Secondo appello di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti.

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1 Secondo appello di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano Es. Punti A.A. 01/01. Prof. M. Bramanti 1 Tema n Tot. Cognome e nome in stampatello) codice persona o n di matricola) n d ordine v. elenco) 1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo esplicitamente quante sono: z z 4) = i.. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e giustificandoli brevemente: ) x log 4 +x 1 x lim 4 + x + x + x 1 x ) e x+ ) x 1 e. Derivata di funzione inversa. Sia ) x + f x) = x x + 1 a. Calcolare f x) e dimostrare che f x) è strettamente monotona su 1, + ) e quindi invertibile in tale intervallo. b. Detta g la funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g ) e g ). 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare in altro modo la concavità plausibile. f x) = e x x ) / x. 1

2 . Serie numeriche. Stabilire la convergenza semplice e assoluta della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. n cos nπ) + n sin n n. +. Calcolare il seguente integrale indefinito: x ) 1 x dx. + x + 7. Calcolare il seguente integrale definito: 1 0 x x ) 4 x dx

3 Secondo appello di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 01/01. Prof. M. Bramanti Tema n Es Tot. Punti Cognome e nome in stampatello) codice persona o n di matricola) n d ordine v. elenco) 1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono: i z + iz + = 0.. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione f x) per x x 0, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di f x) in un intorno di x = x 0. Classificare questo punto cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto verticale...). Nota: l esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in base alla sola stima asintotica. e x 1 log 1 x f x) = cos ; x 0 = 0. x 1. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e giustificandoli brevemente: e x cos x) 1 + sin x lim x 0 log 1 + x x ) tan x. 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, calcolo della derivata prima e studio del suo segno, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda. f x) = e x 4 x+.

4 . Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. n cos nπ) + n e sin n + n n.. Calcolare il seguente integrale definito: π π x sin x) dx 7. Determinare l insieme di definizione della seguente funzione integrale, giustificando le proprie affermazioni. In particolare, si chiede di stabilire preliminarmente se esiste o meno l integrale generalizzato in un intorno di ciascuno dei punti in cui si annulla il denominatore dell integranda. F x) = x 1 sin πt) t t ) / t ) 4/ dt. 4

5 Secondo appello di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 01/01. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n 1 Es Tot. Punti 1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo esplicitamente quante sono: Ponendo z = ρe iθ si ha: z z 4) = i. ρ ρ 4) e iθ = e i π. Ora bisogna distinguere i casi: Se ρ > 4, il fattore ρ ρ 4) > 0 è il modulo del numero complesso a primo membro, quindi l equazione diventa { ρ ρ 4) = Quindi ρ 4ρ = 0 ρ = + θ = π + kπ ρ = ± 4 + = ± < 4 non accettabile; + > 4, accettabile. θ = π kπ z 1 = + ) e i π kπ) = i + ). Se ρ < 4, dobbiamo prima riscrivere l equazione come ρ 4 ρ) e iθ+iπ = e i π.

6 { ρ 4 ρ) = θ + π = π + kπ ρ 4ρ + = 0 Le soluzioni sono in tutto. ρ = ± 4 = ± < 4, accettabili. { ρ = ± θ = π kπ z = ± ) e i π kπ) = i ± ) cioè: z, = i ± ).. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e giustificandoli brevemente: ) x log 4 +x 1 x lim 4 + x + x + x 1 x ) e x+ ) x 1 e Poiché per x +, x4 +x 1 x si ha x 4 ) + x 1 log x 4 x4 + x 1 + x 4 + Quindi x + x 1 x = x 1 + poiché x 1 ) x 1 = x x 4 + x x 4 = x. x 1 x 0 per x 1 x x 1 x )) ) 1/ 1) ) x x = x ) e x+ x 1 e = e e x+ x = ) e e 4x 1 poiché 4x 1 0 per x e 4x e 4x f x) e questo è il limite cercato. x x ) e 4x ) = 4 e = e,

7 . Derivata di funzione inversa. Sia ) x + f x) = x x + 1 a. Calcolare f x) e dimostrare che f x) è strettamente monotona su 1, + ) e quindi invertibile in tale intervallo. b. Detta g la funzione inversa di f su tale intervallo, calcolare g ) e g ). a. Calcoliamo f x) = x log ) x + + x + 1 ) x + 1) x + ) x + 1) = x log ) x + 1) x + ) 1). x + 1) Poiché x + 1) x + ) > 0 per x < o x > 1, nell intervallo x > 1 risulta x + 1) x + ) > 0 e quindi log ) x + 1) x + ) 1) < 0, perciò f x) < 0 e f strettamente decrescente e pertanto invertibile. b. Si osserva che f 0) =, quindi g ) = 0 e g ) = 1 f 0) = 1 log ) 1 = log. 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, studio del segno della derivata prima, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda, determinare in altro modo la concavità plausibile. f x) = e x x ) / x. Definita per ogni x. { + con crescita sopralineare Per x ±, f x) xe x 0 y = 0 asintoto orizzontale per x. La funzione si annulla in x = 0, x =, che mi aspetto siano punti di non derivabilità, per la presenza di potenze a esponente α 0, 1). Per x 0, f x) / x; x = 0 punto di flesso a tangente verticale. Per x, f x) e x ) / ; x = punto di cuspide verso il basso e di minimo relativo). 7

