Calcolo delle P robabilitá. Esercizi svolti e quesiti per il CdS in Economia e Finanza

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1 Calcolo delle P robabilitá Esercizi svolti e quesiti per il CdS in Economia e Finanza Giuseppe Sanfilippo Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli Università degli Studi di Palermo 5 settembre 2008 Versione 1.1 Per comunicare eventuali errori scrivere a giuseppesanfilippochioccioladssm.unipa.it indicando numero della sezione e dell esercizio. 1

2 INDICE p. 2 Indice 1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici. 3 2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete Esercizi Svolti Quesiti Riepilogo esercizi sui numeri aleatori discreti e sulle Probabilità condizionate Esercizi Svolti Quesiti Numeri aleatori Continui Esercizi Svolti Quesiti Distribuzione normale Esercizi Svolti Quesiti Vettori aleatori Esercizi Svolti Quesiti

3 1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici. p. 3 1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici. Esercizio 1.1 (Costituenti). Dati 2 eventi A, B con A B si hanno i seguenti costituenti (vedi Figura 1) C 1 = AB C 2 = A c B C 3 = A c B c. Infatti l intersezione AB c =, A B Ω Figura 1: A B Esercizio 1.2. Dati tre eventi A, B, C, con A C =, verificare se la valutazione P (A) = P (B) = P (C) = 0.4, P (A B) = P (B C) = 0.2 è coerente. Inoltre, considerato il numero aleatorio X = A A B B + B C, calcolare la previsione di X. I costituenti sono C 1 = AB c C c C 2 = ABC c C 3 = A c BC c C 4 = A c BC C 5 = A c B c C C 6 = A c B c C c. Il seguente sistema P (A) = 0.4 = x 1 + x 2 P (B) = 0.4 = x 2 + x 3 + x 4 P (C) = 0.4 = x 4 + x 5 P (AB) = 0.2 = x 2, P (BC) = 0.2 = x 4 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 1, x i 0, i = ammette la soluzione (0.2, 0.2, 0, 0.2, 0.2, 0.2) pertanto la valutazione è coerente. Infine P(X) = P( A ) P( A B )+P( B ) P( B C ) = P (A) P (A B) P (B)+P (B C) = 0.

4 1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici. p. 4 Quesito 1.1. Provare che il sistema relativo alla valutazione di probabilità P = (0.4, 0.3, 0.2) su F = {A, B, A c B c } non ammette soluzioni. Esercizio 1.3. Siano A, B, C tre eventi tali che A e B siano incompatibili, inoltre (A B) C =. Determinare se la valutazione di probabilità P (A) = 2, P (B) = 1, P (C) = 1 è coerente, e in caso affermativo calcolare i valori di probabilità coerenti p per l evento A c B c C c. Si ha A B = A C = B C = e quindi i costituenti sono C 1 = A B c C c = A, C 2 = A c B C c = B, C 3 = A c B c C = C, C 4 = A c B c C c. Allora, per la coerenza, dev essere: P (A)+P (B)+P (C) 1, ed essendo P (A)+P (B)+P (C) = 1 l assegnazione è coerente. Inoltre, dalla relazione segue: p = P (A c B c C c ) = 0. P (A) + P (B) + P (C) + P (A c B c C c ) = 1, Quesito 1.2. Dati tre eventi A, B, C, con A BC, P (B) = P (C) = 0.6, P (BC) = x, P (A) = 0.1, determinare l insieme I dei valori x coerenti. Esercizio 1.4. Dati 3 eventi A, B, C, con A c B c C c =, verificare se le valutazioni di probabilità P (A) = 1, P (B) = 3, P (C) = 5 sono coerenti Risp.: Coerenti? Essendo A c B c C c =, dalle formule di De Morgan segue A B C = Ω e quindi P (A B C) = 1. D altra parte, dev essere: P (A B C) P (A) + P (B) + P (C) = 9 10 < 1, il che è assurdo. Pertanto le valutazioni non sono coerenti. Esercizio 1.5. L architettura di un software è costituita da 3 moduli M 1, M 2, M 3. Sia A i l evento il modulo M i funziona. E noto che se M 1 funziona allora M 2 funziona, se M 2 funziona allora M 3 funziona. Determinare l insieme C dei costituenti generati dagli eventi A i con i = 1, 2, 3 (tenendo conto dei vincoli logici dati). Supposto che P (A 1 ) = 1, P (A 4 3) = 6, determinare i 10 valori di probabilità coerenti p per A 2. Stabilire inoltre se A 1 e A 3 possono essere stocasticamente indipendenti. Siccome A 1 A 2 A 3, i costituenti sono C 1 = A 1 A 2 A 3 ; C 2 = A c 1 A 2 A 3 ; C 3 = A c 1 A c 2 A 3 ; C 4 = A c 1 A c 2 A c 3.

