Insiemi di generatori, dipendenza lineare e basi

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1 Insiemi di generatori, dipendenza lineare e basi July 4, Insiemi di generatori Nel seguito V è uno spazio vettoriale sul campo K. Definizione. Una combinazione lineare di vettori v 1, v 2,..., v k in V è un vettore in V della forma k c j v j = c 1 v 1 + c 2 v c k v k j=1 con c 1, c 2,..., c k scalari in K. La combinazione lineare si dice triviale se tutti i coefficienti c 1, c 2,..., c k sono nulli, c 1 = c 2 =... = c k = 0, altrimenti, se non tutti i coefficienti sono nulli, ovvero se esiste almeno un indice j = 1,..., k, con c j 0, la combinazione lineare si dice non triviale. Sia S un sottoinsieme non vuoto di V (finito o infinito). Un vettore v in V si dice una combinazione lineare di vettori di S se v è combinazione lineare di vettori v 1, v 2,..., v k tutti appartenenti ad S. Il vettore nullo 0 è combinazione lineare di vettori di un qualunque sottoinsieme non vuoto di V (0 è la somma della combinazione lineare triviale di un qualunque insieme finito di vettori). Denoteremo con S l insieme di tutte le combinazioni lineari di vettori di S. Se S = {v 1, v 2,..., v k } porremo v 1, v 2,..., v k al posto di {v 1, v 2,..., v k }. Ad esempio 0 = {0}, v = {cv c K}, v, w = {av + bw a, b K}. Se v 0 è un vettore geometrico nello spazio, v è l insieme di tutti i multipli (positivi o negativi) del vettore v ed individua la retta che dà la direzione del vettore. Se v, w sono due vettori non paralleli nello spazio, la regola del parallelogramma fa vedere che le combinazioni lineari dei due vettori individuano il piano che contiene i due vettori. (Ad esempio, se v = (1, 0, 0), w = (0, 1, 0), allora v, w = {(x, y, 0) x, y R} è il piano xy.) Per l insieme vuoto poniamo = {0}. Proposizione. Sia S un sottoinsieme dello spazio vettoriale V. L insieme S formato dalle combinazioni lineari di vettori di S è un sottospazio di V. Se W è un sottospazio di V contenente S, allora W contiene S. dim. Se S =, S = 0 che è un sottospazio. Supponiamo S. Verifichiamo che S soddisfa le tre condizioni per essere un sottospazio S perché, se S, esiste v S e da 0 = 0v segue che 0 è combinazione lineare di vettori di S. 2. Se v, w sono vettori in S, allora v = a 1 v a p v p, w = b 1 w b q w q con i v i, w j in S e v + w = a 1 v a p v p + b 1 w b q w q è ancora una combinazione lineare di vettori di S e quindi v + w S. 3. Se v = a 1 v a p v p S e c è uno scalare, cv = c(a 1 v a p v p ) = ca 1 v ca p v p ) è una combinazione lineare di vettori in S e quindi cv S. Per dimostrare il secondo asserto, osserviamo che se W contiene S, ogni combinazione lineare di vettori di S è anche una combinazione lineare di elementi di W. Ma se W è un sottospazio di V, ogni combinazione lineare di elementi di W è un elemento di W : se w 1,..., w p W e c 1,..., c p K, allora c 1 w 1,..., c p w p sono vettori in W (per la terza proprietà che caratterizza un sottospazio) e quindi anche la loro somma c 1 w c p w p è un vettore in W (per la seconda 1

