI A B C D E F 0-10 M -10 M -10 M -1 M -16 M -16 M 1 +5 M +5 M +2 M +05 M +16 M +32 M 2 +5 M +5 M +8 M +05 M +5 M +192 M M +5 M +05 M M +5 M +05 M 0 0 Consideriamo solo 2 tipi di decisione: 1) ACCETTARE O RIFIUTARE 2) CLASSIFICARE Nel caso 1) ciascun progetto è considerato indipendente da tutti gli altri Nel caso 2) tutti i progetti sono confrontati e classificati con l intenzione di adottare un singolo progetto: il più favorevole È importante includere un progetto nullo che rappresenta lo status quo In questo contesto studieremo solo le decisioni di tipo 2) ( classificare ) Discutiamo qui 4 regole decisionali, regole che aiutano il decisore a classificare i progetti che coinvolgono costi e benefici temporali La regola più semplice è confrontare progetti tenuto conto del tempo in cui chiudono in pareggio cioè tenendo conto del periodo di rimborso Questo viene chiamato PAYBACK-METHOD (o METODO DI RIMBOR- SO) Lo indicheremo con PM Il progetto A ha un periodo di rimborso di 2 anni, così anche B, C, D 15

14 Il progetto E ha un periodo di rimborso di 1 anno Il progetto F ha un periodo di rimborso di 2 anni Questo metodo considera il progetto E il più favorevole, ma non distingue tra i progetti A, B, C, D e F Questo metodo contiene un certo numero di errori, vediamone alcuni: i) In nessun conto è tenuto il profitto totale dopo il rimborso (confronta A e B) ii) In nessun conto è tenuta la misura dell investimento (confronta B e D) iii) In nessun conto è tenuta la distribuzione di entrata e uscita (reddito e spesa) confronta B e C iv) Il periodo di rimborso non è chiaramente definito se il progetto coinvolge investimenti di più anni ESEMPIO: INVESTIMENTI -10 M + 10 M +4 M -4 M +4 M ANNI Qual è il periodo di rimborso? 1 anno oppure 3 anni? Due parole in favore del metodo di rimborso (PM): 1 È molto semplice da capire e usare 2 Minimizzando il periodo di rimborso si minimizza il rischio, infatti, essendo il futuro incerto, un decisore dovrebbe minimizzare il tempo in cui un investimento è in sospeso Un altro metodo più opportuno di valutare lo scorrere del tempo è suggerito dal metodo ARR (=ACCOUNTING RATE OF RETURN = STIMA DELLA VELOCITÀ DEL GUADAGNO) ARR = PROFITTO MEDIO ANNO DI 1 PROGETTO SPESA DEL CAPITALE 100% 16

15 Allora indicando ARR(A) per calcolare ARR del progetto A, si ottiene: ARR(A) = ( )/ % = 0% ( )/4 ARR(B) = 100% = 25% 10 ( )/4 ARR(C) = 100% = 25% 10 ( )/4 ARR(D) = 100% = 25% 1 ( )/2 ARR(E) = 100% = 156% 16 ( )/2 ARR(F) = 100% = 20% 16 Con questo metodo l ordine di preferenza dei progetti è il seguente: B, C, D sono i migliori poi F, E, A Diversamente dal metodo di rimborso PM il criterio ARR tiene conto del profitto necessario dopo che un progetto chiude in pareggio (esempio B è meglio di A) Inoltre è sempre ben definito Tuttavia: i) non è presa in considerazione la misura dell investimento (confronta B e D); ii) non è presa in considerazione la distribuzione dei beni in entrata e in uscita (confronta B e C) Né il metodo PM né il metodo ARR coinvolgono fattori di sconto La maggior parte di noi preferirebbe avere 100 euro ora piuttosto che 100 euro tra un anno cioè in termini economici manifestiamo preferenze temporali sui consumi in periodi differenti Supponiamo che 1 euro ora sia equivalente a (1+r) euro r>0 in un anno allora 1 euro ricevuta in n anni è peggio di (1/(1 + r)) n euro ricevute ora 17

16 Usiamo questa idea per valutare la bontà di un progetto mediante il metodo: NPV=NET PRESENT VALUE=VALORE ATTUALE NETTO Allora calcoliamo NPV(A), NPV(B), ecc NPV(A) = 10M r M + 5 (1 + r) 2 M NPV(B) = 10M r M + 5 (1 + r) 2 M + 5 (1 + r) 3 M + 5 (1 + r) 4 M NPV(C) = 10M r M + 8 (1 + r) 2 M + 5 (1 + r) 3 M + 5 (1 + r) 4 M NPV(D) = 1M r M + 05 (1 + r) 2 M + 05 (1 + r) 3 M + 05 (1 + r) 4 M NPV(E) = 16M r M + 5 (1 + r) 2 M NPV(F) = 16M r M (1 + r) 2 M In generale r è noto come TASSO DI SCONTO (=DISCOUNT RATE) Ci sono varie controvesie circa il valore numerico da assegnare ad r ma qui non ne parleremo, per il nostro problema assumeremo Quindi: r = 01 NPV(A) = 1322M NPV(B) = 5850M NPV(C) = 5601M NPV(D) = 0585M NPV(E) = 2678M NPV(F) = 2777M Con questo metodo i progetti sono così ordinati come ordine di preferenze: 18

17 1 B 2 C 3 F 4 E 5 D 6 A Questo criterio non è soggetto a nessuna delle quattro critiche che erano state fatte per PM Tuttavia ci chiediamo: il metodo NPV tiene conto del fattore r di sconto in maniera corretta? r è lo stesso ogni anno? Stabilire un valore appropriato al fattore di sconto per un particolare problema è sempre una questione controversa Un metodo che supera, almeno in parte, questo problema è il criterio decisionale IRR=INTERNAL RATE OF RETURN = TASSO DI PROFITTO INTERNO IRR è definito essere il valore di r tale che NPV di un progetto è zero Per trovare IRR(A) dobbiamo risolvere 10M + 5M (1 + r) + 5M (1 + r) = 0 2 Pongo x = 1/(1 + r) e dividendo per 5M si ha: ed essendo x = 1/(1 + r) > 0 si ha 2 + x + x 2 = 0 x = 1 o x = r = 1 r = 0 19

18 Allora IRR(A) = 0% In modo analogo si calcola IRR degli altri 5 progetti: IRR(A) = 0% IRR(B) = 35% IRR(C) = 32% IRR(D) = 35% IRR(E) = 25% IRR(F) = 20% Allora i progetti migliori sono B e D e i rimanenti nell ordine: C, E, F, A Osserviamo che IRR diversamente da NPV tiene conto della misura dell investimento (confronta B e D) NPV classifica F sopra E IRR classifica E sopra F Si potrebbe discutere ancora a lungo su questa diversa classificazione (per approfondimenti cfr S French) ma fermiamoci qui: nessun metodo è completamente soddisfacente NPV sembra essere quello con meno inconvenienti ma potremmo discutere a lungo sulla sua applicabilità 14 Preferenze e funzioni di utilità Il modo più primitivo per descrivere delle preferenze è una relazione definita su un insieme Ω di esiti Affinché la relazione sia un PREORDINE TOTALE è necessario che: a b oppure b a a b e b c = a c a, b, c Ω (TOTALITÀ) (TRANSITIVITÀ) (segue la RIFLESSIVITÀ considerando b = a nella formula della totalità) 20

