5. ljimpostazione assiomatica della probabilità. e{!r* lte sr\' 6!Se& sq ''e { } 2s0

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1 Analizziamo la situazione dal punto di vista finanziario, ricordando che il lotto in questo caso paga ll,23zvolte la puntata' Ecco allora la conseguenza:,. gi*unat tg volte 1 euro sull'uscita del numero 3 a Genova Ylnclamo' in media' una sola volta',o"ndiu-o in tutto 18 euro, ma riceviamo soltanto ù,23 euro! AttivitA VNCTA REALE VNCTA EQUA La tabella mostra (per una puntata di 1 euro) la ti".io reale e quella che si dovrebbe avere in caso di gioco equo. GOCATS, Ambata Ambo 1/rtu l?a & &Le { } L,ZJ 2s0 e{!r* lte sr\' 6!Se& sq ''e { } ,5 Terna 4250 rr748 Quaterna Cinquina r Per confrontare gli svantaggi che il giocatoreha net confronti dello Stato nei diversi casi' calcola la per- ;;;;J. della vincita reale rispetto a quella con eioco equo' Quali sono i tipi di scommesse meno ii""[ri"ii Quali invece si posizionano al top delle i.o*-"tt. inique? Nel gioco della roulette ci sono^37 numeri cht possonj uscire. Lo zero verde, 18 numeri rossi e 18 n"ti S", per esempio' giochi il rosso' la vincita pa- -"i" a ií doppio della posta' La roulette è un gioco!0""i rr giàio ti ptto considerare <più equo> rispetto al lotto? ó"r* i" nternet altre informazioni sui giochi equi e non equi. nventa con i tuoi compagnl un gloco equo.,f\ Cerca nel.1eb: giochi equi' giochi non equi, Probabilità' 5. ljimpostazione assiomatica della probabilità jimpostazioneassiomaticadellaprobabilitàsistemainmodorigorosole.orrjr."nr. e le applicazioni che ti totto sviluppate nel tempo' Lanciamo successivamente una moneta due volte' possibili esiti delfe-,p.rià.tr" costituiscono un insieme chiamato spazio dei campioni: g : {TT,CC,TC,CTl. Consideriamo i seguenti eventi e le proposizioni che li esprimono: Er : <(crocesce una sola volta>; Ez: <croce esce due volte>' ) Gli assiomi sono Proprietà che vengono assunte come prxmttxye, ossra non sono dedotte da altre' bensì accettate come vere' Devono essere non contraddittori fra di loro. n una teoria assiomatica si utilizzano inoltre degli entl primitiví,ossia enti che nolt v"ngono definiti' Per esempio, Per la teoria assiomàtica-della Probabilità, il concetto di evento è primitivo.

2 UNTÀ 1 7. NTRODUZONE ALLA PROBABTTÀ U ) Date due proposizioni p, q, ),a loro disgiunzione p v qè falsa quando en_ trambe sono false e vera negli altri casi. Tavola di verità: V pvq ) Date due proposizioni p, q, a loro congiunzione p nqèveraquandoentrambe sono vere e falsa negli altri casi. Tavola di verità: ry V p^dr V Levento E' è verificato dagli elementi dell,insieme M : tre l'evento {CT,TC}, men_ E2 è verificato da''unico elemento de''insiemà ry-: Possiamo quindi {cc associare }. a ogni evento un sottoinsieme di U. Allora tutti i possib'i eventi che_ si possono associare at,esperimento sono le parti di U e costituiscono il.oridd.tto,po"io irgti"rr*ri, 9 (u1: {{?r}, 199 L TC }, ct }, TT, cc },{TT, Tc }, T.r, ct CC, TC, }, cc, ct j,tc, CT\, 1rf, èc,'tcì: '' TT, CC^, CT,lcc,Tc, ct\,ltt, TC, CT," ltt, CC, TC, CT]f,O1. Questo esempio ci permette di punttatizzare alcuni concetti fondamen_ tali dell'impostazione assiomatica: * tutti i possibili risurtati o campionidi un esperimento aleatorio elementi sono gri di un insieme Uchiamato spazio àei campioni; e un evento E si identifica con un sottoinsieme dli u ea e quando verificato 'esito deil'esperimento coincide con uno a"i *,,.roi erementi; l'evento impossibile è l,insieme vuoto A; * l'evento certo coincide con l,insieme [.r: e un evento erementare è un sottoinsieme di ucostituito da un soro pione; cam_ * l'insieme di tutti i possibili eventi coincide con insieme delre parti Ue si dice di spazio degli eventi. considerando gli eventi come insiemi, possiamo effettuare le usuali razioni ope- fra insiemi, alle quali corrispondi no operazioni rogichetra posizioni re pro_ che descrivono gli eventi. Per esempio, all'evento Erv E2: (croce esce una o due volte>, disgiunzione delle due proposizioni, viene associata 'unione dei toinsiemi due sot_ corrispondenti, owero M U N; indichiamo 'evento anche Et u E2' con Esso risurta.verificato quando iirisurtato a"n,"rp"ir.*rrto elemento è un del sottoinsieme {CC, óf, fcl. Consideriamora 'evento E3 : <testa esce la prima volta>, al quale corrisponde il sottoinsiem e p : {TT, TC}. All'evento E1nE3: (croce esce una volta e testa esce la prima volta>, congiunzione di due proposizioni, viene associata l,intersezione sottoinsiemi dei due corrispondenti, owero M o p; indichiamo l,evento con E1 anche,l E.' Esso risulta verificato quando il risurtato delltsperimento 'elemento è del sottoinsieme {TC}. U, n,e3 si può quindi esprimere îft: anche con <prima esce pol testa croce). e, a, i! ;: i: il ill

