Corso di Probabilità e Statistica

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1 Università degli Studi di Verona Facoltà di Scienze MM.FF.NN. Corso di Laurea in Informatica Corso di Probabilità e Statistica (Prof.ssa L.Morato) Esercizi a cura di: S.Poffe A.A

2 La dispensa si propone come raccolta di esercizi non risolti relativi al corso di Probabilità e Statistica. Gli esercizi sono suddivisi in capitoli, paragrafi e sottoparagrafi in base al loro contenuto. Alla fine di ogni capitolo è stato inserito un paragrafo conclusivo con esercizi di riepilogo. i

3 ii

4 Indice 1 Probabilità classica e probabilità combinatoria, variabili aleatorie discrete Probabilità classica Calcolo combinatorio Applicazioni del calcolo combinatorio alla probabilità classica Probabilità moderna Probabilità condizionata Indipendenza di eventi Variabili aleatorie discrete Esercizi di riepilogo Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue, valore atteso, varianza e relative proprietà Variabili aleatorie assolutamente continue Valore atteso e varianza di variabili aleatorie discrete e assolutamente continue Valore atteso e varianza di funzioni di variabili aleatorie Disuguaglianza di Cebi cev Esercizi di riepilogo Variabili aleatorie dipendenti e indipendenti, covarianza e coefficiente di correlazione, densità e valore atteso condizionati Variabili aleatorie dipendenti e indipendenti Covarianza e coefficiente di correlazione

5 iv INDICE 3.3 Densità condizionata e valore atteso condizionato Variabili aleatorie congiuntamente gaussiane Funzioni di più variabili aleatorie Esercizi di riepilogo Statistica inferenziale Stimatori corretti e consistenti Le distribuzioni χ 2 (n) e N(0, 1) Intervalli di confidenza Esercizi di riepilogo Esercitazione di statistica descrittiva 49

6 Capitolo 1 Probabilità classica e probabilità combinatoria, variabili aleatorie discrete 1.1 Probabilità classica Il campo nel quale più direttamente si può applicare la definizione classica di probabilità è quello dei giochi di dadi, carte, ecc.. In essi le regole individuano con precisione le diverse alternative, e si può ragionevolmente supporre che esse siano ugualmente probabili. Esercizio Qual è la probabilità di ottenere un numero pari lanciando un dado? [ ] 1 2 Esercizio Qual è la probabilità che, lanciando un dado, esca un numero pari o il numero 5? [ ] 2 3

7 2 Probabilità classica e probabilità combinatoria, variabili aleatorie discrete Esercizio (es. 2.1 p.54, Bramanti) Dimostrare, utilizzando gli assiomi di probabilità, che non è possibile definire una probabilità sull insieme Ω dei numeri naturali 1, 2, 3,... in modo tale che i numeri siano tutti equiprobabili. Questo fatto si può interpretare dicendo che non è possibile inventare un esperimento aleatorio che abbia come esito l estrazione di un numero naturale a caso, se si vuole che tutti i numeri siano estratti con ugual probabilità Calcolo combinatorio Il calcolo combinatorio ha per scopo la costruzione e la misurazione del numero di raggruppamenti che, secondo un assegnata definizione, si possono formare con una prefissata quantità di n oggetti. Esso risulta utile anche indipendentemente dal calcolo delle probabilità. Permutazioni semplici di n oggetti P n = n! n! Disposizioni semplici di n oggetti di classe k (k n) D n,k = (n k)! ( ) n n! Combinazioni semplici di n oggetti di classe k (k n) C n,k = = k (n k)!k! Disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k D R n,k = n k ( ) n + k 1 Combinazioni con ripetizione di n oggetti di classe k Cn,k R = k Esercizio In quanti modi si possono estrarre 3 lettere da un insieme di 10? 720 (estrazione ordinata) 120 (estrazione in blocco) 1000 (estrazione con reinserimento)