19 La transitività è una richiesta razionale La totalità ci assicura che un individuo può sempre esprimere una preferenza tra due esiti Perché una persona razionale deve avere preferenze transitive? (ved es money-pump ) La relazione di indifferenza è definita da: La relazione di stretta preferenza da: a b e b a a b a b e non a b a < b Il problema della decisione consiste nel trovare l esito ω (ω S Ω) che il decisore preferisce (Notiamo che tale ω potrebbe non esistere, ad esempio se S è infinito Esiste il numero più grande nell intervallo (0,1)? Nel nostro contesto evitiamo simili casi) In molte situazioni può essere difficile esprimere le preferenze allora le funzioni di utilità sono l espediente matematico per semplificare la situazione Una funzione u : Ω R è una funzione di utilità che rappresenta la relazione di preferenza se e solo se u(a) u(b) a b allora il problema di trovare il miglior ω S si riduce al più facile problema di trovare un valore di ω S per cui u(ω) = max u(s) s S 21

20 PARADOSSO DI S PIETROBURGO Consideriamo la lotteria illustrata in figura PREMIO $2 $4 $8 $16 $2 k SUCCESSIONE DI H TH TTH TTTH T TH MONETE ( PROBABILITÀ k 1 2) T = toss H = head (croce) (testa) Si può realizzare lanciando una moneta ripetutamente finché non mostra testa (H) La tabella va interpretata così: leggendo la 1 a colonna: leggendo la 2 a colonna: ecc vinco $2 se viene testa (H) al 1 o lancio e ciò può avvenire con probabilità 1 2 vinco $4 se viene testa (H) al 2 o lancio e ciò può avvenire con probabilità 1 4 Se la moneta mostra testa (H) al k-simo lancio vinco $2 k Quanto sareste disposti a pagare per partecipare a questa lotteria? Supponiamo che ciascun lancio della moneta sia indipendente, le probabilità sono calcolate come indicato in tabella Vediamo come esempio il caso k = 4 cioè la probabilità che esca testa al 4 lancio: 22

21 prob(ttth) = prob(t) prob(t) prob(t) prob(t) = Il valore atteso in dollari nella lotteria di S Pietroburgo è allora: ε(l) = 2 prob(h) + 4 prob(th) + 8 prob(tth) + = ( ) 4 1 = = = + il che significa che il valore atteso in dollari della lotteria è infinito Sareste quindi disposti a spendere il vostro intero patrimonio per comprare un biglietto per partecipare alla lotteria? Poca gente farebbe così soprattutto dopo aver notato che la probabilità di concludere con più di 8$ è solo 1 8 Non è sufficiente scegliere una lotteria che mi dà il più alto valore atteso in dollari per dire di aver fatto una scelta razionale, una teoria che dicesse ciò è insufficiente Quindi: per valutare un investimento richiesto, il guadagno atteso non è il criterio che la gente adotta, il criterio è L UTILITÀ ATTESA 15 Equilibri di Nash Definizione 12 GIOCO NON COOPERATIVO Un gioco non cooperativo a 2 giocatori è una quaterna Γ = (X, Y, f, g) dove X, Y sono gli insiemi delle strategie dei due giocatori, f, g sono le funzioni di utilità dei due giocatori f, g : X Y R Definizione 13 EQUILIBRIO DI NASH Diremo che una coppia di strategie (x, y) X Y è un equilibrio di Nash se f(x, y) f(x, y) x X g(x, y) g(x, y) y Y Riprendiamo alcuni esempi già noti in lezioni precedenti: 23

22 Esempio 14 MORRA CINESE II I S C F S C F S = sasso C = carta F = forbice non esistono equilibri di Nash Esempio 15 DILEMMA DEL PRIGIONIERO II I C NC C NC Due persone sono accusate di aver commesso un grave crimine 24

23 se ambedue confessano subiscono la pena di 8 anni di galera se non confessano non ci sono prove sufficienti a stabilire chi ha commesso il crimine, ma il giudice li condanna per un reato minore: 1 anno di galera se uno confessa la partecipazione di entrambi, per una legge speciale, è libero e l altro è condannato a 10 anni di galera La matrice associata è quella in figura C è un solo equilibrio di Nash (NE):(CC) (cioè entrambi confessano), ma il risultato è insoddisfacente per entrambi perché così faranno 8 anni di galera Se entrambi si mettessero d accordo di non confessare, farebbero meno anni di galera, ma l accordo è instabile perché se uno sa che l altro non confessa allora gli conviene confessare così sarà libero: è un dilemma L equilibrio di Nash è l unica soluzione accettabile però è poco soddisfacente Esempio 16 BATTAGLIA DEI SESSI II I L R T B esistono due equilibri di Nash: (T,L) e (BR) Esempio 17 GIOCO A 3 GIOCATORI Questo gioco coinvolge 3 giocatori: ciascun giocatore può prendere 1 oppure 2 monete nella sua mano 25

24 Se ogni giocatore ha un numero differente di monete dagli altri giocatori allora egli ottiene un payoff uguale al numero delle monete che ha in mano e gli altri non ottengono niente Chiamiamo I, II III i tre giocatori Spazio delle strategie del giocatore I: X = {1, 2} dove 1 indica una moneta e 2 indica due monete Y = {1, 2} (spazio delle strategie del giocatore II) Z = {1, 2} (spazio delle strategie del giocatore III) II I j=1 j=2 i= i= k = 1 II I j=1 j=2 i= i= gli equilibri di Nash sono: k = 2 (2, 1, 1), (1, 2, 1), (2, 2, 1) (1, 1, 2), (1, 2, 2), (2, 1, 2) 26

25 ESERCIZI PROPOSTI 1) Stabilire se esistono equilibri di Nash in strategie pure nel seguente gioco a 2 giocatori II I C D A B ) stessa domanda nel seguente gioco a 3 giocatori dove X = {U, D}, Y = {L, R}, Z = {A, B, C} A II I L R U D B II I L R U D

26 C II I L R U D ESTENSIONE MISTA DI UN GIOCO Sia dato un gioco (che per semplicità di notazione supporremo a 2 giocatori e per evitare difficoltà tecniche supporremo A I e A II, spazi delle strategie dei due giocatori, finiti) G = ({I, II}, A I, A II, u I, u II ) dicesi ESTENSIONE MISTA DI G il gioco G così definito G = ({I, II}, (A I ), (A II ), u I, u II) dove (A i ) è lo spazio delle distribuzioni di probabilità su A i Cioè se ad esempio A I = {x 1,, x m } A II = {y 1,, y n } allora (A I ) = {p R m, p h 0 h e m h=1 p h = 1} e (A II ) = {q R n, q k 0 k e n k=1 q k = 1} Risulta u i cioè: l estensione di u i da A I A II a (A I ) ( A II ) per bilinearità u i (p, q) = m h=1 k=1 n p h q k u i (x h, y k ) è importante il fatto che: L ESTENSIONE MISTA DI UN GIOCO FINITO HA SEMPRE UN EQUILIBRIO DI NASH (TEOREMA DI NASH 1950) (a volte si dice: ogni gioco finito ha equilibrio in strategie miste) 28

27 ESEMPIO Vediamo nell esempio della BATTAGLIA DEI SESSI di calcolare gli equilibri in strategie miste: q 1-q p p p, q [0, 1] Calcoliamo l utilità attesa del giocatore I u I (p, q) = 3pq + 0 p(1 q) + 0 (1 p)q + 1 (1 p)(1 q) = fissata q, consideriamo 3pq + 1 q p + pq = 4pq + 1 p q u I (p, q) = 4pq + 1 p q = p(4q 1) + 1 q u I (p,q) p = 4q 1 > 0 q > 1 4 argmax u I = 1 p = 0 q = 1 4 argmax u I = [0, 1] p < 0 q < 1 4 argmax u I = 0 p si ottiene così il seguente grafico 29

