LINEAMENTI DI MATEMATICA

Transcript

1 P. BARONCINI - E. FABBRI - C. GRASSI IGEA Triennio LINEAMENTI DI MATEMATICA per il triennio degli istituti tecnici commerciali IGEA Probabilità e statistica Analisi numerica MODULO d

2 P. Baroncini - E. Fabbri - C. Grassi LINEAMENTI DI MATEMATICA per il triennio degli istituti tecnici commerciali IGEA MODULO D Probabilità e statistica Analisi numerica

3 3 Parte prima: probabilità e statistica CAPITOLO Calcolo delle probabilità 8 Note storiche, 8. Definizione di probabilità classica, 8. Applicazioni del calcolo combinatorio al calcolo delle probabilità, 0. Altre definizioni, 6. Spazio campione e relazioni fra eventi, 8. Assiomi del calcolo delle probabilità, 23. Teorema della somma e teorema della probabilità contraria, 27. Probabilità condizionata, 29. Teorema del prodotto, 32. Teorema delle probabilità totali e formula di Bayes, 35. Esercitazioni di laboratorio, 43. Esercizi Calcolo delle probabilità, 47. Eventi, 48. Probabilità classica, 48. Applicazioni del calcolo combinatorio al calcolo delle probabilità, 5. Frequenza, 53. Probabilità soggettiva, 54. Spazio campione e relazioni fra eventi, 55. Assiomi del calcolo delle probabilità, 56. Teorema della somma, 57. Probabilità condizionata, 59. Teorema del prodotto, 59. Esercizi di ricapitolazione, 62. Formula di Bayes, 63. CAPITOLO 2 Variabili casuali e giochi equi 67 Variabili casuali, 67. Funzione di ripartizione, 7. Valor medio, 73. Proprietà del valor medio, 75. Varianza e scarto quadratico medio, 78. Proprietà della varianza, 8. Moda e mediana, 82. Teorema di Bienaymè-Cebicev, 83. Funzione di densità, 84. Speranza matematica, 85. Gioco equo, 87. Giochi con due risultati, 87. Gioco organizzato, 89. Altri esempi, 90. Esercitazioni di laboratorio, 92. Esercizi Variabili casuali e giochi equi, 94. Variabili casuali, 95. Funzione di ripartizione, 98. Valore medio, 0. Varianza e scarto quadratico medio, 03. Moda e mediana, 04. Teorema di Bienaymè-Cebicev, 04. Speranza matematica e gioco equo, 05. CAPITOLO 3 Statistica descrittiva 08 Note storiche, 08. Definizioni, 08. Fasi dell indagine statistica, 09. Altre definizioni, 0. Rilevazione dei dati, 2. Costruzione di un questionario, 2. Spoglio dei dati, 2. Distribuzioni statistiche, 4. Frequenze relative e cumulate delle distribuzioni semplici, 7. Frequenze relative delle distribuzioni doppie, 9. Rappresentazioni grafiche, 20. Grafici a nastri e colonne, 2. Grafici a settori circolari, 22. Istogrammi, 23. Diagrammi cartesiani, 24. Diagrammi polari, 25. Esercitazioni di laboratorio, 28. Esercizi Statistica descrittiva, 29. Distribuzioni statistiche, 30. Frequenze, 3. Rappresentazioni grafiche, 3. Indice CAPITOLO 4 Misure di tendenza centrale 33 Medie statistiche, 33. Media aritmetica, 34. Caratteristiche e proprietà della media aritmetica, 36. Media geometrica, 38. Media armonica, 39. Media quadratica, 4. Moda, 42. Mediana, 44. Scelta della media, 46. Esercitazioni di laboratorio, 47. Esercizi Misure di tendenza centrale, 49. Media aritmetica, 50. Media geometrica, 52. Media armonica, 53. Media quadratica, 54. Moda, 55. Mediana, 56. Esercizi di ricapitolazione sulle medie, 57. CAPITOLO 5 Misure di variabilità e concentrazione 59 Misure di variabilità, 59. Campo di variazione, 60. Scarto semplice medio assoluto, 60. Scarto quadratico medio e varianza, 62. Proprietà dello scarto quadratico medio, 64. Metodo pratico per il calcolo della varianza e dello scarto quadratico