8 Calcoliamo: f x) = e [x x ) / x x ) x + + 1/ x ) e x x / = [ x ) x + x + x )] x / 1/ x ) e x [ = x x ] e x = x x 1 ). x / x ) 1/ x / x ) 1/ La derivata è definita per x 0, x ed è f x) 0 per x x 1 x ) 1/ 0 / 1 < x < 1 +, x >. x = 1 punto di minimo relativo; x = 1 + punto di massimo relativo; x = punto di minimo relativo già trovato). Grafico qualitativo: ]. Serie numeriche. Stabilire la convergenza semplice e assoluta della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. n cos nπ) + n sin n n. + Convergenza assoluta. n cos nπ) + n sin n n + = n cos nπ) + n sin n n + ) n cos nπ) + n sin n n cos nπ) n sin n sin n = n n sin n = n 1 n n 8

9 quindi a n 1 n e a n diverge. Convergenza semplice. Ora, n cos nπ) + n sin n n + = n sin n n + n cos nπ) n + converge in quanto converge assolutamente: n sin n n n + n + 1 n, / serie convergente perché / > 1. La serie cos nπ) n n + n n + 1 n è a segni alterni, monotona decrescente. f x) = 0, dimostriamo che n + n sin n n +. n + è almeno definitivamente x x +, f x) = x + x x + ) = x x + ) < 0 se x > n f x) decrescente per x > e n + è definitivamente monotona decrescente. Per il criterio di Leibniz n cos nπ) n + converge e, essendo somma di due serie convergenti, la serie di partenza converge semplicemente.. Calcolare il seguente integrale indefinito: x ) 1 x dx. + x + x ) 1 x dx = 1 x + + x + x + x + = x 1 ) dx x + 1 x + x + dx = x 1 log x + x + ) x arctan dx ) x + 1 = x 1 log x + x + ) ) x + 1 arctan + c. 7 7 )) + c 9

10 7. Calcolare il seguente integrale definito: 1 0 x x ) 4 x dx 1 0 x x ) 1 4 x dx = x 1 ) 4 x xdx = 4 x = t; 4 x = t ; x = 4 t ; xdx = tdt; t = = [ t t 4 t 1 ) t tdt = ] = 0 9 t ) t dt = ) ) 8 [, ]) t t 4) dt = 8. 10

11 Secondo appello di Analisi Matematica 1 Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano A.A. 01/01. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Es Tot. Punti 1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente quante sono: i z + iz + = 0. Equazione di secondo grado, calcoliamo: z = i + i i. Calcoliamo ora le radici i. Poiché i = 4 1 ) i = 4e i 4 π, i = e i π+kπ) = ±e i π = ± e le soluzioni sono. z 1, = i ± 1 + i ) i = 1 + i ) 1+i ) i 1 i + ) i = ± 1 + i ) = + i 1 = + i 1. Stime asintotiche e grafici locali. Dare una stima asintotica della funzione f x) per x x 0, e tracciare, di conseguenza, il grafico qualitativo di f x) in un intorno di x = x 0. Classificare questo punto cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di flesso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto verticale...). Nota: l esercizio chiede di tracciare il grafico locale e classificare il punto in base alla sola stima asintotica. e x 1 log 1 x f x) = cos ; x 0 = 0. x 1 11

12 Per x 0, e x 1 x, e x 1 x log 1 x = log 1 x) x cos x 1 1 ) x Quindi f x) x x 1 x) = x x 1/ = x 1/ x 1/ x / = x / sgn x). Perciò il grafico locale è: e il punto è di discontinuità eliminabile e) di flesso a tangente verticale, ascendente.. Calcolo di limiti. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi in modo chiaro e giustificandoli brevemente: e x cos x) 1 + sin x lim x 0 log 1 + x x ) tan x. e x cos x) 1 + sin x lim x 0 log 1 + x x ) tan x = Sviluppi di MacLaurin al second ordine: e x = 1 x + 1 x) + o x ) cos x) = 1 1 x) + o x ) e x cos x) 1 + sin x = 1 x + 9 x + o x )) 1 x + o x )) 1 + x + o x )) [ ] 0 0 = 1 x + x + o x ) 1 + x = x + o x ) x. 1