28 q q= p questo è il grafico della miglior risposta del giocatore I fissata la strategia del II; la indico con R I (q) Calcoliamo ora l utilità attesa del giocatore II u II (p, q) = 1 pq+0 p(1 q)+0 (1 p)q+3(1 p)(1 q) = pq+3(1 p)(1 q) = = pq + 3(1 q p + pq) = pq + 3 3q 3p + 3pq = 4pq 3p 3q + 3 u II (p, q) = (4p 3)q + 3(1 p) cerco q che rende massima u II (p, ) u II (p,q) q = 4p 3 > 0 p > 3 4 argmax u II(p, ) = 1 q = 0 p = 3 4 argmax u II(p, ) = [0, 1] q < 0 p < 3 4 argmax u II(p, ) = 0 q si ottiene così il grafico di R II (p) (cioè la miglior risposta del giocatore II fissata la strategia del giocatore I) 30

29 q 1 0 p= p da cui sovrapponendo i due grafici ridotti otteniamo i due equilibri di Nash in strategie miste e cioè (p, q) = (0, 0) (1, 1) ( ) 3 4, 1 4 (u I (0, 0), u II (0, 0)) = (1, 3) equilibrio in strategie pure (u I (1, 1), u II (1, 1)) = (3, 1) equilibrio in strategie pure ( ( )) ( ) 3 (u I ), 4, 1 3 u II 4 4, 1 3 = 4 4, 3 4 e questo è un nuovo equilibrio che trovo in strategie miste ESERCIZIO PROPOSTO: Provate a calcolare gli equilibri in strategie miste per il dilemma del prigioniero Definizione 18 Un gioco G a due giocatori dicesi a somma zero se u I (x, y) + u II (x, y) = 0 x X, y Y 31

30 ESERCIZIO: Si determinino gli equilibri di Nash in strategie miste del gioco a somma zero rappresentato dalla matrice: S D A 1 3 B 4 2 SOLUZIONE ESERCIZIO: X = {S, D} spazio delle strategie del I giocatore Y = {A, B} spazio delle strategie del II giocatore Questo gioco non ha equilibri in strategie pure ma per il Teorema di Nash sappiamo che ha almeno un equilibrio in strategie miste Calcoliamo l utilità attesa da I: u I (p, q) = pq 1 + p(1 q)3 + (1 p)q 4 + (1 p)(1 q) 2 = = p(1 4q) + 2(q + 1) u I (p, q) = p(1 4q) + 2(q + 1) u I (p,q) p = 1 4q > 0 q < 1 4 argmax u I = 1 p = 0 q = 1 4 argmax u I = [0, 1] p < 0 q > 1 4 argmax u I = 0 p 32

31 q q= p u II (p, q) = pq( 1) + p(1 q)( 3) + (1 p)q( 4) + (1 p)(1 q)( 2) = = 4pq p 2q 2 u II (p, q) = 2q(2p 1) (p + 2) u II (p,q) q = 2(2p 1) > 0 p > 1 2 argmax u II = 1 q = 0 p = 1 2 argmax u II = [0, 1] q < 0 p < 1 2 argmax u II = 0 q 33

32 q 1 0 p= p Si ottiene così un equilibrio in strategie miste dato da (p, q) = ( 1 2, 1 4 ) ( ( )) ( ) 1 (u I ), 2, 1 1 u II 4 2, 1 5 = 4 2, Giochi in forma estesa I Un qualunque gioco può essere rappresentato sia in forma normale che in forma estesa? Le due forme sono equivalenti? Per rispondere a queste domande classifichiamo i giochi che abbiamo incontrato in 4 classi: GIOCO STATICO è un gioco in cui i giocatori scelgono contemporaneamente le azioni GIOCO A INFORMAZIONE COMPLETA è un gioco in cui la funzione dei payoff di ogni giocatore è nota ad ogni giocatore (cioè è conoscenza comune) GIOCO DINAMICO è un gioco in cui i giocatori scelgono le azioni in modo sequenziale (il 2 osserva cosa fa il 1 e poi decide ) GIOCO A INFORMAZIONE PERFETTA è un gioco in cui in corrispondenza ad ogni mossa, il giocatore cui spetta muovere è a conoscenza dell intera 34

33 storia fino a quel momento o anche se ogni insieme di informazione contiene un solo nodo Osservazione 19 Un gioco statico può essere pensato come un gioco dinamico ad informazione imperfetta La rappresentazione in forma estesa di un gioco specifica: 1 i giocatori che prendono parte al gioco 2 quando i giocatori hanno diritto alla mossa 3 cosa possono fare i giocatori in ogni circostanza in cui hanno diritto a una mossa 4 cosa conosce ogni giocatore quando gli spetta muovere 5 i payoff ricevuti da ciascun giocatore in corrispondenza ad ogni combinazione di mosse che può essere scelta dai giocatori Esempio 110 Gioco a informazione completa e perfetta: I L R II II L R L R (3,1) (1,2) (2,1) (0,0) F ig1 35

34 1 il giocatore I sceglie un azione a 1 dall insieme ammissibile A 1 = {L, R} 2 il giocatore II osserva a 1 e poi sceglie un azione a 2 dall insieme A 2 = {L, R } 3 i payoff sono u 1 (a 1, a 2 ), u 2 (a 1, a 2 ) e sono indicati nell albero del gioco Questo albero del gioco comincia da un NODO DECISIONALE in cui I decide tra L oppure R, se il giocatore I sceglie L, viene raggiunto un nodo decisionale dal giocatore II che può scegliere tra L e R Analogamente se I sceglie R In seguito ad ogni scelta del giocatore II si giunge ad un nodo terminale (cioè il gioco finisce) e i payoff indicati sono ricevuti dai giocatori Vogliamo ora rappresentare il gioco in forma normale (o strategica) Nel gioco della Fig 1, il giocatore II ha due azioni e 4 strategie perché ci sono 2 diverse circostanze (cioè aver osservato il giocatore I e scegliere L oppure aver osservato il giocatore I e scegliere R) in cui II può trovarsi: ricordo che la STRATEGIA per un giocatore è un piano completo di azione cioè specifica un azione ammissibile del giocatore per ciascuna circostanza in cui il giocatore può essere chiamato ad agire Ritornando alla Fig 1, cerchiamo di stabilire le strategie del giocatore II: Strategia 1: se il giocatore I gioca L allora II gioca L, se il giocatore I gioca R allora II gioca L ; questa strategia è indicata con (L L ) Strategia 2: se il giocatore I gioca L allora II gioca L, se il giocatore I gioca R allora II gioca R (L R ) Strategia 3: se il giocatore I gioca L allora II gioca R, se il giocatore I gioca R allora II gioca L (R L ) Strategia 4: se il giocatore I gioca L allora II gioca R, se il giocatore I gioca R allora II gioca R (R R ) Anche il giocatore I ha 2 azioni ma solo due strategie: giocare L oppure 36

35 R (perché ha la prima mossa del gioco) quindi A 1 = {L, R} Il gioco in forma estesa della Fig 1 ha la seguente rappresentazione strategica: II I L L L R R L R R L R Fig2 Definizione 111 Un insieme d informazione (o insieme informativo) di un giocatore è un insieme di nodi decisionali che soddisfano le seguenti condizioni: i) in corrispondenza di ogni nodo dell insieme di informazione, il giocatore ha diritto alla mossa ii) quando lo svolgimento del gioco raggiunge un nodo dell insieme di informazione, il giocatore a cui spetta la mossa non sa quale nodo dell insieme di informazione è stato (oppure non è stato) raggiunto 37