5 1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici. p. 5 Dalla monotonia della probabilità segue che necessariamente 1 4 P (A 2) Essendo A 1 A 3, si ha che A 1 e A 3 non possono essere stocasticamente indipendenti. Infatti P (A 1 A 3 ) = P (A 1 ) P (A 1 )P (A 3 ). Esercizio 1.6. In base a un indagine sanitaria condotta su una fabbrica di carta viene valutata pari a 0.1 la probabilità dell evento E, che una persona che vi lavora da almeno 5 anni soffra di disturbi polmonari, 0.15 la probabilità dell evento H che soffra di cefalea, e 0.8 la probabilità dell evento S che sia sana. E coerente tale assegnazione? si no Gli eventi E ed H sono stocasticamente indipendenti? si no A). Gli eventi E ed H sono incompatibili con l evento S, cioè si ha E S =, H S =. I costituenti possibili sono dati da C 1 = E H S c = E H C 2 = E c H S c C 3 = E H c S c C 4 = E c H c S C 5 = E c H c S c. Il sistema per la verifica della coerenza è dato da x 1 + x 3 = P (E) x 1 + x 3 = 0.1 x 1 + x 2 = P (H) x 1 + x 2 = 0.15 x 4 = P (S) x 4 = 0.8 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 1 x i 0, i = 1, 2, 3, 4, 5 x i 0, i = 1, 2, 3, 4, 5 x 3 = 0.1 x 1 x 2 = 0.15 x 1 x 4 = 0.8 x 5 = x x i 0, i = 1, 2, 3, 4, 5 esso ammette soluzioni per ogni valore di x 1 [0.05, 0.1]. Quindi l assegnazione è coerente. Inoltre osserviamo che x 1 rappresenta P (E H), pertanto non potendo essere x 1 = = gli eventi E ed H non sono stocasticamente indipendenti. B) Osservato che E S = e H S =, si ha inoltre si ha P (E H) + P (S) 1 P (E) + P (H) P (E H) +P (S) 1 P (E H) P (E) + P (S) + P (H) 1 P (E H) 0.05 P (E H) min{p (E), P (H)} P (E H) 0.1 allora per P (E H) [0.05, 0.1] l assegnazione di probabilità data è coerente. Invece per P (E H) = = l assegnazione data non è coerente quindi E ed H non sono stocasticamente indipendenti.

6 1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici. p. 6 Esercizio 1.7. La probabilità che uno studente scelto a caso tra gli iscritti al I anno di Ingegneria dopo la prima sessione non abbia ancora superato l esame di Analisi é 0.7, la probabilità che abbia fatto il liceo scientifico ed abbia superato l esame di Analisi é 0.2. Quali valori coerenti può assumere la probabilità p che abbia fatto il liceo classico ed abbia superato Analisi? p Consideriamo i seguenti eventi: A = Lo studente supera l esame di Analisi alla prima sessione ; S = Lo studente ha fatto il liceo scientifico ; C = Lo studente ha fatto il liceo classico. Essendo gli eventi S e C incompatibili si ha P ((A S) (A C)) = P (A S) + P (A C) P (A) p 0.3 p 0.1 Inoltre dovendo essere anche p 0 si ha p [0, 0.1] Esercizio 1.8. Siano dati 4 eventi A, B, C, D, con A B, C D, B D =, P (A) = P (C) = 1, P (B) = P (D) = p. 5 Determinare l insieme I dei valori p coerenti. Da P (B) P (A) segue p 1. 5 Da P (B D) = P (B) + P (D) = 2p 1, segue p 1 2. Pertanto I = [ 1 5, 1 2 ]. Esercizio 1.9. Dati gli eventi E 1, E 2, E 3, E 4, con E 1 E 2 =, E 1 E 3, E 2 E 3, E 4 E c 3 determinare l insieme C dei costituenti e stabilire per quali valori di p 2 = P (E 2 ) e di p 4 = P (E 4 ) l assegnazione P (E 1 ) = 2P (E 2 ), P (E 3 ) = 1 2, P (Ec 1E 3 ) = 1 4 è coerente. I costituenti possibili sono C = {E 1, E 2, E c 1E c 2E 3, E 4, E c 3E c 4}.

7 1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici. p. 7 Osservando che si ha E 3 = E 1 E 3 E c 1E 3 = E 1 E c 1E 3 P (E 1 ) = P (E 3 ) P (E c 1E 3 ) = = 1 4 e quindi p 2 = 1 2 P (E 1) = 1 8. Per quanto riguarda p 4 osservando che E 4 E c 3 si ha 0 P (E 4 ) e quindi p 4 [0, 1 2 ]. Esercizio 1.10 (Es.1:EF06lug05). Dati 3 eventi A, B, C con A e C incompatibili e B C. Verificare che l assegnazione P (A) = 2 5, P (B) = 3 10, P (C) = 1 2 è coerente. Inoltre calcolare la previsione e la varianza di X = A 2 B + 3 C. Coerenza? SI NO P(X) = σ 2 (X) = La valutazione assegnata è coerente, infatti si ha P (A) + P (C) 1 e P (B) < P (C). La previsione è data da P(X) = P (A) 2P (B) + 3P (C) = = = Inoltre, osservando che X {0, 1, 3} e che P (X = 0) = 1 P (A) P (C) = 1 10, P (X = 1) = P (A) + P (B) = 7 10, P (X = 3) = P (C) P (B) = 2 10, si ha Pertanto, P(X 2 ) = = σ 2 (X) = P(X 2 ) [P(X)] 2 = = Esercizio 1.11 (Es.1:EF12gen05). Dati tre eventi E 1, E 2, E 3, con E 1 E 3 =, verificare se la valutazione P (E 1 ) = P (E 3 ) = 0.4, P (E 2 ) = 0.5, P (E 1 E 2 ) = P (E 2 E 3 ) = 0.2 è coerente. Inoltre, considerato il numero aleatorio X = 1 E E E 3, calcolare il codominio C X dei possibili valori di X e la previsione di X. coerente? SI, NO C X = { }, P(X) =