3 Farrm6rmf* 5" ljimpostazione assiomatica della probabilità DEFNZONE * Dato un evento E, 'evento complementare E di E rispetto a U è detto evento contrario di E. Tale evento si verifica se e solo se non si verifica E. * Dati due eventi E1edE2, entrambi sottoinsiemi di L, 'evento E1U E2 è detto evento unione o somma logica di El ed E2.. Esso si verifica al verificarsi di almeno uno degli eventi dati. * Dati due eventi E y ed E2, entrambi sottoinsiemi di U, 'evento E1(1 E2 è detto evento intersezione o prodotto logico di E1 ed 82. Esso si verifica al verificarsi di entrambi sli eventi dati. Avendo fissato tutti cuesti elementi si ha la sesuente definizione assiomatica di probabilità. DEFNZONE Definizione assiomatica di probabilità La probabilità è una funzione che associa a ogni evento E dello spazio degli eventi un numero reale, in modo da soddisfare i seguenti assiomi: 1. >o; a P(U): T; 3. se due eventi E 1 ed E 2sono tali che E1 f) Ez : A, allora: E): P(E') + 0a É ^ E ^ Ll L7 - v fimpostazione assiomatica non fornisce alcun procedimento per determinare la probabilità di un eyento, ma i valori di probabilità che vengono assegnati agli eventi devono rispettare gli assiomi. ) Gli eventi che hanno la stessa probabilità si dicono equiprobabili. EsEMPfo Linsieme U è costituito da tre eventi elementari A, B, C, i quali hanno le seguenti probabilità: o(a): -, o(b\: -, Drc): Tàli valori soddisfano gli assiomi della probabilità. n particolare, essendo: AU B U C : U ealb: Aa C: BO C: o, p(a) + p(b) + p(c) ' : : r: p(u) U B l C AUBUC=U Dalla definizione assiomatica si deducono le seguentiproprietà. PROPRETÀ a) p(a): o; b)o=p(e)=t;..=. c)p(e) :l-p(e); d) se E1 C 82, allora e)see1 le2*a e E,): * p(e); ErGEt, allora p(82- Er) : - p(etae). t fliguir,i ) Et - E1 è 'insieme degli eìementi di E2 che non appartengono a Et. EèU-8. Valgono le leggi di De Mojqun' Et U E2: Er Ez; h a E2- E1U 82.

4 UNTA 17. NTRODUZONE ATTA PROBABTTÀ ) La somma logica o :":91" di due eventi E1 ed N2 e.l-evento E, U Er, che nsulta verifi cato quando u,t:no uno degli evenri si venîlca. L'evento somma logica si chiama anche eyento totale. 6, La probabilità delfa somma fogica di eventi Consideriamo i2 dischetti numerati d,a a 2e gli eventi: E, : <<esce Un numero pari>; Ez : <<esce un numero maggiore di 7>. Î:TffiÎ*:lff lm::f à:i,?ffi'".,r:^:'":t-,,contemporane ;il,':ff ::::::;;,i,;l-*";;;;;;;:"#:ilit,llljl;:j::l';,1 Consideriamo ora gli eventi: E: : <estrazione di un multiplo di 5>; E4 : (estrazione di un multiplo di 3u. 'Î::::'.':""7",f,iÎ;,1Î),í:f;ion Possono verincarsi contemporaneamente: n generare' due eventi E 1 ed' E2,relativi si dicono ato stesso incom.nlfltd* spazio di campioni, l;#.urri contemporaneo ai uno eùude dell'altro, il verificarsi cioè E, à E, _ no compatibili. A.n si ";;;r;;io dico_ Vale il seguente teorema. TEOREMA Probabilità della somma logica di due eventi t,, E1nE2 ) Se gli eventi sono incompatibili, si ha ît Er) : p(a) : o. U La probabilirà della.?ttu logica di due,ev.enri E, ed,e2 è uguale alla,tr1#,::t t oro prob abilità ii_;;ilieua prob abin a"ri "r" evento p(eru Ez) : + p(ez) - E2). n particolare, se gli eventi sono incompatibili: E): p(er) + Nel caso di tre eventi,la relazionedel teorema diventa: E2u h): p(!)_*!lt,) * p(et) _ - E2) + o E) - p(ezn ars +'p6,'h'e2a E3). n ogni caso è sempre opportuno effettuare la rappresen tazionecon i dia_ ;..i. ff ffi i3; ::r:::,.:".ij_ """.", ;, ;.;;;; do ra n gura, re p rob ab lità da X,,

