LINEAMENTI DI MATEMATICA

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "LINEAMENTI DI MATEMATICA"

Transcript

1 P. BARONCINI - E. FABBRI - C. GRASSI IGEA Triennio LINEAMENTI DI MATEMATICA per il triennio degli istituti tecnici commerciali IGEA Probabilità e statistica Analisi numerica MODULO d

2 P. Baroncini - E. Fabbri - C. Grassi LINEAMENTI DI MATEMATICA per il triennio degli istituti tecnici commerciali IGEA MODULO D Probabilità e statistica Analisi numerica

3 3 Parte prima: probabilità e statistica CAPITOLO Calcolo delle probabilità 8 Note storiche, 8. Definizione di probabilità classica, 8. Applicazioni del calcolo combinatorio al calcolo delle probabilità, 0. Altre definizioni, 6. Spazio campione e relazioni fra eventi, 8. Assiomi del calcolo delle probabilità, 23. Teorema della somma e teorema della probabilità contraria, 27. Probabilità condizionata, 29. Teorema del prodotto, 32. Teorema delle probabilità totali e formula di Bayes, 35. Esercitazioni di laboratorio, 43. Esercizi Calcolo delle probabilità, 47. Eventi, 48. Probabilità classica, 48. Applicazioni del calcolo combinatorio al calcolo delle probabilità, 5. Frequenza, 53. Probabilità soggettiva, 54. Spazio campione e relazioni fra eventi, 55. Assiomi del calcolo delle probabilità, 56. Teorema della somma, 57. Probabilità condizionata, 59. Teorema del prodotto, 59. Esercizi di ricapitolazione, 62. Formula di Bayes, 63. CAPITOLO 2 Variabili casuali e giochi equi 67 Variabili casuali, 67. Funzione di ripartizione, 7. Valor medio, 73. Proprietà del valor medio, 75. Varianza e scarto quadratico medio, 78. Proprietà della varianza, 8. Moda e mediana, 82. Teorema di Bienaymè-Cebicev, 83. Funzione di densità, 84. Speranza matematica, 85. Gioco equo, 87. Giochi con due risultati, 87. Gioco organizzato, 89. Altri esempi, 90. Esercitazioni di laboratorio, 92. Esercizi Variabili casuali e giochi equi, 94. Variabili casuali, 95. Funzione di ripartizione, 98. Valore medio, 0. Varianza e scarto quadratico medio, 03. Moda e mediana, 04. Teorema di Bienaymè-Cebicev, 04. Speranza matematica e gioco equo, 05. CAPITOLO 3 Statistica descrittiva 08 Note storiche, 08. Definizioni, 08. Fasi dell indagine statistica, 09. Altre definizioni, 0. Rilevazione dei dati, 2. Costruzione di un questionario, 2. Spoglio dei dati, 2. Distribuzioni statistiche, 4. Frequenze relative e cumulate delle distribuzioni semplici, 7. Frequenze relative delle distribuzioni doppie, 9. Rappresentazioni grafiche, 20. Grafici a nastri e colonne, 2. Grafici a settori circolari, 22. Istogrammi, 23. Diagrammi cartesiani, 24. Diagrammi polari, 25. Esercitazioni di laboratorio, 28. Esercizi Statistica descrittiva, 29. Distribuzioni statistiche, 30. Frequenze, 3. Rappresentazioni grafiche, 3. Indice CAPITOLO 4 Misure di tendenza centrale 33 Medie statistiche, 33. Media aritmetica, 34. Caratteristiche e proprietà della media aritmetica, 36. Media geometrica, 38. Media armonica, 39. Media quadratica, 4. Moda, 42. Mediana, 44. Scelta della media, 46. Esercitazioni di laboratorio, 47. Esercizi Misure di tendenza centrale, 49. Media aritmetica, 50. Media geometrica, 52. Media armonica, 53. Media quadratica, 54. Moda, 55. Mediana, 56. Esercizi di ricapitolazione sulle medie, 57. CAPITOLO 5 Misure di variabilità e concentrazione 59 Misure di variabilità, 59. Campo di variazione, 60. Scarto semplice medio assoluto, 60. Scarto quadratico medio e varianza, 62. Proprietà dello scarto quadratico medio, 64. Metodo pratico per il calcolo della varianza e dello scarto quadratico

4 4 medio, 65. Differenza media assoluta, 65. Misure di concentrazione, 67. Esercitazioni di laboratorio, 72. Esercizi Misure di variabilità e concentrazione, 75. Campo di variazione, 76. Scarto semplice medio assoluto, 77. Scarto quadratico medio e varianza, 78. Proprietà dello scarto quadratico medio, 78. Differenza media assoluta, 79. Esercizi di ricapitolazione, 80. Misure di concentrazione, 82. CAPITOLO 6 Rapporti statistici 84 Rapporti di composizione, 84. Rapporti di coesistenza, 85. Rapporti di derivazione, 86. Rapporti di frequenza o densità, 86. Rapporti di durata e di ripetizione, 87. Numeri indici, 87. Numeri indici semplici a base fissa, 88. Numeri indici semplici a base mobile, 89. Numeri indici composti, 90. Numeri indici delle medie, 9. Medie dei numeri indici, 9. Esercizi Rapporti statistici, 93. Rapporti di composizione, 93. Rapporti di coesistenza, 96. Rapporti di derivazione, 97. Rapporti di frequenza o densità, 98. Rapporti di durata e di ripetizione, 99. Numeri indici, 200. Numeri indici semplici a base fissa, 200. Numeri indici semplici a base mobile, 203. Numeri indici composti, 204. CAPITOLO 7 Distribuzioni teoriche di probabilità 206 Distribuzione binomiale o di Bernoulli, 206. Probabilità delle prove ripetute, 206. Variabile casuale con distribuzione binomiale, 207. Valore medio, varianza, scarto quadratico medio, 208. Valore modale, 22. Funzione di ripartizione, 23. Applicazioni della distribuzione binomiale, 24. Distribuzione ipergeometrica, 25. Variabile causale con distribuzione ipergeometrica, 26. Osservazioni, 27. Valore medio, varianza, scarto quadratico medio, 27. Valore modale, 27. Distribuzione di Poisson, 29. Valore medio, varianza, valore modale, 220. Applicazioni della distribuzione di Poisson, 220. Distribuzione normale o di Gauss, 222. Variabili casuali continue e funzione di densità, 222. Grafico di f ðxþ, 222. Esempi, 223. Distribuzione normale standardizzata, 224. Approssimazione della distribuzione binomiale con la distribuzione di Gauss, 227. Esercitazioni di laboratorio, 228. Indice Esercizi Distribuzioni teoriche di probabilità, 240. Distribuzione binomiale, 240. Distribuzione ipergeometrica, 240. Distribuzione di Poisson, 242. Distribuzione di Gauss, 245. Esercizi di ricapitolazione, 248. CAPITOLO 8 Statistica inferenziale: campionamento 250 Universo e campioni, 250. Inferenza statistica, 25. Estrazione del campione, 25. Estrazione bernoulliana, 252. Estrazione in blocco, 253. Spazio dei campioni, 253. Tavola dei numeri casuali, 254. Parametri di un universo, 255. Stimatori di un parametro e stime, 256. Distribuzioni campionarie, 256. Distribuzione campionaria delle medie, 259. Distribuzione campionaria della varianza, 262. Distribuzione campionaria delle somme e delle differenze delle medie, 265. Distribuzione campionaria delle frequenze, 266. Conclusioni, 267. Esercitazioni di laboratorio, 269. Esercizi Statistica inferenziale: campionamento, 270. Estrazione del campione, 27. Estrazione con l uso delle tavole dei numeri casuali, 27 Estrazione bernoulliana e in blocco, spazio dei campioni, 273. Distribuzione campionaria delle medie, 274. Distribuzione campionaria della varianza e calcolo della varianza corretta, 277. CAPITOLO 9 Statistica inferenziale: stima dei parametri 282 Parametri e loro stima, 282. Problemi di stima, 282. Stimatori e loro pro-

