Programma del Corso per l AA

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Programma del Corso per l AA 2008-09"

Transcript

1 Matematiche Complementari Laurea Magistrale in Ecologia ed Evoluzione prof. L. Triolo Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata Programma del Corso per l AA Elementi di calcolo differenziale e integrale per la comprensione ed illustrazione di semplici equazioni differenziali per la dinamica di una popolazione (Malthus, Verlhurst): significato e calcolo di derivate ed integrali per funzioni di una variabile. 2. Elementi di Probabilità e Statistica: probabilità in spazi finiti, probabilità condizionata (Teor. di Bayes); variabili aleatorie, distribuzioni binomiale e normale. Campioni ed indici (media, varianza). Stimatori in Statistica inferenziale. Testi consigliati per consultazione, oltre alle presenti Note: 1. C. Cammarota: Elementi di Calcolo e di Statistica, L.S.D., Roma. 2. Per un introduzione alle equazioni differenziali ordinarie, vedi L.Lamberti e C.Mascia: triolo/soloedo.pdf Per un corso di Calcolo online, c è il sito web: 3. Collana Schaum: Probabilità e Statistica, McGraw-Hill, Milano 4. Corso on-line di Matematica per Biotecnologie, di D.Benedetto (La Sapienza): 1. Introduzione Il programma originariamente scritto per il corso di Matematiche Complementari comprendeva essenzialmente modelli di dinamica delle popolazioni, dal punto di vista deterministico e stocastico. Questi argomenti necessitano naturalmente di una preparazione di base sia sul calcolo differenziale ed integrale che sul Calcolo delle Probabilità. Ciò è risultato purtroppo difficile da trovare anche tra studenti diligenti e motivati, dopo l incongrua riduzione per legge della didattica di base. Si è quindi rivelato necessario, almeno in quest anno accademico , dover fornire in questa sede, elementi di teoria delle equazioni differenziali ed elementi di Probabilità e Statistica. Il programma si è quindi considerabilmente ridotto nella parte più specificatamente ecologica, prendendo in esame solo le prime equazioni d evoluzione per una popolazione. Si spera che miglioramenti apportati a livello di laurea triennale permetteranno in futuro di fornire in questo corso specialistico quelle nozioni matematiche un pò più avanzate, necessarie per muoversi con maggior facilità nell attuale letteratura scientifica in Ecologia. In Appendice è riportato il testo (esteso) di una conferenza rivolta ad un uditorio di ricercatori biologi e medici, sulla modellizzazione matematica in biomedicina. 1

2 2 2. Calcolo Combinatorio Si esaminano in questo capitolo le nozioni indispensabili di Disposizioni e Combinazioni, presenti sia nel Calcolo, attraverso l uso dei coefficienti binomiali, che nei primi calcoli probabilistici Disposizioni. Dati n elementi diversi, diciamo i numeri {1, 2, 3,..n}, ci si chiede in quanti modi differenti si possono disporre questi n elementi in gruppi di k n, ponendo cioè attenzione all ordine in cui si piazzano i diversi elementi; Dn k è il numero di tali Disposizioni di n oggetti di classe k. Ad esempio da un gruppo di ventuno lettere diverse, in quanti modi si possono formare delle parole di quattro lettere? Il calcolo di Dn k è abbastanza rapido: il primo elemento si può scegliere in n modi diversi, il secondo in n 1 modi, fino al k esimo, in n k+1 modi restanti, da cui Dn k = n(n 1)..(n k+1). Quindi, per l esempio proposto, D21 4 = = In particolare, se k = n, le disposizioni di n oggetti di classe n si dicono Permutazioni di n elementi ed il loro numero risulta P n Dn n = n(n 1)..2 1; si usa per tale espressione piuttosto comune in matematica il simbolo n! (n fattoriale). Per convenzione si estenderà successivamente la definizione del fattoriale anche ad n = 0, ponendo 0! = 1. In tal modo si può scrivere l identità Dn k = n! (n k)!. Il valore di n! cresce molto rapidamente con n: ad esempio le permutazioni di 52 carte sono circa Un esempio ulteriore: in quanti modi diversi n oggetti diversi (molecole, o persone) possono disporsi in cerchio? Se conta solo l ordine relativo tra gli elementi, tale numero sarà (n 1)!, dato che una rotazione non cambia la posizione relativa degli elementi. Si possono considerare anche le permutazioni con ripetizioni: consideriamo k elementi diversi, ad esempio lettere dell alfabeto, vogliamo contare quante parole diverse, lunghe l = n 1 + n 2 +..n k si possono formare con n 1 copie del primo elemento, n 2 copie del secondo elemento,..n k copie del k-esimo elemento; in generale questo numero P n1,n 2,..n k sarà dato dalla formula P n1,n 2,..n k = (n 1 + n 2 +..n k )! n 1!n 2!..n k! Questa formula si ottiene pensando alle permutazioni di n 1 + n 2 +..n k elementi diversi, e dividendo poi per le permutazioni corrispondenti alla presenza di n 1, n 2,..n k copie del primo, del secondo,.. del k-esimo elemento. Quindi se abbiamo 4 lettere diverse {a,b,c,d}, quante parole con due a, con tre b, con una c e due d si possono formare? La lunghezza è quindi = 8 e il calcolo si fa dividendo il numero delle permutazioni di 8 elementi (8!) per il prodotto 2!3!2! ottenendo Combinazioni. Dati n elementi diversi, diciamo i numeri {1, 2, 3,..n}, ci si chiede ora di calcolare in quanti modi differenti si possono estrarre gruppi di k n elementi, senza quindi porre attenzione all ordine in cui si piazzano i diversi elementi; C k n è il numero di tali Combinazioni di n oggetti di classe k. Il calcolo di C k n risulta derivabile senza particolari difficoltà da D k n: C k n = Dk n k! = n! (n k)!k!

3 Infatti, fissati k elementi, le loro k! permutazioni corrispondono alla stessa combinazione. Un esempio concreto è dato dal calcolo di quante combinazioni di 5 carte si possono formare con un mazzo di 52: C52 5 = D5 52 = ! In matematica si usa per Cn k il simbolo ( n k) (coefficiente binomiale n sopra k ) che appare in molte ed importanti formule, ad esempio nello sviluppo del binomio di Newton: n ( ) n (a + b) n = a n k b k k k=0 Dalla definizione segue la proprietà di simmetria ( ) ( ) n n = k n k e l importante proprietà ricorsiva: ( n k ) + ( ) n = k + 1 ( ) n + 1 k + 1 che dà luogo al cosiddetto triangolo di Tartaglia-Pascal ( 0 ( 0) 1 ) ( 1 1 ( 0 2 ) ( 1) 2 ) ( ( ) ( 3 ) ( 2) ) ( 3 = ( ) ( 4 ) ( 4 ) ( 3) ) ( ) Disposizioni con ripetizioni. Concludiamo questi brevi cenni di calcolo combinatorio con la nozione di Disposizioni con ripetizioni. Supponiamo di dover assegnare targhe diverse ad 10 6 veicoli: una targa numerica sarà composta da 6 caselle in ciascuna delle quali è presente una cifra da 0 a 9. In effetti se abbiamo n simboli da disporre ( l ordine conta!) in k caselle, poichè i simboli possono ripetersi, possiamo scegliere in n modi diversi il simbolo nella prima casella, sempre in n modi diversi quello nella seconda, etc, totalizzando quindi n k differenti disposizioni di n simboli, di classe k con ripetizioni. Ci si può allora chiedere quante caselle sono sufficienti per assegnare targhe alfabetiche (24 simboli) al milione di auto considerato prima: ora n = 24 e cerchiamo k in modo che 24 k 10 6 : prendendo il logaritmo in base 10 si ha k log 24 6 k = (244 = ) Occorrono quindi almeno 5 caselle. Se aggiungiamo le 10 cifre numeriche, si hanno 34 simboli e dunque il calcolo permette di dire che occorrono solo 4 caselle: infatti k log 34 6 k = (344 = ) In linea di principio, basterebbero due simboli {0, 1}, ma il numero di caselle cresce sino a 20: k log 2 6 k = (220 = ) 3