8 1.1 Probabilità classica 3 Esercizio In quanti modi si può riordinare una sequenza di 20 oggetti diversi? [ ] Esercizio In quanti modi si può estrarre una cinquina da un urna con 200 palline numerate? [ e + 11 (estrazione ordinata) ] e + 09 (estrazione in blocco) Esercizio In quanti modi si possono estrarre, con reinserimento, 2 palline da un urna contenente una pallina bianca, una rossa e una nera? [9] Esercizio In quanti modi si può formare una sequenza di 10 cifre usando 0 e 1? [1.024] Esercizio (es. 2.2 p.66, Bramanti) In quanti modi 8 persone possono sedersi attorno ad un tavolo che ha 8 posti? [40329] Esercizio (es. 2.3 p.66, Bramanti) Come nell esercizio precedente, ma si considerino distinti 2 modi solo se varia la disposizione relativa delle persone attorno al tavolo (rotondo). (In altre parole, due disposizioni ottenute l una dall altra mediante rotazione del tavolo si considerano uguali). [5040] Esercizio (es. 2.4 p.66, Bramanti) In quanti modi 4 uomini e 4 donne possono sedersi in modo alternato attorno ad un tavolo?

9 4 Probabilità classica e probabilità combinatoria, variabili aleatorie discrete Esercizio (es. 2.5 p.66, Bramanti) Un valigetta ventiquattrore ha una conbinazione formata da 6 numeri. a) In quanti modi è possibile combinare le 10 cifre da 0 a 9? [1152] b) E se invece delle 10 cifre ci fossero le lettere A, B, C, D? [ a) b) 4096 ] Applicazioni del calcolo combinatorio alla probabilità classica Esercizio Dato un contenitore con 10 oggetti numerati, qual è la probabilità che, scegliendone 3 a caso, escano nell ordine 9, 2, 5? Esercizio [ ] Dato un contenitore con 10 oggetti numerati, qual è la probabilità che, scegliendone in blocco 3, escano 9, 2, 5? Esercizio Da un urna con 10 palline numerate se ne estraggono in blocco 3. probabilità di estrarre la 6? Esercizio [ ] Qual è la [ ] 3 10 Un giocatore estrae casualmente tre carte da un mazzo di 52. Qual è la probabilità di estrarre: {A, 3, 5 }?

10 1.1 Probabilità classica 5 Esercizio (estrazione ordinata) (estrazione in blocco) Formando in modo casuale delle parole di quattro lettere con A, B, C, qual è la probabilità di comporre la parola ABBA? Esercizio [ ] 1 81 Lanciando in successione 3 dadi, qual è la probabilità che escano tre numeri uguali? [ ] 1 36 Esercizio Lanciando in successione 2 dadi, qual è la probabilità che escano due numeri successivi (6 1)? Esercizio [ ] 1 6 In un esperimento si producono in modo casuale sequenze di 5 elementi. Ogni elemento può essere di due tipi: 0 o 1. a) Qual è la probabilità che esca (1, 0, 0, 0, 0)? b) Qual è la probabilità che esca due volte 1? Esercizio a) b) Scegliendo a caso ordinatamente 6 persone in una popolazione, qual è la probabilità che almeno due abbiano il compleanno lo stesso mese?

11 6 Probabilità classica e probabilità combinatoria, variabili aleatorie discrete Esercizio (esempio 42 p.65, Bramanti) [0.78] Si consideri una partita d assi: 4 giocatori, 40 carte, distribuite 10 a testa. Calcolare la probabilità per un giocatore di avere: a) l asso di quadri e nessun altro asso b) almeno un asso c) un asso e non di più d) due assi prefissati e) due assi prefissati e non di più f) due assi qualsiasi e non di più g) almeno due assi [a) = 0.11; b) = 0.70; c) = 0.44; d) = 0.06; e) = 0.04; f) = 0.21; g) = 0.35] Esercizio (es p.67, Bramanti) Tre persone si danno appuntamento in un bar nella piazza centrale della città; poco pratici del luogo, non sanno che in tale piazza ci sono 4 bar. Qual è la probabilità che scelgano: a) tutti e tre lo stesso bar? b) tutti e tre bar differenti? [ a) b) ] Esercizio (es p.67, Bramanti) Un urna contiene 5 palline bianche, 6 nere, 4 rosse. Se ne estraggono 2. Calcolare la probabilità che siano dello stesso colore supponendo che l estrazione avvenga:

