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1 Dati finanziari ad alta frequenza Trattamento e applicazioni Massimiliano Cecconi, Marco J. Lombardi Università degli Studi di Firenze - Dipartimento di Statistica "G. Parenti" Una delle tendenze più moderne della finanza consiste nello studio dei cosiddetti dati ad alta frequenza, ovvero osservazioni registrate in tempo reale sui mercati. A differenza degli studi tradizionali, nei quali si tende a considerare dati misurati ad intervalli equispaziati, nel caso dell alta frequenza si registra ogni singola transazione (e anche richiesta di transazione) che avviene sul mercato. La possibilità di sfruttare questa enorme mole di informazione costituisce un indubbio vantaggio; le applicazioni di stime econometriche ricavate da dati ad altissima frequenza (ultra-high frequency, Engle [4]) si riflettono su gran parte della moderna teoria finanziaria: dal prezzaggio di opzioni alla previsione della volatilità intragiornaliera, dal calcolo del Value at Risk alla gestione della liquidità. Tuttavia, l impiego di tali dati pone delle difficoltà sia per quanto concerne la loro raccolta che il loro trattamento. Difatti, oltre al problema di gestire ed organizzare enormi quantità di osservazioni (si può anche arrivare ad alcune migliaia di registrazioni nell arco di una sola giornata borsistica), si pone quello del trattamento di osservazioni a frequenza irregolare. Una delle possibilità che sta riscuotendo maggior successo in letteratura consiste nel modellare i tempi che intercorrono tra una transazione e l altra (le cosiddette durations) tramite un nuovo processo, introdotto da Engle e Russell [5] e noto con l acronimo di modello ACD (Autoregressive Conditional Duration). Tra le motivazioni che hanno ispirato i due autori vi è la constatazione che la presenza sul mercato di operatori maggiormente informati di altri si riflette in un tempo medio di attesa tra una transazione e l altra relativamente breve. Viceversa, tempi di attesa più lunghi sono indice di una maggiore calma dei mercati, poiché si ritiene che il prezzo corrente sia prossimo al suo valore di equilibrio. Scopo di questo articolo è quello di presentare sinteticamente i dati ad alta frequenza, le problematiche connesse al loro stoccaggio ed al loro trattamento, e di fornire alcuni spunti sulle possibilità di utilizzo dei dati in svariati ambiti della moderna teoria finanziaria. Scienza & Business, Anno III, n.9-10,

2 La modernizzazione degli strumenti informatici è spesso venuta a coincidere con importanti innovazioni nel campo della finanza. Ad esempio, a partire dall inizio degli anni 90, la crescente velocità di elaborazione dei processori ha reso possibile sviluppare tecniche di analisi che risultavano in precedenza impensabili: tra le altre cose, ad esempio, si sono potute sviluppare tecniche di prezzaggio per titoli derivati di tipo non standard basate sulla simulazione del prezzo del titolo sottostante. Una delle ultime conseguenze della rapida espansione della tecnologia hardware è rappresentata dalla possibilità di archiviare e gestire database di dimensioni imponenti grazie alla costante crescita di capienza dei supporti magnetici e all introduzione su larga scala (e a costi contenuti) degli strumenti ottici di lettura/scrittura. In ambito finanziario, ciò rende possibile studiare l andamento dei mercati in una prospettiva intragiornaliera, ovvero registrare tutte le transazioni (eseguite o solo richieste) che si rilevano sui terminali degli operatori. In letteratura, spesso si indicano tali rilevazioni come dati tick-by-tick o trade-by-trade (Gwilym e Sutcliffe [6]). Se fino a poco tempo fa le applicazioni si limitavano a considerare al massimo osservazioni giornaliere, si sta diffondendo oggi la pratica di sfruttare la massima informazione possibile utilizzando i dati tick-by-tick. Difatti, utilizzando dati giornalieri, si suole considerare il prezzo di chiusura come indicativo dell intera