13 log 1 + x x ) = x x ) 1 x x ) + o x ) = x x 1 x + o x ) = x x + o x ) log 1 + x x ) tan x = x x + o x )) x + o x )) = x + o x ) x Quindi e questo è il limite cercato. f x) x x =, 4. Studio di funzione. Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico. E richiesto in particolare: insieme di definizione, limiti alla frontiera dell insieme di definizione, eventuali asintoti, calcolo della derivata prima e studio del suo segno, determinazione dei punti di massimo e minimo, studio degli eventuali punti di non derivabilità. Non è richiesto lo studio della derivata seconda. f x) = e x 4 x+. Definita per x. Per x ±, x 4 x + +, f x) 0 + x = punto di discontinuità eliminabile e di minimo assoluto f x) 0 sempre). Per x ±, x 4 x +, quindi x+ y = 0 asintoto orizzontale. Calcoliamo f x) = e x 4 x+ = e x 4 x+ sgn f x) 0 +. x + ) x + x + 4 ) x )) 4 x x + ) x 4 ) x + x + ) sgn x 4 x + )). La funzione non sarà derivabile nei punti in cui si annulla il valore assoluto, cioè x = ± nel punto x = la funzione, prolungata per continuità, è anche 1

14 derivabile con derivata nulla, perché si annulla con velocità esponenziale). Quindi f x) = x 4 x + e x 4 x+ > 0 per < x < o x >. x+) x + x + 4 ) per x <, < x < e x 4 x+ x+) x + x + 4 ) per < x <, x > x + x + 4 > 0 per x > +, x <. Quindi: Negli intervalli x <, < x < si ha f x) 0 per x, + < x <. Perciò x = è punto di massimo relativo e x = + è punto di minimo relativo. Negli intervalli < x <, x > si ha f x) 0 per < x <. Perciò ritroviamo x = punto di minimo assoluto), inoltre x = ± punto di massimo assoluto, perché f ) = 1 e f x) 1 sempre). Controlliamo che i punti x = ± sono effettivamente angolosi: f ±) = 4 f ±) = 4. Grafico qualitativo: per mostrare il punto di massimo in x = è necessario cambiare la scala, si veda il grafico di sinistra):. Serie numeriche. Studiare il carattere della seguente serie, giustificando con precisione le proprie conclusioni in base ai criteri studiati. n cos nπ) + n e sin n + n n. 14

15 Decomponiamo la serie come: n cos nπ) + n e sin n + n n = n cos nπ) + n n + n e sin n + n n. Per la prima serie abbiamo poiché + n n = n n definitivamente): n cos nπ) n n + n n n n n = 1 n, / serie convergente / > 1), quindi per il criterio del confronto e del confronto asintotico) la prima serie converge assolutamente e quindi semplicemente. La seconda serie è a termini definitivamente negativi, possiamo riscriverla n e sin n + n n = n e sin n n n dove la seconda serie è a termini definitivamente positivi. Poiché sin n 1 si ha e sin n e 1 e n e sin n n n n e 1 n n 1 e 1 n, serie armonica divergente. Per il criterio del confronto, la serie n esin n n n diverge, quindi la serie n esin n +n n diverge, ed essendo somma di una serie convergente e una divergente, la serie di partenza diverge.. Calcolare il seguente integrale definito: π π x sin x) dx x sin x) dx = x cos x) + x cos x) dx { x sin x) = x cos x) + 1 sin x) dx = x cos x) + x sin x) + cos x) + c. 9 7 } π π x sin x) dx = = [ x π ) cos x) + x sin x) π π ) 7 9 π = 7 ] π cos x) π. 1

16 7. Determinare l insieme di definizione della seguente funzione integrale, giustificando le proprie affermazioni. In particolare, si chiede di stabilire preliminarmente se esiste o meno l integrale generalizzato in un intorno di ciascuno dei punti in cui si annulla il denominatore dell integranda. F x) = x 1 sin πt) t t ) / t ) 4/ dt. La funzione integranda f t) è continua in R ad eccezione dei punti t = 0,,. Per t 0, f t) non integrabile in senso generalizzato. Per t, f t) πt t ) / ) 4/ = c t sinπt) 4t ) / ) 4/ = c sinπt) t ) /. Poiché il numeratore si annulla di ordine 1 perché si annulla ma ha derivata non nulla) e il denominatore c si annulla di ordine /, f t), che è integrabile in senso generalizzato t ) / perché / < 1. Per t, f t) 1 c =, che non è integrabile in ) )/ t ) 4/ t ) 4/ senso generalizzato perché 4/ > 1. Conclusione: F x) è definita per 0 < x <. 1