4 4 Un altro esempio d interesse biologico: in quanti modi diversi i quattro simboli A,T,G,C possono formare una stringa lunga 10 7 (esempio ispirato dal DNA del lievito)? La cifra astronomica dice che la chimica fornisce vincoli molto forti per la formazione di sequenze reali di basi nucleotidiche. Di particolare interesse è il caso di n = 2, in cui i due simboli possono essere presi pari a 0 o ad 1. Una disposizione con ripetizione degli elementi dell insieme {0, 1}, di classe k, corrisponde ad un particolare sottoinsieme di un generico insieme E di k elementi. Tale corrispondenza si vede nel modo seguente: supponiamo che i k elementi dell insieme siano individuati dai numeri 1, 2,..k. Un sottoinsieme di E si determina con una stringa lunga k dei simboli 0 e 1, dove 0 nel posto i-esimo significa assenza dell elemento i-esimo ed 1 significa presenza di quell elemento: la stringa composta da tutti 1 corrisponde all insieme E, quella composta da tutti 0 all insieme vuoto. Esempio: la stringa di 6 cifre, {1, 0, 1, 0, 0, 0}, corrisponde al sottoinsieme formato dal primo e dal terzo elemento di un insieme di sei elementi. Tutti i sottoinsiemi, compreso l insieme vuoto, e l intero insieme di k elementi saranno allora 2 k : si dice in modo sintetico che l insieme delle parti di un insieme di k elementi, ha 2 k elementi. Verifichiamolo come esercizio a partire dalla formula del binomio prendendo a = b = 1: poichè ( k m) è il numero di sottoinsiemi con m elementi estratti dall insieme di k elementi, la loro somma dovrà essere 2 k, ed è proprio quello che si ottiene dalla formula (1 + 1) k = 2 k = k m=0 ( ) k m 3. Sistemi dinamici discreti Lo studio dell evoluzione di un sistema a tempi discreti, come la crescita di una popolazione batterica registrata ad intervalli di tempo di lunghezza costante, è un argomento di chiaro interesse applicativo, ed è anche stato alla base di sviluppi recenti nella teoria dei sistemi dinamici (caos deterministico). Formalmente si può anche considerare come una discretizzazione di evoluzioni a tempo continuo, legandosi quindi alle metodologie numeriche per la soluzione di equazioni differenziali. Si considerano qui di seguito gli elementi base della teoria, e qualche applicazione di carattere biologico Equazioni alle differenze del primo ordine. Supponiamo di voler misurare una grandezza y dipendente dal tempo ad intervalli di tempo fissi t 1, t 2,..t k,.. (ad es. una popolazione batterica ad ogni ora) e di scoprire che y k y(t k ) soddisfa ad una relazione del tipo y k+1 = αy k + f k (3.1) dove α è un parametro reale ed {f k }; k = 1, 2,.. è una successione data. È naturale voler valutare il comportamento di tale grandezza al crescere di k. Alla forma in (3.1) si arriva anche partendo da una discretizzazione dell equazione differenziale del primo ordine: ẏ(t) = ay(t) + F (t)

5 Si ha infatti, approssimando la derivata con il rapporto incrementale corrispondente ad un t = τ: y k+1 y k = ay k + F k (3.2) τ y k+1 = y k + aτy k + τf k (3.3) e si ottiene la forma semplificata (3.1) ponendo α = 1 + aτ, f k = τf k Come nel caso dell equazione differenziale occorre supplementare la legge d evoluzione (3.1) con un dato iniziale per ottenere una soluzione unica che soddisfi appunto la condizione iniziale. In tal caso infatti, dal valore iniziale y 0 si ricava y 1 = αy 0 + f 1 e così via; la legge d evoluzione con il dato iniziale costituisce un sistema dinamico discreto e lineare. Vogliamo vedere ora come si può ricavare la soluzione della (3.1) in generale e poi in modo esplicito, nel caso in cui f k f, vale a dire quando il dato {f k } si riduce ad una costante. Come nel caso dei sistemi lineari di equazioni, consideriamo dapprima il sistema omogeneo associato e descriviamone le soluzioni; cerchiamo poi una soluzione particolare del sistema completo (non omogeneo), e naturalmente la somma delle soluzioni sarà ancora soluzione di (3.1). Il problema sarà quindi risolto completamente quando si determinerà la soluzione che soddisfa il dato iniziale. Primo passo: cercare le soluzioni dell equazione omogenea associata (in generale saranno infinite, dipendenti da un parametro reale) u k+1 = αu k (3.4) Secondo passo: cercare una soluzione particolare dell equazione non-omogenea di partenza 5 p k+1 = αp k + f k (3.5) La soluzione del problema con un dato iniziale specifico si otterrà considerando la soluzione generale come somma della generica soluzione dell equazione omogenea e della soluzione particolare, calcolando poi il parametro libero mediante l imposizione del dato iniziale. Vediamo dunque che le soluzioni dell omogenea si ottengono esplicitamente dalla relazione ricorsiva (3.4), dove c è una costante arbitraria u k+1 = αu k = α(αu k 1 ) =... = α k+1 c (3.6) La successione soluzione dell omogenea si può discutere in funzione dei parametri: α = 0 o c = 0 dà la soluzione identicamente nulla u k 0, mentre α = 1 dà una soluzione costante u k c, k = 1, 2,.., c ha il significato di valore iniziale per la soluzione u k. Continuando nell analisi, con c 0, se α = 1, u k = ( 1) k c, ovvero u k = ±c a seconda della parità di k; se α > 1 la soluzione diverge a sign (c), (sign (c) = 1 se c > 0, e 1 se c < 0); mentre se α < 1, u k per k, con un cambio di segno per u k ad ogni passo. Infine, se α < 1, u k 0 per k. Di tali andamenti se ne può dare anche una rappresentazione grafica nel piano. Cerchiamo ora una soluzione particolare dell equazione non-omogenea, supponendo che il dato f k sia costante: f k f 0. Troviamo una soluzione anch essa costante, p k p, k, se α 1: basta scrivere l equazione lineare

6 6 p = αp + f (3.7) che ha come soluzione p = f (3.8) 1 α Se invece α = 1, si trova immediatamente una soluzione particolare non costante (precisamente una per cui p 1 = f): p k+1 = p k + f = (p k 1 + f) + f = p k 1 + 2f =.. = (k + 1)f La soluzione generale di (3.1) sarà la somma di u k e p k : per α 1 : y k = α k c + p = α k c + f 1 α (3.9) per α = 1 : y k = c + kf (3.10) Infine imponendo il dato iniziale, ad esempio il valore y 0, per k = 0, si ha la soluzione completa: per α 1 : y k = α k (y 0 p) + p, k = 0, 1, 2,.. (3.11) per α = 1 : y k = y 0 + kf, k = 0, 1, 2,.. (3.12) L analisi si completa valutando l andamento asintotico per k : il caso interessante è quando α < 1, perchè si vede subito che y k p; notare che il valore limite non dipende dal dato iniziale e costituisce un equilibrio asintoticamente stabile. In effetti vediamo subito che per α 1, se ponessimo il dato iniziale y 0 pari a p, la soluzione resterebbe sempre costante; però nel caso α < 1, un dato iniziale diverso porta asintoticamente verso p, mentre per α > 1 la soluzione se ne allontana, dato che y k. Quindi p è un equilibrio in ogni caso, ma è stabile (di più, è globalmente attrattivo) per α < 1 ed instabile per α > 1. Infine, per α = 1 non ci sono equilibri (abbiamo supposto f 0) Equazioni alle differenze del secondo ordine. Analogamente alle equazioni differenziali di ordine superiore, come ad esempio l equazione di Newton della dinamica del punto materiale (del secondo ordine), si possono considerare equazioni discrete in cui sono coinvolti valori presi in più di due istanti consecutivi. Consideriamo infatti la discretizzazione dell equazione differenziale lineare non omogenea del secondo ordine: Risulta e si ottiene la forma semplificata ÿ(t) + aẏ(t) + by(t) = F (t) y k+2 2y k+1 + y k τ 2 + a y k+1 y k + by k = F k (3.13) τ y k+2 + (aτ 2)y k+1 + (1 aτ + bτ 2 )y k = τ 2 F k (3.14) ponendo α = 2 aτ, β = aτ 1 bτ 2, f k = τ 2 F k. y k+2 = αy k+1 + βy k + f k (3.15)

7 Procediamo come nel caso precedente, passando all omogenea associata e poi alla ricerca di una soluzione particolare della non-omogenea. Primo passo: cercare le soluzioni dell equazione omogenea associata (in generale saranno infinite, dipendenti da due parametri reali) u k+2 = αu k+1 + βu k (3.16) Secondo passo: cercare una soluzione particolare dell equazione non-omogenea di partenza 7 p k+2 = αp k+1 + βp k + f k (3.17) Per l omogenea cerchiamo soluzioni simili a quelle trovate direttamente nel caso del primo ordine: u k = r k c (3.18) Sostituendo in (3.16), si trova per r un equazione algebrica di secondo grado r 2 αr β = 0(equazione caratteristica) le cui soluzioni dipendono dai parametri α e β: Se α 2 + 4β > 0, ci sono due radici reali distinte r + e r, date da r ± = α ± α 2 + 4β 2 e la soluzione sarà una sovrapposizione lineare delle due soluzioni u k = c + r k + + c r k Se α 2 + 4β < 0, ci sono due radici distinte complesse coniugate s + e s, date da s ± = α ± i α 2 + 4β 2 = ρ exp(±iθ) dove ρ = s ± e θ = arg s + ; la soluzione sarà una sovrapposizione del tipo u k = ρ k (c 1 cos(kθ) + c 2 sin(kθ)) Se α 2 + 4β = 0, ci sono due radici reali coincidenti pari a α/2 una soluzione sarà del tipo costante per potenze di α/2 e si può verificare che un altra soluzione è data da v k = k(α/2) k. La soluzione sarà quindi una sovrapposizione del tipo u k = (c 1 + c 2 k)( α 2 )k Soluzioni particolari {p k }, per f k f le troviamo in modo simile a quello visto precedentemente per il primo ordine: se α + β 1, p k = p = f 1 α β f 2 α k se α + β = 1, e α 2, p k = se α = 2 e β = 1, p k = k 2 f/2

