PREVISIONE DEI RENDIMENTI MINIMI E MASSIMI DI UN TITOLO IN BORSA MEDIANTE UN MODELLO MULTIVARIATO DI VOLATILITÀ

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1 PREVISIONE DEI RENDIMENTI MINIMI E MASSIMI DI UN TITOLO IN BORSA MEDIANTE UN MODELLO MULTIVARIATO DI VOLATILITÀ ANDREA GUIZZARDI * - PAOLO PARUOLO ** 1. Introduzione Il problema di previsione dei rendimenti azionari è da sempre al centro della letteratura finanziaria empirica; si veda ad esempio Granger (1992) e riferimenti ivi contenuti. Tale letteratura considera frequentemente dati giornalieri e si concentra sulla previsione del rendimento alla chiusura della giornata borsistica, senza indagare i possibili riflessi sulle strategie di investimento, si veda Bollerslev et al. (1992). Il collegamento fra gli aspetti previsivi e di strategia operativa ha invece implicazioni rilevanti sulla definizione delle grandezze che occorre prevedere e di conseguenza sul tipo di impostazione del problema della previsione. Ad esempio, nella predisposizione di schemi operativi ad alta frequenza, più che l anticipazione dei rendimenti alla chiusura risulta di particolare rilevanza la stima dei rendimenti attesi massimi e minimi giornalieri. La necessità di prevedere congiuntamente i rendimenti massimo e minimo colloca, di conseguenza, il problema di previsione ad alta frequenza in ambito multivariato. Oltre al valore atteso, un importante caratteristica di ciascun rendimento azionario è il rischio, valutato condizionatamente all informazione disponibile in ogni periodo. Nella letteratura finanziaria dei modelli CAPM, il rischio di un investimento è riassunto nella cosiddetta «volatilità», identificata con la varianza condizionata del rendimento, si veda ad esempio Ingersoll (1987), Campbell et al. (1997) o Sartore (1999). Volatilità e rendimento atteso, ossia i primi due * Dipartimento di Scienze Statistiche, Università degli Studi di Bologna, guizzard@stat.unibo.it ** Facoltà di Economia, pparuolo@mail.eco.uninsubria.it Lavoro svolto con parziale contributo MURST ex 60 per cento e presentato alla XL Riunione scientifica della Società Italiana degli Economisti, Ancona, ottobre Si ringrazia il professor Giannini per utili suggerimenti e discussioni. A fini ufficiali si specifica che i paragrafi 4, 5, 6, 7 sono stati curati da Andrea Guizzardi e i paragrafi 1, 2, l Appendice e la programmazione informatica da Paolo Paruolo. 51

2 momenti condizionati, costituiscono pertanto le caratteristiche di interesse di ciascuno dei rendimenti considerati. Nel presente lavoro si considerano tutti gli aspetti menzionati e si affronta il tema della previsione ad alta frequenza guardando sia ai problemi di previsione dei rendimenti e della volatitilà di un titolo azionario, sia ai problemi di implementazione di strategie di investimento basate sulle previsioni ottenute. Come messo in evidenza da Granger (1992), la prevedibilità dei rendimenti azionari non implica necessariamente la possibilità di trarre profitto da strategie di arbitraggio basate sulle previsioni, e quindi l inefficienza di mercato, anche se occasionalmente una particolare strategia operativa basata su buone previsioni può fornire risultati soddisfacenti. La letteratura ha proposto nell ultimo decennio diverse classi di processi che spiegano l evoluzione temporale dei valori attesi e della volatilità di più rendimenti; fra i processi di riferimento in questo contesto si colloca la classe di processi GARCH multivariati trattati in Engle e Kroner (1995), e nei riferimenti ivi contenuti. Tali processi sono stati generalizzati al caso in cui vi sia dipendenza dei due primi momenti condizionati da variabili d informazione esterne (VAR- GARCH-X), e al caso in cui sono presenti effetti asimmetrici sulla volatilità nelle fasi di espansione e di storno del mercato. Diversi modelli finanziari, quali varie versioni del CAPM, prevedono una dipendenza lineare dei rendimenti attesi da una