5 5 prietà, 283. Stima puntuale della media, della varianza, della differenza fra due medie e della frequenza relativa, 286. Stima della media dell universo, 286. Stima della varianza dell universo, 286. Errore medio di campionamento e stima puntuale della media dell universo, 286. Stima puntuale della differenza fra due medie, 288. Stima puntuale della frequenza relativa, 289. Stima per intervallo della media, della differenza fra due medie e della frequenza relativa, 29. Stima per intervallo di una media (grandi campioni), 29. Controllo statistico di qualità, 295. Stima per intervallo di una media (piccoli campioni), 297. Stima per intervallo della differenza fra due medie, 299. Stima per intervallo della frequenza relativa, 302. Determinazione della dimensione del campione, 302. Dimensione del campione per la stima della media, 303. Dimensione del campione per la stima della frequenza relativa, 304. Esercitazioni di laboratorio, 305. Esercizi Statistica inferenziale: stima dei parametri, 306. Stime puntuali, 307. Stima puntuale della media, 307. Stima puntuale della differenza fra due medie, 308. Stima puntuale della frequenza relativa, 30. Stime per intervallo di una media, 3. Grandi campioni, 3. Controllo statistico di qualità, 32. Piccoli campioni, 33. Controllo statistico di qualità, 33. Stima per intervallo della differenza fra due medie, 34. Stima per intervallo della frequenza relativa, 35. Determinazione della dimensione del campione, 36. Dimensione del campione per la stima della media, 36. Dimensione del campione per la stima della frequenza relativa, 37. CAPITOLO 0 Statistica inferenziale: verifica delle ipotesi 38 Ipotesi statistiche, 38. Verifica di un ipotesi: ipotesi nulla e ipotesi alternativa, 39. Zona di accettazione e zona di rifiuto (regole di decisione), 320. Errori di prima e di seconda specie, 322. Verifica delle ipotesi sulla media per grandi campioni, 324. Verifica delle ipotesi sulla media per piccoli campioni, 326. Verifica delle ipotesi sulle frequenze relative, 328. Verifica delle ipotesi sulla differenza fra due medie, 330. Esercizi Statistica inferenziale: verifica delle ipotesi, 333. Verifica di un ipotesi: ipotesi nulla e alternativa, 334. Verifica delle ipotesi sulla media, 334. Grandi campioni, 334. Piccoli campioni, 335. Verifica delle ipotesi sulle frequenze relative, 336. Verifica delle ipotesi sulla differenza fra due medie, 336. Grandi campioni, 336. Piccoli campioni, 337. Parte seconda: analisi numerica Introduzione, 340. CAPITOLO Teoria degli errori 34 Definizioni e terminologia, 34. Approssimazione, 34. Errore assoluto ed errore relativo, 34. Maggiorazione degli errori, 342. Operazioni con valori approssimati. Propagazione degli errori, 343. Errore assoluto nell addizione, 344. Errore assoluto nella sottrazione, 345. Errore assoluto nel prodotto, 346. Errore assoluto nella divisione, 347. Indice Esercizi Teoria degli errori, 349. Errore assoluto ed errore relativo, 350. Operazioni con valori approssimati, 350. CAPITOLO 2 Risoluzione approssimata delle equazioni algebriche di grado superiore al secondo e delle equazioni trascendenti 352 Separazione delle radici, 353. Metodo algebrico, 353. Metodo grafico, 354. Ricerca delle soluzioni approssimate dell equazione, 356. Metodo dicotomico, 356. Metodo delle corde, 358. Metodo delle tangenti o di Newton, 362. Osservazioni, 363. Applicazioni, 364. Esercitazioni di laboratorio, 365.

6 6 Esercizi CAPITOLO 3 Risoluzione approssimata delle equazioni algebriche di grado superiore al secondo e delle equazioni trascendenti, 368. Ricerca delle soluzioni approssimate dell equazione, 368. Problemi da risolvere con un metodo di approssimazione, 369. Risoluzione dei sistemi lineari di n equazioni in n incognite con metodi di approssimazione 37 Medoti iterativi, 37. Convergenza della successione alla soluzione del sistema, 372. Maggiorazione degli errori nella risoluzione di sistemi lineari, 372. Metodo iterativo semplice o di Jacobi, 373. Metodo di Gauss-Seidel, 374. Esercitazioni di laboratorio, 376. Esercizi Risoluzione dei sistemi lineari di n equazioni in n incognite con metodi di approssimazione, 378. CAPITOLO 4 Interpolazione matematica e derivazione numerica 380 Interpolazione matematica e interpolazione statistica, 380. Interpolazione polinomiale, 38. Interpolazione col metodo di Lagrange, 382. Derivazione numerica, 383. Primo procedimento, 383. Secondo procedimento: valori equintervallati, 384. Esercizi Interpolazione matematica e derivazione numerica, 386. Interpolazione polinomiale, 386. Interpolazione col metodo di Lagrange, 388. Derivazione numerica, 390. CAPITOLO 5 Interpolazione statistica 39 Metodo dei minimi quadrati, 39. Condizione di accostamento, 392. Calcolo degli estremi di una funzione di due variabili, 393. Funzione lineare, 393. Indici di scostamento, 396. Funzione di secondo grado, 398. Funzione di secondo grado del tipo y ¼ ax 2, 400. Funzione esponenziale, 400. Scelta della funzione interpolante, 402. Esercitazioni di laboratorio, 407. Esercizi Interpolazione statistica, 409. Funzione lineare, 40. Funzione di secondo grado, 42. Parabola e retta, 43. Funzione esponenziale, 45. Parabola e funzione esponenziale, 46. Esercizi vari, 47. Esercizi di ricapitolazione, 49. CAPITOLO 6 Lo studio del legame fra due variabili in statistica 42 Indice Connessione, 42. Correlazione, 42. Varianza e covarianza, 42. Coefficiente di correlazione lineare, 422. Regressione, 427. Contingenza, 432. Indici di contingenza, 432. Indice di Tshuprow, 432. Esercitazioni di laboratorio, 435. Esercizi Lo studio del legame fra due variabili in statistica, 439. Correlazione, 439. Regressione, 442. Contingenza, 446. Formulario 448 Appendice 460 TAVOLA A Numeri casuali, 460. TAVOLA B Curva normale standard valori da a z, 46. TAVOLA C Curva normale standard valori da 0 a z, 462. TAVOLA D Distribuzione di Student, 464.

7 7 Parte prima: probabilità e statistica

8 8 Calcolo delle probabilità Note storiche Definizione di probabilità classica Applicazioni del calcolo combinatorio al colcolo delle probabilità Altre definizioni Spazio campione e relazioni fra eventi Assiomi del calcolo delle probabilità Teorema della somma e teorema della probabilità contraria Probabilità condizionata Teorema del prodotto Teorema delle probabilità totali e formula di Bayes Esercitazioni di laboratorio CAPITOLO Calcolo delle probabilità Note storiche Durante il Rinascimento, il gioco d azzardo diede l avvio allo studio del calcolo delle probabilità come analisi degli eventi casuali, ossia degli eventi che hanno un esito non prevedibile a priori. Riguardo ai periodi precedenti non furono eseguiti studi significativi. Nel Medioevo, la convinzione che il disegno provvidenziale guidasse tutti gli eventi portò al rifiuto del concetto di evento casuale e, conseguentemente, al rifiuto del suo studio. Nel secolo XVII, la passione per i giochi d azzardo promosse lo studio di questa disciplina e, dallo studio degli eventi casuali, nacque la teoria delle probabilità, grazie a Pascal ( ), Fermat ( ) e Bernoulli ( ). Nel secolo XVIII questa disciplina ebbe un notevole sviluppo per merito di Bayes (702-76), che pose i fondamenti dell inferenza statistica, di Lagrange (736-83) e di Gauss ( ), che si occuparono della distribuzione degli errori accidentali, e di Laplace ( ), che introdusse il calcolo delle probabilità. La teoria fu applicata allo studio di fenomeni economici e politici, alle scienze naturali per studiare l ereditarietà dei caratteri, alle scienze fisiche e alle scienze attuariali. La vasta estensione dei campi di applicazione mise in discussione la definizione classica di probabilità data da Laplace, in quanto non sempre applicabile. Nacquero così diverse definizioni di probabilità che si svilupparono nella teoria frequentista e nella teoria soggettiva e infine, verso il 930, fu elaborata da Kolmogorov la teoria assiomatica, che ebbe il merito di includere in sé i risultati delle teorie precedenti. Definizione di probabilità classica 2 Prima di definire la probabilità è necessario introdurre la definizione di evento. D Si dice evento il risultato di una osservazione o di un esperimento.