8 8 Esempio. La successione di Fibonacci. Si tratta di un sistema del secondo ordine definito nel modo seguente : F k+2 = F k+1 + F k, k = 0, 1, 2,.., e F 0 = F 1 = 1 Si può arrivare, seguendo lo schema visto prima per le equazioni omogenee alla formula esplicita F k = 1 [( ]) k+1 ( 1 5 ]) k+1 ] Notare che il rapporto F k+1 /F k tende per k, al numero = (sezione aurea), e che malgrado la presenza del numero irrazionale nella formula precedente, gli F k sono tutti numeri naturali. L origine di questa successione sta nel Libro XII del Liber Abaci di Leonardo Pisano, detto il Fibonacci (1202): F k rappresenta il numero di coppie di conigli adulti al k esimo mese; si suppone che ogni coppia adulta produce ogni mese una coppia che diventa adulta in un mese, e così via; si parte con una coppia matura, e si suppone anche che ogni coppia rimane per sempre nella conigliera...in tal modo la successione è data da 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,... Si può anche osservare che il numero delle coppie immature corrisponde alla stessa successione spostata di un posto, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,.., per cui la popolazione totale ad ogni tempo è data ancora da una successione dello stesso tipo 1, 2, 3, 5, 8, 13,... Il comportamento asintotico descritto sopra significa che per valori grandi di k l evoluzione degli F k è bene approssimata da una crescita esponenziale (il rapporto tra le popolazioni successive è vicino a 1.6 > 1). 4. Elementi di Probabilità e Statistica Si inizia questa sezione conclusiva con alcune nozioni elementari di Statistica descrittiva, introducendo gli indici più usati nell analisi di dati, per poi passare ad esporre qualche elemento del Calcolo delle Probabilità, e concludendo con una breve esposizione preliminare di Statistica inferenziale Statistica descrittiva. La Statistica descrittiva consiste nella costruzione di opportuni indici e/o di grafici per ordinare in modo razionale ed efficiente i dati raccolti. La raccolta dei dati si fa tramite un Campionamento. Poichè l acquisizione di dati da un intera popolazione= classe di individui o unità potrebbe essere onerosa, se ne prende un sottoinsieme (campione) cercando di non distorcerne la rappresentatività. Il numero n di individui selezionati forma un campione di ampiezza, o rango n, (Refs 1,3) Indici di posizione. Il campione consista in n misure (o valori) {x 1, x 2,..., x n }; si definiscono i seguenti indici: media (campionaria) x (è la media aritmetica dei valori registrati): x := 1 n n k=1 x k

9 media geometrica x g (per dati, o valori, positivi): n x g := ( x k ) 1 n k=1 Notare che la media geometrica è l esponenziale della media aritmetica dei logaritmi dei dati x g = e 1 n n k=1 log x k = 10 1 n n k=1 log 10 x k mediana med {x 1, x 2,.., x n }: ordiniamo i valori presi, vale a dire li numeriamo in modo tale che x 1 x 2... x n ; se n è dispari, med {x 1, x 2,.., x n } = x (n+1)/2, se n è pari, med {x 1, x 2,.., x n } = 1 2 (x n/2 + x 1+n/2 ) Ad esempio, i 10 numeri qui elencati (già ordinati) rappresentino dei voti presi nell esame di Matematica da un campione di 10 studenti, {21, 21, 22, 24, 24, 25, 26, 27, 27, 30}; la loro media è 24.7, mentre la mediana è 24, Indici di variabilità. Per valutare quantitativamente quanto i dati siano sparsi o raggruppati si possono introdurre: l intervallo di variazione, o campo ( in inglese, range) = max{x 1, x 2,.., x n } min{x 1, x 2,.., x n }, ovvero per dati ordinati, = x n x 1. Varianza campionaria S 2 : S 2 1 n (x k x) 2 = 1 n x 2 k x 2 (dallo sviluppo dei quadrati) n n k=1 k=1 Le differenze x k x sono gli scarti dalla media, e vale per essi l identità evidente n (x k x) = 0 k=1 Talvolta, in alcuni testi la varianza campionaria S 2 è definita con il fattore davanti alla somma dei quadrati degli scarti pari a 1/(n 1) anzichè 1/n. Con questa scelta il significato della varianza come stimatore delle caratteristiche della popolazione diventa più preciso. La radice quadrata S della varianza campionaria si dice deviazione standard. Esempi. Supponiamo per valutare la qualità di semi di un vivaio, si prendano 7 sacchetti da 100 semi e si contino quanti semi per ognuno di essi germinano correttamente; si trovi {82, 75, 60, 54, 91, 58, 63}. Il range è dato da = 37. La media risulta x = k=1 x k = 483/7 = 69. Gli scarti dalla media sono {13, 6, 9, 15, 22, 11, 6}, per cui la varianza campionaria risulta S 2 = k=1 (x k 69) 2 = 164.5, e la deviazione standard è S Naturalmente una media alta (vicino a 100), con una deviazione standard piccola (rispetto alla media) sono indici di buona qualità del prodotto. È anche chiaro che una valutazione più accurata si avrebbe con un campione più numeroso. Da questo esempio si capisce che compito essenziale della statistica è quello di fare affermazioni globali (sull intera popolazione), razionalmente basate sui dati disponibili a partire da un campione (inferenza). 9

10 Quantili ed istogrammi. Se ordiniamo i dati come è stato visto in precedenza, si dice che costituiscono una statistica ordinata. Data una statistica ordinata {x 1, x 2,.., x n }, dividiamo l intervallo [x 1, x n ] in quattro parti tali che in ciascuna caschi lo stesso numero di valori: vale a dire, un quarto o il 25% del rango del campione, con opportune correzioni se n/4 non è intero. Per scrivere l argomento in modo preciso, occorre premettere la definizione di parte intera, [x], di un generico numero reale x. Si tratta semplicemente del massimo tra i numeri interi che siano minori od eguali al numero stesso; pertanto, se il numero x è intero, coincide con la sua parte intera [x]; se non è intero, si va indietro fino ad arrivare al primo intero (minore di x). Ovviamente, per un qualunque x, [x] x < [x] + 1. Esempi: [10/5] = [2] = 2, [10/4] = [2.5] = 2, [π] = 3, [ 1.5] = 2... Tornando alla definizione di quartile, se n/4 non è intero, (ovvero n/4 > [n/4]), il primo quartile q 25 è dato dal valore di quell x avente come indice il primo intero maggiore di n/4, (cioè [n/4] + 1); se invece n/4 è intero (n/4 = [n/4]), q 25 è la media aritmetica tra l x avente come indice proprio n/4 ed il successivo; analogamente per gli altri due quartili (q 50 e q 75 ). Naturalmente q 50 coincide con la mediana. In formule: q 25 = { x[ n 4 ]+1 se n/4 non è intero 1 2 (x n + x n ) se n/4 è intero Per i dati introdotti inizialmente {21, 21, 22, 24, 24, 25, 26, 27, 27, 30}, q 25 = 22, q 50 = 24.5, q 75 = 27, che si legge nel modo seguente: il 25% dei voti sono tra il minimo (21) e 22, un altro 25% tra 22 e 24.5, ( e quindi 50% tra il minimo e 24.5), un altro 25% tra 24.5 e 27, ed infine l ultimo quarto tra 27 ed il massimo 30. Questo discorso può farsi anche per diverse percentuali (quantili), e descrive in modo quantitativo la distribuzione dei dati. Un utile rappresentazione grafica della statistica si fa tramite l istogramma. Partendo dalla statistica ordinata, si divide l intervallo I = [x 1, x n ] in m parti non necessariamente eguali: I = m k=1 I k, eseguendo questa partizione sull asse delle ascisse. Si costruiscono poi m rettangoli, il k-esimo con base I k, detti classi,e con area pari al corrispondente numero n k di dati della statistica, (cioè che capitano in I k ) (se le basi sono eguali, le altezze sono proporzionali alle aree, e quindi le ordinate corrispondono alle frequenze). Talvolta, sopratutto quando il campione è molto ampio, conviene normalizzare: invece di n k si considerano le frequenze f k := n k /n. Le relazioni corrispondenti sono m n k = n; k=1 m f k = 1 k=1 Se le classi hanno stessa ampiezza, quella con maggiore altezza si dice classe modale o moda; nel caso in figura, è quella con estremi 20 e Correlazione e regressione. Quando si esaminano due grandezze diverse sullo stesso campione (es. per un campione di persone, peso e altezza, peso e consumo di grassi, etc) è certamente interessante sapere se ci sia una qualche relazione tra le grandezze in esame e valutarla anche quantitativamente.

11 y x Figure 1. Un istogramma non normalizzato con m = 6, n = 84, x 1 = 4, x 84 = 44 Siano {x 1, x 2,.., x n } e {y 1, y 2,.., y n } i valori registrati per le due grandezze X e Y, e x, y le corrispondenti medie. Si definisce covarianza (tra X e Y), la seguente quantità: σ XY 1 n (x i x)(y i y) = 1 n x i y i xy n n i=1 Ricordando la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz (vedi alla fine della sezione), e la definizione di deviazione standard, si ha che Quindi il coefficiente di correlazione σ X σ Y σ XY σ X σ Y ρ XY = σ XY σ X σ Y è compreso tra 1 ed 1: valori positivi (negativi) corrispondono ad una correlazione positiva (negativa), e un valore nullo corrisponde ad assenza di correlazione (lineare). Esempio. Sia x i, per i = 1, 2,..5 la quantità X di grassi assunti, in grammi al giorno, dalla persona i-esima, ed y i, per i = 1, 2,..5 la quantità Y di calorie assunte al giorno dalla stessa persona. Precisamente per la X si registrano i valori {63, 64, 23, 128, 82} e per Y si registrano i valori {1800, 2000, 1100, 4100, 1900}. Sviluppando i calcoli, dopo aver normalizzato la Y con un fattore 100, si ha: i=1 x = 72, σ X 34; y = 21.80, σ Y 10.10; σ XY 323 Da qui si ha per il coefficiente di correlazione ρ XY = 0.94, mostrando quindi una correlazione fortemente positiva. Questi concetti si applicano nel calcolo della retta di regressione. Supponiamo di associare alle coppie di valori (x i, y i ), per i = 1, 2,..n, i punti nel piano (X, Y ), di ascisse ed ordinate corrispondenti. In generale questi punti saranno dispersi nel piano (fig. 2), ma talvolta è visibile un certo allineamento (fig. 3) Il calcolo permette di determinare in ogni caso (non degenere) la retta nel piano (XY ) che minimizza lo scarto quadratico dei dati da essa (a, b) n i=1 (y i ax i b) 2 (metodo dei