giornata di contrattazioni, ma ciò non è necessariamente vero; tralasciando i movimenti intragiornalieri del prezzo si rischia pertanto di trascurare informazioni rilevanti ai fini della stima e della previsione. Tuttavia, utilizzare questo tipo di dati pone alcuni problemi e rende necessario ricorrere a strumenti parzialmente diversi da quelli tradizionalmente impiegati. Il problema principale consiste nel fatto che le osservazioni così rilevate non sono necessariamente equispaziate: tra un osservazione e l altra può intercorrere un lasso di tempo che oscilla da pochissimi secondi a qualche minuto. Al contrario, è immediatamente evidente che, utilizzando dati giornalieri, tale problema non si pone. Modalità di raccolta e gestione dei dati Idati ad altissima frequenza sono raccolti e forniti da organismi di vario tipo, spesso identificabili con l istituzione che gestisce e regola il singolo mercato nazionale; nel caso italiano, essi sono gestiti direttamente dalla Borsa Italiana S.p.A. Tali dati si presentano sotto forma di database in formato ASCII che riporta in ordine:! data della transazione, nel formato aaaammgg (ad esempio indica il 3 luglio 2000);! orario della transazione, nel formato hhmmsscc (ad esempio indica le ore 11,7 minuti, 32 secondi);! prezzo in euro al quale avviene lo scambio;! volume scambiato;! controvalore in euro. Una tipica giornata di contrattazioni, sul mercato italiano, supera abbondantemente le 1500 osservazioni. Si capisce subito come ciò risulti costoso sia dal punto di vista dello stoccaggio che da quello del trattamento dei dati: un database di un anno consterebbe di circa rilevazioni. Dai grafici che presentiamo possiamo vedere un confronto tra l andamento giornaliero e quello tick-by-tick del prezzo del titolo FIAT tra il 10 e il 31 luglio del Nella Figura 1 riportiamo i prezzi giornalieri di chiusura, mentre nella Figura 2 il grafico delle quotazioni tick-by-tick. Si osserva che, ovviamente, le due serie risultano più o meno sovrapponibili, ma che ad ogni modo la serie ad alta frequenza veicola una quantità di informazione infinitamente maggiore rispetto a quella giornaliera. La non omogeneità dei dati tick-by-tick non risulta molto evidente dalla Figura 2 a causa della enorme quantità di dati a disposizione (29087 osservazioni). Tuttavia, Figura 1 Prezzo del titolo FIAT nel periodo 10/31 luglio 2000 sulla base di rilevazioni giornaliere Figura 2 Prezzo del titolo FIAT nel periodo 10/31 luglio 2000 sulla base di rilevazioni tick-by-tick 18 Scienza & Business, Anno III, n.9-10, 2001

3 se concentriamo l attenzione su una frazione della giornata borsistica (ad esempio un ora), è immediatamente visibile l andamento a salti della serie dovuto alla diversa frequenza con cui si registrano le transazioni. La Figura 3 illustra quanto descritto per il titolo FIAT nel giorno 10 luglio 2000 tra le e le del mattino; ciascun punto indica una diversa transazione avvenuta nel periodo considerato. Se il problema del trattamento dei dati si avverte già sul mercato italiano, su quello statunitense è infinitamente più grande: non solo le transazioni sono molto più numerose, ma l insieme delle informazioni rilevate risulta molto più ampio. Il principale fornitore di dati per il mercato statunitense è il New York Stock Exchange (NYSE) stesso, che cura il database TAQ (Trades and Quotes, [12]). Tale database riporta, oltre alle transazioni che effettivamente hanno luogo (trades), anche le quotazioni bid e ask, ovvero le proposte di vendita e di acquisto che non vanno a buon fine (quotes). Nel database TAQ, oltre ai dati relativi al NYSE, sono rilevati anche dati di altri mercati, tra cui il National Association of Securities Dealers Automated Quotations (NASDAQ), l American Stock Exchange (AMEX) e il Chicago Board Options Exchange (CBOE). Per dare un idea della mole che può raggiungere il database TAQ, ne riportiamo, in Figura 4, le dimensioni in MegaBytes per alcuni mesi di riferimento e solo per pochi