4 4 medio, 65. Differenza media assoluta, 65. Misure di concentrazione, 67. Esercitazioni di laboratorio, 72. Esercizi Misure di variabilità e concentrazione, 75. Campo di variazione, 76. Scarto semplice medio assoluto, 77. Scarto quadratico medio e varianza, 78. Proprietà dello scarto quadratico medio, 78. Differenza media assoluta, 79. Esercizi di ricapitolazione, 80. Misure di concentrazione, 82. CAPITOLO 6 Rapporti statistici 84 Rapporti di composizione, 84. Rapporti di coesistenza, 85. Rapporti di derivazione, 86. Rapporti di frequenza o densità, 86. Rapporti di durata e di ripetizione, 87. Numeri indici, 87. Numeri indici semplici a base fissa, 88. Numeri indici semplici a base mobile, 89. Numeri indici composti, 90. Numeri indici delle medie, 9. Medie dei numeri indici, 9. Esercizi Rapporti statistici, 93. Rapporti di composizione, 93. Rapporti di coesistenza, 96. Rapporti di derivazione, 97. Rapporti di frequenza o densità, 98. Rapporti di durata e di ripetizione, 99. Numeri indici, 200. Numeri indici semplici a base fissa, 200. Numeri indici semplici a base mobile, 203. Numeri indici composti, 204. CAPITOLO 7 Distribuzioni teoriche di probabilità 206 Distribuzione binomiale o di Bernoulli, 206. Probabilità delle prove ripetute, 206. Variabile casuale con distribuzione binomiale, 207. Valore medio, varianza, scarto quadratico medio, 208. Valore modale, 22. Funzione di ripartizione, 23. Applicazioni della distribuzione binomiale, 24. Distribuzione ipergeometrica, 25. Variabile causale con distribuzione ipergeometrica, 26. Osservazioni, 27. Valore medio, varianza, scarto quadratico medio, 27. Valore modale, 27. Distribuzione di Poisson, 29. Valore medio, varianza, valore modale, 220. Applicazioni della distribuzione di Poisson, 220. Distribuzione normale o di Gauss, 222. Variabili casuali continue e funzione di densità, 222. Grafico di f ðxþ, 222. Esempi, 223. Distribuzione normale standardizzata, 224. Approssimazione della distribuzione binomiale con la distribuzione di Gauss, 227. Esercitazioni di laboratorio, 228. Indice Esercizi Distribuzioni teoriche di probabilità, 240. Distribuzione binomiale, 240. Distribuzione ipergeometrica, 240. Distribuzione di Poisson, 242. Distribuzione di Gauss, 245. Esercizi di ricapitolazione, 248. CAPITOLO 8 Statistica inferenziale: campionamento 250 Universo e campioni, 250. Inferenza statistica, 25. Estrazione del campione, 25. Estrazione bernoulliana, 252. Estrazione in blocco, 253. Spazio dei campioni, 253. Tavola dei numeri casuali, 254. Parametri di un universo, 255. Stimatori di un parametro e stime, 256. Distribuzioni campionarie, 256. Distribuzione campionaria delle medie, 259. Distribuzione campionaria della varianza, 262. Distribuzione campionaria delle somme e delle differenze delle medie, 265. Distribuzione campionaria delle frequenze, 266. Conclusioni, 267. Esercitazioni di laboratorio, 269. Esercizi Statistica inferenziale: campionamento, 270. Estrazione del campione, 27. Estrazione con l uso delle tavole dei numeri casuali, 27 Estrazione bernoulliana e in blocco, spazio dei campioni, 273. Distribuzione campionaria delle medie, 274. Distribuzione campionaria della varianza e calcolo della varianza corretta, 277. CAPITOLO 9 Statistica inferenziale: stima dei parametri 282 Parametri e loro stima, 282. Problemi di stima, 282. Stimatori e loro pro-

5 5 prietà, 283. Stima puntuale della media, della varianza, della differenza fra due medie e della frequenza relativa, 286. Stima della media dell universo, 286. Stima della varianza dell universo, 286. Errore medio di campionamento e stima puntuale della media dell universo, 286. Stima puntuale della differenza fra due medie, 288. Stima puntuale della frequenza relativa, 289. Stima per intervallo della media, della differenza fra due medie e della frequenza relativa, 29. Stima per intervallo di una media (grandi campioni), 29. Controllo statistico di qualità, 295. Stima per intervallo di una media (piccoli campioni), 297. Stima per intervallo della differenza fra due medie, 299. Stima per intervallo della frequenza relativa, 302. Determinazione della dimensione del campione, 302. Dimensione del campione per la stima della media, 303. Dimensione del campione per la stima della frequenza relativa, 304. Esercitazioni di laboratorio, 305. Esercizi Statistica inferenziale: stima dei parametri, 306. Stime puntuali, 307. Stima puntuale della media, 307. Stima puntuale della differenza fra due medie, 308. Stima puntuale della frequenza relativa, 30. Stime per intervallo di una media, 3. Grandi campioni, 3. Controllo statistico di qualità, 32. Piccoli campioni, 33. Controllo statistico di qualità, 33. Stima per intervallo della differenza fra due medie, 34. Stima per intervallo della frequenza relativa, 35. Determinazione della dimensione del campione, 36. Dimensione del campione per la stima della media, 36. Dimensione del campione per la stima della frequenza relativa, 37. CAPITOLO 0 Statistica inferenziale: verifica delle ipotesi 38 Ipotesi statistiche, 38. Verifica di un ipotesi: ipotesi nulla e ipotesi alternativa, 39. Zona di accettazione e zona di rifiuto (regole di decisione), 320. Errori di prima e di seconda specie, 322. Verifica delle ipotesi sulla media per grandi campioni, 324. Verifica delle ipotesi sulla media per piccoli campioni, 326. Verifica delle ipotesi sulle frequenze relative, 328. Verifica delle ipotesi sulla differenza fra due medie, 330. Esercizi Statistica inferenziale: verifica delle ipotesi, 333. Verifica di un ipotesi: ipotesi nulla e alternativa, 334. Verifica delle ipotesi sulla media, 334. Grandi campioni, 334. Piccoli campioni, 335. Verifica delle ipotesi sulle frequenze relative, 336. Verifica delle ipotesi sulla differenza fra due medie, 336. Grandi campioni, 336. Piccoli campioni, 337. Parte seconda: analisi numerica Introduzione, 340. CAPITOLO Teoria degli errori 34 Definizioni e terminologia, 34. Approssimazione, 34. Errore assoluto ed errore relativo, 34. Maggiorazione degli errori, 342. Operazioni con valori approssimati. Propagazione degli errori, 343. Errore assoluto nell addizione, 344. Errore assoluto nella sottrazione, 345. Errore assoluto nel prodotto, 346. Errore assoluto nella divisione, 347. Indice Esercizi Teoria degli errori, 349. Errore assoluto ed errore relativo, 350. Operazioni con valori approssimati, 350. CAPITOLO 2 Risoluzione approssimata delle equazioni algebriche di grado superiore al secondo e delle equazioni trascendenti 352 Separazione delle radici, 353. Metodo algebrico, 353. Metodo grafico, 354. Ricerca delle soluzioni approssimate dell equazione, 356. Metodo dicotomico, 356. Metodo delle corde, 358. Metodo delle tangenti o di Newton, 362. Osservazioni, 363. Applicazioni, 364. Esercitazioni di laboratorio, 365.