12 1.2 Probabilità moderna 7 a) in blocco b) con reimmissione 1.2 Probabilità moderna a) b) Esercizio Si osservano due quantità aleatorie X e Y entrambe con valori 1, 0, 1. Assumendo che la coppia (0, 0) abbia probabilità 1 2 probabilità che: a) X + Y > 0 e le altre siano equiprobabili, qual è la b) X + Y 0 a) b) Esercizio Si considerino dei pezzi prodotti da una macchina e siano A e B la presenza del difetto a e b rispettivamente. Sapendo che: - P (A) = P (B C ) = P (A B) = 0.01 calcolare la probabilità che il pezzo non presenti alcun difetto. [0.71]

13 8 Probabilità classica e probabilità combinatoria, variabili aleatorie discrete Esercizio Due giocatori laciano a turno due dadi. Un giocatore vince se escono due numeri uguali o se la loro somma è maggiore di 6. Assumendo le uscite equiprobabili, si calcoli la probabilità di vittoria. Esercizio (es. 1 proposto) [ ] 2 3 Si estraggono ordinatamente 4 carte da un mazzo di 20 carte numerate. Costruire uno spazio di probabilità uniforme e calcolare la probabilità che: a) venga estratta la carta numero 5 b) vengano estratte la numero 5 e la numero 6 c) vengano estratte la numero 5 o la numero 6 a) b) c) Esercizio (es. 2 proposto) a) Calcolare la probabilità che, estraendo a caso 4 individui in una popolazione formata da 5 tipi diversi egualmente rappresentati, almeno due individui siano dello stesso tipo b) E se le tipologie di popolazione fossero 3? a) b) Esercizio (es. 3 proposto) Si estraggono in blocco due oggetti da una collezione di M oggetti diversi. Calcolare la probabilità di estrarre due oggetti particolari.

14 1.2 Probabilità moderna 9 Esercizio (es. 4 proposto) [ 2 ] M(M 1) Calcolare la probabilità che, sistemando a caso 4 oggetti in due contenitori, entrambi i contenitori ne contengano Probabilità condizionata Esercizio [ ] 1 5 Indicando con A e B gli eventi esce il numero 2 e esce un numero pari lanciando un dado equilibrato, calcolare la probabilità di A, condizionatamente al verificarsi dell evento B. Esercizio [ ] 1 3 Uno statistico osserva due variabili X e Y, che prendono valori rispettivamente {0, 1, 2, 3} e {0, 1}. Assumendo tutte le possibili coppie di valori equiprobabili, calcolare la probabilità che X sia non nulla se Y è uguale a zero. Esercizio [ ] 3 4 Si consideri una popolazione costituita dal 40% di fumatori e dal 60% di non fumatori. Sapendo il 25% dei fumatori e il 7% dei non fumatori contraggono una malattia alle vie respiratorie, calcolare la probabilità che un individuo scelto a caso sia ammalato. Esercizio [0.142] In un paese vi sono 60% nativi, 25% immigrati e 15% turisti. Sapendo che utilizzano i mezzi pubblici il 30% dei nativi, il 70% degli immigrati e il 90% dei turisti:

15 10 Probabilità classica e probabilità combinatoria, variabili aleatorie discrete a) qual è la probabilità che una persona scelta a caso utilizzi i mezzi pubblici? b) noto che su un automobile privata c è una persona, qual è la probabilità che sia un turista? [ a) 0.49 ] b) Esercizio (es. 5 proposto) Un corso universitario è frequentato da 100 persone, di cui 70 sono uomini e 30 sono donne. Sapendo che il 40% degli uomini e il 60% delle donne fumano, con quale probabilità uno studente fumatore è di sesso maschile? [0.6087] Esercizio (es. 6 proposto) Un giocatore punta alla roulette i numeri Dopo la giocata un informatore gli dice che uscirà un numero pari. Quale probabilità avrà di vincere? [0.1052] Esercizio (es. 7 proposto) In una università i medici rappresentano il 22% dei laureati in un anno, gli ingegneri il 10%, i laureati in lettere il 30%, mentre il restante 40% è rappresentato da laureati in altre discipline. Ad un anno dalla laurea lavora il 60% dei medici, il 90% degli ingegneri, il 10% dei laureati in lettere e il 50% dei rimanenti. a) sapendo che uno studente si è appena laureato, con quale probabilità sarà disoccupato nei prossimi 12 mesi? b) con quale probabilità un disoccupato (laureatosi un anno fa) è laureato in ingegneria? c) con quale probabilità si è laureato in medicina un neoassunto, laureatosi da meno di un anno?

