Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili. Modelli per la Logistica: Single Flow One Level Model Multi Flow Two Level Model

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1 Rcerca Operatva e Logstca Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentl Modell per la Logstca: Sngle Flow One Level Model Mult Flow Two Level Model

2 Modell d localzzazone nel dscreto

3 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello I modell sngle-commodty, one-level (SCOL) consentono d schematzzare problem d localzzazone d nod logstc qualora sa trascurable, o pressoché costante, l costo d trasporto da nod a monte oppure verso nod a valle.

4 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Tpche Applcazon Localzzazone d stablment produttv, come ad esempo quell del settore sderurgco, con lavorazon caratterzzate da un prodotto fnale d peso sensblmente nferore a quello delle matere prme utlzzate (n tal cas, cost d trasporto assocat a fluss n ngresso all mpanto rsultano preponderant). Localzzazone de centr d dstrbuzone d un mpresa commercale che acqust le merc e provveda po al rfornmento de punt d vendta spars su una vasta area geografca.

5 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Obettvo da persegure: mnmzzazone della somma de cost d gestone de centr d dstrbuzone e de cost d trasporto da quest a punt d domanda. Vncol pù comun: - numero de nod - massmo lvello d attvtà realzzable n un sto - tempo d servzo a clent.

6 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Esempo RDC Localzzazone d RDC Punt d Domanda

7 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello S consder un grafo orentato bpartto G(V 1 V 2, A) nel quale: V 1 : nseme de st potenzal V 2 : nseme de punt d domanda (clent) A : nseme degl arch assocat a fluss materal tra st potenzal e punt d domanda.

8 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello La presenza d un vncolo sul mnmo lvello d servzo da offrre a clent può essere portata n conto elmnando da A gl arch (, j) tal che l tempo d trasporto da a j è superore al valore massmo consentto.

9 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello 1 1 Rappresentazone su grafo bpartto del problema d localzzazone a un lvello j V 1 V 2 gl arch (1,j ) e ( V 1,1) sono assent nell potes che temp d vaggo tra nod corrspondent sano superor al valore massmo consentto

10 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello (SCOL) Formulazone S ndch: d j, j V 2 q, V 1 quanttà d prodotto rchesta dal punto d domanda j capactà del sto u, V 1 s j, V 1, j V 2 varable decsonale che esprme l lvello d attvtà nel sto (quanto flusso esce dal sto ) varable decsonale rappresentante la quanttà d prodotto nvata dal sto al punto d domanda j

11 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Formulazone C j (s j ), V 1, j V 2 costo corrspondente al trasporto d una quanttà d prodotto s j dal sto al punto d domanda j F (u ), V 1 funzone d costo corrspondente al lvello d attvtà u nel sto

12 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Osservazon le varabl u, V 1 defnscono la scelta d localzzazone (un sto è sede d un attvtà se e solo se la corrspondente varable u è postva); le varabl s j, V 1, j V 2 defnscono la scelta d allocazone delle domande a nod logstc.

13 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Mn s.t. V 1 j V 2 j V 2 V 1 j V 2 C j ( s j ) + V 1 s =, V 1 j u s =, j V 2 j d j s, V 1 j q F ( u ) s j 0, V 1, j V 2 u 0, V 1.

14 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Cost d Trasporto Lnear e d Eserczo Costant (1/9) S supponga che: 1. l costo d trasporto sa d tpo lneare: 2. l costo F (u ) ncluda, per ogn V 1, un termne d avvamento (set-up) f ed un costo margnale g costante al varare d u : C j (s j ) = cj s j, V 1, j V 2 ( u ) = f +g 0, u, se u se u > 0 F, V 1. = 0

15 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Cost d Trasporto Lnear e d Eserczo Costant (2/9) Assumendo g trascurable, è possble sostture la varable contnua u con una varable d tpo bnaro y (d valore par a 1 se nel vertce V 1 è aperto un mpanto, 0 altrment). In tal caso, s ha: F = f y, V 1 ed vncol relatv alla capactà de st ed a fluss da ess uscent sono così rformulat: j V 2 s j q, V 1 s j q y, V 1. j V 2

16 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Cost d Trasporto Lnear e d Eserczo Costant (3/9) 3. Qualora sa defnto un numero p prefssato d nod logstc da localzzare, è necessaro aggungere l vncolo: V 1 y = p.

17 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Cost d Trasporto Lnear e d Eserczo Costant (4/9) 4. Indcando con x j, V 1, j V 2 la frazone della domanda d j del punto d domanda j soddsfatta dal nodo, s ha : s j = d j x j, V 1, j V 2, e l lvello d attvtà u nel nodo logstco V 1 può essere espresso nel modo seguente: u = j V 2 d j x j, V 1.