6 6 Esercizi CAPITOLO 3 Risoluzione approssimata delle equazioni algebriche di grado superiore al secondo e delle equazioni trascendenti, 368. Ricerca delle soluzioni approssimate dell equazione, 368. Problemi da risolvere con un metodo di approssimazione, 369. Risoluzione dei sistemi lineari di n equazioni in n incognite con metodi di approssimazione 37 Medoti iterativi, 37. Convergenza della successione alla soluzione del sistema, 372. Maggiorazione degli errori nella risoluzione di sistemi lineari, 372. Metodo iterativo semplice o di Jacobi, 373. Metodo di Gauss-Seidel, 374. Esercitazioni di laboratorio, 376. Esercizi Risoluzione dei sistemi lineari di n equazioni in n incognite con metodi di approssimazione, 378. CAPITOLO 4 Interpolazione matematica e derivazione numerica 380 Interpolazione matematica e interpolazione statistica, 380. Interpolazione polinomiale, 38. Interpolazione col metodo di Lagrange, 382. Derivazione numerica, 383. Primo procedimento, 383. Secondo procedimento: valori equintervallati, 384. Esercizi Interpolazione matematica e derivazione numerica, 386. Interpolazione polinomiale, 386. Interpolazione col metodo di Lagrange, 388. Derivazione numerica, 390. CAPITOLO 5 Interpolazione statistica 39 Metodo dei minimi quadrati, 39. Condizione di accostamento, 392. Calcolo degli estremi di una funzione di due variabili, 393. Funzione lineare, 393. Indici di scostamento, 396. Funzione di secondo grado, 398. Funzione di secondo grado del tipo y ¼ ax 2, 400. Funzione esponenziale, 400. Scelta della funzione interpolante, 402. Esercitazioni di laboratorio, 407. Esercizi Interpolazione statistica, 409. Funzione lineare, 40. Funzione di secondo grado, 42. Parabola e retta, 43. Funzione esponenziale, 45. Parabola e funzione esponenziale, 46. Esercizi vari, 47. Esercizi di ricapitolazione, 49. CAPITOLO 6 Lo studio del legame fra due variabili in statistica 42 Indice Connessione, 42. Correlazione, 42. Varianza e covarianza, 42. Coefficiente di correlazione lineare, 422. Regressione, 427. Contingenza, 432. Indici di contingenza, 432. Indice di Tshuprow, 432. Esercitazioni di laboratorio, 435. Esercizi Lo studio del legame fra due variabili in statistica, 439. Correlazione, 439. Regressione, 442. Contingenza, 446. Formulario 448 Appendice 460 TAVOLA A Numeri casuali, 460. TAVOLA B Curva normale standard valori da a z, 46. TAVOLA C Curva normale standard valori da 0 a z, 462. TAVOLA D Distribuzione di Student, 464.

7 7 Parte prima: probabilità e statistica

8 8 Calcolo delle probabilità Note storiche Definizione di probabilità classica Applicazioni del calcolo combinatorio al colcolo delle probabilità Altre definizioni Spazio campione e relazioni fra eventi Assiomi del calcolo delle probabilità Teorema della somma e teorema della probabilità contraria Probabilità condizionata Teorema del prodotto Teorema delle probabilità totali e formula di Bayes Esercitazioni di laboratorio CAPITOLO Calcolo delle probabilità Note storiche Durante il Rinascimento, il gioco d azzardo diede l avvio allo studio del calcolo delle probabilità come analisi degli eventi casuali, ossia degli eventi che hanno un esito non prevedibile a priori. Riguardo ai periodi precedenti non furono eseguiti studi significativi. Nel Medioevo, la convinzione che il disegno provvidenziale guidasse tutti gli eventi portò al rifiuto del concetto di evento casuale e, conseguentemente, al rifiuto del suo studio. Nel secolo XVII, la passione per i giochi d azzardo promosse lo studio di questa disciplina e, dallo studio degli eventi casuali, nacque la teoria delle probabilità, grazie a Pascal ( ), Fermat ( ) e Bernoulli ( ). Nel secolo XVIII questa disciplina ebbe un notevole sviluppo per merito di Bayes (702-76), che pose i fondamenti dell inferenza statistica, di Lagrange (736-83) e di Gauss ( ), che si occuparono della distribuzione degli errori accidentali, e di Laplace ( ), che introdusse il calcolo delle probabilità. La teoria fu applicata allo studio di fenomeni economici e politici, alle scienze naturali per studiare l ereditarietà dei caratteri, alle scienze fisiche e alle scienze attuariali. La vasta estensione dei campi di applicazione mise in discussione la definizione classica di probabilità data da Laplace, in quanto non sempre applicabile. Nacquero così diverse definizioni di probabilità che si svilupparono nella teoria frequentista e nella teoria soggettiva e infine, verso il 930, fu elaborata da Kolmogorov la teoria assiomatica, che ebbe il merito di includere in sé i risultati delle teorie precedenti. Definizione di probabilità classica 2 Prima di definire la probabilità è necessario introdurre la definizione di evento. D Si dice evento il risultato di una osservazione o di un esperimento.

