APPUNTI SULLA DIAGONALIZZAZIONE Corso Prof. F.Podestà, a.a

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1 APPUNTI SULLA DIAGONALIZZAZIONE Corso Prof FPodestà, aa Sia V uno spazio vettoriale e sia f : V V una applicazione lineare una tale applicazione da uno spazio vettoriale in se stesso è chiamata endomorfismo Sappiamo che se fissiamo una base {v 1,, v n } di V, allora f è completamente determinata dai valori fv 1,, fv n : infatti dato un vettore v V, questo si scrive in modo unico come combinazione lineare degli elementi della base, diciamo v = x 1 v v n x i R e quindi, poichè f è lineare, abbiamo che fv = x 1 fv fv n D altra parte, i vettori fv i i = 1,, n sono anch essi combinazioni lineari degli stessi vettori della base Ne segue che ciascun fv i è individuato dalle sue coordinate rispetto alla base fissata Poniamo fv i = a 1i v 1 + a i v + + a ni v n, dove i coefficienti a ij sono numeri reali con il primo indice che scorre da 1 a n, mentre il secondo indice e fisso su i perchè stiamo calcolando fv i Tutti questi coefficienti a ij formano una matrice A con n righe e n colonne, detta la matrice associata a f rispetto alla base B := {v 1,, v n } Questa notazione è particolarmente utile, perche se abbiamo le coordinate x 1,, di un vettore v V, allora la moltiplicazione a 11 a 1n a n1 a nn ci fornisce le coordinate di fv rispetto alla base B Infatti fv = x 1 fv fv n = x 1 a 11 v 1 + a 1 v + + a n1 v n + + x a 1 v 1 + a v + + a n v n a 1n v 1 + a n v + + a nn v n = x 1 1 = x 1 a 11 + x a a 1n v x 1 a n1 + x a n + + a nn v n cioè la coordinata i-esima di fv è data da x 1 a i1 + x a i + + a in, cioè precisamente la i-esima riga del vettore ottenuto dalla moltiplicazione 1 Questo ci permette di scrivere in modo molto veloce e compatto una data applicazione lineare, semplicemente fissando una base e dando una matrice n n Esempio Sia fx, y = x y, x + y con f : R R Ora se fissiamo la base canonica C data da e 1 = 1 1, 0, e = 0, 1, allora fe 1 =, 1 e fe = 1, 1, quindi la matrice associata è A = ; infatti 1 1 x y = Se pero cambiamo base, ad esempio B = {v 1, v } dove v 1 = 1, 1 e v = 0, 1, allora x y x+y fv 1 = 1, 0 = 1, 1 0, 1 = v 1 v, mentre fv = 1, 1 = v 1 + 3v e quindi la matrice associata a f 1 rispetto alla nuova base B è data da 1 3 Non sempre la base canonica e la piu conveniente, dove la convenienza si misura valutando la semplicità della 1 1 matrice associata Ad esempio l applicazione fx, y = x y, x + y ha matrice associata è rispetto alla 1 1 base canonica, mentre rispetto alla base 1, 1, 1, 1 ha matrice associata verificarlo! Ci chiediamo quindi se è possibile scegliere una base opportuna rispetto alla quale la matrice associata diventa semplice, ovvero con un grande numero di zeri quanto grande lo vedremo in seguito Diamo quindi alcune definizioni utili Typeset by AMS-TEX

2 Definizione Una matrice quadrata A si dice diagonale se tutti i suoi elementi sono nulli tranne eventualmente quelli posti lungo la diagonale cioè a ij = 0 se i j Notiamo ora che se una data applicazione lineare ha matrice associata diagonale rispetto ad una certa base B = {v 1,, v n }, allora se indichiamo con A tale matrice e con d 1, d, d n gli elementi lungo la diagonale cioè A = d d d n allora fv 1 = d 1 v 1, fv = d v e cosi via fino a fv n = d n v n, semplicemente per come è stata costruita la matrice associata Siamo quindi portati a dare la seguente definizione Definizione Un vettore non nullo v V è detto autovettore se esiste un numero reale λ tale che fv = λ v In tal caso si dice che λ è l autovalore corrispondente Una applicazione lineare f : V V si dice diagonalizzabile se esiste una base di V costituita da autovettori Si noti che se f è diagonalizzabile, allora la matrice associata alla base costituita da autovettori è diagonale; vedremo che non tutte le applicazioni sono diagonalizzabili, ma quando lo sono, chiaramente converrà lavorare con la base speciale costituita da autovettori, perchè la matrice associata risulta diagonale e quindi particolarmente semplice per poter fare ulteriori calcoli vedremo poi in seguito la vera utilità di avere una applicazione diagonalizzabile Il nostro problema diventa ora capire quando una data applicazione ammette una base fatta di autovettori Innanzitutto dobbiamo capire come stabilire se esistono o meno autovettori e corrispondenti autovalori Fissiamo una base qualunque B e scriviamo la matrice A dell applicazione f rispetto a tale base B SE esiste un autovettore v con autovalore λ, allora fv = λ v e quindi se x 1,, sono le coordinate di v rispetto alla base B si deve avere che = λ e quindi λ = 0, dove 0 indica il vettore nullo Per scrivere la in forma ancora piu compatta, introduciamo la matrice I, detta matrice identità e data da I = ; tale matrice ha la proprietà che I = Abbiamo quindi che la si puo riscrivere come λ = λ I = A λ I = 0, ovvero, in modo piu esplicito, a 11 λ a 1 a 13 a 1n a 1 a λ a 3 a n a n1 a n a n3 a nn λ x 1 = 0 3 Poichè v èsupposto essere 0, il sistema omogeneo 3 ha una soluzione non nulla e quindi deve essere cara λ I < n, ovvero deta λ I = 0