misura di volatilità che riassume il rischio; a parità di altre condizioni, infatti, ci si attende un premio per il rischio positivo, ossia un più alto rendimento atteso, a fronte di una più alta rischiosità dell investimento. L estensione dei processi GARCH che annida tale dipendenza è indicata in letteratura come «GARCH in media» o GARCH-M. L aspetto multivariato di questi processi consente di desumere l evoluzione temporale di qualsiasi combinazione lineare dei rendimenti dei titoli considerati, corrispondente a un portafoglio di titoli. Nel caso il sistema contenga i rendimenti minimi e massimi di una stessa azione, una combinazione lineare di interesse è costituita dalla loro differenza, che identifica lo spread max-min. Il ricorso a modelli multivariati permette quindi l analisi dell evoluzione temporale dello spread senza richiedere la definizione di ulteriori equazioni 1. L insieme di informazione disponibile riveste un ruolo centrale nella valutazione dei momenti condizionati oggetto di interesse. Come analizzato nella vasta letteratura sull efficienza informativa dei mercati azio- ¹ Nei modelli univariati non sono inclusi gli aspetti di «collegamento» fra titoli. Per tenerne conto, nel caso di un economia stocastica con due soli titoli, occorrerebbe specificare un numero di «relazioni» univariate pari al numero dei portafogli che si possono generare combinando i due titoli; è semplice osservare che tali combinazioni sono infinite. Un modello multivariato include tutti gli aspetti di «collegamento» necessari a valutare l evoluzione di ogni possibile portafoglio. 52

3 A. GUIZZARDI - P. PARUOLO, PREVISIONE DEI RENDIMENTI MINIMI E MASSIMI... nari, Fama (1970), l insieme di informazione disponibile ai vari investitori potrebbe essere diverso. In questo lavoro si è tentato di utilizzare l insieme d informazione disponibile giorno per giorno ad un operatore finanziario «tipo» appartenente ad un istituzione finanziaria di dimensioni medio-piccole. In tali istituzioni l osservazione dei prezzi di apertura dei mercati spesso precede le decisioni di investimento giornaliere. I prezzi di apertura riflettono l informazione accumulatasi dalla chiusura del mercato precedente, e influenzano le misure di volatilità dei rendimenti, come documentato ad esempio in Gallo e Pacini (1998) e nei riferimenti ivi contenuti. Il prezzo di apertura si forma sulla base delle contrattazioni «virtuali» del mercato che precedono l apertura effettiva. Anche tali informazioni sono utilizzate nella specificazione dei modelli qui presentati. Il lavoro è così organizzato: nel paragrafo 2 si introducono i modelli di riferimento come casi particolari del modello multivariato VAR-GARCH con variabili esterne, effetti asimmetrici e in media. Nel paragrafo 3 si descrivono i dati utilizzati, e nel paragrafo 4 si riportano i risultati di stima e specificazione. Nel paragrafo 5 si riporta il confronto fra previsioni, mentre il paragrafo 6 riporta le conclusioni. In Appendice si riportano alcune considerazioni tecniche sui modelli utilizzati assieme ad alcune tabelle di risultati. 2. Modelli In questo lavoro si considerano modelli econometrici parametrici a tempo discreto t = 1, 2,... per i primi due momenti condizionati di un vettore n-dimensionale di variabili dipendenti Y t. Si suppone che l operatore «tipo» abbia a disposizione un altro vettore di variabili osservabili X t che si ritiene contenga informazione rilevante collegata a Y t ; tali variabili si dicono nel seguito esplicative. Le variabili esplicative possono essere sia di natura deterministica, come una costante o dummy stagionali, sia di natura prettamente stocastica. Al fine di costruire un modello di previsione ex ante per Y t si ipotizza che le variabili esplicative contenute in X t siano osservabili ai tempi passati t i, i = 1, 2,..., o al più a un tempo strettamente precedente rispetto al tempo t 2. L insieme di informazione disponibile consiste pertanto nei valori correnti e passati di X t, ossia X t i, i = 0, 1,... e nei valori passati di Y t, ossia Y t i, i = 1, 2,..., ed è riassunto nel vettore W t :=(Y t 1, Y t 2,... Y t py, Y t, Y t 1,... Y t px ) di dimensione n ω 1, dove p x e p y indicano ordini finiti di ritardi di Y t e X t che si ipotizza siano sufficienti a rappresentare l informazione rilevante per la previsione di Y t. ² La precisazione riguarda ad esempio i prezzi di apertura del mercato tedesco e italiano, considerati noti al tempo t, si veda il paragrafo 3. 53

