LINEAMENTI DI MATEMATICA

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "LINEAMENTI DI MATEMATICA"

Transcript

1 P. BARONCINI - E. FABBRI - C. GRASSI IGEA Triennio LINEAMENTI DI MATEMATICA per il triennio degli istituti tecnici commerciali IGEA Probabilità e statistica Analisi numerica MODULO d

2 P. Baroncini - E. Fabbri - C. Grassi LINEAMENTI DI MATEMATICA per il triennio degli istituti tecnici commerciali IGEA MODULO D Probabilità e statistica Analisi numerica

3 3 Parte prima: probabilità e statistica CAPITOLO Calcolo delle probabilità 8 Note storiche, 8. Definizione di probabilità classica, 8. Applicazioni del calcolo combinatorio al calcolo delle probabilità, 0. Altre definizioni, 6. Spazio campione e relazioni fra eventi, 8. Assiomi del calcolo delle probabilità, 23. Teorema della somma e teorema della probabilità contraria, 27. Probabilità condizionata, 29. Teorema del prodotto, 32. Teorema delle probabilità totali e formula di Bayes, 35. Esercitazioni di laboratorio, 43. Esercizi Calcolo delle probabilità, 47. Eventi, 48. Probabilità classica, 48. Applicazioni del calcolo combinatorio al calcolo delle probabilità, 5. Frequenza, 53. Probabilità soggettiva, 54. Spazio campione e relazioni fra eventi, 55. Assiomi del calcolo delle probabilità, 56. Teorema della somma, 57. Probabilità condizionata, 59. Teorema del prodotto, 59. Esercizi di ricapitolazione, 62. Formula di Bayes, 63. CAPITOLO 2 Variabili casuali e giochi equi 67 Variabili casuali, 67. Funzione di ripartizione, 7. Valor medio, 73. Proprietà del valor medio, 75. Varianza e scarto quadratico medio, 78. Proprietà della varianza, 8. Moda e mediana, 82. Teorema di Bienaymè-Cebicev, 83. Funzione di densità, 84. Speranza matematica, 85. Gioco equo, 87. Giochi con due risultati, 87. Gioco organizzato, 89. Altri esempi, 90. Esercitazioni di laboratorio, 92. Esercizi Variabili casuali e giochi equi, 94. Variabili casuali, 95. Funzione di ripartizione, 98. Valore medio, 0. Varianza e scarto quadratico medio, 03. Moda e mediana, 04. Teorema di Bienaymè-Cebicev, 04. Speranza matematica e gioco equo, 05. CAPITOLO 3 Statistica descrittiva 08 Note storiche, 08. Definizioni, 08. Fasi dell indagine statistica, 09. Altre definizioni, 0. Rilevazione dei dati, 2. Costruzione di un questionario, 2. Spoglio dei dati, 2. Distribuzioni statistiche, 4. Frequenze relative e cumulate delle distribuzioni semplici, 7. Frequenze relative delle distribuzioni doppie, 9. Rappresentazioni grafiche, 20. Grafici a nastri e colonne, 2. Grafici a settori circolari, 22. Istogrammi, 23. Diagrammi cartesiani, 24. Diagrammi polari, 25. Esercitazioni di laboratorio, 28. Esercizi Statistica descrittiva, 29. Distribuzioni statistiche, 30. Frequenze, 3. Rappresentazioni grafiche, 3. Indice CAPITOLO 4 Misure di tendenza centrale 33 Medie statistiche, 33. Media aritmetica, 34. Caratteristiche e proprietà della media aritmetica, 36. Media geometrica, 38. Media armonica, 39. Media quadratica, 4. Moda, 42. Mediana, 44. Scelta della media, 46. Esercitazioni di laboratorio, 47. Esercizi Misure di tendenza centrale, 49. Media aritmetica, 50. Media geometrica, 52. Media armonica, 53. Media quadratica, 54. Moda, 55. Mediana, 56. Esercizi di ricapitolazione sulle medie, 57. CAPITOLO 5 Misure di variabilità e concentrazione 59 Misure di variabilità, 59. Campo di variazione, 60. Scarto semplice medio assoluto, 60. Scarto quadratico medio e varianza, 62. Proprietà dello scarto quadratico medio, 64. Metodo pratico per il calcolo della varianza e dello scarto quadratico

4 4 medio, 65. Differenza media assoluta, 65. Misure di concentrazione, 67. Esercitazioni di laboratorio, 72. Esercizi Misure di variabilità e concentrazione, 75. Campo di variazione, 76. Scarto semplice medio assoluto, 77. Scarto quadratico medio e varianza, 78. Proprietà dello scarto quadratico medio, 78. Differenza media assoluta, 79. Esercizi di ricapitolazione, 80. Misure di concentrazione, 82. CAPITOLO 6 Rapporti statistici 84 Rapporti di composizione, 84. Rapporti di coesistenza, 85. Rapporti di derivazione, 86. Rapporti di frequenza o densità, 86. Rapporti di durata e di ripetizione, 87. Numeri indici, 87. Numeri indici semplici a base fissa, 88. Numeri indici semplici a base mobile, 89. Numeri indici composti, 90. Numeri indici delle medie, 9. Medie dei numeri indici, 9. Esercizi Rapporti statistici, 93. Rapporti di composizione, 93. Rapporti di coesistenza, 96. Rapporti di derivazione, 97. Rapporti di frequenza o densità, 98. Rapporti di durata e di ripetizione, 99. Numeri indici, 200. Numeri indici semplici a base fissa, 200. Numeri indici semplici a base mobile, 203. Numeri indici composti, 204. CAPITOLO 7 Distribuzioni teoriche di probabilità 206 Distribuzione binomiale o di Bernoulli, 206. Probabilità delle prove ripetute, 206. Variabile casuale con distribuzione binomiale, 207. Valore medio, varianza, scarto quadratico medio, 208. Valore modale, 22. Funzione di ripartizione, 23. Applicazioni della distribuzione binomiale, 24. Distribuzione ipergeometrica, 25. Variabile causale con distribuzione ipergeometrica, 26. Osservazioni, 27. Valore medio, varianza, scarto quadratico medio, 27. Valore modale, 27. Distribuzione di Poisson, 29. Valore medio, varianza, valore modale, 220. Applicazioni della distribuzione di Poisson, 220. Distribuzione normale o di Gauss, 222. Variabili casuali continue e funzione di densità, 222. Grafico di f ðxþ, 222. Esempi, 223. Distribuzione normale standardizzata, 224. Approssimazione della distribuzione binomiale con la distribuzione di Gauss, 227. Esercitazioni di laboratorio, 228. Indice Esercizi Distribuzioni teoriche di probabilità, 240. Distribuzione binomiale, 240. Distribuzione ipergeometrica, 240. Distribuzione di Poisson, 242. Distribuzione di Gauss, 245. Esercizi di ricapitolazione, 248. CAPITOLO 8 Statistica inferenziale: campionamento 250 Universo e campioni, 250. Inferenza statistica, 25. Estrazione del campione, 25. Estrazione bernoulliana, 252. Estrazione in blocco, 253. Spazio dei campioni, 253. Tavola dei numeri casuali, 254. Parametri di un universo, 255. Stimatori di un parametro e stime, 256. Distribuzioni campionarie, 256. Distribuzione campionaria delle medie, 259. Distribuzione campionaria della varianza, 262. Distribuzione campionaria delle somme e delle differenze delle medie, 265. Distribuzione campionaria delle frequenze, 266. Conclusioni, 267. Esercitazioni di laboratorio, 269. Esercizi Statistica inferenziale: campionamento, 270. Estrazione del campione, 27. Estrazione con l uso delle tavole dei numeri casuali, 27 Estrazione bernoulliana e in blocco, spazio dei campioni, 273. Distribuzione campionaria delle medie, 274. Distribuzione campionaria della varianza e calcolo della varianza corretta, 277. CAPITOLO 9 Statistica inferenziale: stima dei parametri 282 Parametri e loro stima, 282. Problemi di stima, 282. Stimatori e loro pro-