9 9 Esempi di eventi sono:. l uscita di un numero pari nel lancio di un dado; 2. fare centro lanciando una freccia; 3. l uscita di un numero nero alla roulette; 4. lo sbocciare di un fiore in un certo intervallo di tempo; 5. l uscita di una faccia nel lancio di una moneta; 6. il sorgere del sole; 7. l estrazione del numero 9 nel gioco del Lotto. Gli eventi citati possono essere distinti in: eventi casuali o aleatori: sono i primi quattro, infatti possono o meno verificarsi; eventi certi: sono il quinto e il sesto che si verificheranno certamente; eventi impossibili: il settimo evento siamo certi, ancor prima di effettuare l esperimento, che non si verificherà mai, in quanto nell urna sono presenti solo i primi 90 numeri. In conclusione, ogni qual volta il risultato di un esperimento è un evento aleatorio, non siamo in grado di stabilire se si verificherà o meno, ma possiamo dare una valutazione numerica alla possibilità del suo verificarsi: tale numero indica la probabilità. 3 D Secondo Laplace, si definisce probabilità classica di un evento aleatorio il rapporto fra il numero m di casi favorevoli al verificarsi dell evento e il numero n di casi possibili. p ¼ m n I casi possibili devono essere tutti equiprobabili, cioè devono avere la stessa possibilità di verificarsi. La probabilità èun numero razionale puro compreso fra 0 e : infatti, il caso p ¼ corrisponde all evento certo, in quanto m ¼ n, il caso p ¼ 0 corrisponde all evento impossibile, in quanto m ¼ 0eil caso 0 < p < corrisponde a un evento casuale. Si lancia un dado: A ¼ L uscita di un numero minore di 7 nel lancio di un dado è un evento certo di probabilità p ¼. B ¼ L uscita del numero 0 nel lancio di un dado è un evento impossibile di probabilità p ¼ 0. C ¼ L uscita di un dato numero compreso fra e 6 nel lancio di un dado è un evento casuale; infatti l uscita di uno qualunque dei 6 numeri è del tutto casuale, essendo le facce tutte uguali; poiché una delle 6 facce si presenterà sicuramente, i casi possibili, tutti equiprobabili, sono 6 e ogni faccia ha probabilità p ¼ 6. D ¼ L uscita di un numero pari nel lancio di un dado è un evento casuale con probabilità p ¼ 3, poiché 3 sono le facce con numeri pari 2, 4, 6 e sempre 6 sono i casi possibili 6 equiprobabili. E ¼ L uscita di un numero maggiore o uguale a 3 nel lancio di un dado è un evento casuale con probabilità p ¼ 4, poiché 4 sono i casi favorevoli, ossia le facce che presentano un 6 numero maggiore o uguale a 3 (3, 4, 5, 6) e sempre 6 sono i casi possibili equiprobabili. () Calcolo delle probabilità CAPITOLO

10 0 2 Da un mazzo di 40 carte da gioco se ne estrae una. A ¼ L estrazione di una figura è un evento casuale con probabilità p ¼ 2, poiché i casi 40 favorevoli (le figure) sono 2 e i casi possibili equiprobabili sono 40 (il numero delle carte del mazzo). B ¼ L estrazione di una carta di fiori è un evento casuale con probabilità p ¼ 0 40, essendo i casi favorevoli 0 (le carte di fiori) e i casi possibili equiprobabili sempre 40. Illustriamo ora alcuni esempi più complessi di calcolo delle probabilità. 3 Si lanciano due dadi; calcolare la probabilità di ottenere: A ¼ due facce uguali ; B ¼ la somma dei punti pari a 4. I casi possibili sono 6 6 ¼ 36, in quanto ogni faccia del primo dado si può associare a ogni faccia del secondo dado e si può rappresentare questa situazione con le seguenti 36 coppie ordinate, dove il primo numero corrisponde alla faccia del primo dado e il secondo numero corrisponde alla faccia del secondo dado ð; Þ ð; 2Þ::::ð; 6Þ ð2; Þ ð2; 2Þ ::::ð2; 6Þ:::::::::::::::::::::::::::::ð6; Þ ð6; 2Þ::::ð6; 6Þ: CAPITOLO Calcolo delle probabilità A) I casi favorevoli sono 6, ossia le coppie (,), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) e la probabilità è dunque p ¼ 6 36 ¼ 6 : B) I casi favorevoli sono 3, ossia le coppie ð; 3Þ, ð2; 2Þ, ð3; Þ e la probabilità è quindi p ¼ 3 36 ¼ 2 : 4 Si lanciano 3 monete; calcolare la probabilità di ottenere 2 teste e croce. I casi possibili sono ¼ 8, in quanto ogni faccia di una qualunque delle 3 monete si può associare a una delle due facce della seconda e terza moneta e li rappresentiamo con le seguenti terne TTT CTT TCT TTC TCC CTC CCT CCC: I casi favorevoli sono 3, ossia le terne CTT, TCT, TTC e la probabilità è quindi p ¼ 3 8 : Questi ultimi esercizi si possono risolvere più rapidamente applicando il calcolo combinatorio, di cui rivediamo le definizioni. Applicazioni del calcolo combinatorio al calcolo delle probabilità 4 Il calcolo combinatorio ha notevoli applicazioni nel calcolo dei casi possibili e dei casi favorevoli, necessari per il calcolo della probabilità classica.