4 I due momenti condizionati oggetto di interesse µ t := E t (Y t ):= E (Y t W t ) e H t := V t (Y t ):= V (Y t W t ) sono ipotizzati del seguente tipo µ t =ΨW t +Λh t [1] H t = g(c) + g (A(ε t 1 + γ)) + BH t 1 B +g (DW t ), [2] dove h t rappresenta (incolonnati per colonna) gli elementi sulla diagonale principale e nel triangolo inferiore della matrice di varianza e covarianza H t. La funzione g è scelta pari a g(x) = xx. I parametri del modello sono dati da (Ψ, Λ, C, A, γ, B, D); il vettore n-dimensionale ε t indica gli scarti dal valore atteso condizionato, dette innovazioni, ε t := Y t µ t. I modelli [1] e [2] sono stati per la prima volta introdotti da Engle e Kroner (1995) 3. Rispetto alla formulazione originaria, la specificazione presente contiene alcuni termini aggiuntivi che possono dare ragione degli effetti di asimmetria nell impatto dell informazione e della dipendenza diretta della volatilità dall insieme di informazione. Una breve descrizione tecnica di detti modelli è riportata in Appendice. 3. I dati Il campione considerato per l analisi empirica va dal gennaio 1994 al settembre 1999, per un totale di osservazioni giornaliere. Il periodo è adatto a studiare le dinamiche di un titolo azionario quotato alla Borsa di Milano in quanto comprende tutti i principali movimenti dei prezzi che si possono osservare sui mercati borsistici. In particolare tra il gennaio 1994 e la metà del 1997 si è osservato un lungo movimento laterale seguito da un periodo di crescita che è stato interrotto da due forti fasi di storno nel La fonte di tutte le serie è DATASTREAM. Per compiere l analisi previsiva il campione totale è stato suddiviso in tre sottocampioni: un campione di stima (C 1 ), un campione di calibrazione (C 2 ), e un campione di previsione (C 3 ). Il campione C 1 copre il periodo tra il 3 gennaio 1994 ed il 30 dicembre 1998, per un totale di osservazioni, ed è utilizzato per la specificazione e la stima dei modelli. Il ricorso a variabili ritardate quali variabili d informazione ha ridotto il numero di osservazioni disponibili a T 1 = ³ In dettaglio corrispondono alla forma ridotta dei processi GARCH(1, 1) simultanei multivariati con effetto in media di tipo BEKK con K = 1 introdotti da Engle e Kroner (1995), eq. (3.1). In questo lavoro si utilizza la forma ridotta rinunciando all approfondimento della struttura di simultaneità fra le variabili dipendenti per focalizzare l attenzione sugli aspetti previsivi. Questa scelta non va intesa come riduttiva dell importanza della struttura di simultaneità, ma solo come scelta operativa. 54

5 A. GUIZZARDI - P. PARUOLO, PREVISIONE DEI RENDIMENTI MINIMI E MASSIMI... Il campione C 2 è composto da T 2 T 1 = 96 osservazioni relative al periodo 1 gennaio - 21 maggio 1999, ed è utilizzato sia per stimare i quantili della distribuzione dei previsori in modo non parametrico sia per valutare le potenzialità delle regole di trading implementabili sulla base della previsione di rendimenti attesi e volatilità. Il campione C 2 è stato successivamente unito al campione C 1 per ristimare i modelli selezionati prima di procedere al calcolo delle previsioni su di un terzo campione. Questo, indicato con C 3, consta di T 3 T 2 = 76 osservazioni riferite al periodo tra il 24 maggio ed il 3 settembre 1999; C 3 oltre che alla valutazione della capacità previsiva dei modelli, è utilizzato per misurare il