5 5 prietà, 283. Stima puntuale della media, della varianza, della differenza fra due medie e della frequenza relativa, 286. Stima della media dell universo, 286. Stima della varianza dell universo, 286. Errore medio di campionamento e stima puntuale della media dell universo, 286. Stima puntuale della differenza fra due medie, 288. Stima puntuale della frequenza relativa, 289. Stima per intervallo della media, della differenza fra due medie e della frequenza relativa, 29. Stima per intervallo di una media (grandi campioni), 29. Controllo statistico di qualità, 295. Stima per intervallo di una media (piccoli campioni), 297. Stima per intervallo della differenza fra due medie, 299. Stima per intervallo della frequenza relativa, 302. Determinazione della dimensione del campione, 302. Dimensione del campione per la stima della media, 303. Dimensione del campione per la stima della frequenza relativa, 304. Esercitazioni di laboratorio, 305. Esercizi Statistica inferenziale: stima dei parametri, 306. Stime puntuali, 307. Stima puntuale della media, 307. Stima puntuale della differenza fra due medie, 308. Stima puntuale della frequenza relativa, 30. Stime per intervallo di una media, 3. Grandi campioni, 3. Controllo statistico di qualità, 32. Piccoli campioni, 33. Controllo statistico di qualità, 33. Stima per intervallo della differenza fra due medie, 34. Stima per intervallo della frequenza relativa, 35. Determinazione della dimensione del campione, 36. Dimensione del campione per la stima della media, 36. Dimensione del campione per la stima della frequenza relativa, 37. CAPITOLO 0 Statistica inferenziale: verifica delle ipotesi 38 Ipotesi statistiche, 38. Verifica di un ipotesi: ipotesi nulla e ipotesi alternativa, 39. Zona di accettazione e zona di rifiuto (regole di decisione), 320. Errori di prima e di seconda specie, 322. Verifica delle ipotesi sulla media per grandi campioni, 324. Verifica delle ipotesi sulla media per piccoli campioni, 326. Verifica delle ipotesi sulle frequenze relative, 328. Verifica delle ipotesi sulla differenza fra due medie, 330. Esercizi Statistica inferenziale: verifica delle ipotesi, 333. Verifica di un ipotesi: ipotesi nulla e alternativa, 334. Verifica delle ipotesi sulla media, 334. Grandi campioni, 334. Piccoli campioni, 335. Verifica delle ipotesi sulle frequenze relative, 336. Verifica delle ipotesi sulla differenza fra due medie, 336. Grandi campioni, 336. Piccoli campioni, 337. Parte seconda: analisi numerica Introduzione, 340. CAPITOLO Teoria degli errori 34 Definizioni e terminologia, 34. Approssimazione, 34. Errore assoluto ed errore relativo, 34. Maggiorazione degli errori, 342. Operazioni con valori approssimati. Propagazione degli errori, 343. Errore assoluto nell addizione, 344. Errore assoluto nella sottrazione, 345. Errore assoluto nel prodotto, 346. Errore assoluto nella divisione, 347. Indice Esercizi Teoria degli errori, 349. Errore assoluto ed errore relativo, 350. Operazioni con valori approssimati, 350. CAPITOLO 2 Risoluzione approssimata delle equazioni algebriche di grado superiore al secondo e delle equazioni trascendenti 352 Separazione delle radici, 353. Metodo algebrico, 353. Metodo grafico, 354. Ricerca delle soluzioni approssimate dell equazione, 356. Metodo dicotomico, 356. Metodo delle corde, 358. Metodo delle tangenti o di Newton, 362. Osservazioni, 363. Applicazioni, 364. Esercitazioni di laboratorio, 365.

6 6 Esercizi CAPITOLO 3 Risoluzione approssimata delle equazioni algebriche di grado superiore al secondo e delle equazioni trascendenti, 368. Ricerca delle soluzioni approssimate dell equazione, 368. Problemi da risolvere con un metodo di approssimazione, 369. Risoluzione dei sistemi lineari di n equazioni in n incognite con metodi di approssimazione 37 Medoti iterativi, 37. Convergenza della successione alla soluzione del sistema, 372. Maggiorazione degli errori nella risoluzione di sistemi lineari, 372. Metodo iterativo semplice o di Jacobi, 373. Metodo di Gauss-Seidel, 374. Esercitazioni di laboratorio, 376. Esercizi Risoluzione dei sistemi lineari di n equazioni in n incognite con metodi di approssimazione, 378. CAPITOLO 4 Interpolazione matematica e derivazione numerica 380 Interpolazione matematica e interpolazione statistica, 380. Interpolazione polinomiale, 38. Interpolazione col metodo di Lagrange, 382. Derivazione numerica, 383. Primo procedimento, 383. Secondo procedimento: valori equintervallati, 384. Esercizi Interpolazione matematica e derivazione numerica, 386. Interpolazione polinomiale, 386. Interpolazione col metodo di Lagrange, 388. Derivazione numerica, 390. CAPITOLO 5 Interpolazione statistica 39 Metodo dei minimi quadrati, 39. Condizione di accostamento, 392. Calcolo degli estremi di una funzione di due variabili, 393. Funzione lineare, 393. Indici di scostamento, 396. Funzione di secondo grado, 398. Funzione di secondo grado del tipo y ¼ ax 2, 400. Funzione esponenziale, 400. Scelta della funzione interpolante, 402. Esercitazioni di laboratorio, 407. Esercizi Interpolazione statistica, 409. Funzione lineare, 40. Funzione di secondo grado, 42. Parabola e retta, 43. Funzione esponenziale, 45. Parabola e funzione esponenziale, 46. Esercizi vari, 47. Esercizi di ricapitolazione, 49. CAPITOLO 6 Lo studio del legame fra due variabili in statistica 42 Indice Connessione, 42. Correlazione, 42. Varianza e covarianza, 42. Coefficiente di correlazione lineare, 422. Regressione, 427. Contingenza, 432. Indici di contingenza, 432. Indice di Tshuprow, 432. Esercitazioni di laboratorio, 435. Esercizi Lo studio del legame fra due variabili in statistica, 439. Correlazione, 439. Regressione, 442. Contingenza, 446. Formulario 448 Appendice 460 TAVOLA A Numeri casuali, 460. TAVOLA B Curva normale standard valori da a z, 46. TAVOLA C Curva normale standard valori da 0 a z, 462. TAVOLA D Distribuzione di Student, 464.

7 7 Parte prima: probabilità e statistica

8 8 Calcolo delle probabilità Note storiche Definizione di probabilità classica Applicazioni del calcolo combinatorio al colcolo delle probabilità Altre definizioni Spazio campione e relazioni fra eventi Assiomi del calcolo delle probabilità Teorema della somma e teorema della probabilità contraria Probabilità condizionata Teorema del prodotto Teorema delle probabilità totali e formula di Bayes Esercitazioni di laboratorio CAPITOLO Calcolo delle probabilità Note storiche Durante il Rinascimento, il gioco d azzardo diede l avvio allo studio del calcolo delle probabilità come analisi degli eventi casuali, ossia degli eventi che hanno un esito non prevedibile a priori. Riguardo ai periodi precedenti non furono eseguiti studi significativi. Nel Medioevo, la convinzione che il disegno provvidenziale guidasse tutti gli eventi portò al rifiuto del concetto di evento casuale e, conseguentemente, al rifiuto del suo studio. Nel secolo XVII, la passione per i giochi d azzardo promosse lo studio di questa disciplina e, dallo studio degli eventi casuali, nacque la teoria delle probabilità, grazie a Pascal ( ), Fermat ( ) e Bernoulli ( ). Nel secolo XVIII questa disciplina ebbe un notevole sviluppo per merito di Bayes (702-76), che pose i fondamenti dell inferenza statistica, di Lagrange (736-83) e di Gauss ( ), che si occuparono della distribuzione degli errori accidentali, e di Laplace ( ), che introdusse il calcolo delle probabilità. La teoria fu applicata allo studio di fenomeni economici e politici, alle scienze naturali per studiare l ereditarietà dei caratteri, alle scienze fisiche e alle scienze attuariali. La vasta estensione dei campi di applicazione mise in discussione la definizione classica di probabilità data da Laplace, in quanto non sempre applicabile. Nacquero così diverse definizioni di probabilità che si svilupparono nella teoria frequentista e nella teoria soggettiva e infine, verso il 930, fu elaborata da Kolmogorov la teoria assiomatica, che ebbe il merito di includere in sé i risultati delle teorie precedenti. Definizione di probabilità classica 2 Prima di definire la probabilità è necessario introdurre la definizione di evento. D Si dice evento il risultato di una osservazione o di un esperimento.