9 9 Esempi di eventi sono:. l uscita di un numero pari nel lancio di un dado; 2. fare centro lanciando una freccia; 3. l uscita di un numero nero alla roulette; 4. lo sbocciare di un fiore in un certo intervallo di tempo; 5. l uscita di una faccia nel lancio di una moneta; 6. il sorgere del sole; 7. l estrazione del numero 9 nel gioco del Lotto. Gli eventi citati possono essere distinti in: eventi casuali o aleatori: sono i primi quattro, infatti possono o meno verificarsi; eventi certi: sono il quinto e il sesto che si verificheranno certamente; eventi impossibili: il settimo evento siamo certi, ancor prima di effettuare l esperimento, che non si verificherà mai, in quanto nell urna sono presenti solo i primi 90 numeri. In conclusione, ogni qual volta il risultato di un esperimento è un evento aleatorio, non siamo in grado di stabilire se si verificherà o meno, ma possiamo dare una valutazione numerica alla possibilità del suo verificarsi: tale numero indica la probabilità. 3 D Secondo Laplace, si definisce probabilità classica di un evento aleatorio il rapporto fra il numero m di casi favorevoli al verificarsi dell evento e il numero n di casi possibili. p ¼ m n I casi possibili devono essere tutti equiprobabili, cioè devono avere la stessa possibilità di verificarsi. La probabilità èun numero razionale puro compreso fra 0 e : infatti, il caso p ¼ corrisponde all evento certo, in quanto m ¼ n, il caso p ¼ 0 corrisponde all evento impossibile, in quanto m ¼ 0eil caso 0 < p < corrisponde a un evento casuale. Si lancia un dado: A ¼ L uscita di un numero minore di 7 nel lancio di un dado è un evento certo di probabilità p ¼. B ¼ L uscita del numero 0 nel lancio di un dado è un evento impossibile di probabilità p ¼ 0. C ¼ L uscita di un dato numero compreso fra e 6 nel lancio di un dado è un evento casuale; infatti l uscita di uno qualunque dei 6 numeri è del tutto casuale, essendo le facce tutte uguali; poiché una delle 6 facce si presenterà sicuramente, i casi possibili, tutti equiprobabili, sono 6 e ogni faccia ha probabilità p ¼ 6. D ¼ L uscita di un numero pari nel lancio di un dado è un evento casuale con probabilità p ¼ 3, poiché 3 sono le facce con numeri pari 2, 4, 6 e sempre 6 sono i casi possibili 6 equiprobabili. E ¼ L uscita di un numero maggiore o uguale a 3 nel lancio di un dado è un evento casuale con probabilità p ¼ 4, poiché 4 sono i casi favorevoli, ossia le facce che presentano un 6 numero maggiore o uguale a 3 (3, 4, 5, 6) e sempre 6 sono i casi possibili equiprobabili. () Calcolo delle probabilità CAPITOLO

10 0 2 Da un mazzo di 40 carte da gioco se ne estrae una. A ¼ L estrazione di una figura è un evento casuale con probabilità p ¼ 2, poiché i casi 40 favorevoli (le figure) sono 2 e i casi possibili equiprobabili sono 40 (il numero delle carte del mazzo). B ¼ L estrazione di una carta di fiori è un evento casuale con probabilità p ¼ 0 40, essendo i casi favorevoli 0 (le carte di fiori) e i casi possibili equiprobabili sempre 40. Illustriamo ora alcuni esempi più complessi di calcolo delle probabilità. 3 Si lanciano due dadi; calcolare la probabilità di ottenere: A ¼ due facce uguali ; B ¼ la somma dei punti pari a 4. I casi possibili sono 6 6 ¼ 36, in quanto ogni faccia del primo dado si può associare a ogni faccia del secondo dado e si può rappresentare questa situazione con le seguenti 36 coppie ordinate, dove il primo numero corrisponde alla faccia del primo dado e il secondo numero corrisponde alla faccia del secondo dado ð; Þ ð; 2Þ::::ð; 6Þ ð2; Þ ð2; 2Þ ::::ð2; 6Þ:::::::::::::::::::::::::::::ð6; Þ ð6; 2Þ::::ð6; 6Þ: CAPITOLO Calcolo delle probabilità A) I casi favorevoli sono 6, ossia le coppie (,), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) e la probabilità è dunque p ¼ 6 36 ¼ 6 : B) I casi favorevoli sono 3, ossia le coppie ð; 3Þ, ð2; 2Þ, ð3; Þ e la probabilità è quindi p ¼ 3 36 ¼ 2 : 4 Si lanciano 3 monete; calcolare la probabilità di ottenere 2 teste e croce. I casi possibili sono ¼ 8, in quanto ogni faccia di una qualunque delle 3 monete si può associare a una delle due facce della seconda e terza moneta e li rappresentiamo con le seguenti terne TTT CTT TCT TTC TCC CTC CCT CCC: I casi favorevoli sono 3, ossia le terne CTT, TCT, TTC e la probabilità è quindi p ¼ 3 8 : Questi ultimi esercizi si possono risolvere più rapidamente applicando il calcolo combinatorio, di cui rivediamo le definizioni. Applicazioni del calcolo combinatorio al calcolo delle probabilità 4 Il calcolo combinatorio ha notevoli applicazioni nel calcolo dei casi possibili e dei casi favorevoli, necessari per il calcolo della probabilità classica.

11 D Si dicono permutazioni di n elementi distinti, tutti i possibili raggruppamenti costituiti in modo che ognuno di essi contenga tutti gli n elementi e differisca dagli altri per l ordine in cui sono disposti gli n elementi. P n ¼ n! ¼ nðn Þðn 2Þ:::::: 3 2 (2) Ricordiamo che il simbolo n! si legge n fattoriale ed è il prodotto dei primi n numeri interi. Con le cifre 5, 7, 9, stabilire quanti numeri di 3 cifre distinte si possono formare. Si tratta di permutazioni, infatti bisogna determinare quanti gruppi di tre elementi possiamo formare con tre cifre. La rappresentazione grafica del problema può avvenire considerando celle da occupare con le tre cifre date, oppure con un diagramma ad albero (fig. e 2). cifra 2 cifra 3 cifra cifra cifra Figura 3 possibili scelte 2 possibili scelte, infatti una cifra è già stata fissata scelta, infatti due cifre sono già state fissate 3 cifra Come si vede nelle due rappresentazioni, avremo 3 2 ¼ 6 possibilità. Vediamo un esempio di applicazione delle permutazioni al calcolo delle probabilità. Figura 2 Negli spogliatoi di una palestra vi sono armadietti numerati da a per giocatori di una squadra di calcio. Calcolare la probabilità di attribuire gli armadietti ai giocatori in modo che siano rispettati i numeri delle maglie che indossano. I casi possibili sono le permutazioni di elementi, quindi P ¼! ¼ 39:96:800. I casi favorevoli sono uno soltanto, quindi la probabilità è p ¼ P ¼ 39:96:800. D Si dicono permutazioni con ripetizione di n elementi, tutti i possibili raggruppamenti costituiti in modo che ognuno di essi contenga n elementi e differisca dagli altri per l ordine in cui sono disposti gli n elementi. Se tra gli n elementi, un elemento è ripetuto volte, un altro volte, ecc., risulta P ð ; ; :::: n Þ ¼ n!!!:::::: Calcolare il numero di anagrammi distinti della parola lattante. Gli elementi sono 8, ma di questi la consonante t è ripetuta 3 volte e la vocale a 2 volte, perciò gli anagrammi saranno P ð3;2þ 8 ¼ 8! 3! 2! ¼ 3:360. (3) Calcolo delle probabilità CAPITOLO