8 1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici. p. 8 I costituenti sono C 1 = E 1 E c 2E c 3 C 2 = E 1 E 2 E c 3 C 3 = E c 1E 2 E c 3 C 4 = E c 1E 2 E 3 C 5 = E c 1E c 2E 3 C 6 = E c 1E c 2E c 3. Il seguente sistema P (E 1 ) = 0.4 = x 1 + x 2 P (E 2 ) = 0.5 = x 2 + x 3 + x 4 P (E 3 ) = 0.4 = x 4 + x 5 P (E 1 E 2 ) = 0.2 = x 2, P (E 2 E 3 ) = 0.2 = x 4 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = 1, x i 0, i = ammette la soluzione (x 1 = 0.2, x 2 = 0.2, x 3 = 0.1, x 4 = 0.2, x 5 = 0.2, x 6 = 0.1), quindi, la valutazione è coerente. Per il calcolo del codominio di X consideriamo i costituenti C 1 = E 1 E2E c 3 c X = 1 C 2 = E 1 E 2 E3 c X = = 3 C 3 = E1E c 2 E3 c X = 2 C 4 = E1E c 2 E 3 X = = 5 C 5 = E1E c 2E c 3 X = 3 C 6 = E1E c 2E c 3 c X = 0, pertanto C X = {0, 1, 2, 3, 5}. Infine P(X) = P( E 1 )+P(2 E 2 )+P(3 E 3 ) = P (E 1 )+2P (E 2 )+3P (E 3 ) = = 2.6. Esercizio 1.12 (Es1:EF16set05). Dati tre eventi A, B, C, con BC A B, P (A) = 0.4, P (B) = P (C) = 0.6, determinare l insieme I dei valori di probabilità coerenti per ABC e determinare se esiste un valore p I che renda A, B e C stocasticamente indipendenti. I = [0.2, 0.4], p? NO Quesito 1.3. Dati tre eventi E 1, E 2, E 3, con E 3 E 1 E 2, determinare l insieme C dei costituenti e stabilire in ciascuno dei seguenti due casi se l assegnazione di probabilità è coerente: (i) P (E 1 ) = 0.8, P (E 1 E 2 ) = 0.5, P (E 3 ) = 0.2; (ii) P (E 1 ) = 0.4, P (E 1 E 2 ) = 0.6, P (E 3 ) = 0.2. C = (0.8, 0.5, 0.2) coerente? (0.4, 0.6, 0.2) coerente? Quesito 1.4. Dati tre eventi E 1, E 2, E 3, con E 3 E 1 E 2, determinare l insieme C dei costituenti e stabilire in ciascuno dei seguenti due casi se l assegnazione di probabilità è coerente: (i) P (E 1 ) = 0.7, P (E 1 E 2 ) = 0.4, P (E 3 ) = 0.1; (ii) P (E 1 ) = 0.3, P (E 1 E 2 ) = 0.4, P (E 3 ) = 0.1. C = (0.7, 0.4, 0.1) coerente? (0.3, 0.4, 0.1) coerente? Quesito 1.5. Dati tre eventi A, B, C, con A B, BC =, sia X = A + 2 B C. Supposto P (A) = x, P (B) = 0.4, P (C) = y, calcolare l insieme I delle coppie (x, y) coerenti e il minimo m della previsione di X.

9 1 Costituenti, Coerenza, Numeri aleatori semplici. p. 9 Quesito 1.6. Dati tre eventi A, B, C, con AB =, C B, P (A) = x, P (B) = 1 2, P (C) = y, calcolare l insieme I delle coppie (x, y) coerenti. Posto, inoltre, X = A + B C e indicato con m la previsione di X, stabilire se risulta m = 1 per qualche (x, y) I. I = {(x, y) } ; (x, y) I m = 1? Quesito 1.7 (Es.1:EF13dic05). Dati tre eventi A, B, C con A e C incompatibili. Determinare i costituenti e verificare se l assegnazione P (A) = 0.5, P (B) = 0.2, P (C) = 0.4, P (AB) = 0.1 P (BC) = 0.1 è coerente. Inoltre, calcolare la probabilità dell evento (A B C). 1 a valutazione coerente SI No, Cost. P (A B C) =