9 9 Esempi di eventi sono:. l uscita di un numero pari nel lancio di un dado; 2. fare centro lanciando una freccia; 3. l uscita di un numero nero alla roulette; 4. lo sbocciare di un fiore in un certo intervallo di tempo; 5. l uscita di una faccia nel lancio di una moneta; 6. il sorgere del sole; 7. l estrazione del numero 9 nel gioco del Lotto. Gli eventi citati possono essere distinti in: eventi casuali o aleatori: sono i primi quattro, infatti possono o meno verificarsi; eventi certi: sono il quinto e il sesto che si verificheranno certamente; eventi impossibili: il settimo evento siamo certi, ancor prima di effettuare l esperimento, che non si verificherà mai, in quanto nell urna sono presenti solo i primi 90 numeri. In conclusione, ogni qual volta il risultato di un esperimento è un evento aleatorio, non siamo in grado di stabilire se si verificherà o meno, ma possiamo dare una valutazione numerica alla possibilità del suo verificarsi: tale numero indica la probabilità. 3 D Secondo Laplace, si definisce probabilità classica di un evento aleatorio il rapporto fra il numero m di casi favorevoli al verificarsi dell evento e il numero n di casi possibili. p ¼ m n I casi possibili devono essere tutti equiprobabili, cioè devono avere la stessa possibilità di verificarsi. La probabilità èun numero razionale puro compreso fra 0 e : infatti, il caso p ¼ corrisponde all evento certo, in quanto m ¼ n, il caso p ¼ 0 corrisponde all evento impossibile, in quanto m ¼ 0eil caso 0 < p < corrisponde a un evento casuale. Si lancia un dado: A ¼ L uscita di un numero minore di 7 nel lancio di un dado è un evento certo di probabilità p ¼. B ¼ L uscita del numero 0 nel lancio di un dado è un evento impossibile di probabilità p ¼ 0. C ¼ L uscita di un dato numero compreso fra e 6 nel lancio di un dado è un evento casuale; infatti l uscita di uno qualunque dei 6 numeri è del tutto casuale, essendo le facce tutte uguali; poiché una delle 6 facce si presenterà sicuramente, i casi possibili, tutti equiprobabili, sono 6 e ogni faccia ha probabilità p ¼ 6. D ¼ L uscita di un numero pari nel lancio di un dado è un evento casuale con probabilità p ¼ 3, poiché 3 sono le facce con numeri pari 2, 4, 6 e sempre 6 sono i casi possibili 6 equiprobabili. E ¼ L uscita di un numero maggiore o uguale a 3 nel lancio di un dado è un evento casuale con probabilità p ¼ 4, poiché 4 sono i casi favorevoli, ossia le facce che presentano un 6 numero maggiore o uguale a 3 (3, 4, 5, 6) e sempre 6 sono i casi possibili equiprobabili. () Calcolo delle probabilità CAPITOLO

10 0 2 Da un mazzo di 40 carte da gioco se ne estrae una. A ¼ L estrazione di una figura è un evento casuale con probabilità p ¼ 2, poiché i casi 40 favorevoli (le figure) sono 2 e i casi possibili equiprobabili sono 40 (il numero delle carte del mazzo). B ¼ L estrazione di una carta di fiori è un evento casuale con probabilità p ¼ 0 40, essendo i casi favorevoli 0 (le carte di fiori) e i casi possibili equiprobabili sempre 40. Illustriamo ora alcuni esempi più complessi di calcolo delle probabilità. 3 Si lanciano due dadi; calcolare la probabilità di ottenere: A ¼ due facce uguali ; B ¼ la somma dei punti pari a 4. I casi possibili sono 6 6 ¼ 36, in quanto ogni faccia del primo dado si può associare a ogni faccia del secondo dado e si può rappresentare questa situazione con le seguenti 36 coppie ordinate, dove il primo numero corrisponde alla faccia del primo dado e il secondo numero corrisponde alla faccia del secondo dado ð; Þ ð; 2Þ::::ð; 6Þ ð2; Þ ð2; 2Þ ::::ð2; 6Þ:::::::::::::::::::::::::::::ð6; Þ ð6; 2Þ::::ð6; 6Þ: CAPITOLO Calcolo delle probabilità A) I casi favorevoli sono 6, ossia le coppie (,), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) e la probabilità è dunque p ¼ 6 36 ¼ 6 : B) I casi favorevoli sono 3, ossia le coppie ð; 3Þ, ð2; 2Þ, ð3; Þ e la probabilità è quindi p ¼ 3 36 ¼ 2 : 4 Si lanciano 3 monete; calcolare la probabilità di ottenere 2 teste e croce. I casi possibili sono ¼ 8, in quanto ogni faccia di una qualunque delle 3 monete si può associare a una delle due facce della seconda e terza moneta e li rappresentiamo con le seguenti terne TTT CTT TCT TTC TCC CTC CCT CCC: I casi favorevoli sono 3, ossia le terne CTT, TCT, TTC e la probabilità è quindi p ¼ 3 8 : Questi ultimi esercizi si possono risolvere più rapidamente applicando il calcolo combinatorio, di cui rivediamo le definizioni. Applicazioni del calcolo combinatorio al calcolo delle probabilità 4 Il calcolo combinatorio ha notevoli applicazioni nel calcolo dei casi possibili e dei casi favorevoli, necessari per il calcolo della probabilità classica.

11 D Si dicono permutazioni di n elementi distinti, tutti i possibili raggruppamenti costituiti in modo che ognuno di essi contenga tutti gli n elementi e differisca dagli altri per l ordine in cui sono disposti gli n elementi. P n ¼ n! ¼ nðn Þðn 2Þ:::::: 3 2 (2) Ricordiamo che il simbolo n! si legge n fattoriale ed è il prodotto dei primi n numeri interi. Con le cifre 5, 7, 9, stabilire quanti numeri di 3 cifre distinte si possono formare. Si tratta di permutazioni, infatti bisogna determinare quanti gruppi di tre elementi possiamo formare con tre cifre. La rappresentazione grafica del problema può avvenire considerando celle da occupare con le tre cifre date, oppure con un diagramma ad albero (fig. e 2). cifra 2 cifra 3 cifra cifra cifra Figura 3 possibili scelte 2 possibili scelte, infatti una cifra è già stata fissata scelta, infatti due cifre sono già state fissate 3 cifra Come si vede nelle due rappresentazioni, avremo 3 2 ¼ 6 possibilità. Vediamo un esempio di applicazione delle permutazioni al calcolo delle probabilità. Figura 2 Negli spogliatoi di una palestra vi sono armadietti numerati da a per giocatori di una squadra di calcio. Calcolare la probabilità di attribuire gli armadietti ai giocatori in modo che siano rispettati i numeri delle maglie che indossano. I casi possibili sono le permutazioni di elementi, quindi P ¼! ¼ 39:96:800. I casi favorevoli sono uno soltanto, quindi la probabilità è p ¼ P ¼ 39:96:800. D Si dicono permutazioni con ripetizione di n elementi, tutti i possibili raggruppamenti costituiti in modo che ognuno di essi contenga n elementi e differisca dagli altri per l ordine in cui sono disposti gli n elementi. Se tra gli n elementi, un elemento è ripetuto volte, un altro volte, ecc., risulta P ð ; ; :::: n Þ ¼ n!!!:::::: Calcolare il numero di anagrammi distinti della parola lattante. Gli elementi sono 8, ma di questi la consonante t è ripetuta 3 volte e la vocale a 2 volte, perciò gli anagrammi saranno P ð3;2þ 8 ¼ 8! 3! 2! ¼ 3:360. (3) Calcolo delle probabilità CAPITOLO

12 2 D Si dicono disposizioni semplici di n 2 N elementi distinti di classe k, con k n, tutti i possibili raggruppamenti che si possono costruire con gli n elementi in modo che ogni raggruppamento contenga k elementi tutti distinti tra loro e che due raggruppamenti differiscano tra loro per qualche elemento, oppure per l ordine degli elementi. D n;k ¼ nðn Þðn 2Þ::::::::: ðn k þ Þ ¼ n! ðn kþ! (4) Se k ¼ n, le disposizioni semplici di n elementi di classe n sono le permutazioni di n elementi. Con le cifre 2, 4, 6, 8, stabilire quanti numeri di 3 cifre si possono formare. Si tratta di disposizioni semplici, in quanto bisogna determinare quanti numeri distinti di k ¼ 3 cifre si possono formare con n ¼ 4 elementi; ricordiamo che sono numeri distinti anche quelli che sono formati dalle stesse cifre, ma disposte in ordine diverso. La rappresentazione del problema, con le celle da occupare con le cifre, è la seguente (fig. 3). cifra 2 cifra 3 cifra 4 scelte possibili, infatti sono 4 le cifre a disposizione; 3 scelte possibili, infatti una cifra è già stata utilizzata; CAPITOLO Calcolo delle probabilità Figura 3 2 scelte possibili, infatti due cifre sono già state utilizzate. Come si vede dalla rappresentazione, avremo D 4;3 ¼ ¼ 24 possibilità. Vediamo un esempio di applicazione delle disposizioni semplici al calcolo delle probabilità. Nell ippica, la corsa tris è una corsa dove gli scommettitori devono indovinare i cavalli che giungeranno al primo, secondo e terzo posto. Se alla partenza vi sono 2 cavalli, calcolare la probabilità di indovinare la sequenza d arrivo. I casi possibili sono dati dal numero di modi in cui disporre i 2 cavalli di classe 3, in modo che conti anche l ordine, quindi sono disposizioni semplici di 2 elementi di classe 3 D 2;3 ¼ 2 0 ¼ :320: I casi favorevoli sono soltanto uno, quindi la probabilità è p ¼ D 2;3 ¼ :320. D Si dicono disposizioni con ripetizione di n 2 N elementi distinti di classe k 2 N, tutti i raggruppamenti che si possono formare con gli n elementi, in modo che ogni raggruppamento ne contenga k, ma ogni elemento può essere ripetuto nei vari gruppi fino a k volte, e in modo che ogni raggruppamento differisca dagli altri per qualche elemento oppure per l ordine degli elementi. D 0 n;k ¼ n k (5) Quanti numeri di 2 cifre, anche ripetute, si possono formare con le cifre, 2, 3? Si tratta di disposizioni con ripetizione e la rappresentazione, con le celle da occupare, è (fig. 4)