12 2 D Si dicono disposizioni semplici di n 2 N elementi distinti di classe k, con k n, tutti i possibili raggruppamenti che si possono costruire con gli n elementi in modo che ogni raggruppamento contenga k elementi tutti distinti tra loro e che due raggruppamenti differiscano tra loro per qualche elemento, oppure per l ordine degli elementi. D n;k ¼ nðn Þðn 2Þ::::::::: ðn k þ Þ ¼ n! ðn kþ! (4) Se k ¼ n, le disposizioni semplici di n elementi di classe n sono le permutazioni di n elementi. Con le cifre 2, 4, 6, 8, stabilire quanti numeri di 3 cifre si possono formare. Si tratta di disposizioni semplici, in quanto bisogna determinare quanti numeri distinti di k ¼ 3 cifre si possono formare con n ¼ 4 elementi; ricordiamo che sono numeri distinti anche quelli che sono formati dalle stesse cifre, ma disposte in ordine diverso. La rappresentazione del problema, con le celle da occupare con le cifre, è la seguente (fig. 3). cifra 2 cifra 3 cifra 4 scelte possibili, infatti sono 4 le cifre a disposizione; 3 scelte possibili, infatti una cifra è già stata utilizzata; CAPITOLO Calcolo delle probabilità Figura 3 2 scelte possibili, infatti due cifre sono già state utilizzate. Come si vede dalla rappresentazione, avremo D 4;3 ¼ ¼ 24 possibilità. Vediamo un esempio di applicazione delle disposizioni semplici al calcolo delle probabilità. Nell ippica, la corsa tris è una corsa dove gli scommettitori devono indovinare i cavalli che giungeranno al primo, secondo e terzo posto. Se alla partenza vi sono 2 cavalli, calcolare la probabilità di indovinare la sequenza d arrivo. I casi possibili sono dati dal numero di modi in cui disporre i 2 cavalli di classe 3, in modo che conti anche l ordine, quindi sono disposizioni semplici di 2 elementi di classe 3 D 2;3 ¼ 2 0 ¼ :320: I casi favorevoli sono soltanto uno, quindi la probabilità è p ¼ D 2;3 ¼ :320. D Si dicono disposizioni con ripetizione di n 2 N elementi distinti di classe k 2 N, tutti i raggruppamenti che si possono formare con gli n elementi, in modo che ogni raggruppamento ne contenga k, ma ogni elemento può essere ripetuto nei vari gruppi fino a k volte, e in modo che ogni raggruppamento differisca dagli altri per qualche elemento oppure per l ordine degli elementi. D 0 n;k ¼ n k (5) Quanti numeri di 2 cifre, anche ripetute, si possono formare con le cifre, 2, 3? Si tratta di disposizioni con ripetizione e la rappresentazione, con le celle da occupare, è (fig. 4)

13 3 cifra 2 cifra 3 possibili scelte; ancora 3 possibili scelte. Figura 4 Come si vede dalla rappresentazione, avremo D 0 3;2 ¼ 3 3 ¼ 32 ¼ 9 possibilità. Vediamo un esempio di applicazione delle disposizioni con ripetizione al calcolo delle probabilità. Calcolare la probabilità di fare 3 al gioco del Totocalcio. I casi possibili, ossia tutte le possibili colonne da giocare, sono le disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 3, quindi D 0 3;3 ¼ 33 ¼ :594:323; infatti ogni colonna è un insieme ordinato di 3 caselle in cui disporre gli elementi, X, 2, necessariamente ripetuti. I casi favorevoli sono soltanto uno, quindi la probabilità è p ¼ D 0 ¼ 3;3 :594:323. D Si dicono combinazioni di n 2 N elementi distinti di classe k 2 N, tutti i raggruppamenti che si possono formare con k degli n elementi, in modo che i raggruppamenti differiscano fra loro per almeno un elemento. C n;k ¼ n ¼ k nðn Þðn 2Þ:::::::::::: ðn k þ Þ k! Ricordiamo le proprietà del coefficiente binomiale n ¼ ; 0 n n ¼ k n k ¼ n! ðn kþ! k! n, che si legge n su k. k n ; n ¼ k k þ n : k Dati 7 tipi di frutti, quante macedonie si possono preparare, con 3 tipi di frutti? Si tratta di combinazioni di n ¼ 7 elementi di classe k ¼ 3, in quanto l ordine degli elementi è irrilevante, quindi C 7;3 ¼ ¼ 35: Vediamo esempi di applicazione delle combinazioni al calcolo delle probabilità. (6) Calcolo delle probabilità CAPITOLO Nel gioco del Lotto, calcolare quante cinquine contengono un ambo fissato. I casi possibili sono le combinazioni, di classe 5, dei 90 numeri contenuti in una urna

14 4 C 90;5 ¼ ¼ 43:949:268: I casi favorevoli si ottengono considerando, oltre ai due numeri fissati per l ambo, altri tre tra i rimanenti 88, ossia le combinazioni di 88 elementi di classe 3, quindi C 88;3 ¼ ¼ 09:736: La probabilità sarà p ¼ C 88;3 C 90;5 ¼ 09:736 43:949:268 ¼ Calcolare la probabilità che lanciando 0 volte una moneta, si ottenga 3 volte testa. I casi possibili sono le disposizioni con ripetizione di 2 elementi testa e croce di classe 0, quindi D 0 2;0 ¼ 20 : I casi favorevoli sono le combinazioni di 0 elementi, ossia i 0 risultati, di classe 3, perciò C 0;3 ¼ ¼ 20: La probabilità sarà p ¼ C 0;3 D 0 2;0 ¼ 5 28 : CAPITOLO Calcolo delle probabilità 3 Lanciando tre dadi contemporaneamente, calcolare la probabilità di ottenere tutti i numeri dispari. I casi possibili sono le disposizioni con ripetizione di 6 elementi di classe 3 D 0 6;3 ¼ 63 : I casi favorevoli sono le disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 3 La probabilità sarà p ¼ D 0 3;3 D 0 6;3 D 0 3;3 ¼ 3 3 : ¼ ¼ 3 ¼ Nel gioco del Poker, si distribuiscono, a ciascun giocatore, 5 carte estratte da un mazzo di 32 carte. Calcolare la probabilità di avere un poker di assi (4 assi e un quinta carta qualsiasi) servito. I casi possibili sono le combinazioni di 32 carte di classe C 32;5 ¼ ¼ 20:376: I casi favorevoli sono dati dai quattro assi associati a una carta qualsiasi tra le rimanenti 28 ¼ 32 4, ossia le combinazioni di 28 elementi di classe, pari a 28. La probabilità sarà p ¼ C 28; C 32;5 ¼ 28 20:376 ¼ 7:92. D Si dicono combinazioni con ripetizione di n 2 N elementi distinti di classe k 2 N, tutti i raggruppamenti che si possono formare con k degli n elementi, in modo che i raggruppamenti differiscano fra loro per almeno un elemento, oppure per il numero di volte con cui uno stesso oggetto può essere ripetuto.