12 12 y x Figure 2. Dati molto dispersi y x Figure 3. Dati alquanto allineati minimi quadrati): consiste nel cercare i parametri a e b della retta di equazione y = ax + b, in modo tale che (a, b) sia minimo. Cerchiamo quindi a e b tali che (a, b) a = 0; (a, b) b vale a dire { n i=1 (y i ax i b) = n(y ax b) = 0 n i=1 x i(y i ax i b) = n[σ XY aσ X 2 + x(y ax b)] = n[σ XY aσ X 2 ] = 0 (l ultima eguaglianza si ottiene usando la relazione immediatamente precedente). Si ha in definitiva a = σ XY σx 2, b = y ax = y σ XY σx 2 x Per l esempio precedente si ha che a 0.28, b 1.64 = 0

13 Cal Gras Figure 4. Dati e retta di regressione (Calorie/Grassi) Le nozioni di correlazione e regressione possono estendersi anche in un contesto nonlineare (vedi Ref.3). La disuguaglianza di Cauchy-Schwartz ha un utilizzazione assai frequente in Matematica, e conviene quindi vederla un pò in dettaglio. Per qualunque scelta dei numeri (a 1, a 2,..a n ) e (b 1, b 2,..b n ), è sempre vero che n n n n ( a i b i ) 2 ( a 2 i )( b 2 i ) a i b i n n i=1 i=1 i=1 i=1 La dimostrazione consiste nell osservare che per ogni λ, 0 n (a i + λb i ) 2 = i=1 n a 2 i + 2λ i=1 i=1 n a i b i + λ 2 Per cui il discriminante ( n i=1 a ib i ) 2 ( n i=1 a2 i )( n i=1 b2 i ) dev essere nonpositivo. i=1 a 2 i n i=1 b 2 i i=1 b 2 i 4.2. Elementi di Probabilità. La nascita della teoria della Probabilità si può collocare nel diciassettesimo secolo (Fermat, Pascal, Huyghens), per la valutazione delle corrette aspettative nell ambito del gioco d azzardo e delle assicurazioni. Successivamente fu introdotto il Calcolo delle Probabilità per opera di Laplace (1774) e Bernoulli (1778). Rinviando ai manuali specifici per osservare lo sviluppo di questa disciplina, attualmente assai rilevante sia nelle applicazioni alle scienze fisiche, biologiche ed economiche, che negli sviluppi teorici, limitiamoci ai primi elementi indispensabili per ottenere un modello matematico dell incertezza (e del rischio) Definizioni di Probabilità. Risulta intuitivamente chiaro, quando si getta un dado a sei facce (numerate 1,2,..6), o una moneta (T o C), cosa significa ad es. che la probabilità che esca T sia di 1/2 = 50%; analogamente la probabilità che il dado mostri la faccia 1 sia di 1/6; ed egualmente la probabilità che il dado mostri un numero pari sia 1/2. In tutti questi casi l evento aleatorio si manifesta in una sola modalità su due o su sei, nei primi due esempi, ed in tre modalità su sei nel terzo (infatti faccia pari significa che esca due, quattro o sei). Formalizzando un pò, se un evento E può verificarsi in k E modalità egualmente probabili, su

14 14 un totale di n, la probabilità P (E) di E è data da P (E) = k E n Questa definizione è alquanto limitata e implica la conoscenza di eguale probabilità prima di aver definito la probabilità. Conviene quindi passare ad una definizione assiomatica. In analogia all assegnazione delle masse ai corpi materiali, si associano dei numeri compresi tra 0 ed 1 agli eventi aleatori in esame. Quest assegnazione potrebbe essere sperimentalmente verificata: se consideriamo la solita moneta, dove l evento aleatorio consiste nel gettarla su di un piano avendole impresso un buon momento angolare, in un numero n di prove ripetute uscirà T un numero k n (aleatorio) di volte. La legge dei grandi numeri, conseguenza dell impostazione assiomatica del Calcolo delle Probabilità, dice che k n lim n n = 1 2 Quindi la frequenza relativa kn n dell evento, in n prove indipendenti, tende alla probabilità ( questa proprietà, nel cosiddetto approccio frequentistico, fornisce la definizione della probabilità di un evento). Per sviluppare un pò il calcolo occorre però dare qualche definizione generale. Partiamo dallo spazio degli eventi S, i cui elementi sono gli eventi elementari (es. S mon. = {T, C}; S dado = {1, 2, 3, 4, 5, 6}), ed i cui sottoinsiemi sono gli eventi generici (per il dado un evento non elementare, potrebbe essere {1} {2} da leggere, uno o due ). È opportuno considerare tra gli eventi anche l insieme vuoto. In generale quindi due sottoinsiemi A e B di S sono due eventi, e anche A B (A o B), o A B (A e B) sono altri due eventi, così come A c (complementare di A) è l evento non A. Esempi. Per il dado l evento P ( esce un numero pari ) si può scrivere come P = {2, 4, 6} = {2} {4} {6} e l evento complementare D ( esce un numero dispari )si può scrivere come D = P c = {1, 3, 5} = {1} {3} {5} Sempre per il dado, l evento P ( esce un numero pari ) e l evento B ( esce un numero minore di 3 ) hanno un intersezione P B = {2, 4, 6} {1, 2} = {2} (= esce un numero pari e minore di 3 ); l evento unione sarà P B = {2, 4, 6} {1, 2} = {1, 2, 4, 6} (= esce un numero pari o un numero minore di 3 ). Una volta definito uno spazio S = {x 1, x 2,..x n } (qui considerato finito per semplicità), la probabilità consiste nell assegnazione di un valore numerico compreso tra zero ed uno agli eventi elementari ( quindi è una funzione p : S [0, 1], definita sullo spazio degli eventi) con le proprietà seguenti, che permettono di definirne il valore per tutti gli eventi: n p( ) = 0; p(s) = p(x i ) = 1; p(a) = p(x i ) x i A i=1 L assegnazione della probabilità agli eventi di uno spazio di n eventi elementari è del tutto simile ad assegnare le masse degli n punti materiali elementari (gli atomi ), con la convenzione che la massa totale sia uno, e valutando la massa dei corpi formati da più punti semplicemente sommando le masse degli atomi costituenti. Come conseguenza della definizione si ha dunque che per due eventi disgiunti (A B = ) vale la proprietà additiva p(a B) = p(a) + p(b); questo significa che per due eventi mutuamente esclusivi, e cioè che non possono mai verificarsi assieme, (per il dado, A = P e

15 B = {1}), la probabilità che si realizzi l evento A o l evento B è la somma delle rispettive probabilità. Si inoltre, dalla definizione, che p(a c ) = 1 p(a) (la probabilità che piova o che non piova è uno..) e che se A B, p(a) p(b). Una probabilità p su di uno spazio finito S = {x 1, x 2,..x n } si dice uniforme se p(x i ) = 1/n, i = 1, 2,..n. Questo è il caso della moneta (n = 2) o del dado (n = 6). La probabilità dell intersezione di due eventi introduce una importante nozione tipicamente probabilistica (dipendenza/indipendenza) che vedremo in seguito. Per ora calcoliamo in base alla definizione, nel caso del dado, p(p B), dove P corrisponde a uscita di un pari, e B a uscita di un numero minore di tre : bisogna osservare che P B = {2, 4, 6} {1, 2} = {2}, e quindi p(p B) = 1/6. Esempi. Il gioco del lotto: fissata una ruota, si estraggono 5 numeri su di un totale di 90. Lo spazio ( S consiste quindi nelle combinazioni di 90 elementi di classe 5 (in totale sono 90 ) 5 = ); la probabilità uniforme è dunque, per qualunque combinazione x, p(x) = 1/ Il DNA: sono presenti nel DNA umano i nucleotidi A (adenina), G (guanina), C (citosina) e T (timina) (primi due sono purine ed i secondi pirimidine), in percentuali tali da poter assegnare le seguenti probabilità p(a) = 0.304; p(g) = 0.196; p(c) = 0.199; p(t ) = La probabilità di estrarre a caso una purina sarà quindi p(pur) = p(a) + p(g) = = 0.5 e sarà quindi eguale alla probabilità che venga una pirimidina. Esempio del compleanno in comune. Supponendo che gli anni abbiano 365 giorni, che le nascite avvengano con la stessa probabilità, ed indipendentemente per diversi individui, calcolare la probabilità che almeno due persone in un gruppo di r 1, abbiano il compleanno in comune. Ad ogni giorno dell anno corrisponde un numero tra 1 e 365, quindi lo spazio degli eventi è costituito dalle disposizioni con ripetizione di classe r di 365 oggetti, quindi da 365 r elementi. È facile valutare la probabilità P c dell evento complementare, e cioè che non ci sia alcun compleanno in comune: tutte le possibili date di compleanno delle r persone senza ripetizioni, sono tante quante le disposizioni di 365 oggetti di classe r (365(365 1)(365 2)...(365 r + 1)), quindi P c = 365(365 1)(365 2)...(365 r + 1) 365 r = 1( )( )...(1 r ) La probabilità cercata è 1 P c e svolgendo i calcoli si vede mentre per r = 2, si ottiene 1 364/365 = , per r > 23, questo valore supera 0.5. La coppia di dadi. Per una coppia di dadi lo spazio degli eventi è il prodotto nel senso insiemistico degli spazi corrispondenti ai due dadi: per ogni uscita del primo dado sono possibili sei del secondo, quindi lo spazio ha 36 elementi (eventi elementari), ad ognuno dei quali si attribuisce la probabilità 1/36 (notare che risulta il prodotto delle probabilità relative agli eventi fattori 1/6 1/6). La domanda interessante (soprattutto per i giocatori) è: qual è la probabilità di ottenere un dato punteggio (somma dei punti dei due dadi)? Basta valutare a quali eventi corrispondono i vari punteggi e calcolarne le probabilità. 15