titoli azionari del NYSE. Dal grafico si evince che la frequenza degli scambi sul mercato statunitense è in forte crescita: la dimensione del database presenta difatti un marcato trend crescente sia per quanto riguarda le proposte immesse nel circuito telematico che per quanto riguarda le transazioni effettivamente realizzate. Figura 3 Prezzo del titolo FIAT tra le 9.30 e le del 10 luglio 2000 Figura 4 Dimensione in MegaBytes del database TAQ La modellistica tradizionale che si è soliti utilizzare per l analisi delle serie storiche finanziarie è stata sviluppata quando ancora le osservazioni giornaliere rappresentavano il massimo grado di informazione che si potesse riuscire a gestire. Tale modellistica (ci riferiamo in particolare ai modelli di tipo ARMA-GARCH; si veda, per una trattazione introduttiva, Hamilton [7]) è quindi applicabile solo nel caso in cui i dati siano equispaziati e, come abbiamo visto, questo non è il caso delle osservazioni ad alta frequenza. I primi studi in tale ambito si sono concentrati sul cercare di recuperare la modellistica tradizionale trasformando le osservazioni ad alta frequenza in osservazioni equispaziate. L idea più naturale in questo senso è quella di registrare i dati a intervalli di tempo predefiniti: ad esempio ogni minuto, oppure ogni secondo. Questo approccio comporta però alcuni problemi: se infatti, per quanto riguarda le osservazioni giornaliere, al termine della giornata di contrattazioni si osserva comunque un singolo prezzo di chiusura, non è detto (specie per quanto concerne i titoli a minore flottante) che si possa osservare una transazione esattamente ogni minuto (o addirittura ogni secondo). I dati devono essere quindi trattati in modo da renderli veramente equispaziati. Vi sono varie modalità di intervento possibili, che illustreremo con un semplice esempio grafico. Supponiamo che il prezzo di apertura del titolo che vogliamo analizzare sia 100. Desideriamo ricavare, a partire dalle osservazioni tick-by-tick, una serie di osservazioni equispaziate a un minuto. Dopo esattamente un minuto dall apertura del mercato, si registra la prima transazione a un prezzo di 101. La seconda transazione, a un prezzo di 102, avviene 1 minuto e 48 secondi (1,8 minuti) dopo l apertura del mercato, e la terza, a un prezzo di 104, dopo 2 minuti e 36 secondi (2,6 minuti). La situazione che ci si trova ad affrontare è schematizzata nella Figura 5: a partire dalla prima linea temporale, non equispaziata, dobbiamo costruire la seconda, riempiendo le rilevazioni x 0, x 1, x 2, e così via. Per quanto riguarda x 0, essa ovviamente coincide col prezzo di apertura; ugualmente, poiché la prima transazione si è verificata esattamente un minuto dopo l apertura del mercato, x 1 coincide col prezzo di tale transazione, ovvero 101. Per quanto riguarda x 2, invece, non disponiamo di un osservazione corrispondente al termine temporale dei 2 minuti, e dobbiamo quindi procedere in maniera diversa. Una prima idea può essere quella di Scienza & Business, Anno III, n.9-10,

4 utilizzare la transazione più vicina ai 2 minuti, in questo caso 102. Altrimenti, si può considerare la media aritmetica delle osservazioni immediatamente precedente e seguente ai 2 minuti, ovvero: x 2 = ( ) / 2 = 103. Un ulteriore possibilità, più raffinata, è quella di considerare una media ponderata con gli intervalli di tempo che intercorrono tra le transazioni e il termine dei 2 minuti: x 2 = [102 * (2-1,8) * (2,6-2)] / [(2-1,8) + (2,6-2)] = 103,5. Menzioniamo, infine, la strada dell interpolazione lineare, consistente nel tracciare una retta per le due transazioni più prossime a quella mancante e prendere come valore quello appartenente a tale retta in corrispondenza dell istante considerato. In pratica, ciò si traduce nel risolvere la proporzione (x 2-102): (2-1,8) = ( ): (2,6-1,8), la cui soluzione rende un valore interpolato per x 2 di 102,5. Ovviamente, nessuna di queste metodologie è intrinsecamente la migliore. La