18 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Cost d Trasporto Lnear e d Eserczo Costant (5/9) Mn s.t. V V j V c j x j V 1 1 j V 2 V 1 x = 1, j V 2 j f y d x q y, V 1 y j j = p 0 x j 1, V 1, j V 2 y {0, 1}, V 1.

19 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Cost d Trasporto Lnear e d Eserczo Costant (6/9) dove s è ndcato con c j = cj d j, V 1, j V 2 l costo d trasporto sostenuto qualora l ntera domanda d j del clente j V 2 sa soddsfatta dal nodo logstco V 1. La formulazone ottenuta è alquanto generale e talvolta può essere semplfcata!

20 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Cost d Trasporto Lnear e d Eserczo Costant (7/9) Elmnando l vncolo che mpone l numero d nod da localzzare, s ottene l modello d localzzazone d mpant con vncol d capactà (capactated plant locaton, CPL). Rmuovendo da quest ultmo anche vncol relatv alla capactà de nod, s ottene l modello d localzzazone d mpant non-capactato (smple plant locaton, SPL o Ucapactated plant locaton, UCPL)

21 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Cost d Trasporto Lnear e d Eserczo Costant (8/9) Supponendo, nvece, nella formulazone generale: 1. f = f, V 1 l costo d eserczo de nod è costante e par a fp; 2. d j = 1, j V 2 ; 3. q = V 2, V 1 s ottene l modello d p-medana.

22 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Cost d Trasporto Lnear e d Eserczo Costant (9/9) Un estensone del modello può essere nvece ottenuta rchedendo che un sottonseme de nod logstc V 1 V 1 sa necessaramente attvato. Cò può otteners aggungendo al modello generale seguent vncol: y = 1, V 1.

23 Mn s.t. j V V 1 2 V 1 j V 2 c j x j x = 1, j V 2 j d j xj q, V 1 0 x j 1, V 1, j V 2.

24 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Allocazone della Domanda (1/2) A causa della presenza de vncol d capactà può accadere che, all ottmo, alcune varabl x j * assumano valor frazonar. Ne modell d localzzazone senza vncol d capactà, nvece, esste almeno una soluzone ottma a component ntere (propretà d sngle assgnment).

25 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello Allocazone della Domanda (2/2) In tal cas, è possble ottenere agevolmente la soluzone ottma ntera, determnando per ogn vertce j V 2, l nodo tale che: j V 1 e ponendo: j = arg mn{ c V 1 j } x * j = 1, se = j 0, altrment.

26 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello (88/111) Cost d Eserczo Concav e Lnear a Tratt (1/11) Caso A Il costo d eserczo F (u ) d un nodo logstco V 1 è esprmble nel seguente modo: f +gu, se u > 0 F ( u ) =, V 1, 0, se u = 0 dove l lvello d attvtà del nodo V 1 è dato da: u = j V 2 d j x j, V 1.

27 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello (89/111) Cost d Eserczo Concav e Lnear a Tratt (2/11) Caso A F (u ) f u Andamento del costo d eserczo F (u ) del sto V 1

28 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello (90/111) Cost d Eserczo Concav e Lnear a Tratt (3/11) Caso A Tale caso è rconducble al modello SCOL rscrvendo la funzone obettvo nel modo seguente: V j V t j x j V 1 f y dove: t j = c j + g d j, V 1, j V 2.

29 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello (91/111) Cost d Eserczo Concav e Lnear a Tratt (4/11) Caso A S osserv che: se l sto V 1 è attvato, l prmo termne della funzone obettvo porta n conto non solo l costo d trasporto c j x j, j V 2, ma anche l alquota g d j x j del costo varable del centro logstco V 1 ; se, nvece, l sto V 1 non è attvato, le varabl x j, j V 2, assumono valore zero e qund cò non comporta alcuna alquota d costo per la funzone obettvo.

30 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello (92/111) Cost d Eserczo Concav e Lnear a Tratt (5/11) Caso B S supponga che: l nodo logstco non sa economcamente convenente quando l suo lvello d attvtà è nferore a un valore o superore a una sogla ; per valor ntermed, l costo cresca con andamento lneare. + q q

31 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello (93/111) Cost d Eserczo Concav e Lnear a Tratt (6/11) Caso B In tal caso, l costo d eserczo d un nodo logstco V 1 ha un andamento del tpo: F (u ) f u q + q

32 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello (94/111) Cost d Eserczo Concav e Lnear a Tratt (7/11) Caso B Tale caso è rconducble al caso precedente ponendo nel modello SCOL con funzone obettvo seguent vncol nerent la capactà de nod: q y d x q y, V 1. V j V j V 2 t j x j j j V 1 f + y