16 16 Punteggio Eventi Probabilità k = 2 (1, 1) 1/36 k = 3 (1, 2) (2, 1) 1/18 k = 4 (1, 3) (2, 2) (3, 1) 1/12 k = 5 (1, 4) (2, 3) (3, 2) (4, 1) 1/9 k = 6 (1, 5) (2, 4) (3, 3) (4, 2) (5, 1) 5/36 k = 7 (1, 6) (2, 5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1) 1/6 k = 8 (2, 6) (3, 5) (4, 4) (5, 3) (5, 2) 5/36 k = 9 (3, 6) (4, 5) (5, 4) (6, 3) 1/9 k = 10 (4, 6) (5, 5) (6, 4) 1/12 k = 11 (5, 6) (6, 5) 1/18 k = 12 (6, 6) 1/ La distribuzione geometrica. Supponiamo di sapere che la probabilità di cogliere un bersaglio al tiro a segno sia pari a p, 0 < p < 1; consideriamo l evento B n { i primi n-1 tiri non colpiscono, ma l ennesimo sì}. Risulta dunque che P r{b n } = q n 1 p; q 1 p; per le proprietà delle progressioni geometriche q n = 1 1 q, pertanto q n 1 p = 1 n=0 Vedremo più avanti altri aspetti di questa distribuzione, nella sezione riguardante le variabili aleatorie La distribuzione binomiale. Questa distribuzione fornisce la probabilità che un evento di probabilità 0 < p < 1 si ripeta (esattamente) 0 k n volte su n prove indipendenti. Ad esempio si può pensare all uscita di k = 3 volte del numero uno in n = 10 lanci di un dado (p = 1/6), o di k = 300 volte T in n = 500 lanci di una moneta (p = 1/2). Il calcolo consiste nel considerare prima la probabilità di una particolare successione di prove in cui l evento si ripete esattamente k volte, e quindi di probabilità p k (1 p) n k, e di contare poi quante sequenze lunghe n contengono lo stesso numero k di successi ( ( n k) ). È cruciale qui l indipendenza delle prove, che permette di calcolare, ad esempio la probabilità di A 1 = {si verifica l evento solo nella prima prova}: P (A 1 ) = p(1 p) n 1. Analogamente la probabilità di A i, sarà la stessa i, e quella di A i,j, dove A i,j ={si verifica l evento solo nelle prove i-esima e j-esima}, i j, è data da P (A i,j ) = p 2 (1 p) n 2 ; il calcolo si generalizza a k successi in k prove diverse. Analogamente al punteggio di un dado, associato al presentarsi della corrispondente faccia, è opportuno associare all evento in esame ( verificarsi di k successi in n prove indipendenti),un numero X(n, p), definita dal numero di successi (vale a dire del verificarsi dell evento di probabilità p) nelle n prove ripetute, ha lo stesso valore k per tutti questi ( n k) eventi esclusivi, corrispondenti ciascuno a fissare su quali delle k prove si è verificato l evento; quindi per la proprietà additiva, si ha P r(x(n, p) = k) = Pk n(p) = ( n k) p k (1 p) n k. Osserviamo che, come dev essere per ogni distribuzione di probabilità, poichè X(n, p) assume certamente un valore tra 0 ed n, P r(x(n, p) = k) = n k=0 n=1 ( ) n p k (1 p) n k = (p + 1 p) n = 1 k

17 Prima di tornare su altri aspetti teorici assai rilevanti della distribuzione binomiale, vediamone una rappresentazione grafica in un caso particolare ed un paio di esempi. 0.1 P 100 k k Figure 5. Alcuni punti del grafico della distribuzione binomiale con p = 0.2, n = 100 Si vede abbastanza chiaramente un andamento a campana attorno al valor medio 20; si tornerà più avanti su questo punto di portata assai generale. Vediamo ora un altro esempio che si colloca all inizio (frivolo) del calcolo delle probabilità. Problema di S.Pepys (posto a Newton nel 1693): è più probabile che l uno esca almeno una volta in sei lanci di un dado (evento E 1 ), o che esca almeno due volte in dodici lanci (evento E 2 )? La prima probabilità si calcola usando la distribuzione binomiale corrispondente a sei prove relativamente ad un evento elementare di probabilità 1/6: l evento complementare ad E 1, ovvero uno non esce neppure una volta in sei prove ha la probabilità corrispondente a zero successi, vale a dire P0 6(1/6) = (1 1/6) 6 = (5/6) 6 = ; pertanto P (E 1 ) = = Anche per valutare P (E 2 ) conviene passare al complementare, e si ottiene quindi: P (E 2 ) = 1 [P0 12 (1/6) + P 12 1 (1/6)] = 1 [(5/6) /6(5/6) 11 ] = = Concludiamo quindi che E 1 ha una probabilità maggiore di E La Probabilità condizionata. Vediamo un pò più in dettaglio la nozione di indipendenza, poichè talvolta la si assume per poi sviluppare i calcoli successivi. Ad esempio, nel lancio simultaneo di un dado e di una moneta, se le procedure di lancio si possono considerare non legate tra loro, gli eventi elementari congiunti si considerano indipendenti, in modo tale che, se ε denota T o C, e k un intero tra 1 e 6, P (ε, k) = P (ε)p (k) = 1/2 1/6 = 1/12. Se invece, per un misterioso dispositivo che accoppia i due lanci, quando la moneta dà T, il dado mostra solo facce dispari (uniformemente), e quando esce C, il dado esce pari, non ci sarà più indipendenza: P (T, 1) = P (T, 3) = P (T, 5) = 1/6, e P (T, 2) = P (T, 4) = P (T, 6) = 0, e simmetricamente per P (C, k). Come si vede la probabilità che esca T senza guardare l uscita del dado (probabilità marginale dell evento T) è sempre 1/2, e così anche le altre probabilità marginali, ma certamente non si verifica l indipendenza tra gli eventi congiunti. In generale, in uno spazio di probabilità {S, P }, non saranno mai indipendenti un evento A S con 0 < P (A) < 1 ed il suo complementare A c, dato che P (A A c ) = P ( ) = 0 P (A)(1 P (A)).

18 18 Anche per due eventi A e B tali che B A, (A implica B), con P (B) < P (A) < 1, si ha che P (A B) = P (B) P (A)P (B). La nozione di dipendenza porta all importante nozione di probabilità condizionata così definita. Se P (B) > 0, la probabilità condizionata di A, dato B, (B è l evento condizionante, ed A quello condizionato), in simboli P (A B), è P (A B) := P (A B) P (B) È facile verificare che, fissato B, la probabilità condizionata, come funzione di A (generico evento di S), gode delle stesse proprietà della probabilità, con l ovvia relazione P (B B) = 1. Esprime quindi la variazione dell assegnazione delle probabilità, quando si sa che l evento B si è verificato. Naturalmente se i due eventi A e B sono indipendenti, P (A B) P (B A) P (A B) = = P (A); P (B A) = = P (B) P (B) P (A) mentre se sono identici (A = B), vale a dire estremamente dipendenti, P (A A) = P (A A) P (A) = P (A) P (A) = 1 Esempio. Nel lancio del dado, calcoliamo le P (k D), dove k = 1, 2,.., 6 e D = {1, 3, 5} (quindi la condizione D, l evento dato, è l uscita di un dispari). Si ha P (k D) = 0 se k è pari, e P (k D) = 1/3 se k è dispari. È opportuno esaminare nel seguente esempio l origine di un diffuso pregiudizio, le strategie da seguire nel gioco del lotto basate sui cosiddetti ritardi. Consideriamo, senza perdere l essenziale, ma con maggiore semplicità espositiva, che i lanci successivi di una moneta (T o C) siano indipendenti e che si sia verificata una (assai improbabile) successione di 100 T. Il pregiudizio consiste nel pensare che nel centounesimo lancio, quasi che la moneta debba pareggiare i conti, ci si deve aspettare l uscita di C con maggior fiducia: cioè che la probabilità di C sia maggiore di 1/2. Ciò è naturalmente falso, per l indipendenza delle prove ripetute; l errore si avvalora talvolta di valutazioni numeriche, consistente in questo caso nell uso scorretto della disuguaglianza (corretta) seguente: P (X 101 (1/2) = 0) = ( 1 2 )101 < P (X 101 (1/2) = 1) = 101( 1 2 )101 Qui l evento di maggiore probabilità consiste nell uscita di una (sola) C in 101 lanci, ma indipendentemente dal fatto che ciò avvenga nella prima, nella seconda, o nell ultima (la centounesima) prova, mentre l evento in cui si è interessati consiste nell uscita di C al centounesimo lancio, e la sua probabilità, sempre pari a 1/2, non dipende da cosa si è verificato nelle prime cento prove. Anzi, come si è verificato nelle case da gioco, osservazioni prolungate di uscite di numeri al gioco della roulette possono dare indicazioni sul fatto che sia apprezzabile una piccola differenza tre le probabilità di uscita dei numeri stessi (utilizzabile per puntate ben studiate); nel caso precedente, l uscita di 100 T potrebbe suggerire che la moneta sia truccata (vedi il cap. sull inferenza statistica), e che quindi ci si potrebbe piuttosto attendere che al centounesimo lancio esca ancora T (perchè con buona probabilità la moneta ha due T!).