media ponderata è quella che considera il numero più ampio di fattori, ma non è necessariamente superiore alle altre in termini di risultato. Quello che vale la pena qui osservare è che procedere ad accorpare i dati per renderli equispaziati comporta comunque, per quanto alta possa essere la frequenza di campionamento, una perdita di informazione. Abbiamo già rilevato che, disponendo di dati equispaziati, possiamo sfruttare tutta la modellistica preesistente. Tuttavia, se si aggiunge a questo indubbio vantaggio l inconveniente relativo alla perdita di informazione, questa strategia può rivelarsi non ottimale a fini di analisi. L approccio sperimentale alle serie ad alta frequenza In ciò che precede abbiamo messo in evidenza come oggigiorno, chiunque si avvicini ai mercati finanziari possa disporre di enormi quantità di dati dai quali estrapolare utili suggerimenti per le proprie decisioni di investimento e disinvestimento. Tra i problemi maggiori che si incontrano vi è senz altro la necessità di operare un adeguata sintesi dell informazione raccolta in modo da poterla utilizzare al meglio. L approccio comunemente utilizzato in questo ambito è quello proprio delle scienze sperimentali (fisica, chimica o biologia), dove i fenomeni naturali vengono studiati mediante l ausilio di strumenti matematici e statistici rigorosi. L applicazione del cosiddetto metodo sperimentale ai dati finanziari ad alta frequenza si esplica in tre fasi fondamentali (Dacorogna et al. [3]). La prima di esse, e forse la più delicata, consiste nell analizzare da un punto di vista esplorativo e descrittivo i dati a disposizione del ricercatore allo scopo di individuarne le proprietà statistiche fondamentali, sulla base di un minimo insieme di assunzioni sottostanti. Si va dunque alla ricerca di quelle regolarità empiriche che nella letteratura econometrico-finanziaria prevalente vengono definite fatti stilizzati. Andamento delle funzioni di autocorrelazione, forma della distribuzione campionaria, individuazione di patterns giornalieri e/o settimanali caratteristici, sono solo alcuni degli esempi di regolarità empiriche ispezionate in questa fase. Il secondo passo consiste nell utilizzare i fatti stilizzati precedentemente individuati per formulare adeguati modelli matematico-statistici. Occorre notare che per modelli adeguati si intendono formulazioni rigorose in grado di riprodurre le regolarità empiriche osservate, operando in un contesto di tipo essenzialmente ateorico, tipico delle scienze sperimentali, che si pone in contrapposizione all approccio economico tradizionale dove l aspetto determinante è costituito dalla verifica empirica di quelle relazioni teoriche ritenute esplicative del comportamento dei mercati (la cosiddetta microstruttura). Nell ultima fase occorre verificare l adeguatezza del modello nel riprodurre i fatti stilizzati precedentemente individuati sui dati. L obiettivo finale non si limita alla ricerca di un modello puramente descrittivo dell andamento dei fenomeni analizzati, ma consiste piuttosto nell utilizzo di tali formulazioni per ricavare ragionevoli previsioni sui loro movimenti futuri, integrando nelle applicazioni pratiche questi strumenti con quelli oramai più consolidati del risk management e del prezzaggio di opzioni. Come già evidenziato, il metodo sperimentale si contrappone a quello proprio della teoria finanziaria tradizionale utilizzato per comprendere la microstruttura del mercato e volto ad analizzare la reazione dei mercati finanziari all insorgere di nuova informazione. La presenza di operatori diversamente informati gioca un ruolo Figura 5 Costruzione di una serie di osservazioni equispaziate a partire da osservazioni tick-by-tick 20 Scienza & Business, Anno III, n.9-10, 2001