3 Definizione Il polinomio pλ := deta λ I si dice polinomio caratteristico Nota importante 1 Il fatto che pλ sia un polinomio discende facilmente dallo sviluppo di Laplace del determinante, ma omettiamo questa dimostrazione Si vede anche che il grado di p è n, dove n = dim V Il polinomio caratteristico dipende solo da f e NON dalla matrice A che rappresenta f; ovvero se scegliamo un altra base B e rappresentiamo f con la matrice A rispetto alla base B, allora deta λi = deta λi questo fatto non lo dimostriamo, perche impegneremmo troppo tempo Esempio Sia A = ; si ha pλ = det 1 λ 1 3 λ = λ 4λ + 5 Un numero reale λ è dunque autovalore cioè esiste v 0 tale che fv = λv se e solo se pλ = 0, cioè λ è radice del polinomio caratteristico Poichè p ha grado n, vi sono al piu n autovalori distinti Dato un autovalore λ, indichiamo con V λ l insieme di tutti i vettori che sono autovettori per f con lo stesso autovalore λ; si tratta di un sottospazio vettoriale, poichè V λ := {v V ; fv = λv} = kera λ I {0} Tale sottospazio si chiama autospazio relativo all autovalore λ e la dimensione di tale autospazio si chiama molteplicità geometrica dell autovalore λ e si indica con gλ 1 1 Esempio Sia data l applicazione lineare la cui matrice associata rispetto alla base canonica è A = 1 1 Abbiamo 1 1 che λ 1 1 λ 1 1 pλ = det 1 λ 1 = det 1 λ 1 = 1 1 λ 0 λ 1 1 λ = λ1 λ3 λ 1 λ = 1 λλ 5λ + 4 = 1 λ 4 λ Quindi gli autovalori sono λ = 1 e λ = 4 Per trovare gli autospazi, abbiamo che V 1 = kera I = ker = {x + y + z = 0}, quindi la molteplicità g1 = ; invece per λ = 4 abbiamo che 1 1 V 4 = kera 4I = ker 1 1 = {x = y + z, x + z = y} = {x = y = z} 1 1 e quindi g4 = 1 In questo caso l applicazione è diagonalizzabile: infatti basta prendere una base di V 1, ottenendo cosi due vettori linearmente indipendenti che sono autovettori con autovalore 1 e poi prendere un vettore che generi V 4 che è unidimensionale e, cosa piu importante, interseca V 4 nel solo {0}; in tal modo i tre vettori scelti formano una base di V = R 3 di autovettori infatti i primi due sono linearmente indipendenti, mentre il terzo non dipende dai primi due perchè appartiene a V 4 che interseca V 1 nella sola origine! v 1 = 1, 0, 1, v = 0, 1, 1 e v 3 = 1, 1, 1; rispetto a tale base la matrice dell applicazione risulta Ad esempio possiamo prendere Per trovare quale sia la risposta in generale alla nostra domanda, ovvero quando una data applicazione sia diagonalizzabile, dobbiamo ancora dare una piccola definizione Abbiamo detto che un autovalore è una radice del polinomio caratteristico; una radice di un polinomio puo essere semplice ovvero comparire una sola volta tra le radici, oppure doppia es px = x 1 ha x = 1 come radice doppia, tripla e cosi via Definiamo la molteplicità algebrica di un autovalore λ il numero di volte con cui λ compare tra le radici del polinomio caratteristico Tale molteplicità è indicata con mλ Nell esempio precedente m1 =, mentre m4 = 1 Siamo ora in grado di enunciare il teorema nella sua completa generalità