15 5 n þ k C 0 n;k ¼ ¼ k nðn þ Þðn þ 2Þ::::::::::::::::: ðn þ k Þ k! (7) Calcolare in quanti modi si possono preparare frullati, disponendo di 4 tipi di frutta, mettendo in ogni frullato 6 porzioni di frutta (anche ripetute). Si devono determinare le combinazioni con ripetizione di 4 elementi, i tipi di frutta, presi a 6 a 6 C 0 4;6 ¼ ¼ 84: 5 Vediamo altre applicazioni del calcolo combinatorio al calcolo delle probabilità. Da un urna, che contiene 6 palline bianche e 9 palline blu, se ne estraggono 2 contemporaneamente. Calcolare la probabilità di estrarre: A ¼ 2 palline bianche ; B ¼ pallina blu e pallina bianca. I casi possibili sono tutti i gruppi di 2 palline che si possono estrarre dall urna che contiene 5 palline in tutto e il numero di gruppi si calcola con le combinazioni di 5 oggetti di classe 2, cioè C 5;2 ¼ 5 ¼ ¼ 05: A) I casi favorevoli sono tutti i gruppi di 2 palline bianche che si possono estrarre dall insieme delle palline bianche, ossia le combinazioni di 6 oggetti di classe 2, cioè 6 C 6;2 ¼ ¼ ¼ 5: 6 2 La probabilità è p ¼ ¼ ¼ 7 : 2 B) I casi favorevoli sono tutti i gruppi costituiti da pallina blu e bianca, cioè 6 9, e si ottengono associando a ogni pallina blu ogni pallina bianca. La probabilità è p ¼ 6 9 ¼ ¼ 8 35 : 2 2 Calcolare la probabilità di ottenere, al Lotto: A = un terno, giocando 3 numeri su una ruota fissata ; B = una cinquina, giocando 5 numeri su una ruota fissata. I casi possibili sono tutti i gruppi di 5 numeri che si possono estrarre dai 90, presenti nell urna, cioè 90 C 90;5 ¼ : 5 A) I casi favorevoli sono tutti i gruppi di 5 numeri che contengono i 3 giocati e 2 numeri qualunque, scelti fra i rimanenti 87 numeri presi a 2 a 2, ossia C 87;2 ¼ : 87 2 Calcolo delle probabilità CAPITOLO

16 6 La probabilità è p ¼ 87 2 ¼ ¼ :748 : B) I casi favorevoli si riducono a, quindi la probabilità è p ¼ ¼ :949:268 : 3 In un contenitore vi sono 00 matite di cui 2 difettose. Si scelgono a caso 4 matite; calcolare la probabilità di estrarre: A ¼ 4 matite non difettose ; B ¼ 4 matite difettose. I casi possibili sono le combinazioni delle 00 matite scelte a 4 a 4, quindi 00 C 00;4 ¼ 4 A) I casi favorevoli sono le combinazioni delle 88 matite non difettose scelte a 4 a 4, quindi 88 C 88;4 ¼ ; la probabilità è 4 88 : CAPITOLO Calcolo delle probabilità p ¼ 4 ¼ ¼ 42:398 7:295 : B) I casi favorevoli sono le combinazioni delle 2 matite difettose, scelte a 4 a 4, quindi 2 C 2;4 ¼. 4 2 La probabilità è Altre definizioni p ¼ 4 ¼ ¼ 3 23:765 : 6 La definizione classica, dunque, si può applicare quando si possono determinare tutti i casi possibili, cioè il loro numero, e conseguentemente i casi favorevoli. Tuttavia, in alcuni problemi, questa definizione non può essere applicata in quanto è difficile determinare i casi possibili come, per esempio, nel calcolo della probabilità per una persona di essere in vita fra 20 anni, di subire un furto nel prossimo anno o di vincere una somma in una scommessa. Per risolvere questi problemi, sono state elaborate altre definizioni di probabilità: frequentista e soggettiva. D Si dice frequenza f di un evento il rapporto tra r, numero di volte in cui si è verificato l evento, e n, numero molto grande di volte in cui è stato ripetuto un esperimento, sempre nelle stesse condizioni, o numero molto grande di osservazioni f ¼ r n (8) Questa probabilità è detta anche a posteriori nel senso che, per poterla calcolare, si devono prima svolgere n prove, con n tendente all infinito.

17 7 Le difficoltà nell applicazione di questa definizione sono dovute alla disponibilità delle informazioni sulle prove, al significato numerico di tendente all infinito e al realizzarsi delle stesse condizioni. È stato eseguito volte un esperimento chimico relativo alla fusione di due metalli e, in casi, si è ottenuto il risultato cercato. Calcolare la frequenza della fusione. Essendo n = e r = 3.273, la frequenza è f ¼ 3:273 4:000 : La frequenza non dipende solamente dal numero n di prove eseguite; infatti, un medesimo esperimento ripetuto uno stesso numero di volte, in diversi momenti o luoghi, può presentare un differente numero di casi favorevoli, influenzando così il valore della frequenza. Anche la frequenza è un numero razionale compreso fra 0 e ; tuttavia se risulta f ¼ 0, non si può asserire che l evento è impossibile, ma si può solo constatare che non si è mai verificato durante le n prove e, analogamente, se f ¼, non si può sostenere che l evento è certo, ma si può constatare che si è sempre verificato durante le n prove. Riguardo alla frequenza è stato rilevato che, con un numero n di prove sufficientemente grande, il rapporto tende ad assumere un valore stabile e, in particolare, per i fenomeni di cui si può calcolare la probabilità classica, all aumentare delle prove, il valore della frequenza tende al valore della probabilità classica. A questo proposito, Buffon eseguì un esperimento che diede i seguenti risultati: lanciando volte una moneta, ottenne volte l evento testa con una frequenza pari a f ¼ 0; 5069, valore molto vicino a quello della probabilità classica p ¼ ¼ 0; 5. 2 Enunciamo ora la legge empirica del caso, olegge dei grandi numeri, per eventi dei quali non sia possibile calcolare la probabilità classica: in una serie di prove, ripetute molte volte, eseguite tutte nelle stesse condizioni, la frequenza tende ad assumere valori prossimi alla probabilità dell evento e l approssimazione è tanto maggiore quanto più grande è il numero delle prove eseguite. La legge afferma che, eseguendo numerosi esperimenti, la frequenza si avvicina alla probabilità ma non si può escludere che la frequenza, in quanto valore ottenuto mediante esperimenti, assuma valori non attesi. Vi sono casi particolari in cui non è possibile o non occorre eseguire esperimenti, quindi le frequenze sono il risultato di osservazioni sistematiche; è questo il caso della frequenza delle giornate di pioggia in un anno, la frequenza delle nascite di sesso femminile in un anno, eccetera. Un esempio di queste osservazioni sono le tavole di mortalità 992, dove si legge che su maschi di età 40, raggiungono l età 70. Calcolare la frequenza per i 40-enni di raggiungere l età 70. La frequenza sarà f ¼ 69:262 ¼ 0; , quindi il 72; 426% dei quarantenni raggiungerà 95:63 l età Si hanno poi eventi per i quali non è possibile calcolare la probabilità classica né la frequenza, in quanto non si possono stabilire i casi possibili e i casi favorevoli e gli eventi non sono ripetibili; si potrà allora eseguire una stima della probabilità sulla base delle informazioni disponibili. D Si dice probabilità soggettiva di un evento la misura del grado di fiducia che un individuo (coerente) attribuisce al verificarsi dell evento in base alle sue informazioni e opinioni. Le maggiori critiche riguardo all applicazione di questa definizione vengono dal rischio di confondere il soggettivismo con l arbitrarietà. Calcolo delle probabilità CAPITOLO