11 D Si dicono permutazioni di n elementi distinti, tutti i possibili raggruppamenti costituiti in modo che ognuno di essi contenga tutti gli n elementi e differisca dagli altri per l ordine in cui sono disposti gli n elementi. P n ¼ n! ¼ nðn Þðn 2Þ:::::: 3 2 (2) Ricordiamo che il simbolo n! si legge n fattoriale ed è il prodotto dei primi n numeri interi. Con le cifre 5, 7, 9, stabilire quanti numeri di 3 cifre distinte si possono formare. Si tratta di permutazioni, infatti bisogna determinare quanti gruppi di tre elementi possiamo formare con tre cifre. La rappresentazione grafica del problema può avvenire considerando celle da occupare con le tre cifre date, oppure con un diagramma ad albero (fig. e 2). cifra 2 cifra 3 cifra cifra cifra Figura 3 possibili scelte 2 possibili scelte, infatti una cifra è già stata fissata scelta, infatti due cifre sono già state fissate 3 cifra Come si vede nelle due rappresentazioni, avremo 3 2 ¼ 6 possibilità. Vediamo un esempio di applicazione delle permutazioni al calcolo delle probabilità. Figura 2 Negli spogliatoi di una palestra vi sono armadietti numerati da a per giocatori di una squadra di calcio. Calcolare la probabilità di attribuire gli armadietti ai giocatori in modo che siano rispettati i numeri delle maglie che indossano. I casi possibili sono le permutazioni di elementi, quindi P ¼! ¼ 39:96:800. I casi favorevoli sono uno soltanto, quindi la probabilità è p ¼ P ¼ 39:96:800. D Si dicono permutazioni con ripetizione di n elementi, tutti i possibili raggruppamenti costituiti in modo che ognuno di essi contenga n elementi e differisca dagli altri per l ordine in cui sono disposti gli n elementi. Se tra gli n elementi, un elemento è ripetuto volte, un altro volte, ecc., risulta P ð ; ; :::: n Þ ¼ n!!!:::::: Calcolare il numero di anagrammi distinti della parola lattante. Gli elementi sono 8, ma di questi la consonante t è ripetuta 3 volte e la vocale a 2 volte, perciò gli anagrammi saranno P ð3;2þ 8 ¼ 8! 3! 2! ¼ 3:360. (3) Calcolo delle probabilità CAPITOLO

12 2 D Si dicono disposizioni semplici di n 2 N elementi distinti di classe k, con k n, tutti i possibili raggruppamenti che si possono costruire con gli n elementi in modo che ogni raggruppamento contenga k elementi tutti distinti tra loro e che due raggruppamenti differiscano tra loro per qualche elemento, oppure per l ordine degli elementi. D n;k ¼ nðn Þðn 2Þ::::::::: ðn k þ Þ ¼ n! ðn kþ! (4) Se k ¼ n, le disposizioni semplici di n elementi di classe n sono le permutazioni di n elementi. Con le cifre 2, 4, 6, 8, stabilire quanti numeri di 3 cifre si possono formare. Si tratta di disposizioni semplici, in quanto bisogna determinare quanti numeri distinti di k ¼ 3 cifre si possono formare con n ¼ 4 elementi; ricordiamo che sono numeri distinti anche quelli che sono formati dalle stesse cifre, ma disposte in ordine diverso. La rappresentazione del problema, con le celle da occupare con le cifre, è la seguente (fig. 3). cifra 2 cifra 3 cifra 4 scelte possibili, infatti sono 4 le cifre a disposizione; 3 scelte possibili, infatti una cifra è già stata utilizzata; CAPITOLO Calcolo delle probabilità Figura 3 2 scelte possibili, infatti due cifre sono già state utilizzate. Come si vede dalla rappresentazione, avremo D 4;3 ¼ ¼ 24 possibilità. Vediamo un esempio di applicazione delle disposizioni semplici al calcolo delle probabilità. Nell ippica, la corsa tris è una corsa dove gli scommettitori devono indovinare i cavalli che giungeranno al primo, secondo e terzo posto. Se alla partenza vi sono 2 cavalli, calcolare la probabilità di indovinare la sequenza d arrivo. I casi possibili sono dati dal numero di modi in cui disporre i 2 cavalli di classe 3, in modo che conti anche l ordine, quindi sono disposizioni semplici di 2 elementi di classe 3 D 2;3 ¼ 2 0 ¼ :320: I casi favorevoli sono soltanto uno, quindi la probabilità è p ¼ D 2;3 ¼ :320. D Si dicono disposizioni con ripetizione di n 2 N elementi distinti di classe k 2 N, tutti i raggruppamenti che si possono formare con gli n elementi, in modo che ogni raggruppamento ne contenga k, ma ogni elemento può essere ripetuto nei vari gruppi fino a k volte, e in modo che ogni raggruppamento differisca dagli altri per qualche elemento oppure per l ordine degli elementi. D 0 n;k ¼ n k (5) Quanti numeri di 2 cifre, anche ripetute, si possono formare con le cifre, 2, 3? Si tratta di disposizioni con ripetizione e la rappresentazione, con le celle da occupare, è (fig. 4)

13 3 cifra 2 cifra 3 possibili scelte; ancora 3 possibili scelte. Figura 4 Come si vede dalla rappresentazione, avremo D 0 3;2 ¼ 3 3 ¼ 32 ¼ 9 possibilità. Vediamo un esempio di applicazione delle disposizioni con ripetizione al calcolo delle probabilità. Calcolare la probabilità di fare 3 al gioco del Totocalcio. I casi possibili, ossia tutte le possibili colonne da giocare, sono le disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 3, quindi D 0 3;3 ¼ 33 ¼ :594:323; infatti ogni colonna è un insieme ordinato di 3 caselle in cui disporre gli elementi, X, 2, necessariamente ripetuti. I casi favorevoli sono soltanto uno, quindi la probabilità è p ¼ D 0 ¼ 3;3 :594:323. D Si dicono combinazioni di n 2 N elementi distinti di classe k 2 N, tutti i raggruppamenti che si possono formare con k degli n elementi, in modo che i raggruppamenti differiscano fra loro per almeno un elemento. C n;k ¼ n ¼ k nðn Þðn 2Þ:::::::::::: ðn k þ Þ k! Ricordiamo le proprietà del coefficiente binomiale n ¼ ; 0 n n ¼ k n k ¼ n! ðn kþ! k! n, che si legge n su k. k n ; n ¼ k k þ n : k Dati 7 tipi di frutti, quante macedonie si possono preparare, con 3 tipi di frutti? Si tratta di combinazioni di n ¼ 7 elementi di classe k ¼ 3, in quanto l ordine degli elementi è irrilevante, quindi C 7;3 ¼ ¼ 35: Vediamo esempi di applicazione delle combinazioni al calcolo delle probabilità. (6) Calcolo delle probabilità CAPITOLO Nel gioco del Lotto, calcolare quante cinquine contengono un ambo fissato. I casi possibili sono le combinazioni, di classe 5, dei 90 numeri contenuti in una urna