5 Faragrafo 6. La probabilità della somma logica dieventi r EsEMPlo un'urna contiene 15 palline numerate da 1 a 15. calcoliamo la probabilità che, estraendo una pallina, essa rechi: l. un numero dispari o maggiore di l0; 2. un numero minore di 6 o maggiore di 10; 3. un numero minore di 6 o dispari o maggiore di 10. Gli eventi sono: E1 : <<esc un numero dispari>; E2 : < sc un numero maggiore di 10>; E3 : <esce un numero minore di 6>. EluE2uE3 { Ftg&*re;& 5e il diagramma è quello della figura, per ottenere p(et U E, U E3), alla somma di p(el, p$z) e pezl dobbiamo sottrarre pel n E2) ep(4 fl Éz). utilizzando il diagramma di Eulero-venn, possiamo calcolare la probabilità dell'evento somma: r. E): p(e) r Ez) : + p(er):3 * +: 3. E2U Er): _ t Analogamente, si può generalizzare la relazione precedente al caso di n eventi; essa si riduce alla seguente quando sono tutti incompatibili. TEOREMA Teorema della probabilità totale Dati n eventi a due a due incompatibili 81, 82,..., En,laprobabilità della loro unione è uguale alla somma delle loro singole probabilita: EzU...u 8,): p(e) p(e,).

6 ururrà 17. tntroduztone ALR proerartrrà 7, La probabilità condizionat Un'urna contiene sappiamo identiche.rr" numerate ro,i]j,llline paao da dei 1 a campioni 12. è u : {1, 2,3,4,5,6,7,g, 9, o, u, r2 e 'evento U O' E = <estrazione di una pallina con un numero divisibile per 3> ha probab'i tìt p (E) : 4 = r 12 3' ) Consideriamo l,evento Et = <<estrazione di una pallina con un rlumero maggiore di 7>' per ' quarep (r,) : *. oru _Valutiamo tu prooubilità verificaro. dj ndjchiàmo;;;;;; E quando Sram o probabilità di'-qu "tt:. p.tobabi ità cc ffiff.?ff:j?,pi:i" che revenro E1 si è rn q ues "^:;,: t''t ct' e r egnon sono più i2, ma s ta s iru azi o ne ffilî*:i,t;ill#?:i verso si è rido*o a: -. jono ar*"i"ij'ii#;î;:;,'iil,:jt,ì:t"iljì:1: u' : Er = {g, 9, ro, lr,l casi favorevoli sono i 2 elementi dell'insiem, 'E ' Laprobabilità [.a nr^a.r-,'r:.,. E1:, {9, 12}. èp(e lar; = a che è ;, un valore maggiore dip(a; :1 linformazione supplemenrqra 3 ' -^--sre r.^ ^_ eventi evenri rr4 E aumentato ed a, Elsi,i aiió,,otziiiíí,!::::::1". dicàn ra o probabilirà correlati positivamente. di È. r dr due ) Consideriamo l,evento Ez: <<estrazione di una pallina con un numero pari>' per il quarep (Ez):-1 = ' ta probabirità,y:i::,.'.: di E supponendo Ez. rndichiamo ra p.àrijii,u""a:t',:jjf#:,:',"";lo::î ia"/b Anche in questa sitr possib'i d,.i" sreme universo si è.iootto u ptt1r",ff3}n:";;j;:p-.xzione in pir). Gri esiti tt 6 (figura ú), in quanto l,in_ U' : Ez: {2,4,6, B, ro, 12} e i casi favorevoli sono i 2 elementi dell,insieme E a E2: {6, 2.

7 Paragrafo 7. La probabilità condizionata che è uguale al valore di n questo caso f inform azione supplementare non ha mutato il valore della probabilità dell'evento. due eventi E ed E2 si dicono stocasticamente indipendenti. ) Consideriamo 'evento Ez: <<esttazione di una pallina con un numero minore di 8>' 7 per il quale p(e:) : U. 2 r La probabilità è :-:- P(ElEr) 6 3 valutiamo la probabilità di E supponendo che sia verificato l'evento E3. ndichiamo la probabilità di E condiz\onataafuconp(ele)' Gli esiti possibili non sono piir 12 ma 7 (figura c)' in quanto l'insieme universo si è ridotto a J' : Et: 11,2,3,4,5,6,71 e i casi favorevoli sono i 2 elementi dell'insieme E ' h: {3' 6}' La probabilità è p (E Er) : minore del valore di p (r ) :!',,.n"è 3 f informazione supplementare, in questo caso' ha portato a un valore minore della prouauitiìa. due eventi E ed fu sono correlati negativamente. ;::il;li'hcondizionata Dati due eventi E 1 ed E 2tali che E 1 c tj, E 2 C J ed E ' E] # a.' dice.si probabilità condi"ionuíu (o subordinata) di El.rispetto a E3' e. si indica ifl,lt l,la probabilita che si verifichi E1 nell'ipoiesi che E2 siaverificato' Se p (Er : lbr) p (Et), cioè le conoscenze ulteriori sul verificarsi di Ez non,"jaìnà*l h proùabilità di El, si dice che gli eventi sono stocasticamente indipendenti. Se invece pinrlnr) * p(et),cioè le conoscenze ulteriori sul verificarsi di Ez modifiiano iu proúuuilità di E1, si dice che gli eventi sono stocasticamente dipendenti' PiÌr precisamente: r sep(er ln)> p(e1), i due eventi sono correlatipositivamente;.,"p {r, lnr) <-p(81), i due eventi sono correlati negativamente. Nel valutare p (Er) si considera 'insieme U, mentre nel valutare lo spazio dei campioni si riduce al sottoinsieme Ez' chiamiamo k il numero degli esiti favorevoli al verificarsi di E2 e r quello Jegh esiti favorevoli al veriàcarsi di E1 nell'ipotesi che E2 si sia verificato, ossia il numero di elementi di E1 n E2' Si ha:. r L1 U' ' L2