10 2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete p Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete 2.1 Esercizi Svolti Esercizio 2.1. Estrazioni del lotto. Sia X = 1 0 numero estratto, E = (X 45) e H = (X > 30). Si ha P (E) = 1 ep (H) = 2. Calcolare P (E H). 2 3 Esercizio 2.2. (Gioco della roulette russa) In una pistola a 6 colpi viene inserito un solo proiettile e il tamburo viene fatto girare vorticosamente. Quindi 6 prigionieri sono costretti a sottomettersi alla prova della roulette russa. Considerati gli eventi E i = il proiettile esplode all i-mo colpo, i = 1,..., 6, verificare che tali eventi hanno tutti probabilità 1, cioè che i 6 prigionieri hanno la stessa probabilità di morire. 6 Ovviamente, si ha P (E 1 ) = 1. Inoltre 6 Allora, osservando che P (E 2 E c 1) = 1 5, P (E 3 E c 1E c 2) = 1 4,, P (E 6 E c 1 E c 5) = 1. E 2 = E c 1E 2, E 3 = E c 1E c 2E 3,, E 6 = E c 1 E c 5E 6, applicando il teorema delle probabilità composte si ha P (E 2 ) = P (E c 1)P (E 2 E c 1) = = 1 6 ; P (E 3 ) = P (E c 1)P (E c 2 E c 1)P (E 3 E c 1E c 2) = = 1 6 ;... P (E 6 ) = P (E c 1)P (E c 2 E c 1)P (E c 3 E c 1E c 2) P (E c 5 E c 1 E c 4)P (E 6 E c 1 E c 5) = = = 1 6. Esercizio 2.3. (Problema del condannato) In un paese orientale un prigioniero è stato condannato a morte da uno sceicco. Prima dell esecuzione, lo sceicco offre una possibilità di salvezza al condannato, mettendogli a disposizione 2 urne U 1 e U 2, con 2 palline bianche e 2 nere. Il condannato deve distribuire a suo piacere le palline nelle due urne, con la condizione che nessuna urna rimanga vuota. Verrà poi scelta a caso un urna da cui verrà estratta una pallina. Se la pallina estratta sarà bianca il prigioniero sarà graziato.

11 2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete p. 11 Qual è la migliore ripartizione delle palline nelle due urne? Definiti gli eventi B = la pallina estratta è bianca, H 1 = viene utilizzata l urna U 1, H 2 = viene utilizzata l urna U 2, la decisione migliore per il condannato è quella che rende massima la probabilità di B. Supponiamo che il condannato inserisca h palline bianche e k palline nere in U 1, con 0 < h + k < 4, e le rimanenti 4 h k palline in U 2. Con tale strategia si ha P (B) ( = P (H 1 )P (B H 1 ) + P (H 2 )P (B H 2 ) = h + 2 h. ) h+k 4 h k = 1 2 Sostanzialmente, basta esaminare i seguenti casi (tra parentesi il simbolo indica una decisione equivalente che si può fare a meno di esaminare): 1. h = 0, k = 1 ( h = 2, k = 1) ; 2. h = 0, k = 2 ( h = 2, k = 0) ; 3. h = 1, k = 1 ; 4. h = 1, k = 0 ( h = 1, k = 2). Nel caso 1 si ha P (B) = 1 2 ( ) = 1 3 ; nel caso 2 si ha P (B) = 1 2 ( ) = 1 2 ; nel caso 3 si ha P (B) = 1 2 ( ) = 1 2 ; Nel caso 4 si ha P (B) = 1 2 ( ) = 2 3. La decisione migliore pertanto è la n. 4 (una pallina bianca in un urna e le rimanenti nell altra). Il problema si può generalizzare considerando n palline bianche ed n nere, con n > 2. Si può ve- rificare che la decisione migliore è sempre quella di mettere una pallina bianca in un urna e le rimanenti nell altra. A tale decisione corrisponde per P (B) il valore (massimo) P (B) = 1 ( 1 + n 1 ), 2 2n 1 che all aumentare di n sale verso 3 4. Esercizio 2.4. Un mazzo di 4 chiavi contiene un sola chiave adatta ad aprire una certa serratura. Provando a caso le chiavi una dopo l altra, occorre effettuare un numero aleatorio X di tentativi per aprire la serratura. Calcolare la varianza di X. V ar(x) = Soluzione

12 2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete p. 12 Indicando con E i l evento la chiave che apre la serratura viene individuata all i-mo tentativo, i = 1, 2, 3, 4, si ha P (X = 1) = P (E 1 ) = 1 4, P (X = 2) = P (Ec 1E 2 ) = = 1 4, P (X = 3) = P (E c 1E c 2E 3 ) = = 1 4, P (X = 4) = P (Ec 1E c 2E c 3) = = 1 4, da cui segue Allora IP (X) = = 5 2, IP (X2 ) = V ar(x) = IP (X 2 ) [IP (X)] 2 = = = Esercizio 2.5. Dati due numeri aleatori X, Y ugualmente distribuiti, si ponga U = X Y e V = X + Y. Calcolare la covarianza di U, V. Risp.: Cov(U, V ) = Si ha Cov(X Y, X + Y ) = Cov(X, X + Y ) Cov(Y, X + Y ) = Cov(X, X) + Cov(X, Y ) Cov(Y, X) Cov(Y, Y ). Essendo X e Y ugualmente distribuite si ha Cov(X, X) = var(x) = var(y ) = Cov(Y, Y ), inoltre Cov(X, Y ) = Cov(Y, X), pertanto si ha Cov(X Y, X + Y ) = 0 Esercizio 2.6. Da un lotto contenente 5 pezzi buoni e 3 difettosi si estraggono senza restituzione 3 pezzi. Sia E i l evento l i-mo pezzo estratto è buono. Calcolare la probabilità dell evento condizionato (E 2 E 3 E 2 E 3 ). P (E 2 E 3 E 2 E 3 ) = 2 5 Gli eventi E i hanno tutti probabilità 5 8. Inoltre Allora P (E 2 E 3 ) = P (E 1 E 2 ) = P (E 1 )P (E 2 E 1 ) = = 5 14 P (E 2 E 3 E 2 E 3 ) = P (E 5 2E 3 ) P (E 2 E 3 ) = Esercizio 2.7. Dati 3 eventi E 1, E 2, E 3, con E 1 E 2 E 3 = e con 14 = 2 5 P (E i ) = 2 5, i {1, 2, 3}, P (E i E j ) = 1, i j, i, j {1, 2, 3}, 3