14 4 C 90;5 ¼ ¼ 43:949:268: I casi favorevoli si ottengono considerando, oltre ai due numeri fissati per l ambo, altri tre tra i rimanenti 88, ossia le combinazioni di 88 elementi di classe 3, quindi C 88;3 ¼ ¼ 09:736: La probabilità sarà p ¼ C 88;3 C 90;5 ¼ 09:736 43:949:268 ¼ Calcolare la probabilità che lanciando 0 volte una moneta, si ottenga 3 volte testa. I casi possibili sono le disposizioni con ripetizione di 2 elementi testa e croce di classe 0, quindi D 0 2;0 ¼ 20 : I casi favorevoli sono le combinazioni di 0 elementi, ossia i 0 risultati, di classe 3, perciò C 0;3 ¼ ¼ 20: La probabilità sarà p ¼ C 0;3 D 0 2;0 ¼ 5 28 : CAPITOLO Calcolo delle probabilità 3 Lanciando tre dadi contemporaneamente, calcolare la probabilità di ottenere tutti i numeri dispari. I casi possibili sono le disposizioni con ripetizione di 6 elementi di classe 3 D 0 6;3 ¼ 63 : I casi favorevoli sono le disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 3 La probabilità sarà p ¼ D 0 3;3 D 0 6;3 D 0 3;3 ¼ 3 3 : ¼ ¼ 3 ¼ Nel gioco del Poker, si distribuiscono, a ciascun giocatore, 5 carte estratte da un mazzo di 32 carte. Calcolare la probabilità di avere un poker di assi (4 assi e un quinta carta qualsiasi) servito. I casi possibili sono le combinazioni di 32 carte di classe C 32;5 ¼ ¼ 20:376: I casi favorevoli sono dati dai quattro assi associati a una carta qualsiasi tra le rimanenti 28 ¼ 32 4, ossia le combinazioni di 28 elementi di classe, pari a 28. La probabilità sarà p ¼ C 28; C 32;5 ¼ 28 20:376 ¼ 7:92. D Si dicono combinazioni con ripetizione di n 2 N elementi distinti di classe k 2 N, tutti i raggruppamenti che si possono formare con k degli n elementi, in modo che i raggruppamenti differiscano fra loro per almeno un elemento, oppure per il numero di volte con cui uno stesso oggetto può essere ripetuto.

15 5 n þ k C 0 n;k ¼ ¼ k nðn þ Þðn þ 2Þ::::::::::::::::: ðn þ k Þ k! (7) Calcolare in quanti modi si possono preparare frullati, disponendo di 4 tipi di frutta, mettendo in ogni frullato 6 porzioni di frutta (anche ripetute). Si devono determinare le combinazioni con ripetizione di 4 elementi, i tipi di frutta, presi a 6 a 6 C 0 4;6 ¼ ¼ 84: 5 Vediamo altre applicazioni del calcolo combinatorio al calcolo delle probabilità. Da un urna, che contiene 6 palline bianche e 9 palline blu, se ne estraggono 2 contemporaneamente. Calcolare la probabilità di estrarre: A ¼ 2 palline bianche ; B ¼ pallina blu e pallina bianca. I casi possibili sono tutti i gruppi di 2 palline che si possono estrarre dall urna che contiene 5 palline in tutto e il numero di gruppi si calcola con le combinazioni di 5 oggetti di classe 2, cioè C 5;2 ¼ 5 ¼ ¼ 05: A) I casi favorevoli sono tutti i gruppi di 2 palline bianche che si possono estrarre dall insieme delle palline bianche, ossia le combinazioni di 6 oggetti di classe 2, cioè 6 C 6;2 ¼ ¼ ¼ 5: 6 2 La probabilità è p ¼ ¼ ¼ 7 : 2 B) I casi favorevoli sono tutti i gruppi costituiti da pallina blu e bianca, cioè 6 9, e si ottengono associando a ogni pallina blu ogni pallina bianca. La probabilità è p ¼ 6 9 ¼ ¼ 8 35 : 2 2 Calcolare la probabilità di ottenere, al Lotto: A = un terno, giocando 3 numeri su una ruota fissata ; B = una cinquina, giocando 5 numeri su una ruota fissata. I casi possibili sono tutti i gruppi di 5 numeri che si possono estrarre dai 90, presenti nell urna, cioè 90 C 90;5 ¼ : 5 A) I casi favorevoli sono tutti i gruppi di 5 numeri che contengono i 3 giocati e 2 numeri qualunque, scelti fra i rimanenti 87 numeri presi a 2 a 2, ossia C 87;2 ¼ : 87 2 Calcolo delle probabilità CAPITOLO