8 - uwtra ty" l fnrroduz :ONEATA - PROBABUA ré?íffcru"; *l;;+n".::n# Ll'"*:::lr:Èì; ln:*:,.$:;h;, "d Ar, taii.tl i3'3;=,:;;;#:; 3li"'r":;dTli; noerrtrarnbi gii;;#i í.,:::rd;,il",1j.. u posto. ;::*0"'ì"";;;::# ifil{';nir;:f aotto rog,.j r:h:p^l fadnn'+^,-.. "2 il lofne nfiíi_i: numero de_ ;;;:.:,:1 :.*voji e quell,, _,órr qurì possjbilj. l-ì,'--: r ;;:::"no"numerarore urrenramo; "-^ e eà^^ denominatore - per n.,, nurngle nr,^^ dei carnpion, i di U, =*= _a -- P(E, n p t E'RE[,'A k k f f n ''i*lo,l1:'trfr iíljà:ff ':'E' rispe"o a un even,o È2, non Anulogum"nf", P(ErlE) = P(4n E,) * o' P(8,) -'conp(e) # O. 8. [a proba Oi.n"niibilrrà del prodofto fogico Estraiamo una cai n mazzodi E = 52 <esce "" *':"::: carre; r,evenro è forrnato dai due eventi: E1 = <<esce una carta con semenero)); -bssp','^- ' -^"""" : Ez = (esce a, *. {re di picch. -^ '. un {ir picche, re>. "'^1',j - cl c- _z À. w. re di fiori}, -.vrrj, la r?.l probabilità de.lprodotto logico = p(et n E2) =3 = - 26 ' eue^stolisulrarosipuò ^rr::^ "s':ra(ela'zione deilà r o;;;ff:::t un atrro rnodo. = p(et condizionah t) Er;*"urtd otteniamo: ^ o.'!'o Er) = App.lichiarno questa x Abbiamo p (8,, = ;' -"ine s2 -T' ne' nostro esempio.

9 Fmrmgrm#u ffi, La probabilità del prodotto logico di eventi.!!f F reè. Per l'evento E2 condizionato a E,, essendo uscita una carta nera, i casi possibili sono 26, mentre i casi favorevoli sono 2: P(ErlE') Pertanto p (81 n E) : p (E). r) n generale, vale il seguente teorema. TEOREMA Teorema della probabilità composta 26 ) Abbiamo riottenuto il valore calcolato preceden - temente in modo diretto. La probabilità dell'evento composto o prodotto logico degli eventi E1 ed 2 è uguale al prodotto della probabilità dell'evento E1per la probabilità 'evento E2 nell'ipotesi che E1 si sia verificato: Er) : particolare, nel caso di eventi stocasticamente indipendenti: ) Se gli eventi sono stocasticamente indipendenti, p(e,er): p(er). SEMPO l. Estrazione con reimmissione Un urna contiene 5 palline bianche e 5 nere (fig:ura a). Vien estratta una pallina e poi una seconda, dopo che la prima è stata rimessa nell'urna (figura b). Qual è la probabilità che in due estrazioni successive vengano estratte due palline nere? Levento (vengono estratte due palline nere> è composto dai due eventi semplici: E1 : <la prima pallina è nera>; E2: <<la seconda pallina è nera>. \ ed E2 sono indipendenti; infatti, dopo la prima estrazione, la pallina è rimessa nell'urna e a situazione iniziale viene ripristinata. i l i o r o r o i (?:..::j a. Situazione iniziale :::?: b. Situazione dopo la prima estrazione con reimmissione 5 l q r Siha: p(er) : -i- - e p(8,) : l0 2 ''' l0 2 La probabilità dell'evento intersezione è: P(Er O E): +'+: ) ) A 2. Estrazione senza reimmissione Consideriamo nuovamente 'urna con 5 palline bianche e 5 nere (figura a). Estraiamo prima una pallina e poi, senza rimettere la prima nell'urna, una seconda pallina. Qual è la probabilità che entrambe le palline siano nere?