profitto ottenibile dalle regole di trading calibrate sul campione C Le variabili dipendenti Si è scelto per l analisi il titolo azionario IFIL-Finanziaria di Partecipazioni SPA, un impresa che sul periodo d osservazione ha fatto parte dell indice MIB30. Oltre alla elevata dimensione 4, altre importanti ragioni hanno suggerito la scelta del titolo. La finanziaria ha una rilevante quota di azionariato stabile e la sua quotazione è pertanto meno soggetta rispetto a quella di altre blue-chips ad oscillazioni legate a manovre speculative; inoltre risulta un titolo meno esposto di altri alle congiunture settoriali dato che ha partecipazioni ampiamente diversificate. L IFIL conta partecipazioni nella grande distribuzione (con il controllo del gruppo Rinascente attraverso la sua partecipazione maggioritaria nel pacchetto azionario del gruppo Eurofind), nell alimentare (con il 55,2 per cento della Worms & C. (Fr)), e nel leisure (attraverso il controllo del 43,5 per cento del capitale sociale di Alpitour, del 25 per cento di Sifalberghi e del 22,7 per cento di Club Med. Altre partecipazioni rilevanti sono quelle collegate alla proprietà del 3,5 per cento del capitale sociale di S. Paolo- IMI, del 22 per cento del gruppo UNICEM e soprattutto del 12,3 per cento del gruppo FIAT detenuto direttamente o attraverso società controllate. Le variabili dipendenti Y t := (Y 1t, Y 2t ) sono costituite dai rendimenti giornalieri massimo e minimo del titolo IFIL calcolati rispettivamente come logaritmo del rapporto tra le quotazioni massima e minima e il prezzo fatto registrare alla chiusura della giornata borsistica precedente. La differenza S t := Y 1t Y 2t definisce il max-min spread fra i rendimenti massimo e minimo del titolo IFIL. L analisi grafica delle variabili Y t mostra per la serie Y 2t la presenza di 2 realizzazioni che è possibile considerare anomale data l entità del movi- ⁴ La IFIL è una impresa con circa dipendenti ed una capitalizzazione di Borsa di circa 2,5 miliardi di euro all inizio del

6 mento e la loro realizzazione in periodi di bassa volatilità. Il 26/5/94 si è registrata una diminuzione massima di 17,6 punti percentuali in occasione dell aumento di capitale varato per acquistare UNICEM; il 24/4/98 si è registrata una flessione massima di oltre il 10 per cento dovuta a false aspettative createsi durante la fusione tra banca IMI e Istituto S. Paolo; tali osservazioni sono state eliminate nella fase di stima. Altre diminuzioni superiori a 10 punti percentuali si sono realizzate nel corso del periodo considerato, ma il loro verificarsi in settimane di elevata volatilità ha consigliato di non eliminarle dal campione. La Figura 1 riporta i grafici di Y 1t e Y 2t nel campione C 1 mentre la Figura 2 riporta i grafici delle stesse serie nei campioni C 2 e C 3. Fig. 2 Rendimenti giornalieri massimi Y 1t (a sinisra) e minimi Y 2t (a destra) del titolo IFIL dal 1 gennaio 1998 al 3 settembre 1999, campioni di calibrazione C 2 e di previsione C 3 56

7 A. GUIZZARDI - P. PARUOLO, PREVISIONE DEI RENDIMENTI MINIMI E MASSIMI... L analisi descrittiva delle due serie (Tabella 1) evidenzia come nei movimenti al rialzo o al ribasso il titolo abbia mantenuto una forte simmetria rispetto al prezzo di chiusura (lo zero); i valori medi, mediani, ed i quantili estremi di Y 1t e Y 2t sono definiti dagli stessi valori (con segno inverso); anche la volatilità delle due serie è molto simile. Le distribuzioni marginali dei rendimenti minimi e massimi sono asimmetriche, la prima a sinistra la seconda a destra, con un indice di asimmetria abbastanza simile; il test di Jarque-Bera sulla normalità marginale dei rendimenti indica per entrambe le variabili il rifiuto dell ipotesi di normalità sia pure tale non normalità risulti inferiore a quella misurata sullo spread S t. Tabella 1 Statistiche descrittive per le serie dei rendimenti considerati, campione totale C 1, C 2, C 3, periodo dal 3 gennaio 1994 al 3 