36 ESEMPIO 1 I S D II II l r L R vince I pari vince I vince II Se tutti gli insiemi di informazione sono singleton abbiamo un gioco a INFORMAZIONE PERFETTA II I l L rl lr rr S D

37 ESEMPIO 2 I S D II II l r L R Le strategie di I sono: S, D, le strategie di II sono: ll,lr, rl, rr, dove ll indica che: II gioca l se I gioca S II gioca L se I gioca D lr indica che: II gioca l se I gioca S II gioca R se I gioca D 39

38 II I l L lr rl rr S D Infatti se I gioca S e II gioca ll l utilità attesa dal giocatore I è: e l utilità attesa di II è: Se I gioca S e II gioca rl eccetera εu I = = 3 2 εu II = = 3 2 εu I = = 13 3 εu II = = 1 40

39 ESERCIZIO Come si rappresenta il dilemma del prigioniero con un gioco in forma estesa? Risoluzione: I NC C II II NC C NC C ( 1, 1) ( 10,0) (0, 10) ( 8, 8) (confronta Esempio 15) Ricordo che un gioco statico può essere pensato come un gioco dinamico a informazione imperfetta 41

40 QUIZ È una buona rappresentazione di un gioco in forma estesa? I S D A B II (1,2) (2,1) (1,3) (0,1) (4,5) E la seguente? II L R I S D S D (1, 1) ( 1,1) (1, 1) ( 1,1) 42

41 TEST Che interpretazione puoi dare al seguente albero? I D A (1,2) II B (2,1) (1,0) (0,1) 43

42 QUIZ (QUIZ-MASTER) In un popolare quiz televisivo ai concorrenti è data l opportunità di scegliere una fra tre porte Una porta nasconde un premio, le altre non hanno niente La concorrente non ha motivo di pensare che una particolare porta sia privilegiata rispetto ad un altra Il conduttore del gioco (=quiz-master) sa quale porta nasconde il premio Dopo che la concorrente ha scelto provvisoriamente una porta, egli (il quizmaster) deve aprire una delle altre porte La concorrente ha allora l opportunità di cambiare idea circa la porta da scegliere Supponiamo che la concorrente desideri rendere massima la probabilità di ottenere il premio e che il quiz-master desideri renderla minima a) Descrivi una strategia ottimale del quiz-master e supponi che d ora in poi egli giochi in accordo con questa strategia b) Disegna l albero del gioco DOMANDE DI P ROBABILIT À c) Se la concorrente non cambia mai la sua scelta iniziale spiega perché la sua probabilità di vincere prima che il quiz-master apra la porta è 1 3 Perché la sua probabilità di vincere rimane 1 anche dopo che il quizmaster ha aperto la porta? 3 Perché una persona ingenua pensa che quest ultima sia 1? 2 d) Se la concorrente cambia sempre la sua scelta dopo che il quiz-master ha aperto una porta spiega perché la sua probabilità di vincere è 2 3 Supponi che il quiz-master e la concorrente giocano al meglio Perché una persona ingenua pensa che la probabilità sia 1 2? 44

Teoria dei Giochi non Cooperativi

Teoria dei Giochi non Cooperativi Politecnico di Milano Descrizione del gioco Egoismo Razionalità 1 L insieme dei giocatori 2 La situazione iniziale 3 Le sue possibili evoluzioni 4 I suoi esiti finali I Giochi della teoria Perché studiare

Dettagli

Giochi ripetuti. Gianmaria Martini

Giochi ripetuti. Gianmaria Martini Giochi ripetuti Gianmaria Martini INTRODUZIONE In molte situazioni strategiche l elemento temporale ha un ruolo rilevante, nel senso che le scelte vengono ripetute nel tempo. I giochi ripetuti studiano

Dettagli

Teoria dei Giochi. Teoria dei Giochi

Teoria dei Giochi. Teoria dei Giochi Teoria dei Giochi E uno strumento decisionale, utile per operare previsioni sul risultato quando un decisore deve operare in concorrenza con altri decisori. L ipotesi principale su cui si basa la TdG è

Dettagli

Giochi e decisioni strategiche

Giochi e decisioni strategiche Teoria dei Giochi Giochi e decisioni strategiche Strategie dominanti L equilibrio di Nash rivisitato Giochi ripetuti Giochi sequenziali Minacce impegni e credibilità Deterrenza all entrata 1 Giochi e decisioni

Dettagli

Teoria dei Giochi. Anna Torre

Teoria dei Giochi. Anna Torre Teoria dei Giochi Anna Torre Almo Collegio Borromeo 8 marzo 2012 email: anna.torre@unipv.it sito web del corso:www-dimat.unipv.it/atorre/borromeo2012.html DECISORI RAZIONALI INTERAGENTI di Fioravante Patrone,

Dettagli

Teoria dei giochi. Teoria che analizza in modo formale l interazione strategica di soggetti razionali che agiscono in modo strategico

Teoria dei giochi. Teoria che analizza in modo formale l interazione strategica di soggetti razionali che agiscono in modo strategico Teoria dei giochi Teoria che analizza in modo formale l interazione strategica di soggetti razionali che agiscono in modo strategico Situazione strategica Sette persone si recano insieme al ristorante

Dettagli

Capitolo 20: Scelta Intertemporale

Capitolo 20: Scelta Intertemporale Capitolo 20: Scelta Intertemporale 20.1: Introduzione Gli elementi di teoria economica trattati finora possono essere applicati a vari contesti. Tra questi, due rivestono particolare importanza: la scelta

Dettagli

Teoria dei giochi Gioco Interdipendenza strategica

Teoria dei giochi Gioco Interdipendenza strategica Teoria dei giochi Gioco Interdipendenza strategica soggetti decisionali autonomi con obiettivi (almeno parzialmente) contrapposti guadagno di ognuno dipende dalle scelte sue e degli altri Giocatori razionali

Dettagli

Esercizi di Teoria dei Giochi

Esercizi di Teoria dei Giochi Esercizi di Teoria dei Giochi ultimo aggiornamento: 11 maggio 2010 1. Si consideri il gioco fra 2 giocatori rappresentato (con le notazioni standard) dalla seguente matrice: (3, 1) (5, 0) (1, 0) (2, 6)

Dettagli

Teoria dei Giochi. Anna Torre

Teoria dei Giochi. Anna Torre Teoria dei Giochi Anna Torre Almo Collegio Borromeo 9 marzo 2010 email: anna.torre@unipv.it sito web del corso:www-dimat.unipv.it/atorre/borromeo2010.html TEOREMI DI ESISTENZA TEOREMI DI ESISTENZA Teorema

Dettagli

Decisioni in condizioni di rischio. Roberto Cordone

Decisioni in condizioni di rischio. Roberto Cordone Decisioni in condizioni di rischio Roberto Cordone Decisioni in condizioni di rischio Rispetto ai problemi in condizioni di ignoranza, oltre all insieme Ω dei possibili scenari, è nota una funzione di

Dettagli

Concetti di soluzione in giochi dinamici a informazione perfetta in strategie pure (LEZIONE 4)

Concetti di soluzione in giochi dinamici a informazione perfetta in strategie pure (LEZIONE 4) Economia Industriale (teoria dei giochi) Concetti di soluzione in giochi dinamici a informazione perfetta in strategie pure (LEZIONE 4) Valerio Sterzi Università di Bergamo Facoltà di ingegneria 1 Cosa

Dettagli

Teoria dei Giochi. In generale è possibile distinguere i giochi in due classi principali:

Teoria dei Giochi. In generale è possibile distinguere i giochi in due classi principali: Teoria dei Giochi Dr. Giuseppe Rose (Ph.D., M.Sc., London) Università degli Studi della Calabria Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata a.a 2011/2012 Handout 1 1 Nozioni introduttive La teoria