13 2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete p. 13 calcolare la probabilità p dell evento condizionato (E 1 E 2 E 1 E 2 E 3 ). p = Tenendo conto che P (E 1 E 2 E 3 ) = 0, si ha p = P (E 1 E 2 E 1 E 2 E 3 ) = P (E 1 E 2 ) P (E 1 E 2 E 3 ) = = Esercizio 2.8. P (E 1 )+P (E 2 ) P (E 1 E 2 ) P (E 1 )+P (E 2 )+P (E 3 ) P (E 1 E 2 ) P (E 1 E 3 ) P (E 2 E 3 ) = = 5 6 Una ditta riceve merce da tre fornitori A, B, C nelle seguenti proporzioni: il 42% della merce è fornita da A, il 14% da B, e la restante merce da C. E noto che la probabilità che un pezzo sia difettoso è, rispettivamente, 0.05, 0.04, 0.1, a seconda che sia fornito da A, B, C. Calcolare la probabilità α che un pezzo estratto da quelli ricevuti dalla ditta sia difettoso. Inoltre, esaminato un pezzo e supposto che sia difettoso, calcolare la probabilità p che esso provenga dal fornitore B. α = p = Indicando con A (analogamente B, C) l evento il pezzo proviene dal fornitore A, si ha: P (A) = , P (B) =, P (C) =. Inoltre, definito l evento F = il pezzo estratto è difettoso, risulta: P (F A) = 1 1 1, P (F B) =, P (F C) =. La percentuale di pezzi difettosi che la ditta riceve è %; infatti: P (F ) = P (A)P (F A) + P (B)P (F B) + P (C)P (F C) = = = = La probabilità di B F (che un pezzo provenga dal fornitore B supposto che sia difettoso) si determina tramite il teorema di Bayes: P (B F ) = P (B)P (F B) P (F ) = = Esercizio 2.9. In una ditta che vende dispositivi di un certo tipo il 60 % proviene da una fabbrica A, il 30 % da una fabbrica B e il 10 % da C. Le percentuali di lampadine difettose prodotte da A, B, C sono rispettivamente il 2 %, il 4 % e il 5 %. Calcolare la probabilità α che un dispositivo venduto dalla ditta e risultato difettoso sia stato prodotto da C. Risp.: α = Indicando con D l evento il dispositivo è difettoso, si ha P (D A) = 0.02, P (D B) = 0.04, P (D C) = 0.05, con P (A) = 0.6, P (B) = 0.3,, P (C) = 0.1. Allora α = P (C D) = P (D C)P (C) P (D A)P (A)+P (D B)P (B)+P (D C)P (C) = = 5 29.

14 2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete p. 14 Esercizio Date tre urne A (contenente 3 palline bianche e 1 nera), B (contenente 1 pallina bianca e 3 nere) e C (contenente 1 pallina bianca e 1 nera), da C si estrae una pallina. Se è bianca (evento H) viene effettuata una seconda estrazione da A, in caso contrario (evento H c ) da B. Posto E = la seconda pallina estratta è nera, calcolare la probabilità che la prima pallina estratta sia bianca, supposto di aver osservato pallina nera nella seconda. Risp.: P (H E) = Si ha: P (H) = 1 2, P (E H) = 1 4, P (E Hc ) = 3 4, da cui segue: e quindi: P (H E) = P (E) = P (E H)P (H) + P (E H c )P (H c ) = = 1 2, P (E H)P (H) = P (E) 1 2 = 1 4. Esercizio Dati tre eventi A, B, C, con C AB, P (A) = 0.5, P (AB) = 0.3, P (C) = x, stabilire se esiste un valore x tale che P (C AB c C) = 0.5. Risp.: x = Si ha: P (AB c ) = P (A) P (AB) = = 0.2. Inoltre, dall ipotesi C AB, segue P (C) = x 0.3. Allora, tenendo conto che AB c C =, si ottiene: P (C AB c C) = P [C (ABc C)] P (AB c C) = P (C) P (AB c C) = P (C) P (AB c ) + P (C). Pertanto: P (C AB c C) = x x = 0.5 x = P (C) = 0.2. Esercizio Un lotto è costituito da 100 componenti, dei quali 40 sono stati costruiti da una macchina M 1 e 60 da una macchina M 2. Il generico componente risulta difettoso con probabilità 1 5 se prodotto da M 1 e con probabilità 2 5 se prodotto da M 2. Dal lotto viene estratto a caso un componente e viene esaminato. Definiti gli eventi E = Il pezzo esaminato risulta non difettoso ed H = Il pezzo esaminato è stato prodotto dalla macchina M 1, calcolare il rapporto r tra le probabilità P (H E) e P (H c E). r = 8 9 Si ha e quindi P (H E) = r = P (H)P (E H) P (E) P (H E) P (H c E) =, P (H c E) = P (Hc )P (E H c ) P (E) 40 P (H)P (E H) P (H c )P (E H c ) = = 8 9,