settembre 1999; i dati relativi alle date contenenti i 2 outliers sono stati esclusi Y 1t Y 2t S t Y 1t Y 2t S t media 1,43 1,48 2,91 asimmetria 0,92 1,05 2 mediana 1,25 1,26 2,53 curtosi 5,62 6,16 9,9 minimo 0,054 0,118 0 Jarque-Bera massimo 9,72 4,63 14,3 1 centile 0, 02 0,07 0,008 dev. st. 1,67 1,74 1,57 99 centile 0, 07 0,02 0, Le variabili d informazione Le variabili di informazione comprendono prezzi, volumi, cambi e tassi di interesse rilevati a cadenza giornaliera e disponibili al pubblico degli investitori. In riferimento ai prezzi azionari si sono rilevate le quotazioni di apertura, minime, massime e di chiusura delle azioni ordinarie e di risparmio dei titoli IFIL e FIAT. I prezzi del titolo FIAT sono stati esplicitamente considerati nell ipotesi che l andamento di questa importante controllata possa anticipare le dinamiche dei prezzi IFIL. Inoltre si sono considerati altri indicatori azionari reelativi ai mercati italiano, tedesco e statunitense quali gli indici Comit, DAX e Standard & Poor 500. L informazione sui volumi è considerata mediante le capitalizzazioni giornaliere dei singoli titoli e dei mercati italiano e statunitense 5. Per considerare l effetto delle dinamiche dei tassi a breve e a lungo ⁵ La serie della capitalizzazione giornaliera delle azioni scambiate del titolo ordinario IFIL presenta una decina di dati mancanti; si è quindi fatto ricorso alla seguente semplice tecnica di imputazione. Se a fronte di un dato mancante non si verificano variazioni di prezzo si è imputato il volume minimo, viceversa se vengono osservate modificazioni di prezzo si imputa la capitalizzazione media delle giornate borsistiche precedente e successiva. 57

8 termine si sono osservati il tasso RIBOR a 7 giorni e il rendimento del BTP decennale benckmark. Per quanto riguarda il mercato dei cambi ci si è limitati a includere la sola informazione sul cambio liradollaro in considerazione dell entrata dell Italia nell area euro. Tutte le variabili sono state opportunamente ritardate in modo da rappresentare l informazione disponibile per l operatore «tipo» nell istante precedente la formazione dei rendimenti da prevedere. La maggior parte sono quindi calcolate con riferimento all istante t 1; si sono anche considerate variabili correnti rispetto alle variabili dipendenti Y t qualora sia possibile conoscerne le realizzazioni alcuni istanti prima dell apertura del mercato italiano. Tra queste variabili figurano il dato di apertura delle Borse tedesca e italiana; nell ipotesi che quest ultimo dato sia prevedibile dall operatore tipo prima dell effettivo inizio delle contrattazioni, a partire dalle informazioni sui prezzi nelle fasi di pre-apertura e validazione. Nel seguito del lavoro per indicare le singole variabili di informazione si utilizza una notazione del tipo xyz, dove i possibili valori assunti dalle tre lettere sono riassunti nella Tabella 2. Ad esempio I_H indica il logaritmo naturale del prezzo massimo IFIL al tempo t 1; si noti che i soli dati di apertura si riferiscono al tempo corrente. La non stazionarietà di molte delle serie considerate ha suggerito alcune trasformazioni alle variabili originarie. Ad esclusione dei tassi di interesse, i prezzi i volumi e i cambi sono espressi mediante il loro logaritmo naturale. La trasformazione consente di approssimare i rendimenti mediante differenze temporali e di valutare i rendimenti di portafoglio mediante combinazioni lineari. In particolare i differenziali xyh xyl e xyh xy_ danno 8 rendimenti (stazionari) che forniscono informazioni possibilmente rilevanti per la previsione di Y t. Tabella 2 Simbologa xyz adottata per descrivere le variabili d informazione x y z I ln prezzo IFIL R azione di risparmio H massimo in t 1 F ln prezzo FIAT _ altrimenti L minimo in t 1 C ln indice Comit O apertura in t D ln indice DAX V volume in t 1 S ln indice S&P500 _ altrimenti in t 1 L ln cambio /$ B tasso BTP R tasso RIBOR Accanto a rendimenti e differenziali si sono anche considerati alcuni indicatori simili a quelli proposti dall analisi tecnica. Tra questi si sono calcolati la differenza tra prezzo di un titolo e la sua media mobile a 5 e 21 termini (corrispondenti rispettivamente alla lunghez- 58