13 3 cifra 2 cifra 3 possibili scelte; ancora 3 possibili scelte. Figura 4 Come si vede dalla rappresentazione, avremo D 0 3;2 ¼ 3 3 ¼ 32 ¼ 9 possibilità. Vediamo un esempio di applicazione delle disposizioni con ripetizione al calcolo delle probabilità. Calcolare la probabilità di fare 3 al gioco del Totocalcio. I casi possibili, ossia tutte le possibili colonne da giocare, sono le disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 3, quindi D 0 3;3 ¼ 33 ¼ :594:323; infatti ogni colonna è un insieme ordinato di 3 caselle in cui disporre gli elementi, X, 2, necessariamente ripetuti. I casi favorevoli sono soltanto uno, quindi la probabilità è p ¼ D 0 ¼ 3;3 :594:323. D Si dicono combinazioni di n 2 N elementi distinti di classe k 2 N, tutti i raggruppamenti che si possono formare con k degli n elementi, in modo che i raggruppamenti differiscano fra loro per almeno un elemento. C n;k ¼ n ¼ k nðn Þðn 2Þ:::::::::::: ðn k þ Þ k! Ricordiamo le proprietà del coefficiente binomiale n ¼ ; 0 n n ¼ k n k ¼ n! ðn kþ! k! n, che si legge n su k. k n ; n ¼ k k þ n : k Dati 7 tipi di frutti, quante macedonie si possono preparare, con 3 tipi di frutti? Si tratta di combinazioni di n ¼ 7 elementi di classe k ¼ 3, in quanto l ordine degli elementi è irrilevante, quindi C 7;3 ¼ ¼ 35: Vediamo esempi di applicazione delle combinazioni al calcolo delle probabilità. (6) Calcolo delle probabilità CAPITOLO Nel gioco del Lotto, calcolare quante cinquine contengono un ambo fissato. I casi possibili sono le combinazioni, di classe 5, dei 90 numeri contenuti in una urna

14 4 C 90;5 ¼ ¼ 43:949:268: I casi favorevoli si ottengono considerando, oltre ai due numeri fissati per l ambo, altri tre tra i rimanenti 88, ossia le combinazioni di 88 elementi di classe 3, quindi C 88;3 ¼ ¼ 09:736: La probabilità sarà p ¼ C 88;3 C 90;5 ¼ 09:736 43:949:268 ¼ Calcolare la probabilità che lanciando 0 volte una moneta, si ottenga 3 volte testa. I casi possibili sono le disposizioni con ripetizione di 2 elementi testa e croce di classe 0, quindi D 0 2;0 ¼ 20 : I casi favorevoli sono le combinazioni di 0 elementi, ossia i 0 risultati, di classe 3, perciò C 0;3 ¼ ¼ 20: La probabilità sarà p ¼ C 0;3 D 0 2;0 ¼ 5 28 : CAPITOLO Calcolo delle probabilità 3 Lanciando tre dadi contemporaneamente, calcolare la probabilità di ottenere tutti i numeri dispari. I casi possibili sono le disposizioni con ripetizione di 6 elementi di classe 3 D 0 6;3 ¼ 63 : I casi favorevoli sono le disposizioni con ripetizione di 3 elementi di classe 3 La probabilità sarà p ¼ D 0 3;3 D 0 6;3 D 0 3;3 ¼ 3 3 : ¼ ¼ 3 ¼ Nel gioco del Poker, si distribuiscono, a ciascun giocatore, 5 carte estratte da un mazzo di 32 carte. Calcolare la probabilità di avere un poker di assi (4 assi e un quinta carta qualsiasi) servito. I casi possibili sono le combinazioni di 32 carte di classe C 32;5 ¼ ¼ 20:376: I casi favorevoli sono dati dai quattro assi associati a una carta qualsiasi tra le rimanenti 28 ¼ 32 4, ossia le combinazioni di 28 elementi di classe, pari a 28. La probabilità sarà p ¼ C 28; C 32;5 ¼ 28 20:376 ¼ 7:92. D Si dicono combinazioni con ripetizione di n 2 N elementi distinti di classe k 2 N, tutti i raggruppamenti che si possono formare con k degli n elementi, in modo che i raggruppamenti differiscano fra loro per almeno un elemento, oppure per il numero di volte con cui uno stesso oggetto può essere ripetuto.

15 5 n þ k C 0 n;k ¼ ¼ k nðn þ Þðn þ 2Þ::::::::::::::::: ðn þ k Þ k! (7) Calcolare in quanti modi si possono preparare frullati, disponendo di 4 tipi di frutta, mettendo in ogni frullato 6 porzioni di frutta (anche ripetute). Si devono determinare le combinazioni con ripetizione di 4 elementi, i tipi di frutta, presi a 6 a 6 C 0 4;6 ¼ ¼ 84: 5 Vediamo altre applicazioni del calcolo combinatorio al calcolo delle probabilità. Da un urna, che contiene 6 palline bianche e 9 palline blu, se ne estraggono 2 contemporaneamente. Calcolare la probabilità di estrarre: A ¼ 2 palline bianche ; B ¼ pallina blu e pallina bianca. I casi possibili sono tutti i gruppi di 2 palline che si possono estrarre dall urna che contiene 5 palline in tutto e il numero di gruppi si calcola con le combinazioni di 5 oggetti di classe 2, cioè C 5;2 ¼ 5 ¼ ¼ 05: A) I casi favorevoli sono tutti i gruppi di 2 palline bianche che si possono estrarre dall insieme delle palline bianche, ossia le combinazioni di 6 oggetti di classe 2, cioè 6 C 6;2 ¼ ¼ ¼ 5: 6 2 La probabilità è p ¼ ¼ ¼ 7 : 2 B) I casi favorevoli sono tutti i gruppi costituiti da pallina blu e bianca, cioè 6 9, e si ottengono associando a ogni pallina blu ogni pallina bianca. La probabilità è p ¼ 6 9 ¼ ¼ 8 35 : 2 2 Calcolare la probabilità di ottenere, al Lotto: A = un terno, giocando 3 numeri su una ruota fissata ; B = una cinquina, giocando 5 numeri su una ruota fissata. I casi possibili sono tutti i gruppi di 5 numeri che si possono estrarre dai 90, presenti nell urna, cioè 90 C 90;5 ¼ : 5 A) I casi favorevoli sono tutti i gruppi di 5 numeri che contengono i 3 giocati e 2 numeri qualunque, scelti fra i rimanenti 87 numeri presi a 2 a 2, ossia C 87;2 ¼ : 87 2 Calcolo delle probabilità CAPITOLO

16 6 La probabilità è p ¼ 87 2 ¼ ¼ :748 : B) I casi favorevoli si riducono a, quindi la probabilità è p ¼ ¼ :949:268 : 3 In un contenitore vi sono 00 matite di cui 2 difettose. Si scelgono a caso 4 matite; calcolare la probabilità di estrarre: A ¼ 4 matite non difettose ; B ¼ 4 matite difettose. I casi possibili sono le combinazioni delle 00 matite scelte a 4 a 4, quindi 00 C 00;4 ¼ 4 A) I casi favorevoli sono le combinazioni delle 88 matite non difettose scelte a 4 a 4, quindi 88 C 88;4 ¼ ; la probabilità è 4 88 : CAPITOLO Calcolo delle probabilità p ¼ 4 ¼ ¼ 42:398 7:295 : B) I casi favorevoli sono le combinazioni delle 2 matite difettose, scelte a 4 a 4, quindi 2 C 2;4 ¼. 4 2 La probabilità è Altre definizioni p ¼ 4 ¼ ¼ 3 23:765 : 6 La definizione classica, dunque, si può applicare quando si possono determinare tutti i casi possibili, cioè il loro numero, e conseguentemente i casi favorevoli. Tuttavia, in alcuni problemi, questa definizione non può essere applicata in quanto è difficile determinare i casi possibili come, per esempio, nel calcolo della probabilità per una persona di essere in vita fra 20 anni, di subire un furto nel prossimo anno o di vincere una somma in una scommessa. Per risolvere questi problemi, sono state elaborate altre definizioni di probabilità: frequentista e soggettiva. D Si dice frequenza f di un evento il rapporto tra r, numero di volte in cui si è verificato l evento, e n, numero molto grande di volte in cui è stato ripetuto un esperimento, sempre nelle stesse condizioni, o numero molto grande di osservazioni f ¼ r n (8) Questa probabilità è detta anche a posteriori nel senso che, per poterla calcolare, si devono prima svolgere n prove, con n tendente all infinito.