16 1.2 Probabilità moderna 11 Esercizio (es. 8 proposto) a) 0.56 b) c) In un urna sono contenute 5 palline rosse e 4 bianche. Due persone estraggono una pallina ciascuna (senza reinserimento). Calcolare la probabilità che la seconda persona estragga una pallina rossa: a) sapendo che la prima ne ha estratta una bianca b) non sapendo quale pallina abbia estratto la prima Indipendenza di eventi a) b) Esercizio Si disponga di una moneta equilibrata e siano T 1 e T 2 gli eventi esce testa al primo lancio e esce testa al secondo lancio. Calcolare la probabilità che si verifichino congiuntamente gli eventi T 1 e T 2. Esercizio Si lanci due volte una moneta non equilibrata. Assumendo che: P (T 1 ) = P (T 2 ) = p P (C 1 ) = P (C 2 ) = 1 p calcolare le probabilità: a) P (T, T ) che escano due teste [ ] 1 4

17 12 Probabilità classica e probabilità combinatoria, variabili aleatorie discrete b) P (T, C) che escano due facce diverse c) P (C, C) che escano due croci a) p 2 b) p(1 p) c) (1 p) 2 Esercizio In una coltivazione di mais le piantine si ammalano con una frequenza del 20%. Sotto opportune ipotesi calcolare le probabilità che scegliendo a caso 10 piantine: a) siano tutte sane b) solo 3 siano sane [ a) b) ] Esercizio (es. 9 proposto) Si lanciano successivamente 3 monete equilibrate. Calcolare la probabilità che: a) esca testa 3 volte b) esca testa una sola volta Variabili aleatorie discrete a) b) Il risultato di una prova è in molti casi un numero che è aleatorio, cioè incerto prima della prova, per poi diventare noto. In generale si è interessati ad una funzione del risultato della prova (che come caso particolare può essere la funzione identica, cioè il risultato stesso). Queste funzioni sono dette variabili aleatorie.

18 1.2 Probabilità moderna 13 Nome Supporto Probabilità Restrizioni sui parametri Bernoulli (p) k {0, 1} p k (1 p) 1 k 0 p 1 Binomiale (n, p) k {0, 1,..., n} Poisson (λ) k {0, 1,...} ( ) n p k (1 p) n k 0 p 1 k e λ λ k k! λ > 0 Geometrica (p) k {0, 1,...} p(1 p) k 0 < p < 1 Esercizio Alcune variabili aleatorie discrete In una linea di produzione di integrati, un integrato su è difettoso. Calcolare la probabilità che una confezione di 100 integrati: a) non contenga pezzi defettosi b) contenga un integrato difettoso c) contenga almeno tre integrati difettosi a) b) c) Esercizio Un urna contiene 9 palline bianche e 1 nera. Due giocatori estraggono a caso una pallina a turno e poi la rimettono nell urna. Vince chi estrae per primo la pallina nera. Calcolare la probabilità che il gioco duri almeno cinque prove. Esercizio (es. 10 proposto) Un urna contiene 3 palline rosse, 4 bianche e 5 nere.

19 14 Probabilità classica e probabilità combinatoria, variabili aleatorie discrete a) Si estraggono 5 palline con reimmissione. Con quale probabilità ce ne sono 3 nere? b) Supponendo che se ne estraggano 7, con quale probabilità ce ne sono 3 nere, 2 bianche e 2 rosse? [ ] a) b) Esercizio (es. 11 proposto) Un grande contenitore contiene piccolissimi oggetti di 100 tipi diversi, dei quali sono presenti copie di ognuno. Se ne estraggono in modo casuale n 100. Si determini la probabilità che un particolare tipo di oggetto non venga estratto, in funzione del numero di oggetti estratti (si supponga n << ). Si calcoli n in modo che tale probabilità sia uguale a [n 460] Esercizio (es. 12 proposto) Dato uno stock di lampadine, viene esaminato un campione di 100 pezzi. Indicato con m il numero di pezzi difettosi nello stock, si dia una formula per determinare la probabilità di trovare 10 pezzi difettosi, in funzione di m (m << ). Esercizio (es. 13 proposto) Supponendo che 300 errori di stampa siano distribuiti a caso su 500 pagine, si determini la probabilità che una determinata pagina contenga: a) esattamente 2 errori b) almeno 2 errori [ a) b) ] Esercizio (es. 14 proposto) In un paese il 50% della popolazione ha un età compresa tra i 30 e 60 anni, il 30% ha meno di 30 anni e il rimanente 20% ha più di 60 anni. Supponendo di intervistare 20 individui scelti a caso, con quale probabilità:

20 1.2 Probabilità moderna 15 a) sono tutti giovani al di sotto dei 30 anni? b) ci sono 10 giovani al di sotto dei 30 anni, 7 persone tra i 30 e i 60 anni e 3 con più di 60? c) nessuno ha meno di 30 anni? a) 3.48 e 11 b) 8.18 e 3 c) 7.98 e 4 Esercizio (es. 15 proposto) Un urna contiene 3 palline rosse, 4 bianche e 5 nere. Estraendo 5 palline con reinserimento, con quale probabilità si estrae la prima pallina nera al terzo tentativo? [0.1418] Esercizio (es. 16 proposto) Una catena di produzione di un industria alimentare produce scatole di biscotti. Viene stimato che una scatola su 100 non viene chiusa bene, nel qual caso la linea si ferma. Si calcoli la probabilità di produrre: a) esattamente 1000 scatole fino alla prima interruzione b) almeno 1000 scatole fino alla prima interruzione Esercizio (teorema 32 p.62, Bramanti) Dimostrare che: (a + b) n = n k=0 ( ) n a k b n k k [ a) 4.32 e 07 b) 4.32 e 05 ] per ogni intero positivo n, per ogni coppia di numeri reali a, b. (formula di Newton per lo sviluppo della potenza di un binomio).

21 16 Probabilità classica e probabilità combinatoria, variabili aleatorie discrete 1.3 Esercizi di riepilogo Esercizio (es p.79, Bramanti) Calcolare la probabilità che, lanciando due dadi, escano: a) due 4 b) un 3 e un 5 c) due numeri pari d) due numeri la cui somma sia 9 e) due numeri uguali [ a) 1 36 ; b) 1 ] 18 ; c)1 4 ; d)1 9 ; e)1 6 Esercizio (es p.79, Bramanti) Da un mazzo di 52 carte se ne estrae una. Calcolare la probabilità che sia: a) una carta di picche o una figura di cuori b) una figura o una carta rossa [ a) b) ] Esercizio (es p.79, Bramanti) Da un urna che contiene 40 palline di cui 12 bianche, 11 rosse e 17 verdi, si estraggono contemporaneamente sei palline. Calcolare la probabilità che esse siano: 3 bianche, 2 rosse, 1 verde. [0.0536] Esercizio (es p.80, Bramanti) a) In quanti modi 8 persone possono sedersi in 5 posti?

22 1.3 Esercizi di riepilogo 17 b) In quanti modi 5 persone possono sedersi in 8 posti? c) In quanti modi 3 amici possono sedersi in una fila di 15 posti, al cinema, stando vicini tra loro? Esercizio (es p.80, Bramanti) a) 6720 b) 6720 c) 78 Siano A, B due eventi indipendenti, con P (A) = 1 3, P (B) = 3. Determinare la 4 probabilità p dell evento (A B) (A B). [ ] 7 12 Esercizio (es p.80, Bramanti) Una ditta produce un certo tipo di apparecchiature sofisticate; l 8% degli apparecchi prodotti, mediamente, presenta qualche tipo di malfunzionamento. Perciò la ditta ha messo a punto un test di collaudo, che tiene conto dei difetti più frequenti, in modo tale che: il 90% degli apparecchi imperfetti non supera il test; l 1% degli apparecchi sani non supera il test (per qualche errore nell esecuzione del collaudo). Se vengono messi in commercio tutti e soli gli apparecchi che superano il test, qual è la probabilità che uno di essi risulti difettoso? Esercizio (es p.80, Bramanti) [0.0087] Nella prima parte di questo esercizio si chiede di formalizzare, col linguaggio preciso e sintetico del calcolo delle probabilità, alcune informazioni espresse mediante il linguaggio comune. Sia A l evento lo studente ha studiato bene e B l evento lo studente passa l esame. Tradurre in simboli le seguenti affermazioni: a) la probabilità che uno studente abbia studiato bene e passi l esame è 0.4 b) la probabilità che uno studente che ha studiato bene passi l esame è 0.8