15 2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete p. 15 Esercizio Date tre urne A,B,C, contenenti ciascuna 1 pallina bianca e 1 nera, dalle urne B e C si estrae a caso una pallina che (senza osservarne il colore) viene inserita in A. Successivamente da A si estrae una pallina che risulta bianca (evento E). Definiti gli eventi F = la pallina estratta da B è bianca, K = la pallina estratta da C è bianca, H r = r delle 2 palline inserite in A sono bianche, r = 0, 1, 2, calcolare la probabilità dell evento condizionato H 1 E. P (H 1 E) = Osservando che gli eventi F e K sono indipendenti e che si ha H 0 = F c K c, H 1 = F K c F c K, H 2 = F K, P (H 0 ) = P (F c )P (K c ) = = 1 4 = P (F )P (K) = P (H 2), P (H 1 ) = P (F K c ) + P (F c K) = P (F )P (K c ) + P (F c )P (K) = = 1 2 Allora P (H 1 E) = P (EH 1) P (E) = P (H 1 )P (E H 1 ) P (H 0 )P (E H 0 )+P (H 1 )P (E H 1 )+P (H 2 )P (E H 2 ) = = = 1 2 = P (H 1). Esercizio Un lotto è formato da 100 componenti, di cui r costruiti con una apparecchiatura A e i rimanenti con una apparecchiatura B. Ciascuno dei componenti prodotti da A (risp. da B) è non difettoso con probabilità 4 (risp. 3 ). Dal lotto si prende a caso un pezzo che viene esaminato. 5 4 Considerati gli eventi H = il componente preso a caso è stato prodotto da A, E = il componente preso a caso è difettoso, determinare i valori di r tali che P (H E) > 1. 2 r Si ha Allora P (H) = r 100, P (Hc ) = 100 r, P (E H) = , P (E Hc ) = 1 4. da cui segue P (H E) = P (H)P (E H) P (H)P (E H) + P (H c )P (E H c ) = r r r P (H E) > 1, r {56, 57,..., 100}. 2 = 4r 500 r,

16 2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete p. 16 Esercizio Con riferimento all esempio 2.14, sia X il numero aleatorio di pezzi non difettosi fra gli r componenti prodotti dall apparecchiatura A. Sia inoltre E i l evento l i-mo pezzo prodotto da A è non difettoso, i = 1, 2,..., r. Supposto che E 1,..., E r siano stocasticamente indipendenti, calcolare: (i) la probabilità p h di ogni possibile valore h di X; Si ha X B(r, 4 ), ovvero X {0, 1, 2,..., r}, con 5 P (X = h) = ( r h ) ( ) h ( ) r h 4 1, h = 0, 1, 2,..., r. 5 5 Esercizio In un controllo di qualità, si estrae (senza restituzione) un campione di n = 6 pezzi da un lotto che ne contiene N = 30 fra i quali x difettosi. Il lotto viene accettato (sia H questo evento) se nel campione non c e alcun pezzo difettoso: calcolare la probabilità di H nell ipotesi x = 2. P (H) = Essendo le estrazioni senza restituzione si ha, nell ipotesi x = 2, ( 28 )( 2 6 P (H) = ) 0) = = 276 0, ( 30 6 Esercizio Dati due lotti A e B, ciascuno contenente 6 componenti buoni e 2 difettosi, da entrambi si effettuano 3 estrazioni con restituzione, ottenendo X pezzi difettosi fra quelli estratti da A ed Y pezzi difettosi fra quelli estratti da B. Considerato il numero aleatorio discreto Z = X +Y, calcolare: (i) la previsione m e la varianza σ 2 di Z; (Si noti che X e Y sono stocasticamente indipendenti). m = σ 2 = X e Y sono indipendenti ed ugualmente distribuiti, con distribuzione binomiale di parametri n = 3, p = 1. Pertanto IP (X) = IP (Y ) = np = 3 9, V ar(x) = V ar(y ) = npq =, quindi m = IP (Z) = IP (X) + IP (Y ) = 3 2 ; σ2 = V ar(z) = V ar(x) + V ar(y ) = 9 8 Esercizio Un lotto è costituito da 15 componenti simili, dei quali 10 costruiti da una macchina M 1 e 5 da una macchina M 2. Ogni componente, prodotto da M 1 o da M 2, è non difettoso con probabilità 0.8 e gli eventi E i = l i-esimo componente è difettoso, per i = 1,..., 15, sono stocasticamente indipendenti. Indicati con X e Y i numeri aleatori di pezzi difettosi fra quelli prodotti rispettivamente da M 1 e M 2, calcolare la probabilità dell evento (X + Y = 2), il coefficiente di correlazione ρ X+Y,Y dei numeri aleatori (X + Y ) e Y. Determinare inoltre la probabilità dell evento condizionato (X = 1 X + Y = 2). P (X+Y = 2) = ρ X+Y,Y = P (X = 1 X+Y = 2) =