17 7 Le difficoltà nell applicazione di questa definizione sono dovute alla disponibilità delle informazioni sulle prove, al significato numerico di tendente all infinito e al realizzarsi delle stesse condizioni. È stato eseguito volte un esperimento chimico relativo alla fusione di due metalli e, in casi, si è ottenuto il risultato cercato. Calcolare la frequenza della fusione. Essendo n = e r = 3.273, la frequenza è f ¼ 3:273 4:000 : La frequenza non dipende solamente dal numero n di prove eseguite; infatti, un medesimo esperimento ripetuto uno stesso numero di volte, in diversi momenti o luoghi, può presentare un differente numero di casi favorevoli, influenzando così il valore della frequenza. Anche la frequenza è un numero razionale compreso fra 0 e ; tuttavia se risulta f ¼ 0, non si può asserire che l evento è impossibile, ma si può solo constatare che non si è mai verificato durante le n prove e, analogamente, se f ¼, non si può sostenere che l evento è certo, ma si può constatare che si è sempre verificato durante le n prove. Riguardo alla frequenza è stato rilevato che, con un numero n di prove sufficientemente grande, il rapporto tende ad assumere un valore stabile e, in particolare, per i fenomeni di cui si può calcolare la probabilità classica, all aumentare delle prove, il valore della frequenza tende al valore della probabilità classica. A questo proposito, Buffon eseguì un esperimento che diede i seguenti risultati: lanciando volte una moneta, ottenne volte l evento testa con una frequenza pari a f ¼ 0; 5069, valore molto vicino a quello della probabilità classica p ¼ ¼ 0; 5. 2 Enunciamo ora la legge empirica del caso, olegge dei grandi numeri, per eventi dei quali non sia possibile calcolare la probabilità classica: in una serie di prove, ripetute molte volte, eseguite tutte nelle stesse condizioni, la frequenza tende ad assumere valori prossimi alla probabilità dell evento e l approssimazione è tanto maggiore quanto più grande è il numero delle prove eseguite. La legge afferma che, eseguendo numerosi esperimenti, la frequenza si avvicina alla probabilità ma non si può escludere che la frequenza, in quanto valore ottenuto mediante esperimenti, assuma valori non attesi. Vi sono casi particolari in cui non è possibile o non occorre eseguire esperimenti, quindi le frequenze sono il risultato di osservazioni sistematiche; è questo il caso della frequenza delle giornate di pioggia in un anno, la frequenza delle nascite di sesso femminile in un anno, eccetera. Un esempio di queste osservazioni sono le tavole di mortalità 992, dove si legge che su maschi di età 40, raggiungono l età 70. Calcolare la frequenza per i 40-enni di raggiungere l età 70. La frequenza sarà f ¼ 69:262 ¼ 0; , quindi il 72; 426% dei quarantenni raggiungerà 95:63 l età Si hanno poi eventi per i quali non è possibile calcolare la probabilità classica né la frequenza, in quanto non si possono stabilire i casi possibili e i casi favorevoli e gli eventi non sono ripetibili; si potrà allora eseguire una stima della probabilità sulla base delle informazioni disponibili. D Si dice probabilità soggettiva di un evento la misura del grado di fiducia che un individuo (coerente) attribuisce al verificarsi dell evento in base alle sue informazioni e opinioni. Le maggiori critiche riguardo all applicazione di questa definizione vengono dal rischio di confondere il soggettivismo con l arbitrarietà. Calcolo delle probabilità CAPITOLO

18 8 In pratica la determinazione della probabilità soggettiva di un evento segue la definizione di de Finetti: D La probabilità di un evento E, secondo l opinione di un individuo, è il prezzo p che ritiene equo attribuire all importo unitario da incassare, se si verifica l evento E. Se c è la somma che si è disposti a pagare per incassare la somma C al verificarsi di E, la probabilità soggettiva è p ¼ c C (9) Se l individuo considera l evento E come: impossibile, sarà disposto a pagare c ¼ 0 e conseguentemente sarà p ¼ 0; certo, sarà disposto a pagare al massimo c ¼ C e conseguentemente sarà p ¼ ; casuale, sarà disposto a pagare una somma 0 < c < C e conseguentemente sarà 0< p <. Tizio gioca E 5, scommettendo su una certa squadra di calcio, per ottenere E 250 in caso di vittoria del campionato. Calcolare la probabilità soggettiva di Tizio per quell evento. Sarà p ¼ ¼ 50 ¼ 0; 02: CAPITOLO Calcolo delle probabilità In conclusione possiamo asserire che: la teoria classica consente il calcolo delle probabilità di un evento quando si possono determinare i casi possibili, tutti equiprobabili, e i casi favorevoli; la teoria frequentista consente il calcolo delle probabilità di un evento quando questo può essere ripetuto un qualunque numero di volte. In caso contrario si parla di frequenza dell evento, ma non di probabilità in senso frequentista; la teoria soggettiva consente di eseguire sempre una stima della probabilità di un evento. 8 Solo con la teoria assiomatica sono state superate tutte le difficoltà precedentemente illustrate. Questa teoria nasce da assiomi, ossia proposizioni fondamentali non dimostrabili, e da questi discende la definizione di probabilità assiomatica di un evento, numero che soddisfa gli assiomi del calcolo delle probabilità. La teoria assiomatica delle probabilità si costruisce in modo simile alla geometria euclidea. Come la geometria euclidea formula assiomi non dimostrabili che definiscono implicitamente gli enti fondamentali della geometria (punto e retta) per costruire tutta la geometria piana e solida come conseguenza logica delle proposizioni fatte e poi enuncia teoremi dimostrabili, così la teoria assiomatica delle probabilità si basa su tre assiomi e da questi costruisce definizioni e teoremi. Prima di introdurre gli assiomi del calcolo delle probabilità, illustriamo alcuni concetti che spesso saranno utilizzati. Spazio campione e relazioni fra eventi 9 Diamo alcune importanti definizioni. D Si dice prova o esperimento casuale un avvenimento che può dare origine a diversi risultati. D Si dice spazio campione o dei campioni l insieme costituito da tutti i risultati dell esperimento.

19 9 D Si dice evento ogni sottoinsieme dello spazio dei campioni. D Si dice evento elementare un sottoinsieme dello spazio campione costituito da un solo elemento e si indica con una lettera minuscola dell alfabeto. D Si dice evento composto un sottoinsieme dello spazio campione costituito da più elementi dello stesso e si indica con una lettera maiuscola dell alfabeto. Un evento composto sarà quindi scomponibile in più eventi elementari. Consideriamo come esempio di prova il lancio di un dado. Avremo allora: spazio campione: U ¼f; 2; 3; 4; 5; 6g; eventi elementari: evento a: esce ; evento b: esce 2 ; evento c: esce 3 ; evento d: esce 4 ; evento e: esce 5 ; evento f : esce 6. eventi composti: evento A: esce un numero pari, questo evento si scompone negli eventi elementari b, d, f ; evento B: esce un numero maggiore di 2, questo evento si può scomporre negli eventi elementari c, d, e, f. D Si dice spazio degli eventi PðUÞ l insieme di tutti i sottoinsiemi dello spazio campione, compreso l insieme vuoto [ e lo stesso spazio campione U. D Si dicono eventi incompatibili due sottoinsiemi qualunque dello spazio campione che non hanno elementi comuni (sottoinsiemi disgiunti). D Si dicono eventi compatibili due sottoinsiemi che hanno elementi comuni. Naturalmente eventi elementari sono sempre incompatibili. La simbologia usata per questi elementi è analoga a quella della teoria degli insiemi. Illustriamo altri esempi. Consideriamo il lancio di una moneta e rappresentiamo lo spazio campione. Lo spazio campione è U ¼ftesta; croceg, costituito dagli eventi elementari incompatibili a: testa e b: croce. 2 Lanciamo due dadi, uno rosso e l altro blu e rappresentiamo lo spazio campione. Lo spazio campione è U ¼fð; Þ ; ð; 2Þ ; ::::: ; ð; 6Þ ; ð2; Þ ; ð2; 2Þ ; :::::: ; ð2; 6Þ ; :::::: ; ð6; Þ ; ð6; 2Þ ; ::::: ; ð6; 6Þg ed è costituito dalle 36 coppie di valori che si ottengono associando alle sei facce del dado rosso le sei facce del dado blu; tutte le coppie sono eventi elementari. È possibile rappresentare graficamente U con un diagramma cartesiano dove, sull asse delle ascisse, si indicano tutti i possibili risultati del dado rosso e, sull asse delle ordinate, tutti i possibili risultati del dado blu e ogni punto rappresenta un evento semplice, elemento dello spazio campione (fig. 5). Calcolo delle probabilità dado blu CAPITOLO dado rosso Figura 5