16 6 La probabilità è p ¼ 87 2 ¼ ¼ :748 : B) I casi favorevoli si riducono a, quindi la probabilità è p ¼ ¼ :949:268 : 3 In un contenitore vi sono 00 matite di cui 2 difettose. Si scelgono a caso 4 matite; calcolare la probabilità di estrarre: A ¼ 4 matite non difettose ; B ¼ 4 matite difettose. I casi possibili sono le combinazioni delle 00 matite scelte a 4 a 4, quindi 00 C 00;4 ¼ 4 A) I casi favorevoli sono le combinazioni delle 88 matite non difettose scelte a 4 a 4, quindi 88 C 88;4 ¼ ; la probabilità è 4 88 : CAPITOLO Calcolo delle probabilità p ¼ 4 ¼ ¼ 42:398 7:295 : B) I casi favorevoli sono le combinazioni delle 2 matite difettose, scelte a 4 a 4, quindi 2 C 2;4 ¼. 4 2 La probabilità è Altre definizioni p ¼ 4 ¼ ¼ 3 23:765 : 6 La definizione classica, dunque, si può applicare quando si possono determinare tutti i casi possibili, cioè il loro numero, e conseguentemente i casi favorevoli. Tuttavia, in alcuni problemi, questa definizione non può essere applicata in quanto è difficile determinare i casi possibili come, per esempio, nel calcolo della probabilità per una persona di essere in vita fra 20 anni, di subire un furto nel prossimo anno o di vincere una somma in una scommessa. Per risolvere questi problemi, sono state elaborate altre definizioni di probabilità: frequentista e soggettiva. D Si dice frequenza f di un evento il rapporto tra r, numero di volte in cui si è verificato l evento, e n, numero molto grande di volte in cui è stato ripetuto un esperimento, sempre nelle stesse condizioni, o numero molto grande di osservazioni f ¼ r n (8) Questa probabilità è detta anche a posteriori nel senso che, per poterla calcolare, si devono prima svolgere n prove, con n tendente all infinito.

17 7 Le difficoltà nell applicazione di questa definizione sono dovute alla disponibilità delle informazioni sulle prove, al significato numerico di tendente all infinito e al realizzarsi delle stesse condizioni. È stato eseguito volte un esperimento chimico relativo alla fusione di due metalli e, in casi, si è ottenuto il risultato cercato. Calcolare la frequenza della fusione. Essendo n = e r = 3.273, la frequenza è f ¼ 3:273 4:000 : La frequenza non dipende solamente dal numero n di prove eseguite; infatti, un medesimo esperimento ripetuto uno stesso numero di volte, in diversi momenti o luoghi, può presentare un differente numero di casi favorevoli, influenzando così il valore della frequenza. Anche la frequenza è un numero razionale compreso fra 0 e ; tuttavia se risulta f ¼ 0, non si può asserire che l evento è impossibile, ma si può solo constatare che non si è mai verificato durante le n prove e, analogamente, se f ¼, non si può sostenere che l evento è certo, ma si può constatare che si è sempre verificato durante le n prove. Riguardo alla frequenza è stato rilevato che, con un numero n di prove sufficientemente grande, il rapporto tende ad assumere un valore stabile e, in particolare, per i fenomeni di cui si può calcolare la probabilità classica, all aumentare delle prove, il valore della frequenza tende al valore della probabilità classica. A questo proposito, Buffon eseguì un esperimento che diede i seguenti risultati: lanciando volte una moneta, ottenne volte l evento testa con una frequenza pari a f ¼ 0; 5069, valore molto vicino a quello della probabilità classica p ¼ ¼ 0; 5. 2 Enunciamo ora la legge empirica del caso, olegge dei grandi numeri, per eventi dei quali non sia possibile calcolare la probabilità classica: in una serie di prove, ripetute molte volte, eseguite tutte nelle stesse condizioni, la frequenza tende ad assumere valori prossimi alla probabilità dell evento e l approssimazione è tanto maggiore quanto più grande è il numero delle prove eseguite. La legge afferma che, eseguendo numerosi esperimenti, la frequenza si avvicina alla probabilità ma non si può escludere che la frequenza, in quanto valore ottenuto mediante esperimenti, assuma valori non attesi. Vi sono casi particolari in cui non è possibile o non occorre eseguire esperimenti, quindi le frequenze sono il risultato di osservazioni sistematiche; è questo il caso della frequenza delle giornate di pioggia in un anno, la frequenza delle nascite di sesso femminile in un anno, eccetera. Un esempio di queste osservazioni sono le tavole di mortalità 992, dove si legge che su maschi di età 40, raggiungono l età 70. Calcolare la frequenza per i 40-enni di raggiungere l età 70. La frequenza sarà f ¼ 69:262 ¼ 0; , quindi il 72; 426% dei quarantenni raggiungerà 95:63 l età Si hanno poi eventi per i quali non è possibile calcolare la probabilità classica né la frequenza, in quanto non si possono stabilire i casi possibili e i casi favorevoli e gli eventi non sono ripetibili; si potrà allora eseguire una stima della probabilità sulla base delle informazioni disponibili. D Si dice probabilità soggettiva di un evento la misura del grado di fiducia che un individuo (coerente) attribuisce al verificarsi dell evento in base alle sue informazioni e opinioni. Le maggiori critiche riguardo all applicazione di questa definizione vengono dal rischio di confondere il soggettivismo con l arbitrarietà. Calcolo delle probabilità CAPITOLO

18 8 In pratica la determinazione della probabilità soggettiva di un evento segue la definizione di de Finetti: D La probabilità di un evento E, secondo l opinione di un individuo, è il prezzo p che ritiene equo attribuire all importo unitario da incassare, se si verifica l evento E. Se c è la somma che si è disposti a pagare per incassare la somma C al verificarsi di E, la probabilità soggettiva è p ¼ c C (9) Se l individuo considera l evento E come: impossibile, sarà disposto a pagare c ¼ 0 e conseguentemente sarà p ¼ 0; certo, sarà disposto a pagare al massimo c ¼ C e conseguentemente sarà p ¼ ; casuale, sarà disposto a pagare una somma 0 < c < C e conseguentemente sarà 0< p <. Tizio gioca E 5, scommettendo su una certa squadra di calcio, per ottenere E 250 in caso di vittoria del campionato. Calcolare la probabilità soggettiva di Tizio per quell evento. Sarà p ¼ ¼ 50 ¼ 0; 02: CAPITOLO Calcolo delle probabilità In conclusione possiamo asserire che: la teoria classica consente il calcolo delle probabilità di un evento quando si possono determinare i casi possibili, tutti equiprobabili, e i casi favorevoli; la teoria frequentista consente il calcolo delle probabilità di un evento quando questo può essere ripetuto un qualunque numero di volte. In caso contrario si parla di frequenza dell evento, ma non di probabilità in senso frequentista; la teoria soggettiva consente di eseguire sempre una stima della probabilità di un evento. 8 Solo con la teoria assiomatica sono state superate tutte le difficoltà precedentemente illustrate. Questa teoria nasce da assiomi, ossia proposizioni fondamentali non dimostrabili, e da questi discende la definizione di probabilità assiomatica di un evento, numero che soddisfa gli assiomi del calcolo delle probabilità. La teoria assiomatica delle probabilità si costruisce in modo simile alla geometria euclidea. Come la geometria euclidea formula assiomi non dimostrabili che definiscono implicitamente gli enti fondamentali della geometria (punto e retta) per costruire tutta la geometria piana e solida come conseguenza logica delle proposizioni fatte e poi enuncia teoremi dimostrabili, così la teoria assiomatica delle probabilità si basa su tre assiomi e da questi costruisce definizioni e teoremi. Prima di introdurre gli assiomi del calcolo delle probabilità, illustriamo alcuni concetti che spesso saranno utilizzati. Spazio campione e relazioni fra eventi 9 Diamo alcune importanti definizioni. D Si dice prova o esperimento casuale un avvenimento che può dare origine a diversi risultati. D Si dice spazio campione o dei campioni l insieme costituito da tutti i risultati dell esperimento.