17 2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete p. 17 Osserviamo che X Bin(10, 0.2), Y Bin(5, 0.2) e X + Y Bin(15, 0.2). Quindi ( ) 15 P (X + Y = 2) = (0.2) 2 (0.8) = (0.2) 2 (0.8) Il coefficiente di correlazione ρ X+Y,Y tra X + Y e Y è dato da ρ X+Y,Y = cov(x + Y, Y ) σ X+Y σ Y = =0 { }} { cov(x, Y ) +cov(y, Y ) σ X+Y σ Y = σ 2 Y σ X+Y σ Y = σ Y σ X+Y = = 1 3. Inoltre si ha P (X = 1 X + Y = 2) = P (X=1,X+Y =2) P (X+Y =2) = P (X=1,Y =1) P (X+Y =2) = P (X=1) P (Y =1) P (X+Y =2) = = (10 1 )(0.2) 1 (0.8) 9 ( 5 1)(0.2) 1 (0.8) 4 ( 15 2 )(0.2) 2 (0.8) 13 = (10 1 )( 5 1) ( 15 2 ) = Esercizio Un lotto formato da 8 componenti elettronici, uno dei quali é difettoso, é stato suddiviso a caso in 2 gruppi, A e B, di 4 componenti ciascuno. Dal gruppo A vengono prelevati a caso 2 componenti. Definiti gli eventi E = i 2 componenti prelevati da A sono entrambi non difettosi, H = il componente difettoso sta nel gruppo B, calcolare la probabilità dell evento condizionato H E. Risp.: P (H E) = Si ha: ( 3 ) ( 1 ) Allora: P (H) = 4 8 = 1 2, P (E H) = 1, P (E Hc ) = 2 0 ( ) = P (H E) = P (EH) P (E) = P (E H)P (H) P (E H)P (H) + P (E H c )P (H c ) = = Esercizio Un lotto é composto da 4 pezzi, dei quali 2 prodotti da una macchina M 1 e 2 prodotti da una macchina M 2. Il singolo pezzo prodotto da M 1 (rispettivamente M 2 ) risulta difettoso, indipendentemente dagli altri pezzi, con probabilitá p 1 (rispettivamente p 2 ). Definiti gli eventi A = esattamente uno dei 4 pezzi é difettoso, K = uno dei pezzi prodotti da M 1 é difettoso, calcolare la probabilità dell evento condizionato K A. Risp.: P (K A) = Indicando con X (rispettivamente Y ) il numero di pezzi difettosi prodotti da M 1 (rispettivamente

18 2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete p. 18 M 2 ), si ha e quindi: A = (X + Y = 1) = AK AK c = (X = 1, Y = 0) (X = 0, Y = 1), P (A) = P (X = 1, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) = P (X = 1)P (Y = 0) + P (X = 0)P (Y = 1) = ( 2 1 ) ( 2 p 1 (1 p 1 ) 0 ) ( 2 (1 p 2 ) = 2p 1 (1 p 1 )(1 p 2 ) 2 + 2(1 p 1 ) 2 p 2 (1 p 2 ). ) (1 p 1 ) 2 ( 2 1 ) p 2 (1 p 2 ) = Allora: P (K A) = P (AK) P (A) = P (X=1,Y =0) P (X=1,Y =0)+P (X=0,Y =1) = = 2p 1 (1 p 1 )(1 p 2 ) 2 2p 1 (1 p 1 )(1 p 2 ) 2 +2(1 p 1 ) 2 p 2 (1 p 2 ) = p 1 (1 p 2 ) p 1 (1 p 2 )+p 2 (1 p 1 ) Esercizio Da un lotto contenente 4 lampadine buone e 4 difettose se ne prendono 4 in blocco. Sia X il numero aleatorio di lampadine buone fra le 4 estratte. Calcolare la varianza di X. V ar(x) = 4 7 X ha distribuzione ipergeometrica di parametri N = 8, n = 4, p = 1 2. Pertanto V ar(x) = npq(1 n 1 N 1 ) = 4 7 Esercizio Un azienda possiede 10 autobus ognuno dei quali la mattina, indipendentemente dagli altri autobus, con una certa probabilità p riesce a mettersi in moto. Calcolare la probabilità α che, in una data mattina, almeno un autobus riesca a partire. Risp.: α = l numero aleatorio X di autobus che partono in una data mattina ha una distribuzione binomiale di parametri 10, p. Allora: α = P (X 1) = 1 P (X = 0) = 1 (1 p) 10 = 1 q 10. Esercizio Date due urne U (contenente 2 palline bianche e 3 nere) e V (contenente 4 palline nere e 1 bianca), si consideri il seguente esperimento aleatorio. Piero effettua un estrazione da U, vincendo una somma S se esce pallina bianca (evento A). In tal caso l esperimento termina. In caso contrario, Carlo effettua tre estrazioni con restituzione da V e vince la somma S se almeno una volta esce pallina bianca. Sia E i l evento nell i-ma prova viene estratta pallina bianca e B l evento Carlo vince la somma S. Calcolare P (B). Risp.: P (B) =