19 Applicazioni assai importanti della nozione di condizionamento derivano dalla seguente formula, (qui in forma semplificata), che riguarda la valutazione dell inversione del ruolo tra evento condizionante ed evento condizionato. Formula di Bayes Se P (A)P (B) > 0, vale l identità P (B A) = P (A B)P (B) P (A) = P (A B)P (B) P (A B)P (B) + P (A B c )(1 P (B)) La dimostrazione è un semplice esercizio sulla definizione di probabilità condizionata, ed usa la decomposizione, del tutto generale, di un evento A nell unione di due eventi tra loro complementari (usando E = B B c, A = A E, e quindi A = (A B) (A B c ): P (B A) = P (A B) P (A) = P (A B)P (B) P (A B) + P (A B c ) = P (A B)P (B) P (A B)P (B) + P (A B c )(1 P (B)) L interesse di questa relazione si può apprezzare in questo esempio (di uso corrente nella pratica epidemiologica e farmacologica), dove si vede in concreto il significato di probabilità condizionata. Valutazione del falso positivo e del falso negativo. In generale un test clinico non è mai perfetto: per un individuo sottoposto a test, il risultato può essere positivo T +, o negativo T sia se l individuo è malato (M), o se sano (S := M c ); si definisce sensibilità del test la probabilità condizionata P (T + M), vale a dire la probabilità che il test sia positivo in presenza della malattia, e specificità del test, la probabilità condizionata P (T S), vale a dire la probabilità che il test sia negativo in assenza della malattia. Un buon test dovrebbe avere entrambe vicino ad uno (ed infatti la loro somma definisce l efficienza del test). Supponendo di conoscere quanto l infezione sia diffusa, in termini di P (M) (probabilità che un individuo sia malato), vogliamo calcolare la probabilità f + del falso positivo, vale a dire f + = P (S T + ) = 1 P (M T + ), ed anche quella del falso negativo f = P (M T ) = 1 P (S T ). Risulta (ripetendo la deduzione dell identità di Bayes) P (M T + ) = P (M T +) P (T + ) = P (T + M)P (M) P (T + ) Il denominatore P (T + ) lo calcoliamo mediante la decomposizione in parti disgiunte P (T + ) = P (T + (M S)) = P (T + M) + P (T + S) = (P (T + M)P (M) + P (T + S)P (S) Le quantità P (T + S) e P (S) sono note dai dati del problema, poichè P (T + S) = 1 P (T S) e P (S) = 1 P (M). Vediamo ora un caso numerico: se P (T S) = 0.80, P (T + M) = 0.90, P (M) = 0.01, calcolare f + ed f. Valutiamo prima P (T + ): P (T + ) = P (T + M)P (M) + P (T + S)P (S) = (1 0.80)(1 0.01) = Completando f + = 1 P (M T + ) = 1 = = Risulta assai alto! Analogamente si trova f = Variando i valori numerici, si ottengono risultati assai differenti: se ad esempio fosse P (M) = 0.10, ed il resto invariato, si avrebbe f + = e f =

20 20 Vediamo ora un altro esempio simile, ma in contesto studentesco: consideriamo aleatori l esito e la preparazione di un esame. Sia S l evento { superare l esame} (ed S c { il non superarlo}); sia B l evento {avere una buona preparazione}, (ed B c {il non averla}). Supponiamo che P (S) = 0.8, P (B) = 0.6; P (S B) = 0.95 Può essere interessante valutare P (S B c ); P (B S); P (S c B) La prima probabilità condizionata potrebbe riguardare il ruolo della fortuna per chi non si prepara bene, la seconda valuta l efficacia dell esame, come garanzia di buona preparazione, e la terza il peso della sfortuna per chi si è ben preparato. Con quei dati si ottiene P (S B c ) = 0.58; P (B S) = 0.71; P (S c B) = 0.05 Cambiandoli, si apprezza cosa determina le differenze, anche notevoli, nei risultati Le variabili aleatorie, v.a. Come nel caso del dado, dove l uscita di una faccia può formularsi in termini numerici, dicendo che la variabile numerica punteggio ha proprio il valore corrispondente ai punti mostrati dalla faccia uscita, così più in generale è utile definire una variabile numerica associata ad eventi aleatori (questa funzione, definita sullo spazio degli eventi E, si chiama appunto variabile aleatoria, o casuale). In tal modo i dati della precedente tabella relativa alle uscite di una coppia di dadi possono rappresentare la distribuzione della v.a. punteggio dei due dadi. In generale, se una v.a. Z assume valori discreti (in corrispondenza con un sottoinsieme dei numeri interi, quindi denotabili con a k, k = 1, 2,...), la sua distribuzione è assegnata dalle probabilità corrispondenti p k : P r{z = a k } = p k, k = 1, 2,... Naturalmente sarà p k 0, k p k = 1. Caratteristiche interessanti della distribuzione di probabilità sono il valore atteso (o medio) EZ k a kp k e la varianza V ar Z k (a k E Z) 2 p k (il simbolo E sta per Expectation, ed il valore atteso di una generica funzione φ(z) non è altro che E φ(z) k φ(a k)p k ).Una variabile con un numero n, finito, di valori costituisce un caso particolare: in questo caso le probabilità p k sono positive solo in corrispondenza agli n valori possibili. Talvolta, soprattutto in letteratura fisica, si usa φ(z) in alternativa al simbolo Eφ(Z). Sviluppando il quadrato, si vede che V ar Z = k (a2 k 2a kez + (EZ) 2 )p k = EZ 2 (EZ) 2. Ritroviamo in questi termini i risultati sulle notevoli distribuzioni introdotte precedentemente: per la distribuzione geometrica, consideriamo la v.a. X p = n. d ordine del primo colpo vincente: vale a dire l evento {X p = n} al verificarsi dell evento B n. Pertanto P r{x p = n, n = 1, 2,..} = qn 1 p. Considerando ora la distribuzione binomiale, vediamo innanzitutto che viene definita in modo naturale la variabile numerica (aleatoria) X(n, p) come numero di successi in n prove,e di cui possiamo ora valutare le caratteristiche sia in modo diretto, sia attraverso la rappresentazione di X(n, p) come somma di v.a. elementari Un calcolo diretto permette infatti di valutare il valore medio di X(n, p), e vedremo successivamente una giustificazione elementare del risultato, quando s interpreta X(n, p) come somma di n variabili aleatorie: n n ( ) n EX(n, p) := kp r(x n = k) = k p k (1 p) n k = np k k=0 k=0

Analisi statistica degli errori

Analisi statistica degli errori Analisi statistica degli errori I valori numerici di misure ripetute risultano ogni volta diversi l operazione di misura può essere considerata un evento casuale a cui è associata una variabile casuale

Dettagli

Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B

Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Elementi di Calcolo delle Probabilità e Statistica per il corso di Analisi Matematica B Laurea in Ingegneria Meccatronica A.A. 2010 2011 n-dimensionali Riepilogo. Gli esiti di un esperimento aleatorio

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili:

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili: Incertezze di misura Argomenti: classificazione delle incertezze; definizione di incertezza tipo e schemi di calcolo; schemi per il calcolo dell incertezza di grandezze combinate; confronto di misure affette

Dettagli

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FERRARA Anno Accademico 2012/2013 REGISTRO DELL ATTIVITÀ DIDATTICA Docente: ANDREOTTI MIRCO Titolo del corso: MATEMATICA ED ELEMENTI DI STATISTICA Corso: CORSO UFFICIALE Corso

Dettagli

Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi

Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi October 26, 2008 1 Variabili aleatorie Per la definizione rigorosa di variabile aleatoria rimandiamo ai testi di probabilità; essa è non del tutto immediata

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che VARIABILI ALATORI MULTIPL TORMI ASSOCIATI Fonti: Cicchitelli Dall Aglio Mood-Grabill. Moduli 6 9 0 del programma. VARIABILI ALATORI DOPPI Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile

Dettagli

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Esercizi su variabili aleatorie discrete Es.1 Da un urna con 10 pallina bianche e 15 palline nere, si eseguono estrazioni con reimbussolamento fino all estrazione

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO

VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO VARIABILI ALEATORIE E VALORE ATTESO Variabili aleatorie Variabili discrete e continue Coppie e vettori di variabili aleatorie Valore atteso Proprietà del valore atteso Varianza Covarianza e varianza della

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

Riassunto 24 Parole chiave 24 Commenti e curiosità 25 Esercizi 27 Appendice

Riassunto 24 Parole chiave 24 Commenti e curiosità 25 Esercizi 27 Appendice cap 0 Romane - def_layout 1 12/06/12 07.51 Pagina V Prefazione xiii Capitolo 1 Nozioni introduttive 1 1.1 Introduzione 1 1.2 Cenni storici sullo sviluppo della Statistica 2 1.3 La Statistica nelle scienze