10 UNTA r 7. NTRODUZONE AttA PROBABTTÀ La probabilità che la prima sia nera è: l-*-*1 t!3;.3, c. Situazione dopo la pflma estrazione senza reimmissione P(Er) : 10 Gli.eventi,sono dipendenti: infatti, ra probabilità der secondo è evento piir quella non di prima, perché la composizione iniziale dell,urna modificata. risulta La probabilità che la seconda sia nera, condizionata dar fatto che estratta la prima sia nera, si ottiene pensando ail'urna.he contiene if"ììi* che e 4 ui""_ nere (figura c): 4 i. La probabilità che entrambe le palline siano nere è: 4 tr z' g- T:E'5 Applicando il teorema della probabilità composta, possiamo calcolare la probabìlità degli eventi compìsti anche quanào,ror, è porriuit" "rr"ttuare il calcolo diretto. ESEMpro Da una rilevazione statistica è risurtato che, dopo 2 anni dalla data di vendita' su g0 lavatrici 12 hanno rilevato difetti sàro uri"^guurr-rrzioni e 5 solo al firtro deta pompa. carcoriamo la probabilità che una ravatrice manifesti questi due difetii, che si presentano indipendenti: E, : <<avere difettose le guarnizioni>, DlEt): t f LL J B0 20 0,15:15o/o; E2: <<aye.rr- difettoso il filtro della pompa>, ì P\l:z): ll: 0,0625: B0 76 l :6,250/o: a / F A F \ 3 3 P\t:t nz) :6. 16 :,O : 0, : 0,9375o/o. ) Finora abbiamo esaminato problemi risoivibili o con la,somma logica o con il prodotto. Negli esercizi troverai anche problemi che si risolvono utiiizzando congiun_ tamente la somma e il prodotto logico. Se invece, frale 12 lavatrici che hanno le guarnizioni difettose, 3 presentano difetti anche ar filtro deta pompa, íon porr"*o piìr considerare i due. eventi come indipendenti. t.r q.r"rto caso, ra probabilità di avere difetti alle guarnizioni e al filrro della pompa è: 3 : i0 : 0'0375:3'750/o' l teorema della probabilità composta si può estendere a piìr eventi che si devono verificare uno dopo 'aliro,.orrrid"rurrdo sempre quello prece_ dente come verificato.

11 Paragrafo 9. ll teorema di Bayes caso di tre eventi, la formulazione è la seguente: p(e): E2. h): p(er).p(erlar).p(erl(er. E)), : E2. h) : ) D'ora in poi, per brevitèr, nel parlare di eventi dipendenti o indipendenti tralasceremo il termine (stocasticamente>, ll teorema di Bayes 'evento deve accadere: la disintegrazione mo le due urne seguenti: urna 1: 3 palline bianche e2 nere; urna2:4 palline bianche e 5 nere. la probabilità che, scegliendo a caso un'urna ed effettuando estrazione di una pallina, quest'ultima sia bianca. la scelta dell'urna ci affidiamo al lancio di un dado: se si presenta un minore di tre, effettueremo l'estrazione dalla prima urna, altrimenti dalla seconda. ieventi relativi alla scelta dell'urna sono: Er : <<faccia del dado con numero minore di tre>; E2: <<faccia del dado con numero maggiore o uguale a tre>. Questi due eventi sono incompatibili ed esauriscono tutte le possibilità del lancio del dado. Essi hanno probabilità: 2 T p(et):t:t, p(8,) ' Colleghiamo gli eventi El ed E2 alle due urne con le palline bianche nere considerando la rappresentazione della figura 5. Allora l'evento E : <<estrazione di una pallina bianca> è un sottoinsieme di U : E, U E" < $igura 5 ed è l'unione di due eventi incompatibili:

12 rone A*A probab*rrà - f Et ' E : <uscita di una faccia del dado con un numero minore ed di estrazione tre di^una pallina bianca dalla prima E2a urna); E: <uscita di una faccia del auao.nrì"-í;",:::l uguale a tre ed estrazione rt #;xrill""j,;t#fi:t'".t": da urna>. Gli eventi condizionati rerativi al estrazione deila pallina bianca, avendo scelto l'urna, sono: E le, : <estrazione pallina bianca avendo scelto la prima urna>; ElE2: <estrazione panina bianca avendo scelto la seconda urna). Essihannoprobabilitì /*,-. 3 ti p\ll8') :T,.*, 4 p(elnr,1 :-. Applicando il teorema de'a probabilità composta, abbiamo che gli eventi composti Et n E ed E2 O E hanno rispettivamente probabilità: l? E): r -, J ) 5 E) : p(er).p(eler) _ q ) '? L/ Possiamo ora carcolare la probab'ità det'evento E, che eventi è unione composti: dei due E : (8, n g) U (EzO E): EssendoElE ed,e2le eventi incompatibili, la probabilità della loro unione è uguale alla som_ ma delle loro probabilità. > ii:iige.ace S 8-67 s 27 13s. Sostituendo le formule di p (Er l E) e p (8, n Dofieniamo: P(E) : p(8,) - p (Elr,) + p (Ez). Possiamo sintetizzaretutto il procedimento ner modo seguente (figura 6). 3 ) E2 4 q * -;*" o - +.+=t f, T' ) n un diagramma ad al_ b.er.o i ramí sono i segmen_ tr che congiungonoi nodi. sr1istr1, percorrendo lll:* t i rami del diagramma mo ra ad successione albero teggia_ deqli eventi che formano l'eiento tuiamo.;;;;r;;;d il prodotto effet- delìe probabilità.