19 9 D Si dice evento ogni sottoinsieme dello spazio dei campioni. D Si dice evento elementare un sottoinsieme dello spazio campione costituito da un solo elemento e si indica con una lettera minuscola dell alfabeto. D Si dice evento composto un sottoinsieme dello spazio campione costituito da più elementi dello stesso e si indica con una lettera maiuscola dell alfabeto. Un evento composto sarà quindi scomponibile in più eventi elementari. Consideriamo come esempio di prova il lancio di un dado. Avremo allora: spazio campione: U ¼f; 2; 3; 4; 5; 6g; eventi elementari: evento a: esce ; evento b: esce 2 ; evento c: esce 3 ; evento d: esce 4 ; evento e: esce 5 ; evento f : esce 6. eventi composti: evento A: esce un numero pari, questo evento si scompone negli eventi elementari b, d, f ; evento B: esce un numero maggiore di 2, questo evento si può scomporre negli eventi elementari c, d, e, f. D Si dice spazio degli eventi PðUÞ l insieme di tutti i sottoinsiemi dello spazio campione, compreso l insieme vuoto [ e lo stesso spazio campione U. D Si dicono eventi incompatibili due sottoinsiemi qualunque dello spazio campione che non hanno elementi comuni (sottoinsiemi disgiunti). D Si dicono eventi compatibili due sottoinsiemi che hanno elementi comuni. Naturalmente eventi elementari sono sempre incompatibili. La simbologia usata per questi elementi è analoga a quella della teoria degli insiemi. Illustriamo altri esempi. Consideriamo il lancio di una moneta e rappresentiamo lo spazio campione. Lo spazio campione è U ¼ftesta; croceg, costituito dagli eventi elementari incompatibili a: testa e b: croce. 2 Lanciamo due dadi, uno rosso e l altro blu e rappresentiamo lo spazio campione. Lo spazio campione è U ¼fð; Þ ; ð; 2Þ ; ::::: ; ð; 6Þ ; ð2; Þ ; ð2; 2Þ ; :::::: ; ð2; 6Þ ; :::::: ; ð6; Þ ; ð6; 2Þ ; ::::: ; ð6; 6Þg ed è costituito dalle 36 coppie di valori che si ottengono associando alle sei facce del dado rosso le sei facce del dado blu; tutte le coppie sono eventi elementari. È possibile rappresentare graficamente U con un diagramma cartesiano dove, sull asse delle ascisse, si indicano tutti i possibili risultati del dado rosso e, sull asse delle ordinate, tutti i possibili risultati del dado blu e ogni punto rappresenta un evento semplice, elemento dello spazio campione (fig. 5). Calcolo delle probabilità dado blu CAPITOLO dado rosso Figura 5

20 20 Consideriamo gli eventi: A ¼ la somma dei punti è 5 00 ¼ ¼fð; 4Þð2; 3Þð3; 2Þð4; Þg B ¼ la somma dei punti è 2 00 ¼fð6; 6Þg: Questi eventi composti sono sottoinsiemi dello spazio campione U, quindi A U e B U; possiamo rappresentare graficamente questi sottoinsiemi (fig. 6) e dado blu B A dado rosso Figura 6 3 Un urna contiene 3 palline bianche, 2 nere e 4 verdi. Considerato l esperimento si estraggono due palline rimettendo la prima pallina estratta nell urna, rappresentiamo lo spazio campione. Lo spazio campione U presenta 8 elementi costituiti da tutte le coppie di palline che si possono estrarre e la sua rappresentazione grafica è (fig. 7) CAPITOLO Calcolo delle probabilità 2 estrazione V V V V N N B B B Figura 7 BB NV VN B B B N N V V V V estrazione Nei rettangoli è possibile contare i seguenti eventi composti: NV la prima pallina estratta è nera e la seconda è verde; VN la prima pallina estratta è verde e la seconda è nera; BB la prima pallina estratta è bianca e la seconda è bianca. È possibile generalizzare l estrazione di due palline da un urna, con reimmissione della prima, con un qualunque numero di palline: considerando, ad esempio, 80 palline gialle, 20 rosse e 50 nere, lo spazio campione contiene ð80 þ 20 þ 50Þ 2 ¼ 22:500 elementi, che sono eventi elementari di U. Una rappresentazione possibile è la seguente (fig. 8) 2 estrazione 50 N 20 R 80 G GN GR.600 GG RN.000 RR 400 GR.600 NN NR.000 NG Figura 8 80 G 20 R 50 N estrazione