23 18 Probabilità classica e probabilità combinatoria, variabili aleatorie discrete c) la probabilità che uno studente che non ha studiato bene non passi l esame è 0.9 d) la probabilità che uno studente abbia studiato male ma passi ugualmente l esame è 0.05 e) la probabilità che uno studente che non ha passato l esame non avesse studiato bene è 9 11 Supponiamo ora che le informazioni a, b, c, d, e siano tutte corrette. Sfruttando opportunamente queste informazioni, si calcoli: f) P (A B) g) P (A B) h) P (A B) i) P (B A) f) 0.55 g) 0.45 h) 0.89 i) 0.2 Esercizio (es p.82, Bramanti) Un urna contiene 6 palline bianche e 4 nere; se ne estraggono 3 senza reimmissione. Qual è la probabilità di estrarre B, N, N (in quest ordine)? [ ] 1 10

24 Capitolo 2 Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue, valore atteso, varianza e relative proprietà 2.1 Variabili aleatorie assolutamente continue Esercizio Sia X una variabile aleatoria uniforme su [0, 1], con densità: { 1 x [0, 1] f X (x) = Calcolare: 0 altrove a) P (X (, + )) b) P (X [0, 1 2 ]) c) P (X [0, 1 3 ])

25 20Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue, valore atteso, varianza e relative proprietà Esercizio Sia X una variabile aleatoria esponenziale di parametro λ > 0. X = {tempo di vita di una lampadina} Sia: f X (x) = { λe λx x 0 0 altrove a) 1 b) 1 2 c) 1 3 Calcolare P (X [0, 1]). [ 1 e λ ] Esercizio Sia X una variabile aleatoria normale (o gaussiana) standard, con densità: f X (x) = 1 2π e x 2 2 x R Calcolare: a) P (X [0, 1 2 ]) b) P (X [ 1, 1]) c) P (X [ 1, 1 ] o X [0, 1]) 2 Nota: Non esiste una primitiva in forma analitica! Φ(t) = t x 2 1 e 2 dx (valori tabulati p.287, Bramati) 2π a) b) c)

26 2.2 Valore atteso e varianza di variabili aleatorie discrete e assolutamente continue 21 Esercizio Sia X una variabile aleatoria uniforme su [0, 1], con densità: f X (x) = Calcolare P { 2x x [0, 1] 0 altrove ( [ X 0, 1 ] 4 o X [ ]) 3 4, 1 [ ] Valore atteso e varianza di variabili aleatorie discrete e assolutamente continue Esercizio Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valori in {1, 2, 3, 4, 5}, con funzione di probabilità: p X (x k ) = 1 5 k = 1,..., 5 Calcolare E(X). [3] Esercizio Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valori in {1, 2, 3, 4, 5}, con funzione di probabilità: 1 p X (x k ) = x k = 1, 2 x k = 3, 4, 5 Calcolare E(X).

27 22Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue, valore atteso, varianza e relative proprietà Esercizio [ ] 27 8 Sia X una variabile aleatoria di Bernoulli di parametro p, con funzione di probabilità: p X (x) = Calcolare E(X). Esercizio { 1 p 0 1 p Sia X una variabile aleatoria Binomiale di parametro p. X Binomiale(n, p) Calcolare E(X). Esercizio Sia X una variabile aleatoria uniforme su [0, 1], con densità: { 1 x [0, 1] f X (x) = 0 altrove [p] [np] Calcolare E(X). Esercizio Sia X una variabile aleatoria esponenziale di parametro λ > 0, con densità: [ ] 1 2 f X (x) = Calcolare: { λe λx x 0 0 altrove