18 8 In pratica la determinazione della probabilità soggettiva di un evento segue la definizione di de Finetti: D La probabilità di un evento E, secondo l opinione di un individuo, è il prezzo p che ritiene equo attribuire all importo unitario da incassare, se si verifica l evento E. Se c è la somma che si è disposti a pagare per incassare la somma C al verificarsi di E, la probabilità soggettiva è p ¼ c C (9) Se l individuo considera l evento E come: impossibile, sarà disposto a pagare c ¼ 0 e conseguentemente sarà p ¼ 0; certo, sarà disposto a pagare al massimo c ¼ C e conseguentemente sarà p ¼ ; casuale, sarà disposto a pagare una somma 0 < c < C e conseguentemente sarà 0< p <. Tizio gioca E 5, scommettendo su una certa squadra di calcio, per ottenere E 250 in caso di vittoria del campionato. Calcolare la probabilità soggettiva di Tizio per quell evento. Sarà p ¼ ¼ 50 ¼ 0; 02: CAPITOLO Calcolo delle probabilità In conclusione possiamo asserire che: la teoria classica consente il calcolo delle probabilità di un evento quando si possono determinare i casi possibili, tutti equiprobabili, e i casi favorevoli; la teoria frequentista consente il calcolo delle probabilità di un evento quando questo può essere ripetuto un qualunque numero di volte. In caso contrario si parla di frequenza dell evento, ma non di probabilità in senso frequentista; la teoria soggettiva consente di eseguire sempre una stima della probabilità di un evento. 8 Solo con la teoria assiomatica sono state superate tutte le difficoltà precedentemente illustrate. Questa teoria nasce da assiomi, ossia proposizioni fondamentali non dimostrabili, e da questi discende la definizione di probabilità assiomatica di un evento, numero che soddisfa gli assiomi del calcolo delle probabilità. La teoria assiomatica delle probabilità si costruisce in modo simile alla geometria euclidea. Come la geometria euclidea formula assiomi non dimostrabili che definiscono implicitamente gli enti fondamentali della geometria (punto e retta) per costruire tutta la geometria piana e solida come conseguenza logica delle proposizioni fatte e poi enuncia teoremi dimostrabili, così la teoria assiomatica delle probabilità si basa su tre assiomi e da questi costruisce definizioni e teoremi. Prima di introdurre gli assiomi del calcolo delle probabilità, illustriamo alcuni concetti che spesso saranno utilizzati. Spazio campione e relazioni fra eventi 9 Diamo alcune importanti definizioni. D Si dice prova o esperimento casuale un avvenimento che può dare origine a diversi risultati. D Si dice spazio campione o dei campioni l insieme costituito da tutti i risultati dell esperimento.

19 9 D Si dice evento ogni sottoinsieme dello spazio dei campioni. D Si dice evento elementare un sottoinsieme dello spazio campione costituito da un solo elemento e si indica con una lettera minuscola dell alfabeto. D Si dice evento composto un sottoinsieme dello spazio campione costituito da più elementi dello stesso e si indica con una lettera maiuscola dell alfabeto. Un evento composto sarà quindi scomponibile in più eventi elementari. Consideriamo come esempio di prova il lancio di un dado. Avremo allora: spazio campione: U ¼f; 2; 3; 4; 5; 6g; eventi elementari: evento a: esce ; evento b: esce 2 ; evento c: esce 3 ; evento d: esce 4 ; evento e: esce 5 ; evento f : esce 6. eventi composti: evento A: esce un numero pari, questo evento si scompone negli eventi elementari b, d, f ; evento B: esce un numero maggiore di 2, questo evento si può scomporre negli eventi elementari c, d, e, f. D Si dice spazio degli eventi PðUÞ l insieme di tutti i sottoinsiemi dello spazio campione, compreso l insieme vuoto [ e lo stesso spazio campione U. D Si dicono eventi incompatibili due sottoinsiemi qualunque dello spazio campione che non hanno elementi comuni (sottoinsiemi disgiunti). D Si dicono eventi compatibili due sottoinsiemi che hanno elementi comuni. Naturalmente eventi elementari sono sempre incompatibili. La simbologia usata per questi elementi è analoga a quella della teoria degli insiemi. Illustriamo altri esempi. Consideriamo il lancio di una moneta e rappresentiamo lo spazio campione. Lo spazio campione è U ¼ftesta; croceg, costituito dagli eventi elementari incompatibili a: testa e b: croce. 2 Lanciamo due dadi, uno rosso e l altro blu e rappresentiamo lo spazio campione. Lo spazio campione è U ¼fð; Þ ; ð; 2Þ ; ::::: ; ð; 6Þ ; ð2; Þ ; ð2; 2Þ ; :::::: ; ð2; 6Þ ; :::::: ; ð6; Þ ; ð6; 2Þ ; ::::: ; ð6; 6Þg ed è costituito dalle 36 coppie di valori che si ottengono associando alle sei facce del dado rosso le sei facce del dado blu; tutte le coppie sono eventi elementari. È possibile rappresentare graficamente U con un diagramma cartesiano dove, sull asse delle ascisse, si indicano tutti i possibili risultati del dado rosso e, sull asse delle ordinate, tutti i possibili risultati del dado blu e ogni punto rappresenta un evento semplice, elemento dello spazio campione (fig. 5). Calcolo delle probabilità dado blu CAPITOLO dado rosso Figura 5

20 20 Consideriamo gli eventi: A ¼ la somma dei punti è 5 00 ¼ ¼fð; 4Þð2; 3Þð3; 2Þð4; Þg B ¼ la somma dei punti è 2 00 ¼fð6; 6Þg: Questi eventi composti sono sottoinsiemi dello spazio campione U, quindi A U e B U; possiamo rappresentare graficamente questi sottoinsiemi (fig. 6) e dado blu B A dado rosso Figura 6 3 Un urna contiene 3 palline bianche, 2 nere e 4 verdi. Considerato l esperimento si estraggono due palline rimettendo la prima pallina estratta nell urna, rappresentiamo lo spazio campione. Lo spazio campione U presenta 8 elementi costituiti da tutte le coppie di palline che si possono estrarre e la sua rappresentazione grafica è (fig. 7) CAPITOLO Calcolo delle probabilità 2 estrazione V V V V N N B B B Figura 7 BB NV VN B B B N N V V V V estrazione Nei rettangoli è possibile contare i seguenti eventi composti: NV la prima pallina estratta è nera e la seconda è verde; VN la prima pallina estratta è verde e la seconda è nera; BB la prima pallina estratta è bianca e la seconda è bianca. È possibile generalizzare l estrazione di due palline da un urna, con reimmissione della prima, con un qualunque numero di palline: considerando, ad esempio, 80 palline gialle, 20 rosse e 50 nere, lo spazio campione contiene ð80 þ 20 þ 50Þ 2 ¼ 22:500 elementi, che sono eventi elementari di U. Una rappresentazione possibile è la seguente (fig. 8) 2 estrazione 50 N 20 R 80 G GN GR.600 GG RN.000 RR 400 GR.600 NN NR.000 NG Figura 8 80 G 20 R 50 N estrazione

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità CAPITOLO TEORIA Il dilemma di Monty Hall In un popolare show televisivo americano il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse. Dietro a una di esse si cela il premio

Dettagli

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

Cenni sul calcolo combinatorio

Cenni sul calcolo combinatorio Cenni sul calcolo combinatorio Disposizioni semplici Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k con kn sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un

Dettagli

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1 FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE ED IL TERRITORIO CORSO DI STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA PROF. PASQUALE VERSACE SCHEDA DIDATTICA N ARGOMENTO: CALCOLO DELLE PROBABILITA

Dettagli

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y =

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y = ESERCIZI Testi (1) Un urna contiene 20 palline di cui 8 rosse 3 bianche e 9 nere; calcolare la probabilità che: (a) tutte e tre siano rosse; (b) tutte e tre bianche; (c) 2 rosse e una nera; (d) almeno

Dettagli

Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Calcolo combinatorio Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability

Dettagli

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 1. Si lancia una moneta 2 volte: qual è la probabilità che esca TESTA 0 volte? 1 volta? 2 volte? 2. Si lancia una moneta 3 volte:

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio

Esercizi di calcolo combinatorio CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi di calcolo combinatorio Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability di Sheldon Ross, quinta

Dettagli

Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A

Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A Università di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Ingegneria Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Corso di Laurea in Ingegneria dei Materiali - Anno Accademico 010/11

Dettagli

Se si insiste non si vince

Se si insiste non si vince Se si insiste non si vince Livello scolare: 2 biennio Abilità interessate Valutare la probabilità in diversi contesti problematici. Distinguere tra eventi indipendenti e non. Valutare criticamente le informazioni

Dettagli

Esercizio 1. Svolgimento

Esercizio 1. Svolgimento Esercizio 1 Vengono lanciate contemporaneamente 6 monete. Si calcoli: a) la probabilità che si presentino esattamente 2 testa ; b) la probabilità di ottenere almeno 4 testa ; c) la probabilità che l evento

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..;

Dettagli

8. Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di 40 carte napoletane una figura?

8. Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di 40 carte napoletane una figura? www.matematicamente.it Probabilità 1 Calcolo delle probabilità Cognome e nome: Classe Data 1. Quali affermazioni sono vere? A. Un evento impossibile ha probabilità 1 B. Un vento certo ha probabilità 0

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO

CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO COMBINATORIO 1 Modi di formare gruppi di k oggetti presi da n dati 11 disposizioni semplici, permutazioni Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni semplici di questi oggetti,

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Lezione 10. La Statistica Inferenziale

Lezione 10. La Statistica Inferenziale Lezione 10 La Statistica Inferenziale Filosofia della scienza Secondo Aristotele, vi sono due vie attraverso le quali riusciamo a formare le nostre conoscenze: (1) la deduzione (2) l induzione. Lezione

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

Lo schema di Bernoulli (o delle prove indipendenti): un esempio di modello probabilistico applicabile a diversi contesti

Lo schema di Bernoulli (o delle prove indipendenti): un esempio di modello probabilistico applicabile a diversi contesti Lo schema di Bernoulli (o delle prove indipendenti): un esempio di modello probabilistico applicabile a diversi contesti Rita Giuliano (Pisa) 0. Introduzione. È ormai acquisizione comune il fatto che uno

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 1 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Insiemi La teoria degli

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE - Matematica - Griglie di valutazione Materia: Matematica Obiettivi disciplinari Gli obiettivi indicati si riferiscono all intero percorso della classe quarta

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2

Indice generale. Modulo 1 Algebra 2 Indice generale Modulo 1 Algebra 2 Capitolo 1 Scomposizione in fattori. Equazioni di grado superiore al primo 1.1 La scomposizione in fattori 2 1.2 Raccoglimento a fattor comune 3 1.3 Raccoglimenti successivi

Dettagli

Probabilità e statistica. Veronica Gavagna

Probabilità e statistica. Veronica Gavagna Probabilità e statistica Veronica Gavagna Testa o croce? Immaginiamo di lanciare una moneta facendola cadere su un piano liscio chiunque dirà che la probabilità dell evento testa sarà del 50%, al pari

Dettagli

Logica fuzzy e calcolo delle probabilità: due facce della stessa medaglia?

Logica fuzzy e calcolo delle probabilità: due facce della stessa medaglia? Logica fuzzy e calcolo delle probabilità: due facce della stessa medaglia? Danilo Pelusi 1 Gianpiero Centorame 2 Sunto: Il seguente articolo illustra le possibili analogie e differenze tra il calcolo delle

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno 1. Angela è nata nel 1997,

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α?

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? QUESITO 1 Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? Applicando il Teorema dei seni si può determinare il valore di senza indeterminazione, in quanto dalla

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco ANALISI DI SITUAZIONE - LIVELLO COGNITIVO La classe ha dimostrato fin dal primo momento grande attenzione e interesse verso gli

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

La variabile casuale Binomiale

La variabile casuale Binomiale La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola

Dettagli

ESTRAZIONE DI RADICE

ESTRAZIONE DI RADICE ESTRAZIONE DI RADICE La radice è l operazione inversa dell elevamento a potenza. L esponente della potenza è l indice della radice che può essere: quadrata (); cubica (); quarta (4); ecc. La base della

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

PROGRAMMA DI FISICA ( CLASSE I SEZ. E) ( anno scol. 2013/2014)

PROGRAMMA DI FISICA ( CLASSE I SEZ. E) ( anno scol. 2013/2014) PROGRAMMA DI FISICA ( CLASSE I SEZ. E) ( anno scol. 2013/2014) Le grandezze fisiche. Metodo sperimentale di Galilei. Concetto di grandezza fisica e della sua misura. Il Sistema internazionale di Unità

Dettagli

Servizio Nazionale di Valutazione a.s. 2013/14 Guida alla lettura Prova di Matematica Classe seconda Scuola secondaria di II grado

Servizio Nazionale di Valutazione a.s. 2013/14 Guida alla lettura Prova di Matematica Classe seconda Scuola secondaria di II grado Servizio Nazionale di Valutazione a.s. 2013/14 Guida alla lettura Prova di Matematica Classe seconda Scuola secondaria di II grado I quesiti sono distribuiti negli ambiti secondo la tabella seguente Ambito

Dettagli

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento

esame di stato 2013 seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento Archimede esame di stato seconda prova scritta per il liceo scientifico di ordinamento ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA La funzione f

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1

Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Definizione 1. Un sistema lineare di m equazioni in n incognite, in forma normale, è del tipo a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + +

Dettagli

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO

LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO LA FUNZIONE ESPONENZIALE E IL LOGARITMO APPUNTI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA I G. MAUCERI Indice 1. Introduzione 1 2. La funzione esponenziale 2 3. Il numero e di Nepero 9 4. L irrazionalità di e

Dettagli

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti

razionali Figura 1. Rappresentazione degli insiemi numerici Numeri reali algebrici trascendenti frazionari decimali finiti 4. Insiemi numerici 4.1 Insiemi numerici Insieme dei numeri naturali = {0,1,,3,,} Insieme dei numeri interi relativi = {..., 3,, 1,0, + 1, +, + 3, } Insieme dei numeri razionali n 1 1 1 1 = : n, m \{0}

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

Appunti sulle disequazioni

Appunti sulle disequazioni Premessa Istituto d Istruzione Superiore A. Tilgher Ercolano (Na) Appunti sulle disequazioni Questa breve trattazione non vuole costituire una guida completa ed esauriente sull argomento, ma vuole fornire

Dettagli

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE Se il coefficiente di correlazione r è prossimo a 1 o a -1 e se il diagramma di dispersione suggerisce una relazione di tipo lineare, ha senso determinare l equazione

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

Programmazione Generale. Matematica e Complementi. Classi: 2 Biennio Quarta. Istituto Tecnico Tecnologico Basilio Focaccia Salerno

Programmazione Generale. Matematica e Complementi. Classi: 2 Biennio Quarta. Istituto Tecnico Tecnologico Basilio Focaccia Salerno Istituto Tecnico Tecnologico Basilio Focaccia Salerno Programmazione Generale Matematica e Complementi Classi: 2 Biennio Quarta I Docenti della Disciplina Salerno, lì 12 settembre 2014 Finalità della Disciplina

Dettagli

Teoria degli insiemi

Teoria degli insiemi Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di

Dettagli

I numeri relativi. Il calcolo letterale

I numeri relativi. Il calcolo letterale Indice Il numero unità I numeri relativi VIII Indice L insieme R Gli insiemi Z e Q Confronto di numeri relativi Le operazioni fondamentali in Z e Q 0 L addizione 0 La sottrazione La somma algebrica La

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

186. Un gioco d incertezza: Forse che sì, forse che no Rosa Marincola rosamarincola@virgilio.it

186. Un gioco d incertezza: Forse che sì, forse che no Rosa Marincola rosamarincola@virgilio.it 186. Un gioco d incertezza: Forse che sì, forse che no Rosa Marincola rosamarincola@virgilio.it Premessa Durante una mia visita al Palazzo Ducale di Mantova, nell ammirare i tanti capolavori che custodisce,

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata

Funzioni di più variabili. Ottimizzazione libera e vincolata libera e vincolata Generalità. Limiti e continuità per funzioni di 2 o Piano tangente. Derivate successive Formula di Taylor libera vincolata Lo ordinario è in corrispondenza biunivoca con i vettori di