19 2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete p. 19 Si ha: da cui: P (A) = P (E 1 ) = 2 5, B = Ac (E 2 E 3 E 4 ), P (B) = P (A c )P (E 2 E 3 E 4 A c ) = P (A c )[1 P (E c 2E c 3E c 4 A c )] = = 3[1 ( )3 ] = 3 64 (1 ) = Esercizio Dati n eventi E 1,..., E n indipendenti ed equiprobabili, con P (E i ) = 1, stabilire 2 la condizione che dev essere soddisfatta da n affinchè la probabilitá α dell evento A = gli eventi E 1,..., E n sono tutti veri condizionata all evento H = almeno uno degli eventi E 1,..., E n é vero sia minore di 1, dove k è un numero intero fissato. k Risp.: Si ha: α = P (E 1 E n ) P (E 1 E n ) = P (E 1 E n ) 1 P (E1 c En) = ( 1 2 )n c 1 ( 1 a 2n k 2 )n 1, k cioè, se e solo se: 2 n k + 1. Esercizio Da un urna U contenente 1 pallina bianca e 2 nere si effettuano due estrazioni senza restituzione e, se almeno una volta esce pallina bianca, Tizio vince una somma S e il gioco si interrompe. In caso contrario, da un urna V contenente 2 palline bianche e 1 nera si effettuano due estrazioni senza restituzione e, se almeno una volta esce pallina nera, Tizio vince la somma S. Sia X la vincita aleatoria in tale gioco. Calcolare l importo Σ che Tizio deve pagare per aver diritto a ricevere X. Risp.: Σ = Sia E i l evento nell i-ma estrazione esce pallina bianca. Allora X = S se e solo se si verifica l evento E 1 E 2 E c 3 E c 4, cioè: X = S E 1 E 2 E c 3 E c 4. Poichè: Σ = IP (X), si ottiene: Σ = IP (X) = S P (E 1 E 2 E c 3 E c 4) = S[1 P (E c 1E c 2E 3 E 4 )] = S( ) = 8S. 2 9 Esercizio Da un lotto contenente 5 barre di acciaio viene scelta a caso una barra. Utilizzando opportune unità di misura, i valori (x i, y i ), i = 1,..., 5, delle lunghezze e dei pesi delle 5 barre sono: (1, 1.5), (1.2, 1.8), (1.4, 2.1), (1.5, 2.25), (0.8, 1.2). Indicando con (X, Y ) i valori aleatori della lunghezza e del peso della barra estratta, calcolare il coefficiente di correlazione di X, Y. Stabilire, inoltre, se gli eventi (X > 1) e (Y > 2) sono

20 2 Probabilità Condizionate, Teorema di Bayes, Distribuzioni discrete p. 20 indipendenti. Risp.: ρ = Risp.: Indipendenti? In generale, occorrerebbe applicare la formula ρ = Cov(X,Y ) σ X σ Y, calcolando preliminarmente la covarianza e gli scarti quadratici medi. X, Y e XY hanno distribuzione uniforme, rispettivamente, sugli insiemi {0.8, 1, 1.2, 1.4, 1.5}, {1.2, 1.5, 1.8, 2.1, 2.25} e {0.96, 1.5, 2.16, 2.94, 3.375}, e quindi le previsioni di X, Y e XY sono, rispettivamente, 1.18, 1.77 e Quindi Cov(X, Y ) = Inoltre, le previsioni di X 2, Y 2 sono, rispettivamente, e da cui si ottiene σ X = , σ Y = Pertanto ρ = 1. Lo stesso risultato si ottiene direttamente osservando che, per ogni (x i, y i ), si ha y i = 3x 2 i e quindi Y = 3 X, da cui segue ρ = 1. 2 Si ha: P (X > 1) = 1 P (X = 0.8) P (X = 1) = 3 5, P (Y > 2) = P (Y = 2.1) + P (Y = 2.25) = 2 5, P (X > 1, Y > 2) = P (X = 1.4, Y = 2.1) + P (X = 1.5, Y = 2.25) = 2 5. Poichè P (X > 1, Y > 2) P (X > 1)P (Y > 2), gli eventi (X > 1) e (Y > 2) non sono indipendenti. Esercizio L insieme dei valori possibili di un numero aleatorio discreto X è C = {0, 1,..., 8}, con ( ) 8 ( P (X = h) = 1 ) h ( 2 ) 8 h h 3 3, h = 0, 1,..., 8. Calcolare: la previsione m di X; la probabilità dell evento (X 6). m = P (X 6) = Il n.a. X ha distribuzione binomiale di parametri n = 8, p = 1. La previsione è data da 3 Per calcolare P (X 6) osserviamo che con quindi si ha m = IP (X) = n p = 8 3. P (X 6) = 1 P (X 7) = 1 [P (X = 7) + P (X = 8)] P (X = 7) = ( 8 7 ) ( 1 3 ) 7 ( ) 1 2 = = 16 3, P (X = 8) = P (X 6) = =

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