5 chiave nel meccanismo di formazione dei prezzi. In tal senso, uno dei principali vantaggi dell applicazione del metodo sperimentale ai dati ad alta frequenza consiste nella possibilità di riconciliare i due approcci, sintetizzando la maggiore informazione disponibile in particolari variabili esplicative da aggiungere ai modelli derivati in stretta aderenza alle regolarità empiriche osservate. In ciò che segue daremo un semplice esempio illustrativo di modello econometrico derivato secondo le linee guida dell approccio sperimentale ai mercati finanziari e ne metteremo brevemente in evidenza le potenzialità nel riprodurre le regolarità empiriche osservate su dati reali. Una rappresentazione formale: il modello ACD Figura 6 Durations per il titolo FIAT - gennaio 2000 Come già accennato in precedenza, la moderna teoria finanziaria si basa sulla constatazione che l unica variabile in grado di fornire utili suggerimenti circa la presenza di informazione superiore nel mercato è rappresentata dalla sequenza delle transazioni. Partendo da una tale assunzione, numerosi sono stati i tentativi di formalizzare il comportamento degli operatori di mercato (si veda, ad esempio, O Hara [11] per una rassegna di tali modelli). Basti qui ricordare che se da un lato le peculiarità dei vari modelli consistono nel diverso punto di vista in base al quale vengono studiate le sequenze di transazioni, dall altro il loro elemento comune è l individuazione della presenza di operatori maggiormente informati di altri. Ciò si traduce nel fatto che la quotazione corrente degli attivi finanziari risulta più o meno vicina al suo valore di equilibrio a seconda della frequenza con cui avvengono le transazioni. La formulazione matematico-statistica più innovativa volta a tale scopo è senz altro il modello ACD (Autoregressive Conditional Durations) introdotto da Engle e Russell [5]. Si tratta di una rappresentazione statistica per dati non equispaziati la cui finalità è quella di comprendere quale sarà il tempo medio di attesa fino alla prossima transazione, in quanto è proprio dalla previsione di questo dato che gli operatori aggiorneranno la loro opinione (o probabilità soggettiva) circa la possibilità che vi sia informazione superiore nel mercato e che di conseguenza le quotazioni degli attivi finanziari siano relativamente lontane dal loro valore di equilibrio. Riportiamo in Figura 6, a titolo esemplificativo, il grafico delle durations rilevate per il titolo FIAT nel mese di gennaio Dal campione sono state escluse le durations nulle (relative al fatto che più transazioni si sono verificate nello stesso istante), quelle della fase di pre-apertura, e le durate tra la prima transazione della giornata e l ultima della giornata precedente, riducendo il campione a osservazioni, contro le originarie. Come si vede, le considerazioni che portano a ritenere che una maggiore attività di trading si verifichi nelle prime ore successive all apertura ed in quelle prossime alla chiusura della giornata borsistica è confermata dall andamento sinusoidale delle durations. I fondamenti di un simile comportamento si ritrovano nella constatazione che all apertura sia da scontare tutta l informazione e le opinioni della notte, mentre in prossimità della chiusura gli operatori tenderanno a liquidare eventuali posizioni rimaste aperte o a scontare immediatamente un aspettativa sulla quotazione alla riapertura. Senza entrare nei dettagli dei processi ad intensità condizionale, per i quali si rimanda, fra gli altri, a Lancaster [9], la rappresentazione formale del modello ACD può essere espressa come segue. Sia x i =t i -t i-1 l intervallo di tempo espresso in secondi tra due transazioni consecutive (le cosiddette durations) e sia ψ i il valore atteso dell i-esima duration condizionato a tutta la storia passata di x i (x i-1, x i-2,..., x 1 ). In tal modo il modello può essere espresso come: x i = ψ i ε i dove ε i rappresenta una sequenza di variabili casuali indipendenti e identicamente distribuite con funzione di densità di probabilità che deve essere specificata e media uguale a 1. Da queste semplici assunzioni si nota come diverse formulazioni del modello ACD possono essere ricavate semplicemente indicando parametrizzazioni alternative per ψ i ed ipotizzando distribuzioni diverse per ε i. Nel modello originario di Engle e Russell [5] si assume che le durations condizionali attese dipendano da q dei loro valori passati e da m ritardi delle durations più un termine costante: Il valore numerico dei parametri ω > 0, α 1,,α m 0, β 1,,β q 0, il cui vincolo di non-negatività si rende necessario al fine di ottenere stime non negative per ψ i, è determinato mediante l applicazione di metodologie statistiche di stima, ed in parti- Scienza & Business, Anno III, n.9-10,