33 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello (95/111) Cost d Eserczo Concav e Lnear a Tratt (8/11) Caso C S consder l caso n cu, data la presenza d econome d scala, l costo d eserczo F (u ) d un nodo logstco V 1 sa una funzone concava e lneare a tratt del suo lvello d attvtà. Ad esempo, se v sono solo due tratt: " " ' f +g u, se u > u ' ' ' F ( u ) = f+g u, se 0 < u u, V 1 0, se u = 0,

34 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello (96/111) Cost d Eserczo Concav e Lnear a Tratt (9/11) Caso C F (u ) " f ' f ' u Rsulta evdente che: f < f e g > g u

35 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello (97/111) Cost d Eserczo Concav e Lnear a Tratt (10/11) Caso C In tal caso, è possble rmpazzare ogn nodo logstco caratterzzato da un sffatto costo d eserczo con tant nod fttz quant sono tratt lnear della funzone d costo. Qund, nell esempo preso n esame l nodo V 1 è rmpazzato da due nod fttz e, cu cost d eserczo sono caratterzzat, rspettvamente, da cost fss par a f e f e da cost margnal par a g e g.

36 Modell a Prodotto Sngolo e a Un Lvello (98/111) Cost d Eserczo Concav e Lnear a Tratt (11/11) Caso C Osservazone: n tal modo l problema è rconducble al Caso A trattato n precedenza, gacché s può dmostrare faclmente che, n ogn soluzone ottma, al pù uno de nod logstc fttz può essere eventualmente selezonato.

37 Modell Mult-Prodotto a Due Lvell (1/12) I modell mult-prodotto a due lvell (mult-commodty, two-levels, MCTL) consentono d schematzzare alcun tra problem d localzzazone-allocazone pù compless.

38 Modell Mult-Prodotto a Due Lvell (2/12) Tpche applcazon s hanno nel settore de ben d largo consumo, n cu gl artcol sono tpcamente centnaa (con caratterstche fsche molto dverse l uno dall altro) e l sstema logstco s compone d mpant d produzone e d un solo tpo d centr d dstrbuzone (dstrbuton centers, DC).

39 Modell Mult-Prodotto a Due Lvell (3/12) S ndch con: V 1 l nseme degl mpant d produzone; V 2 l nseme de DC potenzal, de qual p sono da attvare; V 3 l nseme de punt d domanda; K le class d prodott omogene; k c jr, V 1, j V 2, r V 3, k K, l costo d trasporto untaro del prodotto k dall mpanto al punto d domanda r attraverso l centro d dstrbuzone j ;

40 Modell Mult-Prodotto a Due Lvell (4/12) k d r, r V 3, k K, la quanttà d prodotto k rchesta dal punto d domanda r ; k p, V 1, k K, la massma quanttà d prodotto k che l mpanto può realzzare nell untà d tempo (ad esempo, un anno); - + q j, q j, j V 2, rspettvamente, l mnmo e l massmo lvello d attvtà del DC potenzale j.

41 Modell Mult-Prodotto a Due Lvell (5/12) S supponga, nfne, che: l costo d eserczo d cascun centro d dstrbuzone j V 2 sa esprmble n funzone del quanttatvo d merc mmagazznato e caratterzzato, n partcolare, da cost fss f j e cost margnal g j ; la domanda non sa frazonable.

42 Modell Mult-Prodotto a Due Lvell (6/12) Varabl decsonal : z j, j V 2, d tpo bnaro, avente valore par a 1 se l centro d dstrbuzone j è selezonato, 0 altrment; y jr, j V 2, r V 3, d tpo bnaro, avente valore par a 1 se l punto d domanda r è assegnato al centro d dstrbuzone j, 0 altrment;

43 Modell Mult-Prodotto a Due Lvell (7/12) Varabl decsonal : k s jr, V 1, j V 2, r V 3, k K, rappresentante la quanttà d prodotto k trasportata dall mpanto al punto d domanda r attraverso l centro d dstrbuzone j.

44 Modell Mult-Prodotto a Due Lvell (8/12) k k Mn c jr sjr + ( f j z j + g j s.t. V 1 j V 2r V 3 k K j V 2 r V 3 s k jr s = d p k j V 2 r V 3k K, V 1, k K k k jr r y jr, j V 2, r V 3, k K V 1 j V 2 q - j z j V 2 y = 1, r V 3 jr j r V 3k K j = p z d k r z j {0, 1}, j V 2 y jr q + j z j, j V 2 y jr {0, 1}, j V 2, r V 3 s 0, V 1, j V 2, r V 3, k K k jr d k r y jr )

45 Modell Mult-Prodotto a Due Lvell (9/12) Nella pratca, può essere necessaro apportare delle modfche al modello MCTL, elmnando alcun vncol e/o aggungendo nuov vncol (che rchedano, ad esempo, l attvazone d determnat DC oppure l assegnazone d cert punt d domanda a un dato DC).