28 2.2 Valore atteso e varianza di variabili aleatorie discrete e assolutamente continue 23 a) E(X) b) V (X) a) b) 1 λ 1 λ 2 Esercizio Sia X una variabile aleatoria di Poisson di parametro λ, con funzione di probabilità: λ λx p X (x) = e x! x = 0, 1, 2,... Calcolare: a) E(X) b) V (X) [ a) λ ] b) λ Esercizio Sia X una variabile aleatoria normale (o gaussiana) standard, con densità: f X (x) = 1 2π e x 2 2 x R Dimostrare che: a) E(X) = 0 b) V (X) = 1

29 24Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue, valore atteso, varianza e relative proprietà Valore atteso e varianza di funzioni di variabili aleatorie Esercizio Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valori in {1, 2, 3} con probabilità: P X (1) = 1 6, P X(2) = 1 3, P X(3) = 1 2 Posto Y = X 2, calcolare E(Y ). Esercizio Sia X una variabile aleatoria uniforme su [0, 1], con densità: { 1 x [0, 1] f X (x) = 0 altrove Posto Y = X 2, calcolare E(Y ) Esercizio [6] [ ] 1 3 Sia X una variabile aleatoria discreta che assume valori in {0, 1, 2, 3} con probabilità: P X (0) = 1 10, P X(1) = 1 5, P X(2) = 3 10, P X(3) = 2 5 Calcolare: a) E(X) e V (X) b) E(Y ) e V (Y ), posto Y = 2X, c) E(W ) e V (W ), posto Z = X 2 e W = Z + Y a) 2; 1 b) 4; 4 c) 9; 30

30 2.3 Esercizi di riepilogo 25 Esercizio Sia X una variabile aleatoria uniforme su [0, 1]. Posto Y = X 3 calcolare: a) E(Y ) b) V (Y ) Disuguaglianza di Cebi cev Esercizio Sia X una variabile aleatoria normale (o gaussiana) con: E(X) = 1 e V (X) = 4 a) b) Può essere P ( X 1 > 10) = 0.8? [No] 2.3 Esercizi di riepilogo Esercizio (es. 1 proposto) Sia X una variabile aleatoria geometrica di parametro p, con funzione di probabilità: p X (x) = p(1 p) x 1 x = 1, 2,... Calcolare: a) E(X) b) V (X)

31 26Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue, valore atteso, varianza e relative proprietà Esercizio Sia X una variabile aleatoria uniforme sull intervallo (a, b). Calcolare: a) E(X) a) b) 1 p 1 p p 2 b) V (X) Esercizio (es. 2 proposto) a) b) b + a 2 (b a) 2 Siano X 1,..., X n variabili aleatorie indipendenti ed equidistribuite di legge Poisson di parametro λ. Calcolare la varianza delle variabili aleatorie: a) Y = X X n 12 b) Z = ax 1 + b [ a) nλ b) a 2 λ ] Esercizio (es p.105, Bramanti) Verificare, utilizzando le densità discrete di questa variabile aleatoria, che le leggi Bernoulli(p), Binomiale(n, p) soddisfano la condizione: p X (k) = 1 k Esercizio (es. 3.2 p.104, Bramanti) Una macchina per confezionare generi alimentari riempie meno del dovuto il 10% delle confezioni. Calcolare la probabilità che su 5 confezioni il numero di quelle sottopeso sia:

32 2.3 Esercizi di riepilogo 27 a) Esattamente 3 b) Esattamente 2 c) Zero d) Almeno 1 a) b) c) d) Esercizio (es. 3.7 p.105, Bramanti) Un ispettore per il controllo della qualità rifiuta una partita di schede a circuiti stampati se in un campione di 20 schede sottoposte a test vengono trovati 3 o più pezzi difettosi. Determinare il numero atteso di pezzi difettosi e la probabilità di rifiutare una partita se la proporzione di pezzi difettosi nell intera partita è: a) 0.01 b) 0.05 c) 0.1 d) 0.2 a) 0.2; b) 1; c) 2; d) 4; Esercizio (es p.134, Bramanti) Il 35% dell elettorato è a favore del candidato Pinco Pallino. In una sezione elettorale votano 200 persone e X è il numero di quelle che sono a suo favore. a) Determinare la probabilità che X sia maggiore di 75 (scrivere la formula esplicita che assegna questa probabilità, senza eseguire il calcolo numerico)