20 20 Consideriamo gli eventi: A ¼ la somma dei punti è 5 00 ¼ ¼fð; 4Þð2; 3Þð3; 2Þð4; Þg B ¼ la somma dei punti è 2 00 ¼fð6; 6Þg: Questi eventi composti sono sottoinsiemi dello spazio campione U, quindi A U e B U; possiamo rappresentare graficamente questi sottoinsiemi (fig. 6) e dado blu B A dado rosso Figura 6 3 Un urna contiene 3 palline bianche, 2 nere e 4 verdi. Considerato l esperimento si estraggono due palline rimettendo la prima pallina estratta nell urna, rappresentiamo lo spazio campione. Lo spazio campione U presenta 8 elementi costituiti da tutte le coppie di palline che si possono estrarre e la sua rappresentazione grafica è (fig. 7) CAPITOLO Calcolo delle probabilità 2 estrazione V V V V N N B B B Figura 7 BB NV VN B B B N N V V V V estrazione Nei rettangoli è possibile contare i seguenti eventi composti: NV la prima pallina estratta è nera e la seconda è verde; VN la prima pallina estratta è verde e la seconda è nera; BB la prima pallina estratta è bianca e la seconda è bianca. È possibile generalizzare l estrazione di due palline da un urna, con reimmissione della prima, con un qualunque numero di palline: considerando, ad esempio, 80 palline gialle, 20 rosse e 50 nere, lo spazio campione contiene ð80 þ 20 þ 50Þ 2 ¼ 22:500 elementi, che sono eventi elementari di U. Una rappresentazione possibile è la seguente (fig. 8) 2 estrazione 50 N 20 R 80 G GN GR.600 GG RN.000 RR 400 GR.600 NN NR.000 NG Figura 8 80 G 20 R 50 N estrazione

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011)

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011) b) (vedi grafo di lato) 7 0 9 0 0 0 ( E ) + + 0, ) Calcolare, riguardo al gioco del totocalcio, la probabilità dei seguenti eventi utilizzando il calcolo combinatorio a) E : fare b) E : fare 0 c) E : fare

Dettagli

MODULI DI LINEAMENTI DI MATEMATICA

MODULI DI LINEAMENTI DI MATEMATICA R. MANFREDI - E. FABBRI - C. GRASSI TRIENNIO licei scientifici MODULI DI LINEAMENTI DI MATEMATICA per il triennio della scuola secondaria di secondo grado L CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E ELEMENTI DI STATISTICA

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

(concetto classico di probabilità)

(concetto classico di probabilità) Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico.

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico. Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Probabilità Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica - Esercitazioni

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 9 giugno 006 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio Un urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare

Dettagli

INDICAZIONI PER LO STUDIO ESTIVO CLASSE 4 A. Allievi con debito formativo.

INDICAZIONI PER LO STUDIO ESTIVO CLASSE 4 A. Allievi con debito formativo. INDICAZIONI PER LO STUDIO ESTIVO CLASSE A. Allievi con debito formativo. Svolgere gli esercizi n. 2 5 7-9 20 28 2 8 dalla scheda dei compiti assegnati al resto della classe. Svolgere i seguenti esercizi

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA Anno Accademico 2012/2013 REGISTRO DELL ATTIVITÀ DIDATTICA Docente: ANDREOTTI MIRCO Titolo del corso: MATEMATICA ED ELEMENTI DI STATISTICA Corso: CORSO UFFICIALE Corso

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita?

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 00 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Osserviamo che il valore della vincita dipende dal risultato dell esperimento

Dettagli

STATISTICA Lezioni ed esercizi

STATISTICA Lezioni ed esercizi Università di Torino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica MARIA GARETTO STATISTICA Lezioni ed esercizi Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 00/00 Quaderno # Novembre 00 M. Garetto - Statistica

Dettagli

Appunti di Probabilità

Appunti di Probabilità Appunti di Probabilità Bruno Betrò CNR-IMATI, Sezione di Milano bruno.betro@mi.imati.cnr.it www.mi.imati.cnr.it/ bruno Testi di riferimento: Dall Aglio G., Calcolo delle Probabilità, Zanichelli Scozzafava

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine nel Seicento in riferimento a questioni legate al gioco d azzardo e alle scommesse. Oggi trova tante applicazioni in ambiti anche

Dettagli

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

Riassunto 24 Parole chiave 24 Commenti e curiosità 25 Esercizi 27 Appendice

Riassunto 24 Parole chiave 24 Commenti e curiosità 25 Esercizi 27 Appendice cap 0 Romane - def_layout 1 12/06/12 07.51 Pagina V Prefazione xiii Capitolo 1 Nozioni introduttive 1 1.1 Introduzione 1 1.2 Cenni storici sullo sviluppo della Statistica 2 1.3 La Statistica nelle scienze

Dettagli

Probabilità e statistica

Probabilità e statistica Indice generale.probabilità ed eventi aleatori....come si può definire una probabilità....eventi equiprobabili....eventi indipendenti, eventi dipendenti....eventi incompatibili....eventi compatibili....probabilità

Dettagli

Prove e sottoprove. Perché il calcolo combinatorio. La moltiplicazione combinatorica. Scelta con e senza ripetizione { } ( )

Prove e sottoprove. Perché il calcolo combinatorio. La moltiplicazione combinatorica. Scelta con e senza ripetizione { } ( ) Perché il calcolo combinatorio Basato sulle idee primitive di distinzione e di classificazione, stabilisce in quanti modi diversi si possono combinare degli oggetti E molto utile nell enumerazione dei

Dettagli

Somma logica di eventi

Somma logica di eventi Somma logica di eventi Da un urna contenente 24 palline numerate si estrae una pallina. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) esce un numero divisibile per 5 o superiore a 20, b) esce un numero

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che VARIABILI ALATORI MULTIPL TORMI ASSOCIATI Fonti: Cicchitelli Dall Aglio Mood-Grabill. Moduli 6 9 0 del programma. VARIABILI ALATORI DOPPI Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile

Dettagli

Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo

Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo docente Giuseppe Sanfilippo http://www.unipa.it/sanfilippo giuseppe.sanfilippo@unipa.it

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio)

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio) Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio 1. Lanciamo due dadi regolari. Qual è la probabilità che la somma delle facce rivolte verso l alto sia pari a 7? 1/6 2. Due palline vengono estratte

Dettagli

IL CALCOLO DELLE PROBABILITA

IL CALCOLO DELLE PROBABILITA IL CALCOLO DELLE PROBABILITA 0. Origini Il concetto di probabilità sembra che fosse del tutto ignoto agli antichi malgrado si sia voluto trovare qualche cenno di ragionamento in cui esso è implicitamente

Dettagli

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità CAPITOLO TEORIA Il dilemma di Monty Hall In un popolare show televisivo americano il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse. Dietro a una di esse si cela il premio

Dettagli

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Prof. Francesco Tottoli Versione 3 del 20 febbraio 2012 DEFINIZIONE È una scienza giovane e rappresenta uno strumento essenziale per la scoperta di leggi e

Dettagli

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Assiomi e teoremi A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Esperimento casuale Esperimento

Dettagli

STATISTICA E PROBABILITá

STATISTICA E PROBABILITá STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu

Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu 1. Gli interi da 1 a 9 sono scritti nelle 9 caselle di una scacchiera 3x3, ogni intero in ogni casella diversa, in modo

Dettagli

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita NOTA 1 Gli esercizi sono presi da compiti degli scorsi appelli, oppure da testi o dispense di colleghi. A questi ultimi

Dettagli

Test sul calcolo della probabilità

Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità 2 Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità. La probabilità p di un evento E, quando si indica con E il suo complementare, è : a) 0 se E è

Dettagli

Programmazione Disciplinare: Calcolo Classe: Quarte - Quinte

Programmazione Disciplinare: Calcolo Classe: Quarte - Quinte Istituto Tecnico Tecnologico Basilio Focaccia Salerno Programmazione Disciplinare: Calcolo Classe: Quarte - Quinte Anno scolastico 01-01 I Docenti della Disciplina Salerno, settembre 01 Anno scolastico

Dettagli

Il prodotto di tre numeri in progressione aritmetica è 16640, il più piccolo è 20. Calcolare i tre numeri.

Il prodotto di tre numeri in progressione aritmetica è 16640, il più piccolo è 20. Calcolare i tre numeri. Scrivi i primi termini delle seguenti successioni: =1; =; = + Individua la legge che genera ognuna delle seguenti successioni: -1,, -, 4, -5, In una progressione aritmetica la somma del primo, quarto,

Dettagli

Esercizi di probabilità discreta

Esercizi di probabilità discreta Di seguito, potete trovare i testi (con risposta) degli esercizi svolti (o proposti) nel corso di esercitazioni dell insegnamento di Matematica applicata. 1 Esercizi di probabilità discreta Algebra degli

Dettagli

Esericizi di calcolo combinatorio

Esericizi di calcolo combinatorio Esericizi di calcolo combinatorio Alessandro De Gregorio Sapienza Università di Roma alessandrodegregorio@uniroma1it Problema (riepilogativo) La segretaria di un ufficio deve depositare 3 lettere in 5

Dettagli

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I TEORIA DELLA PROBABILITÀ I Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [2015-16] Indice 1 Probabilità 1 1.1 Introduzione............................................ 1 1.2 Eventi...............................................