Dettagli

Corso di Politica Economica

Corso di Politica Economica Corso di Politica Economica Lezione 10: Introduzione alla Teoria dei Giochi David Bartolini Università Politecnica delle Marche (Sede di S.Benedetto del Tronto) d.bartolini@univpm.it (email) http://utenti.dea.univpm.it/politica

Dettagli

Teoria dei giochi. 1. Introduzione ed esempi. Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello 1

Teoria dei giochi. 1. Introduzione ed esempi. Slides di Teoria dei Giochi, Vincenzo Cutello 1 Teoria dei giochi 1. Introduzione ed esempi Vincenzo Cutello 1 Cos è la teoria dei giochi? Da Wikipedia: La teoria dei giochi è la scienza matematica che analizza situazioni di conflitto e ne ricerca soluzioni

Dettagli

Sequestro di persona a scopo di estorsione: una nuova teoria di gioco

Sequestro di persona a scopo di estorsione: una nuova teoria di gioco www.xos.it : 2008 Osvaldo Duilio Rossi : SEQUESTRO DI PERSONA A SCOPO DI : 1 OSVALDO DUILIO ROSSI Sequestro di persona a scopo di estorsione: una nuova teoria di gioco Ho integrato con ulteriori riflessioni

Dettagli

La teoria dell utilità attesa

La teoria dell utilità attesa La teoria dell utilità attesa 1 La teoria dell utilità attesa In un contesto di certezza esiste un legame biunivoco tra azioni e conseguenze: ad ogni azione corrisponde una e una sola conseguenza, e viceversa.

Dettagli

Imprese e reti d impresa

Imprese e reti d impresa Imprese e reti d impresa 6. Elementi di teoria dei giochi non cooperativi Giuseppe Vittucci Marzetti 1 Corso di laurea triennale in Scienze dell Organizzazione Facoltà di Sociologia Università degli Studi

Dettagli

Capitolo 23: Scelta in condizioni di incertezza

Capitolo 23: Scelta in condizioni di incertezza Capitolo 23: Scelta in condizioni di incertezza 23.1: Introduzione In questo capitolo studiamo la scelta ottima del consumatore in condizioni di incertezza, vale a dire in situazioni tali che il consumatore

Dettagli

OLIGOPOLIO. Introduzione

OLIGOPOLIO. Introduzione OLIGOPOLIO Introduzione Nelle precedenti lezioni abbiamo visto differenti forme di mercato quali la concorrenza perfetta e il monopolio. Queste due strutture di mercato sono assai diverse 1, tuttavia entrambe

Dettagli

Esercizi d esame di Teoria dei Giochi

Esercizi d esame di Teoria dei Giochi Esercizi d esame di Teoria dei Giochi Dario Bauso Esempio Svolto Dato il seguente gioco a due giocatori a somma zero si calcolino P P 1 0-3 3 1. il loss ceiling J,. il gain floor J, 3. l equilibrio di

Dettagli

Un modello matematico di investimento ottimale

Un modello matematico di investimento ottimale Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011 Outline 1 Investimento per un singolo agente

Dettagli

Economia Politica Microeconomia (ECN0006) 10 CFU a.a. 2012-2013. Eleonora Pierucci eleonora.pierucci@unibas.it

Economia Politica Microeconomia (ECN0006) 10 CFU a.a. 2012-2013. Eleonora Pierucci eleonora.pierucci@unibas.it Economia Politica Microeconomia (ECN0006) 10 CFU a.a. 2012-2013 Eleonora Pierucci eleonora.pierucci@unibas.it Teoria dei giochi Cos è un gioco? Si definisce come gioco una situazione in cui ciascuno dei

Dettagli

Modellazione delle preferenze

Modellazione delle preferenze Modellazione delle preferenze Roberto Cordone 1 1 Sono debitore delle dispense di B. Simeone e F. Patrone Sistemazione assiomatica Dato un insieme non vuoto di impatti F, esprimere una preferenza fra due

Dettagli

2 RAFFINAMENTI DELL EQUILIBRIO DI NASH

2 RAFFINAMENTI DELL EQUILIBRIO DI NASH MATEMATICA PER LO STUDIO DELLE INTERAZIONI STRATEGICHE: TEORIA DEI GIOCHI Anna TORRE 1 1 INDUZIONE A RITROSO Se un gioco è dato in forma estesa ed è finito e a informazione perfetta, un modo per trovare

Dettagli

Esercizi di Ricerca Operativa II

Esercizi di Ricerca Operativa II Esercizi di Ricerca Operativa II Raffaele Pesenti January 12, 06 Domande su utilità 1. Determinare quale è l utilità che un giocatore di roulette assegna a 100,00 Euro, nel momento che gioca tale cifra

Dettagli

Richiami di microeconomia

Richiami di microeconomia Capitolo 5 Richiami di microeconomia 5. Le preferenze e l utilità Nell analisi microeconomica si può decidere di descrivere ogni soggetto attraverso una funzione di utilità oppure attraverso le sue preferenze.

Dettagli

GIUSTIFICARE LE RISPOSTE. Non scrivere la soluzione di esercizi diversi su uno stesso foglio.

GIUSTIFICARE LE RISPOSTE. Non scrivere la soluzione di esercizi diversi su uno stesso foglio. Teoria dei giochi applicata alle scienze sociali Laurea Specialistica in Ingegneria Gestionale, Politecnico di MI, 2006/07 I prova intermedia, 19 dicembre 2006, foglio A Tempo: 2 ore e 1/2; risolvere 3

Dettagli

Pensare Strategicamente: La Teoria dei Giochi e l Oligopolio. Cap. 10

Pensare Strategicamente: La Teoria dei Giochi e l Oligopolio. Cap. 10 Pensare Strategicamente: La Teoria dei Giochi e l Oligopolio Cap. 10 Fino a ora abbiamo considerato le variabili che potevano influenzare il comportamento degli individui dati loro obiettivi (max utilità

Dettagli

Utilità scontata (US) attiene alla scelta/allocazione tra oggi e domani (i.e. risparmio ottimo). Elemento psicologico: propensione alla parsimonia.

Utilità scontata (US) attiene alla scelta/allocazione tra oggi e domani (i.e. risparmio ottimo). Elemento psicologico: propensione alla parsimonia. Richiami essenziali: Utilità scontata (US) attiene alla scelta/allocazione tra oggi e domani (i.e. risparmio ottimo). Elemento psicologico: propensione alla parsimonia. Tasso di sconto intertemporale soggettivo

Dettagli

Equilibrio bayesiano perfetto. Giochi di segnalazione

Equilibrio bayesiano perfetto. Giochi di segnalazione Equilibrio bayesiano perfetto. Giochi di segnalazione Appunti a cura di Stefano Moretti, Silvia VILLA e Fioravante PATRONE versione del 26 maggio 2006 Indice 1 Equilibrio bayesiano perfetto 2 2 Giochi

Dettagli

Oligopolio. G. Degli Antoni 26/2/2014 (Economia Applicata/Industriale)

Oligopolio. G. Degli Antoni 26/2/2014 (Economia Applicata/Industriale) Oligopolio G. Degli Antoni 26/2/2014 (Economia Applicata/Industriale) Oligopolio In Oligopolio le imprese possono produrre beni sostanzialmente omogenei, oppure differenziati (automobili, bibite, giornali)

Dettagli

La teoria dei giochi non cooperativi

La teoria dei giochi non cooperativi La teoria dei giochi non cooperativi Kreps: "Microeconomia per manager" 1 Ci occuperemo soltanto di giochi non cooperativi: l unità d analisi è il singolo giocatore che cerca di compiere le scelte per