9 A. GUIZZARDI - P. PARUOLO, PREVISIONE DEI RENDIMENTI MINIMI E MASSIMI... za di una settimana e di un mese borsistico), la differenza tra medie mobili di diversa lunghezza (oscillatore MACD) e infine la differenza tra il rendimento dei singoli titoli e quello di mercato (forza relativa). Per rappresentare schematicamente tali indicatori si fa ricorso nel seguito alla notazione m (X t, i) per indicare l operatore media mobile applicato a i termini della variabile X t, m (X t, i) := i 1 i j = 1 0 X t j, e alla notazione m i (X t ) per indicare gli operatori m 1 (X t ):=X t m(x t, 5), m 2 (X t ):= m (X t, 5) m(x t, 21). Si rammenti infine che l operatore differenza è definito come segue X t := X t X t 1. Le variabili di informazione ricavate mediante le trasformazioni precedentemente descritte sono 174. La necessità di non escludere a priori informazioni che possono essere rilevanti nella specificazione di schemi di previsione dinamici ha suggerito di considerare anche i ritardi secondo e quinto, quest ultimo corrispondente ai valori delle variabili di informazione lo stesso giorno della settimana precedente. Data la presenza di relazioni di collinearità nell insieme delle variabili d informazione ai ritardi 1, 2, 5 (indicato con il 125 ) le variabili nel complesso considerate risultano Ricerca della specificazione e stima dei modelli previsivi Nella specificazione dei modelli si è inizialmente affrontato il problema della scelta delle varibili d informazione rilevanti tra le 400 descritte nel paragrafo precedente. A tale fine si è ipotizzato che l operatore tipo selezioni le variabili rilevanti, per la previsione di Y t, con una semplice logica lineare univariata; questa si traduce nel confronto, mediante test F, di diversi modelli lineari univariati per la media condizionata di Y 1t e Y 2t (del tipo [1], con λ=0) stimati condizionatamente a differenti insiemi di variabili esplicative. Nel caso della variabile dipendente Y 1t il confronto tra le somma dei quadrati dei residui delle due regressioni sugli insiemi di informazione 125 e 15 ha portato a una statistica F con valore di probabilità nella coda (p-value) pari a 67,9 per cento mentre il confronto fra 125 e 12 ha dato luogo a un p-value pari a 4,1 per cento. L ulteriore confronto considerando gli insiemi di informazione 15 e 1 ha dato luogo a un p-value pari a 0,3 per cento. Nel caso di Y 2t il confronto dei risultati basati sugli insiemi 125 e 15, e 125 e 12 ha portato in entrambi i casi a p-values superiori al 30 per cento mentre l ulteriore confronto fra gli insiemi di informazione 15 e 1, e 12 e 1 ha dato luogo a p-values inferiori all 1 per cento. ⁶ Un esempio di collinearità nell insieme si ha considerando le variabili α t := (I_H t 1 I t 1 ), b t := (I_L t 1 I t 1 ), c t :=.I_H t 1, d t := I_L t 1 e i loro ritardi α t 1, b t 1, c t 1, d t 1. Si osservi che (α t bt)= (I_H t 1 I_L t 1 ), e che quindi (α t b t ) (α t 1 -b t 1 ) = c t d t. Tale relazione di esatta collinearità implica la «ridondanza» dell informazione contenuta nei ritardi a t 1 e b t 1. 59

10 A partire dagli insiemi selezionati con i test precedenti ( 15 per Y 1t e 12 per Y 2t ) si è quindi proceduto alla selezione delle variabili d informazione utilizzando la procedura stepwise contenuta in SPSS (1997). I risultati della selezione hanno permesso di ridurre le variabili iniziali a 46; a queste si sono aggiunte 14 combinazioni lineari di alcune delle variabili escluse che presentano una diretta interpretazione come indicatori di analisi tecnica. In dettaglio: le differenze tra i rendimenti di apertura, chiusura, massimo e minimo dei titoli considerati e il rendimento di mercato, oltre