Dettagli

CAPITOLO 12. Calcolo delle Probabilità. 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità

CAPITOLO 12. Calcolo delle Probabilità. 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità CAPITOLO 12 Calcolo delle Probabilità 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità Una storia d amore Luca abita a Lecco, Bianca a Brindisi. Lui è innamorato perso. Anche lei ama lui, ma, ultimamente,

Dettagli

PARTE PRIMA PROBABILITA

PARTE PRIMA PROBABILITA i PARTE PRIMA PROBABILITA CAPITOLO I - Gli assiomi della probabilità 1.1 Introduzione........................................................... pag. 1 1.2 Definizione assiomatica di probabilità.......................................

Dettagli

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo.

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo. Corso di Matematica Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Pisa Maria Luisa Chiofalo Scheda 18 Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità I testi degli esercizi sono

Dettagli

E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A

E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A L M T I D I P R O B A B I L I T A CI STORICI Il calcolo delle probabilità si è andato sviluppando piuttosto di recente, intorno al 500 e per lungo tempo solo come una branca della matematica Solo dal secolo

Dettagli

IL CALCOLO COMBINATORIO

IL CALCOLO COMBINATORIO IL CALCOLO COMBINATORIO Giochiamo a dadi Nel XVII secolo il cavaliere De Meré, forte giocatore, come spesso accadeva fra la nobiltà di quel tempo, si pose questo quesito: Che cosa è più conveniente, scommettere

Dettagli

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio Indice 1 Probabilità 1 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio.. 1 1.2 Probabilità condizionata, indipendenza e teorema di Bayes.... 2 1 Probabilità 1.1 Primi esercizi di probabilità

Dettagli

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO 1. Calcolare il numero degli anagrammi che possono essere formati con le lettere della parola Amore. [120] 2. Quante partite di poker diverse possono essere giocate da

Dettagli

Facciamo qualche precisazione

Facciamo qualche precisazione Abbiamo introdotto alcuni indici statistici (di posizione, di variabilità e di forma) ottenibili da Excel con la funzione Riepilogo Statistiche Facciamo qualche precisazione Al fine della partecipazione

Dettagli

Esercizi di Probabilità e statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra

Esercizi di Probabilità e statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Esercizi di Probabilità e statistica Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Capitolo 1 Spazi di probabilità discreti 1.1 Proprietà fondamentali Esercizio 1 Esprimere ciascuno dei seguenti eventi in termini

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

Appunti: elementi di Probabilità

Appunti: elementi di Probabilità Università di Udine, Facoltà di Scienze della Formazione Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Multimediali Corso di Matematica e Statistica (Giorgio T. Bagni) Appunti: elementi di Probabilità. LA PROBABILITÀ..

Dettagli

Matematica Applicata. Probabilità e statistica

Matematica Applicata. Probabilità e statistica Matematica Applicata Probabilità e statistica Fenomeni casuali Fenomeni che si verificano in modi non prevedibili a priori 1. Lancio di una moneta: non sono in grado di prevedere con certezza se il risultato

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 19 marzo 2007 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio 1 Un urna contiene due palle nere e una rossa. Una seconda urna ne contiene una bianca

Dettagli

Corso di Probabilità e Statistica

Corso di Probabilità e Statistica Università degli Studi di Verona Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Informatica Corso di Probabilità e Statistica (Prof.ssa L.Morato) Esercizi a cura di: S.Poffe sara.poffe@stat.unipd.it A.A.

Dettagli

Appunti di Teoria della Probabilità Università degli Studi di Bari Corso di Laurea in Scienze Statistiche A.A. 2011/2012.

Appunti di Teoria della Probabilità Università degli Studi di Bari Corso di Laurea in Scienze Statistiche A.A. 2011/2012. Appunti di Teoria della Probabilità Università degli Studi di Bari Corso di Laurea in Scienze Statistiche A.A. 2011/2012 Alessio Pollice 2 Capitolo 1 Eventi e probabilità 1.1 Premessa Etimologia e significato

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

Cenni sul calcolo combinatorio

Cenni sul calcolo combinatorio Cenni sul calcolo combinatorio Disposizioni semplici Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k con kn sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un

Dettagli

Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; 2 π ]

Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; 2 π ] IV A GAT PRIMA VERIFICA DI MATEMATICA 3 ottobre 0 Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; π ].. 3... 6. 7. 8. Risultati:. = π/6 e = 7π/6. =π/ ; =π/6 ; =π/6 3. =π/3 ; =π/3. =π/3 ; =π/3. π/

Dettagli

CLASSI PRIME tecnico 4 ORE

CLASSI PRIME tecnico 4 ORE PIANO ANNUALE a.s. 2012/2013 CLASSI PRIME tecnico 4 ORE Settembre Ottobre Novembre dicembre dicembre gennaio- 15 aprile 15 aprile 15 maggio Somministrazione di test di ingresso. Insiemi numerici Operazioni

Dettagli

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi

Dettagli

Calcolo delle probabilità. 3. La probabiltà nella concezione frequentista. 4. La probabiltà nella concezione soggettiva

Calcolo delle probabilità. 3. La probabiltà nella concezione frequentista. 4. La probabiltà nella concezione soggettiva Calcolo delle probabilità. Gli eventi - definizioni propedeutiche 2. La probabiltà nella concezione classica. La probabiltà nella concezione frequentista 4. La probabiltà nella concezione soggettiva. La

Dettagli

Le variabili casuali. Variabile statistica e variabile casuale. Distribuzione di probabilità della v.c X: X P(X) 0 ⅛ 1 ⅜ 3 ⅛

Le variabili casuali. Variabile statistica e variabile casuale. Distribuzione di probabilità della v.c X: X P(X) 0 ⅛ 1 ⅜ 3 ⅛ Università di Macerata Facoltà di Scienze Politiche - Anno accademico 009- Una variabile casuale è una variabile che assume determinati valori con determinate probabilità; Ad una variabile casuale è associata

Dettagli

Indice Prefazione xiii 1 Probabilità

Indice Prefazione xiii 1 Probabilità Prefazione xiii 1 Probabilità 1 1.1 Origini del Calcolo delle Probabilità e della Statistica 1 1.2 Eventi, stato di conoscenza, probabilità 4 1.3 Calcolo Combinatorio 11 1.3.1 Disposizioni di n elementi

Dettagli

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Statistica, CLEA p. 1/55 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Premessa importante: il comportamento della popolazione rispetto una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica

Dettagli

Tutoraggio di Calcolo delle Probabilità, 2-3 Marzo 2010

Tutoraggio di Calcolo delle Probabilità, 2-3 Marzo 2010 Tutoraggio di Calcolo delle Probabilità, 2-3 Marzo 200 Esercizio. Dati due eventi A e B, scrivete, in termini di operazioni booleane, l espressione dell evento: {si verifica esattamente un solo evento

Dettagli

CORSO DI STATISTICA ED ELEMENTI DI INFORMATICA

CORSO DI STATISTICA ED ELEMENTI DI INFORMATICA ANNO ACCADEMICO 2013-2014 UNIVERSITA DEGLI STUDI DI TERAMO FACOLTA DI MEDICINA VETERINARIA CORSO DI STATISTICA ED ELEMENTI DI INFORMATICA CFU 5 DURATA DEL CORSO : ORE 35 DOCENTE PROF. DOMENICO DI DONATO

Dettagli

COORDINAMENTO PER MATERIE SETTEMBRE 2014

COORDINAMENTO PER MATERIE SETTEMBRE 2014 Pagina 1 di 8 COORDINAMENTO PER MATERIE SETTEMBRE 2014 AREA DISCIPLINARE [ ] Biennio, Attività e Insegnamenti di area generale (Settore Tecnologico) [ ] Biennio, Attività e Insegnamenti obbligatori di

Dettagli

STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012

STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012 STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012 Calcolo delle Probabilità Teoria & Pratica La probabilità di un evento è

Dettagli

Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Calcolo combinatorio Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica

Dettagli

matematica probabilmente

matematica probabilmente IS science centre immaginario scientifico Laboratorio dell'immaginario Scientifico - Trieste tel. 040224424 - fax 040224439 - e-mail: lis@lis.trieste.it - www.immaginarioscientifico.it indice Altezze e

Dettagli

Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo 1 Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 2010/2011

Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo 1 Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 2010/2011 Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 200/20 Problemi per esercitazione individuale (non svolti in aula NB: i problemi assegnati per esercitazione

Dettagli

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y =

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y = ESERCIZI Testi (1) Un urna contiene 20 palline di cui 8 rosse 3 bianche e 9 nere; calcolare la probabilità che: (a) tutte e tre siano rosse; (b) tutte e tre bianche; (c) 2 rosse e una nera; (d) almeno

Dettagli

Analisi statistica degli errori

Analisi statistica degli errori Analisi statistica degli errori I valori numerici di misure ripetute risultano ogni volta diversi l operazione di misura può essere considerata un evento casuale a cui è associata una variabile casuale

Dettagli

GLI INIZI 3 I GLI EVENTI 7 I.1 Incertezza e probabilità 7 I.2 Lo spazio degli eventi 9 I.3 L evento 10 I.4 Algebra degli eventi 11 II I VARI APPROCCI