13 Faragrafo 9. ll teorema di Bayes rami uscenti da un nodo rappresentano eyenti incompatibili e sommando le probabilità segnate su essi otteniamo il valore 1. Addizionando le probabilità degli eventi prodotto dei percorsi otteniamo la probabilità dell'evento considerato : nltr):_ t_ :_ n generale, un evento E si può esprimere come unione di eventi composti a due a due incompatibili nel seguente modo: E: (Et ne) U (E2aE) U... U (E,,aE) dove E1, E2,..., E, costituiscono unapartizione dello spazio dei campioni U, cioè sono /1 eventi che godono delle seguenti proprietà: s non sono impossibili: E; * A per i : 1.,2,3,..", n) s sono incompatibili a due a due: Ei ît Ei: A per i,j :,2, 3,..., n e s sono tali che la loro unione ErU E2 U... U E, è un evento certo. Applicando il teorema della probabilità totale, si ha = n E) + p(e ì E) p(e fi E") e applicando il teorema del prodotto logico di eventi si ha la formula = p(8,). p(ele,) p(8"). p(ele"), a cui applicazione risulta facilitata utilizzando i diagrammi ad albero. 5e l'evento è accaduto: ilteorema di Bayes Consideriamo ancora 'esperimento relativo all'estrazione di una pallina bianca da due urne, la cui scelta è stabilita dal lancio di un dado. Supponiamo che 'evento E : <estrazione di una pallina bianca> sí sia verificafo. Proviamo a rispondere alla seguente domanda: <qual è la probabilità che la pallina estratta proyenga dalla prima urna?>. Siamo in una situazione completamente diversa da quella precedente. nfatti abbiamo sempre calcolato la probabilità di un evento che potrebbe accadere conoscendo le cause che stanno alla base del suo verificarsi. Ora siamo di fronte a un evento che si è verificato e vogliamo conoscere la probabilità da assegnare alla causa che può averlo prodotto. ) Questo procedimento è detto <di disintegrazione>. U F F-1 E Z F r F66*r;*? Una partizione dello spazio dei campioni U e dell'evento E- ) Questa formula è anche detta formula di disintegrazione. ) Nel problema esaminato 'urna contiene 3 palline bianche e 2 nere, Ì'urna 2 ne contiene 4 bianche e 5 nere; se la faccia del dado ha un numero minore di 3, 'estrazione awiene dalla prima urna, altrimenti dalla seconda. Tiascriviamo le seguenti notazioni già adottate: Er: <<faccia del dado con un numero minore di tre>; Et E : <uscita di una faccia del dado con un numero minore di tre ed estrazione di una pallina bianca dalla prima urna>; ElEr: <estrazione di una pallina bianca essendo uscita una faccia del dado con un numero minore di tre>.

14 UNTÀ 17. NTRODUZONE AA PROBABTTÀ valori de'a probab'ità che abbiamo carcolato precedentemente o E) : p(e,).p(e ja,; :1 e Dalla relazjone della probabilità composta n E): 6 / D(E\: "' sono: rrcavramo p(etle) d:p: aver ", notato strtulamo che p(e i a Er) : valori calcolati p(er pr"."a""i"r."n f_l E), so_ scontrato l,uscita otteniamo di ur;;;lí;;:::'^"1*.; na che, pallina avendo bianca' ri_ dalla prima la probabilit;;";;;;:""*" urna è: p(e,le\ frlffì D \ _ p\lr tt) _ p(etoe) p(l) p(e) Quindi, a probabilità della causa dell, t 5 o,/ 135 3:nil;i:'.'",".:ril*il;ji',1#;fi tff i.:";;".:',1'il""1::i": verificata probabilità totale dell,evenro. G ener alizzjamo il problema. a F rjj )a :- o/ ' la causa, e a ) Thomas Bayes (1702_ 1761), reverendo e mate_ matíco inglese, [u membrt.r della Royal Society. sia u uno spazio di campioni ed E C u.un evento che supponiamo sia ;::',Tffi.,:,",il,,:eriamo il;;ià e di uin n eventi E, : È,,..., 8,. E : (EOE,) u (E a Er)U... u (E a E,), e la probabitnà *.l."unto E; sia stato porto la fra causa la probabitit di E si ottiene conduce i!: r,,nuif alla " p-u"bilità seguente de,,ever,"ì;?#. formula, nota càme teorema?l; di Bayes. TEOREMA Teorema di Bayes La pro.babilità che, essendosi verificato ur sua origine sia revento E;, con i : 7,2,..:,TTa P(EE)- P(E)'P(EE) p(e) ' dove p (E) è la probabilità dell,evento totale: p(e): p(e).p(e.le;) E, la causa che sta aila ilj:ff"#j#ff:fi11:* appticazioni nel campo det conrrolo dela qua_ tarel<peso"dì;;;]jil:.jîilhil:tffi ff ;1;,J#.1,io.,,àru_