Dettagli

Scelte in condizioni di rischio e incertezza

Scelte in condizioni di rischio e incertezza CAPITOLO 5 Scelte in condizioni di rischio e incertezza Esercizio 5.1. Tizio ha risparmiato nel corso dell anno 500 euro; può investirli in obbligazioni che rendono, in modo certo, il 10% oppure in azioni

Dettagli

I Modelli della Ricerca Operativa

I Modelli della Ricerca Operativa Capitolo 1 I Modelli della Ricerca Operativa 1.1 L approccio modellistico Il termine modello è di solito usato per indicare una costruzione artificiale realizzata per evidenziare proprietà specifiche di

Dettagli

Multiagent systems. Christian Schunck, Ph.D. UD 1.2: Esempi di Giochi

Multiagent systems. Christian Schunck, Ph.D. UD 1.2: Esempi di Giochi Multiagent systems Sistemi i di Agenti Christian Schunck, Ph.D. UD 1.2: Esempi di Giochi Christian Schunck,Ph.D. Multiagent Systems Sistemi di Agenti UD 1.1 30/03/2010 Dia 2 TIPOLOGIE DI GIOCHI SOMMA COSTANTE/NON

Dettagli

Introduzione alla Teoria dei Giochi

Introduzione alla Teoria dei Giochi Introduzione alla Teoria dei Giochi Giochi dinamici a informazione completa Lorenzo Rocco Scuola Galileiana - Università di Padova 01 aprile 2010 Rocco (Padova) Giochi 01 aprile 2010 1 / 24 Giochi in forma

Dettagli

Cooperazione di Agenti Informatici Corso di Laurea Specialistica in Informatica A.A. 2008/09 Prof. Alberto Postiglione

Cooperazione di Agenti Informatici Corso di Laurea Specialistica in Informatica A.A. 2008/09 Prof. Alberto Postiglione ooperazione di genti Informatici orso di Laurea Specialistica in Informatica.. 2008/09 Prof. lberto Postiglione UD.2: Esempi di Giochi Prof lberto Postiglione ooperazione di genti Informatici (08/09) UD.2

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

di informazione asimmetrica:

di informazione asimmetrica: Informazione asimmetrica In tutti i modelli che abbiamo considerato finora abbiamo assunto (implicitamente) che tutti gli agenti condividessero la stessa informazione (completa o incompleta) a proposito

Dettagli

Esercizi TdG per PoliMI

Esercizi TdG per PoliMI Esercizi TdG per PoliMI c Fioravante Patrone Esercizi TdG per PoliMI Esercizio Trovare gli equilibri di Nash (in strategie pure) dei giochi seguenti. I II L R T,, B,, I II L R T 99, 99, B, 98, 98 Quale

Dettagli

TEORIA DEI GIOCHI Marco Alderighi

TEORIA DEI GIOCHI Marco Alderighi TEORIA DEI GIOCHI Marco Alderighi Esempio. La maggiore produttrice di autovetture italiane (Fiat) nel prendere le decisioni di quando introdurre un nuovo modello sul mercato, con quali accessori, con quali

Dettagli

Lezione IV: Giochi e Strategie

Lezione IV: Giochi e Strategie Lezione IV: Giochi e Strategie Una decisione può essere definita strategica se è basata su di un ipotesi relativa al comportamento di altri soggetti e/o mira ad influenzarlo. Ex: la scelta dei titoli di

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Scelte in condizione di incertezza

Scelte in condizione di incertezza Scelte in condizione di incertezza Tutti i problemi di decisione che abbiamo considerato finora erano caratterizzati dal fatto che ogni possibile scelta dei decisori portava a un esito certo. In questo

Dettagli

Economia Pubblica Giochi con informazione incompleta e Selezione Avversa

Economia Pubblica Giochi con informazione incompleta e Selezione Avversa Economia Pubblica Giochi con informazione incompleta e Selezione Avversa Giuseppe De Feo Università degli Studi di Pavia email: giuseppe.defeo@unipv.it Secondo Semestre 2011-12 Outline Equilibrio di Nash

Dettagli

5.4 Solo titoli rischiosi

5.4 Solo titoli rischiosi 56 Capitolo 5. Teoria matematica del portafoglio finanziario II: analisi media-varianza 5.4 Solo titoli rischiosi Suppongo che sul mercato siano presenti n titoli rischiosi i cui rendimenti aleatori sono

Dettagli

Teoria dei Giochi. Anna Torre

Teoria dei Giochi. Anna Torre Teoria dei Giochi Anna Torre Almo Collegio Borromeo 5 marzo 25 email: anna.torre@unipv.it sito web del corso:www-dimat.unipv.it/atorre/borromeo25.html MODALITÀ DI ESAME È previsto un appello alla fine

Dettagli

Teoria dei Giochi. Anna Torre

Teoria dei Giochi. Anna Torre Teoria dei Giochi Anna Torre Almo Collegio Borromeo 14 marzo 2013 email: anna.torre@unipv.it sito web del corso:www-dimat.unipv.it/atorre/borromeo2013.html IL PARI O DISPARI I II S T S (-1, 1) (1, -1)

Dettagli

Un modello matematico di investimento ottimale

Un modello matematico di investimento ottimale Un modello matematico di investimento ottimale Tiziano Vargiolu 1 1 Università degli Studi di Padova Liceo Scientifico Benedetti Venezia, giovedì 30 marzo 2011 Outline 1 Preliminari di calcolo delle probabilità

Dettagli

ELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso

ELASTICITÀ. Sarebbe conveniente per il produttore aumentare ulteriormente il prezzo nella stessa misura del caso Esercizio 1 Data la funzione di domanda: ELASTICITÀ Dire se partendo da un livello di prezzo p 1 = 1.5, al produttore converrà aumentare il prezzo fino al livello p 2 = 2. Sarebbe conveniente per il produttore

Dettagli

1 Inefficienza degli equilibri

1 Inefficienza degli equilibri Strumenti della Teoria dei Giochi per l Informatica A.A. 2009/10 Lecture 8: 9 Aprile 2010 Inefficienza degli equilibri Docente Prof. Vincenzo Auletta Note redatte da: Carmine Giordano Abstract In questa

Dettagli

Laboratorio di dinamiche socio-economiche

Laboratorio di dinamiche socio-economiche Dipartimento di Matematica Università di Ferrara giacomo.albi@unife.it www.giacomoalbi.com 21 febbraio 2012 Seconda parte: Econofisica La probabilità e la statistica come strumento di analisi. Apparenti

Dettagli

Economia Pubblica Rischio e Incertezza

Economia Pubblica Rischio e Incertezza Economia Pubblica Rischio e Incertezza Giuseppe De Feo Università degli Studi di Pavia email: giuseppe.defeo@unipv.it Secondo Semestre 2011-12 Seconda parte del corso di Economia Pubblica I problemi dell

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai

Dettagli

6.4 Risposte alle domande di ripasso

6.4 Risposte alle domande di ripasso Economia dell informazione e scelta in condizioni di incertezza 45 6.4 Risposte alle domande di ripasso 1. Se si potesse falsificare il segnale, questo cesserebbe di essere un segnale perché diventerebbe

Dettagli

TEORIA DEI GIOCHI Parte 2 Matematica nella realtà Università Bocconi

TEORIA DEI GIOCHI Parte 2 Matematica nella realtà Università Bocconi TEORIA DEI GIOCHI Parte 2 Matematica nella realtà Università Bocconi Roberto Lucchetti - Politecnico di Milano 17 Dicembre 2010 Giochi in forma estesa, fino a Zermelo Un modo matematico per descrivere

Dettagli

Esempi di domande per l esame di Economia Monetaria

Esempi di domande per l esame di Economia Monetaria Esempi di domande per l esame di Economia Monetaria. Supponete che la funzione di utilità di un agente sia u x. La remunerazione è rappresentata da un prospetto incerto, che prevede un reddito di 800 nel

Dettagli

Domanda e offerta di lavoro

Domanda e offerta di lavoro Domanda e offerta di lavoro 1. Assumere (e licenziare) lavoratori Anche la decisione di assumere o licenziare lavoratori dipende dai costi che si devono sostenere e dai ricavi che si possono ottenere.