Dettagli

Probabilità discreta

Probabilità discreta Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo

Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo Calcolo delle Probabilità A.A. 2013/2014 Corso di Studi in Statistica per l Analisi dei dati Università degli Studi di Palermo docente Giuseppe Sanfilippo http://www.unipa.it/sanfilippo giuseppe.sanfilippo@unipa.it

Dettagli

VERIFICA DELLE IPOTESI

VERIFICA DELLE IPOTESI VERIFICA DELLE IPOTESI Introduzione Livelli di significatività Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale Verifica di ipotesi sulla varianza di una popolazione normale Verifica di ipotesi

Dettagli

1. Richiami di Statistica. Stefano Di Colli

1. Richiami di Statistica. Stefano Di Colli 1. Richiami di Statistica Metodi Statistici per il Credito e la Finanza Stefano Di Colli Dati: Fonti e Tipi I dati sperimentali sono provenienti da un contesto delimitato, definito per rispettare le caratteristiche

Dettagli

Facciamo qualche precisazione

Facciamo qualche precisazione Abbiamo introdotto alcuni indici statistici (di posizione, di variabilità e di forma) ottenibili da Excel con la funzione Riepilogo Statistiche Facciamo qualche precisazione Al fine della partecipazione

Dettagli

Università degli Studi di Milano

Università degli Studi di Milano Università degli Studi di Milano Laurea in Scienza della Produzione e Trasformazione del Latte Note di Calcolo delle Probabilità e Statistica STEFANO FERRARI Analisi Statistica dei Dati Note di Calcolo

Dettagli

Introduzione alle variabili aleatorie discrete e continue notevoli Lezione 22.01.09 (ore 11.00-13.00, 14.00-16.00)

Introduzione alle variabili aleatorie discrete e continue notevoli Lezione 22.01.09 (ore 11.00-13.00, 14.00-16.00) Introduzione alle variabili aleatorie discrete e continue notevoli Lezione 22.01.09 (ore 11.00-13.00, 14.00-16.00) Richiami di matematica pag. 2 Definizione (moderatamente) formale di variabile aleatoria

Dettagli

Appunti: elementi di Probabilità

Appunti: elementi di Probabilità Università di Udine, Facoltà di Scienze della Formazione Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Multimediali Corso di Matematica e Statistica (Giorgio T. Bagni) Appunti: elementi di Probabilità. LA PROBABILITÀ..

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

La variabile casuale Binomiale

La variabile casuale Binomiale La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola

Dettagli

Cenni di statistica descrittiva

Cenni di statistica descrittiva Cenni di statistica descrittiva La statistica descrittiva è la disciplina nella quale si studiano le metodologie di cui si serve uno sperimentatore per raccogliere, rappresentare ed elaborare dei dati

Dettagli

COEFFICIENTI BINOMIALI

COEFFICIENTI BINOMIALI COEFFICIENTI BINOMIALI Michele Impedovo micheleimpedovo@uni-bocconiit Una definizione insiemistica Se n è un numero naturale e è un numero naturale compreso tra e n, si indica con il simbolo il coefficiente

Dettagli

Successioni ricorsive

Successioni ricorsive Capitolo 1 Successioni ricorsive Un modo spesso usato per assegnare una successione è quello ricorsivo che consiste nell assegnare alcuni termini iniziali (il primo, oppure i primi due, oppure i primi...

Dettagli

Appunti: Teoria Dei Test

Appunti: Teoria Dei Test Appunti: Teoria Dei Test Fulvio De Santis, Luca Tardella e Isabella Verdinelli Corsi di Laurea A + E + D + G + R 1. Introduzione. Il test d ipotesi è un area dell inferenza statistica in cui si valuta

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza Corso di Laurea in Ingegneria Informatica e Automatica (A-O) Università di Roma La Sapienza CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA ESAME DEL 17/06/2015 NOME: COGNOME: MATRICOLA: Esercizio 1 Un sistema

Dettagli

Inferenza statistica. Inferenza statistica

Inferenza statistica. Inferenza statistica Spesso l informazione a disposizione deriva da un osservazione parziale del fenomeno studiato. In questo caso lo studio di un fenomeno mira solitamente a trarre, sulla base di ciò che si è osservato, considerazioni

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine nel Seicento in riferimento a questioni legate al gioco d azzardo e alle scommesse. Oggi trova tante applicazioni in ambiti anche

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 2 LE VARIABILI ALEATORIE Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.unige/pls_statistica Responsabili scientifici M.P. Rogantin e E. Sasso (Dipartimento di Matematica Università di Genova) PROBABILITÀ -

Dettagli

Esercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione)

Esercitazione #5 di Statistica. Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Esercitazione #5 di Statistica Test ed Intervalli di Confidenza (per una popolazione) Dicembre 00 1 Esercizi 1.1 Test su media (con varianza nota) Esercizio n. 1 Il calore (in calorie per grammo) emesso

Dettagli

Politecnico di Milano - Anno Accademico 2010-2011 Statistica 086449 Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo

Politecnico di Milano - Anno Accademico 2010-2011 Statistica 086449 Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo Politecnico di Milano - Anno Accademico 200-20 Statistica 086449 Docente: Alessandra Guglielmi Esercitatore: Stefano Baraldo Esercitazione 9 2 Giugno 20 Esercizio. In un laboratorio per il test dei materiali,

Dettagli

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Assiomi e teoremi A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Esperimento casuale Esperimento

Dettagli

Appunti di Probabilità

Appunti di Probabilità Appunti di Probabilità Bruno Betrò CNR-IMATI, Sezione di Milano bruno.betro@mi.imati.cnr.it www.mi.imati.cnr.it/ bruno Testi di riferimento: Dall Aglio G., Calcolo delle Probabilità, Zanichelli Scozzafava

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Successioni e serie numeriche Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Statistica, CLEA p. 1/55 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Premessa importante: il comportamento della popolazione rispetto una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica

Dettagli

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione

Dettagli

Dipartimento di Scienze Biomediche, Sperimentali e Cliniche «Mario Serio»

Dipartimento di Scienze Biomediche, Sperimentali e Cliniche «Mario Serio» PRECORSO 2014 Problemi di Matematica Giovanni Romano Dipartimento di Scienze Biomediche, Sperimentali e Cliniche «Mario Serio» PRECORSO 2014: ciclo formativo di orientamento alle prove di ammissione ai

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

Valori caratteristici di distribuzioni

Valori caratteristici di distribuzioni Capitolo 3 Valori caratteristici di distribuzioni 3. Valori attesi di variabili e vettori aleatori In molti casi è possibile descrivere adeguatamente una distribuzione di probabilità con pochi valori di

Dettagli

STATISTICA E PROBABILITá

STATISTICA E PROBABILITá STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Entropia. Motivazione. ? Quant è l informazione portata dalla sequenza? Abbiamo una sequenza S di N simboli (campioni audio, pixel, caratteri,...

Entropia. Motivazione. ? Quant è l informazione portata dalla sequenza? Abbiamo una sequenza S di N simboli (campioni audio, pixel, caratteri,... Entropia Motivazione Abbiamo una sequenza S di N simboli (campioni audio, pixel, caratteri,... ) s,s 2,s 3,... ognuno dei quali appartiene ad un alfabeto A di M elementi.? Quant è l informazione portata

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA PER IDROLOGIA

ELEMENTI DI STATISTICA PER IDROLOGIA Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 ELEMETI DI STATISTICA PER IDROLOGIA Introduzione Una variabile si dice casuale quando assume valori che dipendono

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti

Dettagli

Indice Prefazione xiii 1 Probabilità

Indice Prefazione xiii 1 Probabilità Prefazione xiii 1 Probabilità 1 1.1 Origini del Calcolo delle Probabilità e della Statistica 1 1.2 Eventi, stato di conoscenza, probabilità 4 1.3 Calcolo Combinatorio 11 1.3.1 Disposizioni di n elementi

Dettagli

La distribuzione Gaussiana

La distribuzione Gaussiana Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Biotecnologie Corso di Statistica Medica La distribuzione Normale (o di Gauss) Corso di laurea in biotecnologie - Corso di Statistica Medica La distribuzione

Dettagli

Per forma di una distribuzione si intende il modo secondo il quale si dispongono i valori di un carattere intorno alla rispettiva media.