46 Modell Mult-Prodotto a Due Lvell (10/12) Ulteror possbl varant al modello MCTL: un mpanto V 1 non è n grado d produrre un certo prodotto k K n questo caso s rmuovono dal modello le varabl per ogn r V 3 e j V 2 ; l collegamento d un mpanto V 1 a un centro d dstrbuzone j V 2 è charamente mpratcable a causa dell elevata dstanza n questo caso s rmuovono dal modello le varabl per ogn r V 3 e k K; k s jr k s jr

47 Modell Mult-Prodotto a Due Lvell (11/12) l tempo d servzo del punto d domanda r V 3 da parte del centro d dstrbuzone potenzale j V 2 è eccessvo n questo caso s rmuovono dal modello la varable y jr e le varabl k s jr per ogn V 1 e k K.

48 Modell Mult-Prodotto a Due Lvell (12/12) Il problema MCTL è un modello d programmazone lneare ntera msta (mxed nteger programmng, MIP) NP-dffcle. Ne problem MIP la presenza congunta d varabl ntere e contnue rende, n genere, la rsoluzone molto pù laborosa rspetto a problem con sole varabl ntere (nteger programmng, IP).

49 Metod d Aggregazone della Domanda (1/11) Approcco comunemente seguto per la rsoluzone d problem d localzzazone NP-dffcl: aggregazone d dvers punt d domanda adacent, n modo che ess sano rappresentabl da un unco nodo nel modello.

50 Metod d Aggregazone della Domanda (2/11) In tal modo, s ottene un problema pù semplce, caratterzzato da un mnor numero d varabl e d vncol, ma con una soluzone ottma peggore d quella del problema orgnale!

51 Metod d Aggregazone della Domanda (3/11) S consder un metodo d aggregazone per l modello CPL n cu punt d domanda d un sottonseme S V 2 sono aggregat ponendo: x j = x k, V 1, j S, k S. In questo modo, cascun punto j S rceve la medesma frazone d domanda da parte d ogn nodo logstco V 1.

52 Metod d Aggregazone della Domanda (4/11) Indcando con s l punto d domanda rsultante dall aggregazone, l modello CPL s può semplfcare nel seguente modo: Mn s.a V V c x + j j j ( V \ S ) { s V 1 2 } 1 x j j j j ( V 2 \ S ) { s} 1 f y = 1, j (V 2 \S) {s} d x q y, V 1 0 x j 1, V 1, j (V 2 \S) {s} y {0, 1}, V 1,

53 Metod d Aggregazone della Domanda (5/11) dove: e c =, V 1, s c j j S d =. s d j j S

54 Metod d Aggregazone della Domanda (6/11) E utle valutare un lmte superore per l errore commesso nel processo d aggregazone. A tale proposto, s ndchno con e cost delle soluzon ottme del problema orgnale e d quello aggregato, rspettvamente. * z CPL (a) z CPL

55 Metod d Aggregazone della Domanda (7/11) Propretà. S ha dove: ε = * zcpl j S max V 1 (a) z CPL d * z CPL + ε, j r S r S d c r r c j esprme l errore commesso (nel caso peggore) nel processo d aggregazone come somma de massm ncrement de cost d dstrbuzone de dvers punt d domanda n S.

56 Metod d Aggregazone della Domanda (8/11) Dmostrazone. c r rappresenta l costo d trasporto sostenuto qualora l ntera r S domanda de clent n S sa servta dal nodo d logstco V 1. j rappresenta la frazone della domanda totale de clent n S d r relatva al clente j. r S

57 Metod d Aggregazone della Domanda (9/11) Dmostrazone. d j r S r S d c r r c j rappresenta, dunque, la varazone (postva, negatva o nulla) del costo d assegnazone dell ntera domanda d j V 2 al nodo logstco V 1 qualora vertc d S sano aggregat.

58 LOCALIZZAZIONE DEI NODI LOGISTICI Metod d Aggregazone della Domanda (10/11) La tecnca d aggregazone può essere estesa al caso d K sottonsem dsgunt S 1,, S K. Anche n questo caso, è possble ndvduare a pror un lmte superore all errore.

59 Metod d Aggregazone della Domanda (11/11) Propretà. Rsulta: * zcpl (a) z CPL * z CPL K + ε k= 1 k, dove: ε k = j S k max V 1 d r S j r S k k d c r r c j.

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