15 Faragrafo 3. La concezione statistica della probabilità Si lancia un dado a sei facce. Calcola la probabilità che esca: a) il numero 3; b) un numero multiplo di 3; c) un numero divisibile Per 4; d) un numero multiplo di 8; e) un numero inferiore a 5.,? "l*,u);; c) 7: d) o; et il t i ) l sacchetto della tombola contiene 90 numeri' Viene estratto un numero. Calcola la probabilità che esca: a) un numero maggiore di 50; b) un numero con due cifre uguali; c) un numero con due cifre diverse; d) un numero multiplo di 9; e) un numero Primo inferiore a 20' l latn:b, *;.) q0 rd) n;t) 45 Abbiamo ùn mazzo di 52 catte' Viene estratta una carta. Calcola la probabilità che esca: a) una carta di cuori; b)unacartaminoredi4; [.f 3,1-l c) unacartarossa. 1",?;D) l3 t'tîl Un urna contiene 21 gettoni, su ciascuno dei quali è riportata una diversa lettera dell'alfabeto italiano. Calcola la probabilità che, estraendone uno: a) esca una vocale; b) esca una consonante;.j,tot esca una delle lettere della parola <probabilità). i",*;b)*'.,*] '' Un'urna contiene cinque palline numerate da a 5. Si estrae una pallina' Calcola la probabilità che: a) esca 5; b) esca un numero dispari; c) esca un numero Primo Pari; d) esca un numero maggiore di 5. [. t., 3. - ^ l lai;rb);;c);;a)ol Si getta consecutivamente un dado due volte' Doóo ave. scritto lo spazio dei campioni, calcola la probabilità che le due facce: a) abbiano la somma dei punteggi uguale a 9;- b) abbiano la somma dei Punteggi maggiore di 9; c) abbiano due numeri che sono divisori Ut U' o a)-;b) l-'e' -;.);l 6 el Un'urna contiene 10 biglie bianche e 30 nere' Calcola la probabilità che, estraendone una a caso, non esca una biglia bianca' i+l l4,l Un'urna contiene 8 palline bianche, 5 palline nere e 7 palline rosse. Si estrae una pallina' Calcola la probabilità che: a) esca una Pallina nera; b) non esca una Pallina nera; c) non esca una Pallina tofu.., 3 3 l"t;b):'');l 3. La concezione statistica della probabilità { Teoria a pag"l412 r nfffnmèulln]téoa A,'';r.1r.v;r,.ii':,ii.i. it{ri' La probabilità che una persona colpisca il bersaglió in un poligono di tiro è un valore calcolato a posteriori. Perché? La frequenza relativaf (E) di un evento deve essere caicolata effettuando n esperimenti tutti nelle stesse condizioni. Perché? Anche per la frequenza di un evento, come Per la orobabilità classica, vale la condizione 0 </(E ) < 1, ma il significato dei valori 0 ed 1 è diverso' Perché? Si afferma che il valore della frequenzaf (E) díun evento sottoposto a n píove, tutte nelle stesse condizioni, ténde al valore della probabilità p(e)' Perché?

16 Paragrafo 7. La probabilità condizionata n una sacca sportiva ci sono 10 maglie numerate à"ff r to. Càlcola la probabilità che' estraendo "f a caso una maglia, questa abbia un numero parr o minore di 7. f+l l ) l Urlurna contiene i 90 numeri del lotto' Calcola la orobabilità che estraendo un numero: u;.r.u un numero dispari o multiplo di 4; b) er.u un numero dispari o multiplo trt,., f f)a'o)tl Un'urna contiene 20 palline numerate da a 20' òut.olu lu ptobabilitàihe estraendo una pallina: a) essa rechi un numero dispari; - bj essu rechi un numero minore di 7;.j.rru rechi un numero dispari o minore di 7' r i i3l a)-; b) -_; c) - l*'z' -'lo Si estrae una carta da 'sî mazzo di 52 carte' Calcola la Probabilità che a carta: a) sia un re o un sette; b) sia un re o una figura dicuori; c) sia un urro o o"u turta di picche o una figura'- [^, 2.u\ 3.-',25 1",,, 'o)e '.) Sullo scaffale di una biblioteca vi sono 10 libri '-- ;t"ilt, 20 romanzie 30 libri di fantascienza' Cal- :"ú i" probabilità che venga scelto a caso un libro giailo o un libro di fantascienza' -3-] L3l 101 fnun mazzo di 40 carte le figure sono 12 e i semi tono +, coppe' bastoni' denari e spade' Qual è la probabilità di estrarre a caso una llgura o una iarta di bastoni? tl:l L40J. La probabilità condizionata { Teoria apag.1422 La probabilità di un evento Er condizionata f 03 per carcorare p (Er.gr) ri può applicare la formuall,evento E2 si può *f.ofur. aiteitamente effetnn4?,conp(ez)* 0. Perché? tuando il rappoito fra la numerosità degli eventt plbz) elementari dirr n E2elanumerosità degli eventi elementari di 82. Perché? io+ vrnoofalso? t a) Se il numero degli eventi elementari che verificano (Et E2) è 5 e il numero Î degli eventi elementari che verificano Er è 8' allorap(ez 1 ft) : T' b) Se p (Er n) :*. p tf,l :, allora i due eventi sono correlati positivamente' 6 t, c) Se sappiamo che p (Er) Ez) : e chep(e) : siamo in grado ;'non distabilireseidueeventisonoindipendentiodipendenti. d) Se due eventi E1 e E2 soro indipendenti, allora p (Er nr) : E)' t05 rnsr SeP(ErfiEr):!-"Pfn):t ( 2 t A l E;, quale dei seguenti valo t\ di p(e) rende i due eventi indipendenti? q t c t / t r 35 _ 7 10 tsl tjj Mtr ME trtr Etr