4 4 Teorema di Diagonalizzazione Sia data un applicazione lineare f : V V Tale applicazione è diagonalizzabile se e solo se valgono entrambe le seguenti condizioni: 1 il polinomio caratteristico possiede n radici reali dove n = dim V ; per ogni autovalore λ si ha gλ = mλ, ovvero le due molteplicità coincidono Un fatto importante che si puo dimostrare ma noi non lo faremo è che la molteplicità geometrica non supera mai quella algebrica, ovvero gλ mλ per ogni autovalore λ Ne segue che se un autovalore compare con mλ = 1, allora 1 gλ mλ = 1 implica che gλ = mλ: questa osservazione ci fornisce il seguente utilissimo Corollario Se un applicazione f ha tutti gli autovalori reali e di molteplicità uno, allora f è diagonalizzabile Nota pero che non vale il viceversa, cioè esistono applicazioni diagonalizzabili con autovalori di molteplicità elevata, es: f l applicazione identità, per la quale esiste un unico autovalore λ = 1 di molteplicità n; f è chiaramente diagonalizzabile, perchè ogni base e una base di autovettori! Esempio 1 Sia f data dalla matrice 1 a 1 Allora pλ = det 1 λ a = λ 1 a 1 λ Per avere autovalori reali deve essere a 1 e gli autovalori sono λ = ± 1 + a Se a > 1, allora gli autovalori sono distinti e quindi è diagonalizzabile Se a = 1, λ = 0 è l unico autovalore con m0 =, mentre g0 = dim ker A = 1, quindi non è diagonalizzabile Esempio Sia f data dalla matrice A = Il polinomio caratteristico ha grado tre e quindi non sempre a risulta facile trovarne le radici; pertanto quando svolgiamo i calcoli, cerchiamo di mettere in evidenza tutto cio che e possibile fare a λ 1 pλ = det 0 1 λ 4 = a λ 1 λ1 λ 4 1 λ λ = a λ 1 λ1 λ λ 1 = λ 1 λ + a 1λ + a Quindi le radici sono λ = 1 e λ = a 1 ± 1 a + a 7 Innanzitutto deve essere a +a 7 0, ovvero a 1 oppure a 1 + Vediamo ora quando gli autovalori sono tutti distinti nel qual caso l applicazione sarà 1 a diagonalizzabile: il delta deve essere 0 e poi ± 1 a + a 7 1, ovvero ± a + a 7 3 a, ovvero a Quindi se a e a, 1 1 +, +, allora f è diagbile Vediamo ora cosa succede se a = : in tal caso gli autovalori sono λ = 1, λ = 0, con m1 =, m0 = 1; basta controllare g1 = dim kera I = 3 cara I dove si è posto a = = 3 = 1 e quindi g1 m1, non diagbile! Se a = 1±, gli autovalori sono λ = 1, λ = 1/, con m1/ = ; basta quindi calcolare g1/ = 3 cara 1 I = 3 = 1, ancora non diagbile In definitiva otteniamo che l applicazione è diagonalizzabile se e solo se a e a, 1 1 +, + Esercizi Negli esercizi seguenti identificheremo una matrice con l applicazione lineare che essa rappresenta rispetto alla base canonica di R n 1] Data la matrice, dire al variare di k R quando e diagonalizzabile Si dica poi per quali valori di k si ha che 1 1 k λ = 1 e autovalore e per tali valori indicare gli autospazi Sol k < 1 4 ; k = 0 e V 1 = {y = 0}, V = {x+y = 0}

5 ] Discutere la diagonalizzabilità delle seguenti matrici: ; ; Sol nell ordine: autovalori 1, 1± 1, diagonalizzabile; autovalori 0, 0, 3, non diagbile; autovalori 1, 1, diagbile 3] Data la matrice A = 1 0 a a 1 0 provare che e diagbile e che gli autospazi sono tre rette ortogonali tra loro per ogni a R Sol gli autovalori sono 1, 1± 5+4a 4] Data la matrice A = a trovarne gli autovalori e discuterne la diagonalizzabilità Sol autovalori 1, 1 a + 1 ± a a + 5, diagbile per a 1/ 5] Data la matrice A = a a discuterne la diagonalizzabilità Sol: autovalori 0, 1 a + 1 ± a 6a + 5; diagbile per a, 1/ 1/, 1 5, + 6] Data la matrice A = 1 a 1 1 b trovare tutte le coppie a, b in modo che la matrice sia diagonalizzabile con un autovalore uguale a 1 Sol: 0, b con b, 1 1, 5/4 oppure a, 0 con a 5/4, 1 1, + 7] Data la matrice dell esercizio precedente, trovare se possibile tutte le coppie a, b per le quali la matrice ammette λ = 0 come autovalore di molteplicità algebrica due e discuterne poi la diagonalizzabilità Sol a, b = 1, 3, 3, 1, non diagbile 8] Data la matrice dell esercizio n6, trovare le coppie a, b in modo che il vettore 1, 1, 1 risulti autovettore Qual e il suo autovalore e quali sono gli altri autovalori? Calcolare poi gli autospazi Sol: a, b = 1, 4, λ = 1, altri autovalori, 3 e quindi e diagbile 9] Data la matrice A = a 0 1 trovare a R in modo che ammetta almeno un autovalore di molteplicità algebrica due e per tali a discutere la diagonalizzabilità Sol a = ± 4 3 1, non diagbile 3 10] Data la matrice dell esercizio precedente, si trovi a R in modo che A sia diagonalizzabile ed ammetta un autovettore nel piano {x + z y = 0} La condizione che ammetta un autovettore sul piano dato implica a = 3 oppure a = ; nel primo gli autovalori non sono tutti reali, mentre nel secondo sono 1, 1± 5, diagbile 5