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

IV-1 Funzioni reali di più variabili

IV-1 Funzioni reali di più variabili IV- FUNZIONI REALI DI PIÙ VARIABILI INSIEMI IN R N IV- Funzioni reali di più variabili Indice Insiemi in R n. Simmetrie degli insiemi............................................ 4 2 Funzioni da R n a R

Dettagli

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali

Numeri naturali numeri naturali minore maggiore Operazioni con numeri naturali 1 Numeri naturali La successione di tutti i numeri del tipo: 0,1, 2, 3, 4,..., n,... forma l'insieme dei numeri naturali, che si indica con il simbolo N. Tale insieme si può disporre in maniera ordinata

Dettagli

LA CORRELAZIONE LINEARE

LA CORRELAZIONE LINEARE LA CORRELAZIONE LINEARE La correlazione indica la tendenza che hanno due variabili (X e Y) a variare insieme, ovvero, a covariare. Ad esempio, si può supporre che vi sia una relazione tra l insoddisfazione

Dettagli

Analisi Matematica di circuiti elettrici

Analisi Matematica di circuiti elettrici Analisi Matematica di circuiti elettrici Eserciziario A cura del Prof. Marco Chirizzi 2011/2012 Cap.5 Numeri complessi 5.1 Definizione di numero complesso Si definisce numero complesso un numero scritto

Dettagli

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato.

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato. Esercizio 1 Sia X 1,..., X un campione casuale estratto da una variabile aleatoria normale con media pari a µ e varianza pari a 1. Supponiamo che la media campionaria sia x = 2. 1a) Calcolare gli estremi

Dettagli

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1

CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 1.1 Che cos è un algoritmo CAPITOLO PRIMO IL CONCETTO DI ALGORITMO 1 Gli algoritmi sono metodi per la soluzione di problemi. Possiamo caratterizzare un problema mediante i dati di cui si dispone all inizio

Dettagli

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.

Amministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A. UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE Quando si considerano due o più caratteri (variabili) si possono esaminare anche il tipo e l'intensità delle relazioni che sussistono tra loro. Nel caso in cui

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 1. Docente:Fabio Camilli. SAPIENZA, Università di Roma A.A. 2014/15. http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio.

Appunti di Analisi Matematica 1. Docente:Fabio Camilli. SAPIENZA, Università di Roma A.A. 2014/15. http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio. Appunti di Analisi Matematica Docente:Fabio Camilli SAPIENZA, Università di Roma A.A. 4/5 http://www.dmmm.uniroma.it/~fabio.camilli/ (Versione del 9 luglio 5) Note scritte in collaborazione con il prof.

Dettagli

RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE. Lezione 7 a. Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della

RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE. Lezione 7 a. Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE Lezione 7 a Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della scienza, di voler studiare come il variare di una o più variabili (variabili

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILITA

CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILITA CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILITA Con calcolo combinatorio si indica quel settore della matematica che studia i possibili modi di raggruppare ed ordinare oggetti presi da un insieme assegnato, con l obiettivo

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Matematica Discreta PARTE II

Matematica Discreta PARTE II Matematica Discreta PARTE II Giuseppe Lancia Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Udine Indice 1 Piccioni e buche 1 1.1 Il principio della piccionaia, forma semplice............................

Dettagli

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS

TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS TEORIA DELL UTILITÀ E DECISION PROCESS 1 UTILITÀ Classicamente sinonimo di Desiderabilità Fisher (1930):... uno degli elementi che contribuiscono ad identificare la natura economica di un bene e sorge

Dettagli

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals II Parte Verifica delle ipotesi (a) Agostino Accardo (accardo@units.it) Master in Ingegneria Clinica LM in Neuroscienze 2013-2014 e segg.

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

Dott.ssa Caterina Gurrieri

Dott.ssa Caterina Gurrieri Dott.ssa Caterina Gurrieri Le relazioni tra caratteri Data una tabella a doppia entrata, grande importanza riveste il misurare se e in che misura le variabili in essa riportata sono in qualche modo

Dettagli

PRESENTAZIONE DEL CAPITOLO SULLE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI O COL VALORE ASSOLUTO

PRESENTAZIONE DEL CAPITOLO SULLE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI O COL VALORE ASSOLUTO 9 PRESENTAZIONE DEL CAPITOLO SULLE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI IRRAZIONALI O COL VALORE ASSOLUTO Il capitolo che sta per iniziare presenta alcuni argomenti dall aspetto un po arido. Tuttavia, nelle facoltà

Dettagli

Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità

Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità Appunti di Teoria dei Segnali Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità Concetti preliminari di probabilità... Introduzione alla probabilità... Deinizione di spazio degli eventi... Deinizione di evento...

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli

Dettagli

1A ARITMETICA. I numeri naturali e le quattro operazioni. Esercizi supplementari di verifica

1A ARITMETICA. I numeri naturali e le quattro operazioni. Esercizi supplementari di verifica A ARITMETICA I numeri naturali e le quattro operazioni Esercizi supplementari di verifica Esercizio Rappresenta sulla retta orientata i seguenti numeri naturali. ; ; ; 0;. 0 Esercizio Metti una crocetta

Dettagli

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#

Dettagli

STATISTICA (A-K) a.a. 2007-08 Prof.ssa Mary Fraire Test di STATISTICA DESCRITTIVA Esonero del 2007

STATISTICA (A-K) a.a. 2007-08 Prof.ssa Mary Fraire Test di STATISTICA DESCRITTIVA Esonero del 2007 A STATISTICA (A-K) a.a. 007-08 Prof.ssa Mary Fraire Test di STATISTICA DESCRITTIVA Esonero del 007 STESS N.O. RD 00 GORU N.O. RD 006 ) La distribuzione del numero degli occupati (valori x 000) in una provincia

Dettagli

Problema n. 1: CURVA NORD

Problema n. 1: CURVA NORD Problema n. 1: CURVA NORD Sei il responsabile della gestione del settore Curva Nord dell impianto sportivo della tua città e devi organizzare tutti i servizi relativi all ingresso e all uscita degli spettatori,

Dettagli

TECNICHE DI SIMULAZIONE

TECNICHE DI SIMULAZIONE TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI NELLA SIMULAZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Modelli statistici nella simulazione

Dettagli

Esponenziali elogaritmi

Esponenziali elogaritmi Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.

Dettagli

Risposta: L area del triangolo è dove sono le misure di due lati e è l ampiezza dell angolo tra essi compreso ;

Risposta: L area del triangolo è dove sono le misure di due lati e è l ampiezza dell angolo tra essi compreso ; 1. Un triangolo ha area 3 e due lati che misurano 2 e 3. Qual è la misura del terzo lato? : L area del triangolo è dove sono le misure di due lati e è l ampiezza dell angolo tra essi compreso ; nel nostro

Dettagli

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello

Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08. Alberto Perotti, Roberto Garello Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A. 2007-08 Alberto Perotti, Roberto Garello DELEN-DAUIN Processi casuali Sono modelli probabilistici

Dettagli

POLITECNICO DI BARI REGOLAMENTO TEST DI AMMISSIONE

POLITECNICO DI BARI REGOLAMENTO TEST DI AMMISSIONE POLITECNICO DI BARI REGOLAMENTO TEST DI AMMISSIONE IMMATRICOLAZIONI AL PRIMO ANNO DEI CORSI DI LAUREA TRIENNA- LI IN INGEGNERIA DEL POLITECNICO DI BARI - A.A. 2015/2016 Sommario REGOLAMENTO TEST DI AMMISSIONE...

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA

ELEMENTI DI STATISTICA Pag 1 di 92 Francesco Sardo ELEMENTI DI STATISTICA PER VALUTATORI DI SISTEMI QUALITA AMBIENTE - SICUREZZA REV. 11 16/08/2009 Pag 2 di 92 Pag 3 di 92 0 Introduzione PARTE I 1 Statistica descrittiva 1.1

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti

Dettagli