alla differenza tra le variazioni percentuali dei volumi di singoli titoli e le variazioni percentuali dei volumi del mercato. Si è quindi valutata la significatività di queste variabili «tecniche» mediante test sui coefficienti di regressione, escludendo le variabili con statistiche t non significative al 5 per cento; l informazione sui volumi è risultata significativa nell equazione del rendimento massimo atteso Y 1t. Selezionate le variabili d informazione si è condotta un analisi dei residui delle equazioni univariate stimate per le medie condizionate, con l obiettivo di indagare la presenza di eteroschedasticità condizionata. Si sono quindi calcolati test LM, Engle (1982), specificando 5 ritardi per la variabile dipendente. Per Y 1t si è ottenuta una statistica F pari a 4,66 con p-value 0,032 per cento; per la variabile Y 2t si è ottenuta una statistica F pari a 6,40 con p-value 0,0007 per cento; tali risultati indicano la presenza di eteroschedasticità condizionata e suggeriscono di limitare i successivi confronti alla modellistica GARCH univariata e multivariata con effetti in media I modelli univariati Le specificazioni GARCH univariate sono state scelte in modo da annidare le precedenti specificazioni lineari per la media condizionata. Le variabili d informazione contenute in 1 sono state introdotte nella specificazione dell equazione della varianza condizionata e successivamente eliminate in modo sequenziale sulla base delle statistiche t associate. I calcoli sono stati effettuati con Eviews ver La specificazione finale è stata ulteriormente confrontata con il modello contenente tutte le variabili d informazione 1 nell equazione della varianza; quando il test ha suggerito il rifiuto dell ipotesi di uguaglianza tra i modelli alcune delle variabili omesse sono state reintrodotte, fino ad ottenere un modello congruente con il modello generale. La procedura è stata ripetuta per entrambe le variabili dipendenti ed ha portato a selezionare 19 ulteriori variabili per la varianza condizionata oltre alle 46 scelte in precedenza per modellare il valor atteso condizionato. Le 65 variabili d informazione così ottenute sono elencate nella Tabella 12A in Appendice. I modelli GARCH univariati stimati sono riassunti nelle Tabelle 13A, 14A in Appendice. 60

11 A. GUIZZARDI - P. PARUOLO, PREVISIONE DEI RENDIMENTI MINIMI E MASSIMI... L elevato valore di R 2, pari a 0,52, delle specificazioni per Y 1t e Y 2t testimonia l alto contenuto informativo delle variabili esplicative selezionate. La Tabella 3 riporta la diagnostica sui residui dei modelli univariati. L analisi dei residui standardizzati evidenzia, per entrambe le variabili dipendenti, la non normalità dei residui, si veda il test di Jarque-Bera. La curtosi dei residui standardizzati risulta minore di quella delle variabili dipendenti grezze, cfr. Tabella 1; tuttavia permane l asimmetria a destra nei residui dell equazione per Y 1, t e a sinistra per l equazione di Y 2, t. I valori assunti dai test Q di Ljung-Box non consentono di rifiutare l ipotesi di incorrelazione dei residui a qualunque ritardo temporale e i residui standardizzati appaiono omoschedastici; la presenza di eteroschedasticità residua fino al ritardo 5 è infatti rifiutata sulla base del test LM-ARCH. Tabella 3 Test sui residui standardizzati; LB: test di Ljung e Box, ARCH: test ARCH di Engle. Nelle colonne relative a test si riportano le probabilità nella coda. Il test di normalità di Jarque e Bera è sempre risultato significativo modello R 2 asim- curtosi LB ARCH metria (21) (5) Y 1t Univariato 0,52 0,97 3,85 0,90 0,76 Y 2t Univariato 0,52 0,94 4,41 0,65 0,85 Y 1t VAR 0,65 11,5 1 0,01 0,00 Y 2t VAR 0,90 30,5 24 0,00 0,00 Y 1t GARCH 0,78 1,20 5,28 0,54 0,39 Y 2t GARCH 0,80 1,04 4,52 0,39 0, I modelli multivariati I modelli multivariati sono stati stimati sia nella formulazione [1] con vincoli Λ =0, H t = H (modello VAR), sia nella formulazione [1] e [2] senza