6 (tra parentesi quadre sotto la stima), la statistica test LB di Ljung e Box [10] per la verifica dell assenza di correlazione, nonché la media e la deviazione standard calcolate sui residui del modello stimato Figura 7 Istogramma sui residui del modello EACD (1, 2) per il titolo FIAT - gennaio 2000 colare del metodo della massima verosimiglianza, una volta che si è specificata la forma della distribuzione di ε i. Nei casi più frequenti nella pratica, si ipotizza una distribuzione esponenziale o di Weibull per ε i, dalle quali derivano rispettivamente i modelli EACD (m, q) e WACD (m, q). A titolo esemplificativo, si riporta nella Tabella 1 la stima di vari modelli ACD di tipo esponenziale per il titolo FIAT all interno del campione considerato. Oltre alle stime dei parametri, riportiamo gli standard error robusti Tabella 1 Stime di vari modelli EACD per il titolo FIAT - gennaio 2000 Sebbene i residui sembrino, almeno in prima approssimazione, in linea con le ipotesi teoriche formulate sul modello, la parametrizzazione che meglio si adatta ai dati è quella EACD (1, 2). Negli altri casi, o ci troviamo di fronte a parametri statisticamente non significativi, oppure la presenza di un valore negativo per α 2 nel modello EACD (2, 1) o la non completa assenza di correlazione nei residui per il caso EACD (1, 1), li rendono di fatto meno accettabili del modello EACD (1, 2). Inoltre, come si evince dalle figure 7 e 8, l ipotesi di distribuzione esponenziale per i termini di disturbo sembra poter essere adeguata. L istogramma dei residui osservati (Figura 7), a parte una diversità di scala facilmente eliminabile, riproduce abbastanza fedelmente l andamento della distribuzione esponenziale (la media e la varianza sono infatti prossime all unità). Ciò è confermato dallo scatterplot tra i quantili teorici della distribuzione esponenziale e quelli ricavati da dalla distribuzione empirica dei residui (Figura 8), dove la disposizione dei punti lungo la bisettrice che passa per l origine degli assi ne giustifica l adozione come ipotesi per la stima dei parametri. Le maggiori diversità rispetto ad una retta si hanno in corrispondenza di pochi valori elevati per i quali varrebbe la pena dare una spiegazione teorica piuttosto che considerare distribuzioni alternative (quali la Weibull) che avrebbero l effetto di complicare eccessivamente la procedura iterativa di stima. In tal caso, la presenza di pochi valori eccezionalmente grandi può essere dovuta al fatto che la quotazione del momento abbia superato le soglie dell eccesso di rialzo o di ribasso, in modo da provocare la sospensione del titolo FIAT dalle contrattazioni per qualche minuto. L inclusione tra i regressori di variabili dummy in grado di cogliere questi momenti o la ricerca di variabili esplicative aggiuntive potrebbero in parte rimediare a queste inefficienze del modello. Infine presentiamo in Figura 9 un confronto grafico tra le durations reali e quelle stimate col modello EACD (1, 2). Come si vede, il modello è in grado di cogliere quell andamento sinusoidale di cui si è parlato in precedenza evidenziando un adeguata discriminazione tra periodi caratterizzati da durate brevi e periodi nei quali i tempi di attesa tra una transazione e l altra sono significativamente più lunghi. 22 Scienza & Business, Anno III, n.9-10, 2001