Dettagli

Dimensionamento dei lotti di produzione: il caso con variabilità nota

Dimensionamento dei lotti di produzione: il caso con variabilità nota Dimensionamento dei lotti di produzione: il caso con variabilità nota A. Agnetis In questi appunti studieremo alcuni modelli per il problema del lot sizing, vale a dire il problema di programmare la dimensione

Dettagli

Teoria dei Giochi. Dr. Giuseppe Rose Università degli Studi della Calabria Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata a.a 2011/2012 Handout 2

Teoria dei Giochi. Dr. Giuseppe Rose Università degli Studi della Calabria Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata a.a 2011/2012 Handout 2 Teoria dei Giochi Dr. Giuseppe Rose Università degli Studi della Calabria Corso di Laurea Magistrale in Economia Applicata a.a 2011/2012 Handout 2 1 Concetti risolutivi per i giochi in forma normale I

Dettagli

1. PRIME PROPRIETÀ 2

1. PRIME PROPRIETÀ 2 RELAZIONI 1. Prime proprietà Il significato comune del concetto di relazione è facilmente intuibile: due elementi sono in relazione se c è un legame tra loro descritto da una certa proprietà; ad esempio,

Dettagli

Teoria dei Giochi. Vito Fragnelli A.A. 2010-11

Teoria dei Giochi. Vito Fragnelli A.A. 2010-11 Teoria dei Giochi Vito Fragnelli A.A. 2010-11 Capitolo 1 Teoria dei giochi e utilità 1.1 Esempio preliminare (da Young, 1994) Due paesi A e B, aventi rispettivamente 3.600 e 1.200 abitanti, vogliono costruire

Dettagli

Note sulla teoria dei giochi 1

Note sulla teoria dei giochi 1 Note sulla teoria dei giochi 1 1. Le caratteristiche di un gioco La teoria dei giochi è usata per lo studio delle situazioni di interazione strategica, vale a dire le situazioni in cui l'utilità di un

Dettagli

1. Calcolare la probabilità che estratte a caso ed assieme tre carte da un mazzo di 40, fra di esse vi sia un solo asso, di qualunque seme.

1. Calcolare la probabilità che estratte a caso ed assieme tre carte da un mazzo di 40, fra di esse vi sia un solo asso, di qualunque seme. Esercizi difficili sul calcolo delle probabilità. Calcolare la probabilità che estratte a caso ed assieme tre carte da un mazzo di, fra di esse vi sia un solo asso, di qualunque seme. Le parole a caso

Dettagli

Modelli di Ottimizzazione

Modelli di Ottimizzazione Capitolo 2 Modelli di Ottimizzazione 2.1 Introduzione In questo capitolo ci occuperemo più nel dettaglio di quei particolari modelli matematici noti come Modelli di Ottimizzazione che rivestono un ruolo

Dettagli

ESERCITAZIONE 8: GIOCHI SEQUENZIALI, ASIMMETRIE INFORMATIVE ED ESTERNALITA

ESERCITAZIONE 8: GIOCHI SEQUENZIALI, ASIMMETRIE INFORMATIVE ED ESTERNALITA MICRECNMI CLE.. 003-004 ssistente alla didattica: Elena rgentesi ESERCITZINE 8: GICHI SEUENZILI, SIMMETRIE INFRMTIVE E ESTERNLIT Esercizio : Giochi sequenziali e minacce credibili Si consideri un mercato

Dettagli

La Minimizzazione dei costi

La Minimizzazione dei costi La Minimizzazione dei costi Il nostro obiettivo è lo studio del comportamento di un impresa che massimizza il profitto sia in mercati concorrenziali che non concorrenziali. Ora vedremo la fase della minimizzazione

Dettagli

Corso di Economia Politica (a.a. 2007-8) Esercitazioni - Microeconomia

Corso di Economia Politica (a.a. 2007-8) Esercitazioni - Microeconomia Corso di Economia Politica (a.a. 007-8) Esercitazioni - Microeconomia Capitolo 6: Problemi 5, 6, 8, 9 Capitolo 7: Problemi 1,, 4 Capitolo 8: Problemi 3, 10 Capitolo 9: Problemi 3, 4, 7, 9 Capitolo 10:

Dettagli

La Programmazione Lineare

La Programmazione Lineare 4 La Programmazione Lineare 4.1 INTERPRETAZIONE GEOMETRICA DI UN PROBLEMA DI PROGRAMMAZIONE LINEARE Esercizio 4.1.1 Fornire una rappresentazione geometrica e risolvere graficamente i seguenti problemi

Dettagli

ESERCITAZIONE 1. 15 novembre 2012

ESERCITAZIONE 1. 15 novembre 2012 ESERCITAZIONE 1 Economia dell Informazione e dei Mercati Finanziari C.d.L. in Economia degli Intermediari e dei Mercati Finanziari (8 C.F.U.) C.d.L. in Statistica per le decisioni finanziarie ed attuariali

Dettagli

Progetto costo I. O. I.A. A 5 9 4 B 8 15 9 C 4 3 3 D 9 7 1

Progetto costo I. O. I.A. A 5 9 4 B 8 15 9 C 4 3 3 D 9 7 1 Tecniche di Valutazione Economica Processo di aiuto alla decisione lezione 13.04.2005 Modello di valutazione Dobbiamo riuscire a mettere insieme valutazioni che sono espresse con dimensioni diverse. Abbiamo

Dettagli

MICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti. Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza

MICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti. Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza MICROECONOMIA La teoria del consumo: Alcuni Arricchimenti Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza 1 Dotazioni iniziali Il consumatore dispone ora non di un dato reddito monetario ma di un ammontare

Dettagli

Capitolo 33: Beni Pubblici

Capitolo 33: Beni Pubblici Capitolo 33: Beni Pubblici 33.1: Introduzione In questo capitolo discutiamo le problematiche connesse alla fornitura privata dei beni pubblici, concludendo per l opportunità dell intervento pubblico in

Dettagli

Incertezza, assicurazioni, deterrenza

Incertezza, assicurazioni, deterrenza Incertezza, assicurazioni, deterrenza (anche questo è adattato da altri pezzi per mancanza di tempo) Scelta sotto incertezza come scelta tra lotterie L esperienza ci insegna che in generale le conseguenze

Dettagli

Analisi matriciale delle reti di Petri (P/T) - sifoni e trappole -

Analisi matriciale delle reti di Petri (P/T) - sifoni e trappole - Analisi matriciale delle reti di Petri (P/T) - sifoni e trappole - - richiami preliminari sulle proprietà strutturali - Abbiamo visto che alcune caratteristiche dei sistemi dinamici (DES compresi) non

Dettagli

Microeconomia A-K, Prof Giorgio Rampa a.a. 2011-2012. Svolgimento della prova scritta di Microeconomia AK del 19 settembre 2012

Microeconomia A-K, Prof Giorgio Rampa a.a. 2011-2012. Svolgimento della prova scritta di Microeconomia AK del 19 settembre 2012 Svolgimento della prova scritta di Microeconomia AK del 19 settembre 2012 A DEFINIZIONI - Si definiscano sinteticamente i termini anche con l ausilio, qualora necessario, di formule e grafici. 1. Beni

Dettagli

Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete

Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete Funzioni in due variabili Raccolta di FAQ by Andrea Prevete 1) Cosa intendiamo, esattamente, quando parliamo di funzione reale di due variabili reali? Quando esiste una relazione fra tre variabili reali

Dettagli

MICROECONOMIA. L oligopolio. Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza

MICROECONOMIA. L oligopolio. Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza MICROECONOMIA L oligopolio Enrico Saltari Università di Roma La Sapienza 1 Π 1 = P Q 1 2 Secondo i criteri adottati, l oligopolio può essere definito come quella forma di mercato composta da un numero

Dettagli

Che cos è la politica?