alcun vincolo sui parametri (modello VAR-GARCH-M). Per garantire il confronto con i risultati dei modelli univariati, l insieme d informazione utilizzato per specificare la modellistica VAR comprende le sole 65 variabili impiegate per la stima delle specificazioni univariate. Per la stessa ragione nel modello GARCH multivariato sono state inizialmente incluse nelle equazioni della media le sole variabili d informazione presenti nelle equazioni della media dei due modelli GARCH univariati e nelle equazioni della varianza le medesime variabili esplicative contenute nelle equazioni univariate delle varianze. Il modello VAR è stato stimato utilizzando PCFIML ver. 9.0, si veda Doornik e Hendry (1996). La stima del modello VAR-GARCH-M è stata ottenuta mediante massimizzazione numerica effettuata in Gauss 3.01 Vmi con il modulo applicativo Maxlik e derivate prime 61

12 analitiche. In Appendice si riportano alcune delle soluzioni adottate per l inizializzazione dei parametri nella massimizzazione numerica. I residui della specificazione VAR mostrano problemi di eteroschedasticità e correlazione seriale, che consigliano di considerare effetti GARCH, si veda la Tabella 3. Alla specificazione del modello GARCH multivariato finale si è giunti attraverso semplificazioni successive della specificazione iniziale sulla base di test di Wald robusti rispetto alla mis-specificazione della distribuzione delle innovazioni. Il modello ottenuto presenta R 2 entro campione prossimi a 0,8 per entrambe le equazioni, si veda la Tabella 3, indicando un miglior adattamento rispetto alle specificazioni univariate. Le statistiche di curtosi e di asimmetria della distribuzione dei residui standardizzati mostrano le medesime caratteristiche di nonnormalità osservate per i modelli univariati. Il confronto con le medesime statistiche calcolate sui dati grezzi mostra una lieve diminuzione della curtosi, si veda la Tabella 1; i residui standardizzati non mostrano segni di autocorrelazione nei livelli o nei quadrati. Le Tabelle 4, 5 riportano dettagliatamente il risultato finale della stima del modello GARCH multivariato e le statistiche t asintotiche. I parametri non riportati sono risultati non significativi e sono stati quindi vincolati a 0; alcuni coefficienti con statistiche t non lontane dalla soglia di significatività del 5 per cento sono stati comunque stimati nel modello. I risultati ottenuti permettono di avanzare alcune considerazioni. La significatività di alcuni coefficienti in Λ suggerisce l esistenza di premi per il rischio; a parità di altri fattori, il premio di rischio sulla volatiltà del rendimento minimo risulta maggiore di quello sul rendimento massimo. Il risultato implica che all aumentare della volatilità diventa più facile aumentare il rendimento giornaliero acquistando a prezzi bassi piuttosto che vendendo a prezzi elevati. La matrice stimata A risulta diagonale, indicando un effetto separato sulle rispettive varianze delle innovazioni sul rendimento minimo e massimo. Il vettore γ associato agli effetti asimmetrici non è risultato significativo, indicando l assenza di effetti asimmetrici nella volatilità. La rischiosità non dipende quindi dal segno delle innovazioni ma solo dal loro valore assoluto. Il risultato potrebbe essere ricondotto alla natura poco speculativa del titolo considerato. In linea con le indicazioni contenute nella letteratura, la matrice B stimata risulta significativa e con coefficienti molto elevati. Tali valori rilevano la presenza di effetti persistenti nella varianza (cluster di variabilità); si osservi inoltre la presenza di effetti incrociati associati ai coefficienti non diagonali. L analisi delle matrici Ψ e D stimate mostra una interessante distinzione nell azione delle variabili d informazione. L informazione contenuta nei tassi e nei volumi dei singoli titoli è rilevante soprattutto per la previsione della varianza, mentre nella previsione dei rendi- 62