17 ----l- UNTÀ 1 7. NTRODUZONE ALLA PROBABTTÀ 106 Un urna contiene 40 palline, numerate da a40. Consideriamo i seguenti eventi:.a: <esce un numero divisibile per 5>; B: <esce un numero maggiore di20>>. Calcoliamo la probabilità condizionata di A rispetto a B. Abbiamo: 8 1 p(a): 4 0 5, nrat.b) l0 p(alb): f '-, p(b): +: +, p6. B) 40 2' P(B) s' ì due eventi A e B sono rto.uli.u-.nte indipendenti. ESERCZOGUDA 107 Tre persone A, B e Csono candidate a una carica.a ha la probabilità del 40o/o diessere eletto, B del35o/o e infine C del 25o/o. C rittrala propria candidatura. Calcoliamo le nuove probabilità di vittoria di,4 e B (chiamando con A, B, C anche gli eventi relativi all,elezione delle persone). Levento che si è verificato è la mancata elezione (per ritiro della candidatura) di C. Esso ha probabilità PG): - 025:0,75. LeventoA fì C èancoral'eventoa, eanalogamentel'eventob n C èsemprel'eyentob (glieventia,be Csono incompatibili). Le due probabilità condizionate, ossia quelle cercate, sono: p(alct :-f D(A a c) :# o,4o : ^ _;. o(n 0,53> p(a), p(blc) :ry;= n c) :#: 0,35 ' r \ -" r \- r- ' 0,46> p(b). P\Cl 0,75 p(c) 0,75 Gli eventi sono stocasticamente dipendenti e sono correlati positivamente. 108 Calcola la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di 40, essa sia un re, sapendo che è uscita una figura di coppe. f r l t r l f09 l 3 l L " Si hanno due mazzi di carte da 40. Si estrae da ciascun mazzo una carta. Calcola la probabilità che esse siano due re, sapendo che ùno uscite due figure, e la probabilità che siano due figure, sapendo che sono usciti due re. r L;" 110 Calcola la probabilità che lanciando due dadi la somma delle facce sia 5, sapendo che le facce portano numeri diversi. Z l 11î L;l Una macchina produce pezzi meccanici e su una produzione di 400 pezzi 20 hanno difettoso il peso, 30 lalunghezza e 360 sono perfetti. Calcola la probabilità che prendendo a caio unpezzoi a) abbia entrambi i difetti; b) sia difettoso nel peso, sapendo che anche la lunghezza è difettosa. t 1 ll lu) -;b);l L ' l

18 Paragrafo 8. La probabilità del prodotto logico di eventi ESERCTZ Una massaia è indecisa sull'acquisto di un detersivo. - La probabilità che compri il detersivo marca A è del 12o/o, del tipo B è del l5o/o e del tipo C del73o/o. Essendo entrata in un supermercato e avendo accertato che il detersivo C non era in vendita, qual è la probabilità che abbia acquistato il detersivo A? + lel t * so.roassegnatiglieventiaebinuninsiemeu.sapendo che p(a):+, '' ll ll lt calcota p\lil, ll. r. o., 'jl ls'z'ìt, La probabilità del prodotto ogico di eventi { Teoria apag.1424 i:.rflett SULLATÉORA :,.] i l prodotto logico di due eventi E1 ed. E2sindica per mezzo della loro intersezione Et a 82. Perché? La probabilità dell'evento E1 lì E2 si determina utilizzando la relazione della probabilità condizionata. Perché? l valore di P (Er lì Er) si può determinare direttamente soltanto quando si conoscono il numero degli elementi di Er f) E2 e il numero degli elementi del prodotto cartesiano Et X 82. Perché? 117 Quando due eventi sono stocasticamente indipendenti, la probabilità dell'evento composto è data dalla formula p(erl Er) : p(e,). Perché? 1î8 Levento E : uesce un numero pari divisibile per 3>, relativo al lancio di un dado, è il prodotto logico di due eventi. Perché? 119 Un urna contiene 3 palline gialle e 2 rosse. La probabilità di estrarre consecutivamente 3 palline gialle senza rimettere quella estratta nell'urna si determinacalcolando 3. 2.a perchel v$kt* * p&ls43:i a) Si estraggono consecutivamente due carte daun mazzo di 40 carte senza rimettere la carta estratta nelmazzo. Levento E : <estrazione prima di un 7 e poi di un 3> è un evento composto. tr tr b) Se si effettuano estrazioni consecutive da un urna contenente palline di colore diverso, rimettendo ogni volta la pallina estratta nell'urna, si hanno eventi dipendenti. tr tr c) Sesappiamochep(E1): rorap(et.e): + &l tr ru J 15 d) Un'urna contiene 3 palline nere, numerate da a3, e 5 palline gialle, numerate da a 5. Levento E : <estrazione di una pallina con un numero pari> è un evento composto. E tr T*$Y Da un sacchetto del lotto si estraggono consecutivamente 4 numeri, rimettendo ogni volta quello estratto neli'urna. La probabilità che e prime 3 volte esca un numero divisibile per 5 e 'ultima volta un numero disoari è: t7 1 l,ql ts {l t27 2s0 3 &r_. 10 tr 3 250

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