7 Figura 8 Scatterplot tra quantili stimati e quantili teorici della distribuzione esponenziale per il titolo FIAT - gennaio 2000 Figura 9 Confronto tra durations reali (linea rossa) e stimate (linea bianca) per il titolo FIAT - gennaio 2000 Note conclusive Abbiamo presentato sommariamente i principali problemi che si incontrano volendo lavorare con dati finanziari ad alta frequenza al posto dei tradizionali dati giornalieri. Si è visto come tali dati presentino alcune interessanti peculiarità, in particolare il fatto che non risultano equispaziati. A tale proposito, si è introdotto il modello ACD, di cui abbiamo mostrato i tratti salienti ed un esemplificazione su dati reali. Pur essendo un modello relativamente recente, si trovano già, in letteratura, numerose applicazioni, anche relative al mercato italiano. Si è osservato, in particolare, che tale modello è in grado di riprodurre in maniera adeguata l andamento delle transazioni intragiornaliere. Sono state inoltre proposte numerose estensioni al modello ACD, con l obiettivo di migliorarne la performance e di renderlo adeguato a trattare determinate caratteristiche empiriche rilevate sui dati reali. In particolare, sono stati introdotti modelli in grado di catturare le asimmetrie (Asymmetric ACD, Bauwens e Giot [2]), la memoria lunga (Fractionally Integrated ACD, Jasiak [8]) e la non-linearità (Log ACD, Bauwens e Giot [1] e Threshold ACD, Zhang et al. [13]). Tra gli elementi che più frenano una maggiore diffusione della modellistica ACD e, più in generale, dei dati ad alta frequenza stessi, vi è l assenza di software progettato specificamente per il loro trattamento e la loro analisi. Notiamo infatti che, al di là dell assenza di pacchetti di stima dei modelli ACD, anche la stessa raccolta e analisi grafica dei dati è problematica, facendo affidamento sui software di uso comune presso gli operatori del settore, ovviamente a causa della loro mole. Riteniamo che, analogamente a quanto si è verificato in passato per altri modelli, la spinta decisiva alla loro diffusione possa venire proprio dall introduzione di pacchetti software specifici. Bibliografia [1] Bauwens, L., Giot, P. (1997). The Logarithmic ACD Model: An Application to Market Microstructure and NASDAQ. CORE Discussion Paper 9789 : Universitè Catholique de Louvain. [2] Bauwens, L., Giot, P. (1998). Asymmetric ACD Models: Introducing Price Information in ACD Models with A Two State Transition Model. CORE Discussion Paper 9844: Universitè Catholique de Louvain. [3] Dacorogna, M. M., Gençay, R., Müller, U., Olsen, R. B., Pictet, O.V. (2001). An Introduction to High-Frequency Finance, San Diego: Academic Press. [4] Engle, R. F. (2000). The Econometrics of Ultra-High Frequency Data, Econometrica, 66, pp [5] Engle, R. F., Russell, J. R. (1998). Autoregressive Conditional Duration: A New Model for Irregularly Spaced Transaction Data, Econometrica, 66, pp [6] Gwilym, O., Sutcliffe, C. (1999). High-Frequency Financial Market Data, London: Risk Books. [7] Hamilton, J. D. (1994). Time Series Analysis, Princeton: Princeton University Press. [8] Jasiak, J. (1999). Persistence in Intertrade Durations. Manuscript: York University. [9] Lancaster, T. (1990). The Econometrics Analysis of Transition Data, Econometric Society Monographs. Cambridge: Cambridge University Press. [10] Ljung, G., Box, G. (1979). On a Measure of Lack of Fit in Time Series Models, Biometrika, 66, pp [11] O Hara, M. (1995). Market Microstructure Theory, Oxford: Basil Blackwell Inc. [12] TAQ Database, http: //www. nyse. com/marketinfo/marketinfo. html. [13] Zhang, M. Y., Russell, J. R., Tsay, R. S. (2001). A Nonlinear Autoregressive Conditional Duration Model with Applications to Financial Transaction Data, Journal of Econometrics, 104, pp Ringraziamenti Ringraziamo la Borsa Italiana S.p.A. per averci cortesemente messo a disposizione i dati ad alta frequenza utilizzati in questo articolo. Un ringraziamento particolare va inoltre al Prof. Giampiero M. Gallo per averci supportato e incoraggiato nel nostro lavoro. Scienza & Business, Anno III, n.9-10,