Per forma di una distribuzione si intende il modo secondo il quale si dispongono i valori di un carattere intorno alla rispettiva media. FORMA DI UNA DISTRIBUZIONE Per forma di una distribuzione si intende il modo secondo il quale si dispongono i valori di un carattere intorno alla rispettiva media. Le prime informazioni sulla forma di

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni Analisi dei Dati 1/13 Esercizi proposti 3 soluzioni 0.1 Un urna contiene 6 palline rosse e 8 palline nere. Si estraggono simultaneamente due palline. Qual è la probabilità di estrarle entrambe rosse? (6

Dettagli

La categoria «ES» presenta (di solito) gli stessi comandi

La categoria «ES» presenta (di solito) gli stessi comandi Utilizzo delle calcolatrici FX 991 ES+ Parte II PARMA, 11 Marzo 2014 Prof. Francesco Bologna bolfra@gmail.com ARGOMENTI DELLA LEZIONE 1. Richiami lezione precedente 2.Calcolo delle statistiche di regressione:

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

Programmazione Matematica classe V A. Finalità

Programmazione Matematica classe V A. Finalità Finalità Acquisire una formazione culturale equilibrata in ambito scientifico; comprendere i nodi fondamentali dello sviluppo del pensiero scientifico, anche in una dimensione storica, e i nessi tra i

Dettagli

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato Questa raccolta comprende sia gli esercizi dell esercitazione del 14 febbraio sia gli esercizi di ricapitolazione sulle

Dettagli

Esercitazioni 2013/14

Esercitazioni 2013/14 Esercitazioni 2013/14 Esercizio 1 Due ditte V e W partecipano ad una gara di appalto per la costruzione di un tratto di autostrada che viene assegnato a seconda del prezzo. L offerta fatta dalla ditta

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

Esercizi di probabilità discreta

Esercizi di probabilità discreta Di seguito, potete trovare i testi (con risposta) degli esercizi svolti (o proposti) nel corso di esercitazioni dell insegnamento di Matematica applicata. 1 Esercizi di probabilità discreta Algebra degli

Dettagli

Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; 2 π ]

Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; 2 π ] IV A GAT PRIMA VERIFICA DI MATEMATICA 3 ottobre 0 Risolvi le seguenti equazioni e disequazioni fra [ 0 ; π ].. 3... 6. 7. 8. Risultati:. = π/6 e = 7π/6. =π/ ; =π/6 ; =π/6 3. =π/3 ; =π/3. =π/3 ; =π/3. π/

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

Metodi iterativi per sistemi lineari

Metodi iterativi per sistemi lineari Metodi iterativi per sistemi lineari Dario A. Bini, Università di Pisa 30 ottobre 2013 Sommario Questo modulo didattico contiene risultati relativi ai metodi iterativi per risolvere sistemi di equazioni

Dettagli

MATEMATICA LINEE GENERALI E COMPETENZE

MATEMATICA LINEE GENERALI E COMPETENZE MATEMATICA LINEE GENERALI E COMPETENZE Al termine del percorso dei licei classico, linguistico, musicale coreutico e della scienze umane lo studente conoscerà i concetti e i metodi elementari della matematica,

Dettagli

Note sull esperienza Misura di g versione 1, Francesco, 7/05/2010

Note sull esperienza Misura di g versione 1, Francesco, 7/05/2010 Note sull esperienza Misura di g versione 1, Francesco, 7/05/010 L esperienza, basata sullo studio di una molla a spirale in condizioni di equilibrio e di oscillazione, ha diversi scopi e finalità, tra

Dettagli

Soluzioni Esercizi elementari

Soluzioni Esercizi elementari Soluzioni sercizi elementari Capitolo. carattere: itolo di Studio, carattere qualitativo ordinato modalità: Diploma, Licenza media, Laurea, Licenza elementare unità statistiche: Individui. carattere: Fatturato,

Dettagli

Problema pratico: Test statistico = regola di decisione

Problema pratico: Test statistico = regola di decisione La verifica delle ipotesi statistiche Problema pratico: Quale, tra diverse situazioni possibili, riferite alla popolazione, è quella meglio sostenuta dalle evidenze empiriche? Coerenza del risultato campionario

Dettagli

Matlab per applicazioni statistiche

Matlab per applicazioni statistiche Matlab per applicazioni statistiche Marco J. Lombardi 19 aprile 2005 1 Introduzione Il sistema Matlab è ormai uno standard per quanto riguarda le applicazioni ingegneristiche e scientifiche, ma non ha

Dettagli

Corso Integrato di Statistica Informatica e Analisi dei Dati Sperimentali Note A.A. 2009-10 C. Meneghini

Corso Integrato di Statistica Informatica e Analisi dei Dati Sperimentali Note A.A. 2009-10 C. Meneghini Corso Integrato di Statistica Informatica e Analisi dei Dati Sperimentali Note A.A. 2009-10 C. Meneghini 1 Elementi di calcolo delle probabilitá, teorema di Bayes e applicazioni 1.1 Definizione di probabilitá

Dettagli

Corso di Probabilità e Statistica

Corso di Probabilità e Statistica Università degli Studi di Verona Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Informatica Corso di Probabilità e Statistica (Prof.ssa L.Morato) Esercizi a cura di: S.Poffe sara.poffe@stat.unipd.it A.A.

Dettagli

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche Slide Cerbara parte1 5 Le distribuzioni teoriche I fenomeni biologici, demografici, sociali ed economici, che sono il principale oggetto della statistica, non sono retti da leggi matematiche. Però dalle

Dettagli

Metodi di previsione

Metodi di previsione Metodi di previsione Giovanni Righini Università degli Studi di Milano Corso di Logistica I metodi di previsione I metodi di previsione sono usati per ricavare informazioni a sostegno dei processi decisionali

Dettagli

TECNICHE DI SIMULAZIONE

TECNICHE DI SIMULAZIONE TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI NELLA SIMULAZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Modelli statistici nella simulazione

Dettagli

estratto da Competenze assi culturali Raccolta delle rubriche di competenza formulate secondo i livelli EFQ a cura USP Treviso Asse matematico

estratto da Competenze assi culturali Raccolta delle rubriche di competenza formulate secondo i livelli EFQ a cura USP Treviso Asse matematico Competenza matematica n. BIENNIO, BIENNIO Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico ed algebrico, rappresentandole anche sotto forma grafica BIENNIO BIENNIO Operare sui dati comprendendone

Dettagli

Corso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici

Corso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici Corso di Geometria e Algebra Lineare - Sezione di Metodi Numerici C. Vergara 3. Metodo della fattorizzazione LU per la risoluzione di un sistema lineare Errori di arrotondamento. Prima di affrontare la

Dettagli

I punteggi zeta e la distribuzione normale

I punteggi zeta e la distribuzione normale QUINTA UNITA I punteggi zeta e la distribuzione normale I punteggi ottenuti attraverso una misurazione risultano di difficile interpretazione se presi in stessi. Affinché acquistino significato è necessario

Dettagli

A.1 Rappresentazione geometrica dei segnali

A.1 Rappresentazione geometrica dei segnali Appendice A Rappresentazione dei segnali A.1 Rappresentazione geometrica dei segnali Scomporre una generica forma d onda s(t) in somma di opportune funzioni base è operazione assai comune, particolarmente

Dettagli

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Si tratta di problemi elementari, formulati nel linguaggio ordinario Quindi, per ogni problema la suluzione proposta è sempre

Dettagli

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Prof. Francesco Tottoli Versione 3 del 20 febbraio 2012 DEFINIZIONE È una scienza giovane e rappresenta uno strumento essenziale per la scoperta di leggi e

Dettagli

MATEMATICA LINEE GENERALI E COMPETENZE

MATEMATICA LINEE GENERALI E COMPETENZE MATEMATICA LINEE GENERALI E COMPETENZE Al termine del percorso del liceo scientifico lo studente conoscerä i concetti e i metodi elementari della matematica, sia interni alla disciplina in så considerata,

Dettagli

Statistica inferenziale

Statistica inferenziale Statistica inferenziale Popolazione e campione Molto spesso siamo interessati a trarre delle conclusioni su persone che hanno determinate caratteristiche (pazienti, atleti, bambini, gestanti, ) Osserveremo

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità

Dettagli

Statistica e biometria. D. Bertacchi. Variabili aleatorie. V.a. discrete e continue. La densità di una v.a. discreta. Esempi.

Statistica e biometria. D. Bertacchi. Variabili aleatorie. V.a. discrete e continue. La densità di una v.a. discreta. Esempi. Iniziamo con definizione (capiremo fra poco la sua utilità): DEFINIZIONE DI VARIABILE ALEATORIA Una variabile aleatoria (in breve v.a.) X è funzione che ha come dominio Ω e come codominio R. In formule:

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Statistica. L. Freddi. L. Freddi Statistica

Statistica. L. Freddi. L. Freddi Statistica Statistica L. Freddi Statistica La statistica è un insieme di metodi e tecniche per: raccogliere informazioni su un fenomeno sintetizzare l informazione (elaborare i dati) generalizzare i risultati ottenuti

Dettagli

Dispense di Probabilità e Statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra

Dispense di Probabilità e Statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Dispense di Probabilità e Statistica Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Capitolo 1 Spazi di probabilità discreti 1.1 Generalità Nel corso di questo libro con la dicitura esperimento aleatorio indicheremo

Dettagli

Anno Accademico 2014-2015. Corso di Laurea in Economia Aziendale Università di Bologna STATISTICA

Anno Accademico 2014-2015. Corso di Laurea in Economia Aziendale Università di Bologna STATISTICA Statistica, CLEA p. 1/68 Anno Accademico 2014-2015 Corso di Laurea in Economia Aziendale Università di Bologna STATISTICA Monia Lupparelli monia.lupparelli@unibo.it http://www2.stat.unibo.it/lupparelli

Dettagli

PARTE PRIMA PROBABILITA

PARTE PRIMA PROBABILITA i PARTE PRIMA PROBABILITA CAPITOLO I - Gli assiomi della probabilità 1.1 Introduzione........................................................... pag. 1 1.2 Definizione assiomatica di probabilità.......................................

Dettagli

Decisioni in condizioni di rischio. Roberto Cordone

Decisioni in condizioni di rischio. Roberto Cordone Decisioni in condizioni di rischio Roberto Cordone Decisioni in condizioni di rischio Rispetto ai problemi in condizioni di ignoranza, oltre all insieme Ω dei possibili scenari, è nota una funzione di

Dettagli