33 28Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue, valore atteso, varianza e relative proprietà b) A votazione conclusa, lo scrutinatore inizia lo spoglio delle schede. Determinare la probabilità che il nome di Pinco Pallino compaia per la prima volta alla quarta scheda scrutinata (fornire anche il risultato numerico). Determinare il valore atteso del numero di schede da scrutinare per trovare la prima volta il nome di Pinco Pallino c) Lo scrutinio è terminato: Pinco Pallino ha ricevuto 60 voti. Se ora si scelgono a caso 10 schede tra le 200, qual è la probabilità che tra esse ce ne siano esattamente 3 per Pinco Pallino? Scrivere l espressione esatta che assegna questa probabilità e fornire il risultato numerico d) Eseguire ora il calcolo della probabilità richiesta al punto precedente, usando una opportuna approssimazione, mediante un altra legge notevole, e fornire il risultato numerico b) ; 3 c) d) 2 e 3

34 Capitolo 3 Variabili aleatorie dipendenti e indipendenti, covarianza e coefficiente di correlazione, densità e valore atteso condizionati 3.1 Variabili aleatorie dipendenti e indipendenti Esercizio Sia (X, Y ) una variabile aleatoria bidimensionale ( doppia ) tale che: X { 1, 0, 1} Y {0, 1} Sia data la seguente tabella delle densità congiunte:

35 Variabili aleatorie dipendenti e indipendenti, covarianza e coefficiente di correlazione, densità e 30 valore atteso condizionati Y 0 1 X a) Calcolare P (X + Y = 0) b) Verificare se X e Y sono indipendenti a) 7 18 b) No Esercizio Sia (X, Y ) una variabile aleatoria bidimensionale uniforme sul quadrato [0, 1] [0, 1], con densità: { 1 X [0, 1], Y [0, 1] f X,Y (x, y) = 0 altrove a) Calcolare P ( [ X 0, 1 ] [, Y 0, 1 ]) 2 2 b) Verificare se X e Y sono indipendenti a) 1 4 b) Si Esercizio Sia (X, Y ) una variabile aleatoria bidimensionale continua con densità: { c(x + y) x [0, 1], y [0, 1] f X,Y (x, y) = a) Determinare la costante c 0 altrove

36 3.1 Variabili aleatorie dipendenti e indipendenti 31 b) Calcolare le densità marginali di X e Y c) Verificare se X e Y sono indipendenti a) 1 b) f X (x) = x f Y (y) = y c) No (x [0, 1]) (y [0, 1]) Esercizio Si osserva l efficacia (X) e la tossicità (Y ) di un farmaco (in opportune unità di misura). Si stima che la coppia (X, Y ) abbia distribuzione continua con densità congiunta: { 0 se x o y < 0 f(x, y) = c e 2(x+y) se x e y 0 a) Determinare la costante c b) Verificare se X e Y sono indipendenti c) Calcolare P (efficacia > 10) a) 4 b) Si c) e 20 Esercizio Viene osservato il tempo di vita di una specie di farfalla nel mese di giugno ed il tasso di piovosità nello stesso mese (in giorni e mm rispettivamente). Si osserva che la coppia (X, Y ) è distribuita in modo continuo con densità: 0 x o y < 0 f X,Y (x, y) = c [e 5x (1 + y 2 )] x 0 e 0 y 20 0 y > 20

37 Variabili aleatorie dipendenti e indipendenti, covarianza e coefficiente di correlazione, densità e 32 valore atteso condizionati a) Determinare la costante c b) Verificare se X e Y sono indipendenti c) Calcolare P (una farfalla viva più di 1,2 giorni) a) 5[ ] 1 b) Si c) e Covarianza e coefficiente di correlazione Esercizio Sia X una variabile aleatoria Binomiale: X B(n, p) Calcolare la varianza di X. [np(1 p)] Esercizio Siano X e Y due variabili aleatorie discrete entrambe con valore in {0, 1, 2, 3}. Sia data la seguente tabella della densità congiunta: Y X a) Verificare se X e Y sono indipendenti b) Calcolare il coefficiente di correlazione a) No b) 3 10

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