8 APPROFONDIMENTO: LA DISTRIBUZIONE DI WEIBULL La distribuzione di Weibull è in genere utilizzata per modellare dati di durata ed ha la peculiarità che la sua hazard function (funzione tasso di guasto) dipende dal parametro di forma k e può risultare crescente, costante o decrescente, rendendo così la distribuzione assai versatile. L equazione della funzione di densità di probabilità è: Figura 10 - Densità di Weibull per diversi valori del parametro k, ponendo θ = 1 per t > 0. Il parametro k può assumere valori strettamente positivi e determina, come dice il nome stesso, la forma della distribuzione. Nel caso in cui k = 1 la distribuzione è detta anche esponenziale, ed ha tasso di guasto costante. In Figura 10 riportiamo il grafico della densità di Weibull per tre diversi valori di k. Il parametro θ, invece, è detto parametro di scala, e determina l ampiezza della distribuzione. Ai fini delle stime ACD, il parametro di scala viene spesso fissato a priori pari a uno. Notizie sugli Autori MASSIMILIANO CECCONI Massimiliano Cecconi si è laureato a pieni voti con lode presso la Facoltà di Economia dell Università degli Studi di Firenze nell aprile Ha discusso una tesi in Econometria dal titolo: Modelli econometrici per fenomeni soggetti a smooth transition: lo studio della volatilità sui mercati finanziari, supervisionata dal prof. Giampiero M. Gallo, per la quale la commissione di laurea ha espresso l'auspicio di pubblicazione. Attualmente è Assegnista di Ricerca presso il Dipartimento di Statistica G. Parenti dell Università di Firenze, dove svolge una ricerca dal titolo Microstrutture di Mercati Finanziari. Fa infine parte del gruppo di ricerca FEDRA. I suoi interessi di ricerca riguardano l econometria dei mercati finanziari, con particolare attenzione alla microstruttura dei mercati ed allo studio delle serie storiche finanziarie ad altissima frequenza (tick-by-tick). Si interessa inoltre di modellistica GARCH per lo studio della volatilità, modelli non-lineari per i mercati finanziari, modelli a transizione liscia, metodi di simulazione, implementazione di routine econometrico-finanziarie. È contattabile all indirizzo o all'url: MARCO J. LOMBARDI Marco Jacopo Lombardi è nato a Firenze il 16 giugno Dopo il Diploma di Maturità Classica, si è iscritto alla Facoltà di Economia dell Università degli studi di Firenze e si è laureato col massimo dei voti e lode il 12 febbraio La sua tesi in Econometria, supervisionata dal Prof. Giampiero M. Gallo e intitolata La previsione della volatilità di attivi finanziari: Processi a memoria lunga e Fractionally Integrated GARCH, ha ricevuto dalla commissione l auspicio di pubblicazione. Attualmente segue il corso di Dottorato di Ricerca in Statistica Applicata presso il Dipartimento di Statistica G. Parenti dell Università degli studi di Firenze. Oltre che ai modelli per dati ad alta frequenza e ai modelli a memoria lunga, è interessato alla programmazione in linguaggio C/C++, all analisi spettrale, alle reti neurali e ai metodi numerici di ottimizzazione. Lavora presso il Dipartimento di Statistica G. Parenti dell Università degli studi di Firenze (Viale G.B. Morgagni Firenze) e può essere contattato all indirizzo o all URL FEDRA Il gruppo di ricerca FEDRA (Financial Econometrics and Derivatives Research Associates) si è costituito nel giugno 2001 presso il Dipartimento di Statistica G. Parenti dell Università degli studi di Firenze con l obiettivo di coordinare e promuovere l attività di ricerca del dipartimento nel settore dell analisi quantitativa dei mercati finanziari. Il gruppo è diretto da Giampiero M. Gallo ed è attualmente composto da Christian T. Brownlees, Massimiliano Cecconi, Orazio Di Miscia, Andrea Gigli, Marco J. Lombardi e Barbara Pacini. Ulteriori informazioni sulle attuali attività del gruppo sono disponibili all URL: 24 Scienza & Business, Anno III, n.9-10, 2001

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