GLI INIZI 3 I GLI EVENTI 7 I.1 Incertezza e probabilità 7 I.2 Lo spazio degli eventi 9 I.3 L evento 10 I.4 Algebra degli eventi 11 II I VARI APPROCCI GLI INIZI 3 I GLI EVENTI 7 I.1 Incertezza e probabilità 7 I.2 Lo spazio degli eventi 9 I.3 L evento 10 I.4 Algebra degli eventi 11 II I VARI APPROCCI ALLA PROBABILITÀ 17 II.1 Probabilità in senso classico

Dettagli

Il paesaggio matematico

Il paesaggio matematico 705_Fico_giallo_00:705_Fico_giallo_00 --008 :5 agina 9 7 8 0 Mariapia Fico, Gabriella Cariani, Salvatore Mattina 4 78-5 9 0 FI CO A ES IS AG BN. M AT.G I 7 705 8 8 70 5 QUESTO VOLUME, SROVVISTO DI TALLONCINO

Dettagli

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1 FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE ED IL TERRITORIO CORSO DI STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA PROF. PASQUALE VERSACE SCHEDA DIDATTICA N ARGOMENTO: CALCOLO DELLE PROBABILITA

Dettagli

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Si tratta di problemi elementari, formulati nel linguaggio ordinario Quindi, per ogni problema la suluzione proposta è sempre

Dettagli

Corso Integrato di Statistica Informatica e Analisi dei Dati Sperimentali Note A.A. 2009-10 C. Meneghini

Corso Integrato di Statistica Informatica e Analisi dei Dati Sperimentali Note A.A. 2009-10 C. Meneghini Corso Integrato di Statistica Informatica e Analisi dei Dati Sperimentali Note A.A. 2009-10 C. Meneghini 1 Elementi di calcolo delle probabilitá, teorema di Bayes e applicazioni 1.1 Definizione di probabilitá

Dettagli

Elementi di calcolo delle probabilità

Elementi di calcolo delle probabilità Elementi di calcolo delle probabilità Definizione di probabilità A) Qui davanti a me ho un urna contenente 2 palline bianche e 998 nere. Mi metto una benda sugli occhi, scuoto ripetutamente l urna ed estraggo

Dettagli

Modello probabilistico di un esperimento aleatorio. Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott.

Modello probabilistico di un esperimento aleatorio. Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Modello probabilistico di un esperimento aleatorio Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Corrado Caudek 1 Un esperimento è il processo attraverso il quale un osservazione

Dettagli

Lezione 3 - Probabilità totale, Bayes -Alberi PROBABILITÀ TOTALE TEOREMA DI BAYES ALBERI E GRAFI

Lezione 3 - Probabilità totale, Bayes -Alberi PROBABILITÀ TOTALE TEOREMA DI BAYES ALBERI E GRAFI Lezione 3 - robabilità totale, ayes -lberi ROILITÀ TOTLE TEOREM DI YES LERI E GRFI GRUO MT06 Dip. Matematica, Università di Milano - robabilità e Statistica per le Scuole Medie -SILSIS - 2007 Lezione 3

Dettagli

Università degli Studi di Milano

Università degli Studi di Milano Università degli Studi di Milano Laurea in Scienza della Produzione e Trasformazione del Latte Note di Calcolo delle Probabilità e Statistica STEFANO FERRARI Analisi Statistica dei Dati Note di Calcolo

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 6

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 6 CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 6 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Riepilogo: Postulati del calcolo della probabilità (Kolmogorov): Dato un evento A Ω, dove è lo spazio degli

Dettagli

Cosa dobbiamo già conoscere?

Cosa dobbiamo già conoscere? Cosa dobbiamo già conoscere? Insiemistica (operazioni, diagrammi...). Insiemi finiti/numerabili/non numerabili. Perché la probabilità? In molti esperimenti l esito non è noto a priori tuttavia si sa dire

Dettagli

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ 1. Che cos è la probabilità? «La teoria delle probabilità non è altro che il tentativo del genere umano di comprendere l incertezza dell universo,

Dettagli

6. I numeri reali e complessi ( R e C ). x2 = 2. 6.1 I numeri reali R.

6. I numeri reali e complessi ( R e C ). x2 = 2. 6.1 I numeri reali R. 6. I numeri reali e complessi ( R e C ). 6.1 I numeri reali R. Non tratteremo in modo molto approfondito gli ulteriori ampliamenti che dai numeri razionali ci portano a quelli reali, all insieme, e R d

Dettagli

Esercitazioni 2013/14

Esercitazioni 2013/14 Esercitazioni 2013/14 Esercizio 1 Due ditte V e W partecipano ad una gara di appalto per la costruzione di un tratto di autostrada che viene assegnato a seconda del prezzo. L offerta fatta dalla ditta

Dettagli

LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di

LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di STATISTICA LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di oggetti; cerca, attraverso l uso della matematica

Dettagli

Capitolo 4 Probabilità

Capitolo 4 Probabilità Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 4 Probabilità Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara Docenti: Dott.

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO-BICOCCA A. A. 2008-2009 FACOLTÀ DI ECONOMIA. Programma del modulo di STATISTICA I (6 crediti)

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO-BICOCCA A. A. 2008-2009 FACOLTÀ DI ECONOMIA. Programma del modulo di STATISTICA I (6 crediti) UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MILANO-BICOCCA A. A. 2008-2009 FACOLTÀ DI ECONOMIA Programma del modulo di STATISTICA I (6 crediti) ECOCOM (lettere A-Lh): ECOCOM (lettere Li-Z): ECOBAN: ECOAMM (Lettere A-Lh):

Dettagli

Introduzione al pensiero probabilistico Il problema delle parti

Introduzione al pensiero probabilistico Il problema delle parti Introduzione al pensiero probabilistico Il problema delle parti Problema (in piccoli gruppi di lavoro) Due giocatori di pari abilità disputano una serie di partite; vince il gioco chi, per primo, raggiunge

Dettagli

Calcolo Combinatorio

Calcolo Combinatorio Capitolo S-09 Calcolo Combinatorio Autore: Mirto Moressa Contatto: mirtomo@tiscali.it Sito: www.mirtomoressa.altervista.org Data inizio: 16/10/2010 Data fine: 21/10/2010 Ultima modifica: 21/10/2010 Versione:

Dettagli

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri

La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La probabilità frequentista e la legge dei grandi numeri La definizione di probabilità che abbiamo finora considerato è anche nota come probabilità a priori poiché permette di prevedere l'esito di un evento

Dettagli

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Variabili aleatorie

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Variabili aleatorie Introduzione Il caso Il caso commesse e probabilità Il caso i chiama evento casuale quello che si verifica in una situazione in cui gli eventi possibili sono più d uno, ma non si sa a priori quale si verificherà.

Dettagli

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }.

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }. ESERCIZI ELEMENTARI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Teorema della somma 1) Giocando alla roulette, calcolare la probabilità che su una estrazione esca: a) Un numero compreso tra 6 e 12 (compresi) oppure maggiore

Dettagli

ESAME DI STATISTICA Nome: Cognome: Matricola:

ESAME DI STATISTICA Nome: Cognome: Matricola: ESAME DI STATISTICA Nome: Cognome: Matricola: ISTRUZIONI: Per la prova è consentito esclusivamente l uso di una calcolatrice tascabile, delle tavole della normale e della t di Student. I risultati degli

Dettagli

H1. Probabilità - Esercizi

H1. Probabilità - Esercizi H. Probabilità - Esercizi CALCOLO COMBINATORIO Dati i seguenti esperimenti dire qual è lo spazio degli eventi. ) Il lancio di una moneta. 2) L estrazione di una pallina da una scatola contenente palline

Dettagli

Classe: 1 a A AFM...2 Classe: 1 a B AFM...3 Classe: 2 a A AFM...4 Classe: 3 a A AFM...5 Classe: 4 a A IGEA...6

Classe: 1 a A AFM...2 Classe: 1 a B AFM...3 Classe: 2 a A AFM...4 Classe: 3 a A AFM...5 Classe: 4 a A IGEA...6 Classe: 1 a A AFM...2 Classe: 1 a B AFM...3 Classe: 2 a A AFM...4 Classe: 3 a A AFM...5 Classe: 4 a A IGEA...6 Classe: 1 a A AFM GLI INSIEMI NUMERICI E LE OPERAZIONI Ripasso del calcolo numerico: espressioni

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

1 Breve introduzione alla probabilità elementare: approccio intuitivo

1 Breve introduzione alla probabilità elementare: approccio intuitivo Breve introduzione alla probabilità elementare: approccio intuitivo. È usuale che in molte situazioni che si presentano concretamente ci sia a priori incertezza su ciò che accadrà nel futuro: il calcolo

Dettagli

Programmazione Matematica classe V A. Finalità

Programmazione Matematica classe V A. Finalità Finalità Acquisire una formazione culturale equilibrata in ambito scientifico; comprendere i nodi fondamentali dello sviluppo del pensiero scientifico, anche in una dimensione storica, e i nessi tra i

Dettagli