Che cos è la politica? Che cos è la politica? Giovanni Carbone, Università degli Studi di Milano da: Clark Golder Golder, Principi di scienza politica, McGrawHill, 2011 Che cosa è la politica? Potere (sociale): capacità di un

Dettagli

Tasso di interesse e capitalizzazione

Tasso di interesse e capitalizzazione Tasso di interesse e capitalizzazione Tasso di interesse = i = somma che devo restituire dopo un anno per aver preso a prestito un euro, in aggiunta alla restituzione dell euro iniziale Quindi: prendo

Dettagli

Ottimizzazione Multi Obiettivo

Ottimizzazione Multi Obiettivo Ottimizzazione Multi Obiettivo 1 Ottimizzazione Multi Obiettivo I problemi affrontati fino ad ora erano caratterizzati da una unica (e ben definita) funzione obiettivo. I problemi di ottimizzazione reali

Dettagli

Beni pubblici e beni privati forniti dal settore pubblico

Beni pubblici e beni privati forniti dal settore pubblico Beni pubblici e beni privati forniti dal settore pubblico Obiettivi delle prossime due lezioni Che cosa distingue i beni pubblici, tipicamente forniti dal settore pubblico, dai beni forniti dal mercato?

Dettagli

Teoria dei Giochi. Anna Torre

Teoria dei Giochi. Anna Torre Teoria dei Giochi Anna Torre Almo Collegio Borromeo 3 marzo 2015 email: anna.torre@unipv.it sito web del corso:www-dimat.unipv.it/atorre/borromeo2015.html MODALITÀ DI ESAME È previsto un appello alla fine

Dettagli

L economia: i mercati e lo Stato

L economia: i mercati e lo Stato Economia: una lezione per le scuole elementari * L economia: i mercati e lo Stato * L autore ringrazia le cavie, gli alunni della classe V B delle scuole Don Milanidi Bologna e le insegnati 1 Un breve

Dettagli

MATEMATICA PER LO STUDIO DELLE INTERAZIONI STRATEGICHE: TEORIA DEI GIOCHI

MATEMATICA PER LO STUDIO DELLE INTERAZIONI STRATEGICHE: TEORIA DEI GIOCHI MATEMATICA PER LO STUDIO DELLE INTERAZIONI STRATEGICHE: TEORIA DEI GIOCHI Anna TORRE 1 1 INTRODUZIONE La teoria dei giochi è una disciplina matematica molto recente. La sua nascita viene convenzionalmente

Dettagli

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI

ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI ALGEBRA I: CARDINALITÀ DI INSIEMI 1. CONFRONTO DI CARDINALITÀ E chiaro a tutti che esistono insiemi finiti cioè con un numero finito di elementi) ed insiemi infiniti. E anche chiaro che ogni insieme infinito

Dettagli

Decisioni in condizioni di incertezza

Decisioni in condizioni di incertezza Decisioni in condizioni di incertezza Paolo Arcaini Roberto Cordone Programmazione in condizioni di incertezza La programmazione in condizioni di incertezza affronta problemi di decisione nei quali occorre

Dettagli

Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici. Università degli Studi di Bari Aldo Moro. Corso di Macroeconomia 2014

Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici. Università degli Studi di Bari Aldo Moro. Corso di Macroeconomia 2014 Dipartimento di Economia Aziendale e Studi Giusprivatistici Università degli Studi di Bari Aldo Moro Corso di Macroeconomia 2014 1. Assumete che = 10% e = 1. Usando la definizione di inflazione attesa

Dettagli

Produzione e tasso di cambio nel breve periodo

Produzione e tasso di cambio nel breve periodo Produzione e tasso di cambio nel breve periodo Determinanti della domanda aggregata nel breve periodo Un modello di breve periodo dell equilibrio del mercato dei beni Un modello di breve periodo dell equilibrio

Dettagli

Informazione e mercati competitivi. Lezione 29. Infomazione asimmetrica. Infomazione asimmetrica. Infomazione asimmetrica.

Informazione e mercati competitivi. Lezione 29. Infomazione asimmetrica. Infomazione asimmetrica. Infomazione asimmetrica. Lezione 9 Informazione Asimmetrica Informazione e mercati competitivi Mercati perfettamente competitivi: tutti gli agenti sono pienamente informati circa i beni scambiati e sul funzionamento del mercato.

Dettagli

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag. SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno

Dettagli

Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica

Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica Corso di Laurea Ingegneria Informatica Fondamenti di Informatica Dispensa 05 La rappresentazione dell informazione Carla Limongelli Ottobre 2011 http://www.dia.uniroma3.it/~java/fondinf/ La rappresentazione

Dettagli

Serie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari

Serie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari Serie numeriche Definizioni e proprietà elementari Sia { } una successione, definita per ogni numero naturale n n. Per ogni n n, consideriamo la somma s n degli elementi della successione di posto d s

Dettagli

Programmazione lineare

Programmazione lineare Programmazione lineare Dualitá: definizione, teoremi ed interpretazione economica Raffaele Pesenti 1 Dualità 1.1 Definizione e teoremi Definizione 1 Dato un problema di LP in forma canonica max x = ct

Dettagli

ANALISI COSTI-BENEFICI

ANALISI COSTI-BENEFICI ANALISI COSTI-BENEFICI ANALISI COSTI BENEFICI Fondamento dell ANALISI COSTI BENEFICI è l idea che un progetto o una politica possono essere considerati validi dal punto di vista della società se i benefici

Dettagli

Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria

Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Silvana Stefani Piazza dell Ateneo Nuovo 1-20126 MILANO U6-368 silvana.stefani@unimib.it 1 Unità 9 Contenuti della lezione Operazioni finanziarie, criterio

Dettagli

= 8.000 + 2.000 = 5.000.

= 8.000 + 2.000 = 5.000. Esercizio 1 Consideriamo il mercato delle barche usate e supponiamo che esse possano essere di due tipi, di buona qualità e di cattiva qualità. Il valore di una barca di buona qualità è q = 8000, mentre

Dettagli

Lezione 25 (BAG cap. 23)

Lezione 25 (BAG cap. 23) Lezione 25 (BAG cap. 23) Il ruolo della politica economica Corso di Macroeconomia Prof. Guido Ascari, Università di Pavia Quale dovrebbe essere il ruolo della politica economica? Un giusto mix di politica

Dettagli

Università di Milano Bicocca. Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza. 14 Maggio 2015

Università di Milano Bicocca. Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza. 14 Maggio 2015 Università di Milano Bicocca Esercitazione 6 di Matematica per la Finanza 14 Maggio 2015 Esercizio 1 Un agente presenta una funzione di utilitá u(x) = ln(1 + 6x). Egli dispone di un progetto incerto che

Dettagli