2 proprietà: sapendo che la somma di due vettori di W è un vettore di W si ricava che la somma di un numero qualunque di vettori di W è un vettore di W, ad esempio se ho tre vettori x 1, x 2, x 3, allora x 1 + x 2 + x 3 = (x 1 + x 2 ) + x 3 ma x 1 + x 2 sta in W e quindi sommando x 3 si ottiene ancora un vettore di W ). Definizione. Diremo che S è un insieme di generatori per V se S = V, ovvero se ogni vettore in V è combinazione lineare di vettori in S. Esempi 1. Consideriamo V = R n. Siano v 1, v 2,..., v k R n (in colonna). Sia A = ( v1 2 v k ) la matrice n k che ha per colonne i vettori v1, v 2,..., v k. Allora una combinazione lineare dei vettori v 1, v 2,..., v k si può scrivere c 2 c 1 v 1 + c 2 v c k v k = Ac, c =. Segue che {v 1, v 2,..., v k } è un insieme di generatori di R n se e solo se il sistema Ax = b ha una soluzione qualunque sia b R n. Alla fine di questo capitolo avremo tutti gli strumenti per dare una risposta completa a questo problema. Per il momento osserviamo che se k = n e A è una matrice invertibile, allora il sistema ha sempre la soluzione x = A 1 b Prendiamo S = {(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}. La matrice A = è invertibile (lo si può vedere riducendo a scala per righe la matrice e vedere che ha rango 3 oppure calcolare det A e vedere che è 0). Quindi S è un insieme di generatori di R Consideriamo un altra situazione. Consideriamo i polinomi x 2 +3x 2, 2x 2 +5x 3 e x 2 4x+4 in P 2 (R). Formano un insieme di generatori di P 2 (R)? Dato un qualunque polinomio ax 2 +bx+c P 2 (R) è possibile scriverlo come combinazione lineare dei polinomi dati? c 1 (x 2 + 3x 2) + c 2 (2x 2 + 5x 3) + c 3 ( x 2 4x + 4) = (c 1 + 2c 2 3c 3 )x 2 + (3c 1 + 5c 2 4c 3 )x + ( 2c 1 3c 2 + 4c 3 ) = ax 2 + bx + c Quindi dobbiamo risolvere il seguente sistema nelle incognite c 1, c 2, c 3 c 1 + 2c 2 3c 3 = a 3c 1 + 5c 2 4c 3 = b 2c 1 3c 2 + 4c 3 = c per ogni assegnata terna a, b, c. La matrice dei coefficienti del sistema c 1 c k è invertibile e quindi trovo una soluzione qualunque sia il polinomio ax 2 + bx + c. l insieme formato con i tre polinomi genera P 2 (R). 3. Vediamo un esempio con le matrici in M 2 (R). {( ) ( ) ( ) ( )} S =,,, ( ) a11 a Data la matrice 12 cerchiamo gli scalari c a 21 a 1, c 2, c 3, c 4 tali che 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a11 a c 1 + c c c = a 21 a 22 Questa equazione si trasforma nel sistema c 1 + c 2 + c 3 = a 11 c 1 + c 2 + c 4 = a 12 Segue che c 1 + c 3 + c 4 = a 12 c 2 + c 3 + c 4 = a 22 2

3 la cui matrice dei coefficienti è ed è invertibile. Segue come nei casi precedenti che S genera M 2 (R). 2 Dipendenza lineare Definizione. Un sottoinsieme S di uno spazio vettoriale V si dice linearmente indipendente se per ogni sequenza {v 1, v 2,..., v p } di vettori distinti di S l unica combinazione lineare nulla dei vettori v 1, v 2,..., v p è quella triviale: se c 1 v 1 +c 2 v c p v p = 0, allora c 1 = c 2 =... = c p = 0. Definizione. Un sottoinsieme S di V si dice linearmente dipendente se S non è linearmente indipendente (che vuol dire che esistono in S sequenze di vettori distinti {v 1, v 2,..., v p } una cui combinazione lineare non triviale è nulla: esistono scalari c 1, c 2,..., c p non tutti nulli tali che c 1 v 1 + c 2 v c p v p = 0). 1 Definizione. Sia S un sottoinsieme di V. Diremo che il vettore v dipende linearmente da S se v è combinazione lineare di vettori in S, ovvero se v appartiene al sottospazio V. Se S V è linearmente indipendente, ogni vettore v in S si può rappresentare in un solo modo come combinazione lineare di vettori di S. Infatti, supponiamo di avere due combinazioni che rappresentano v m p m q v = a j v j + c h u h = b j v j + d k w k j=1 h=1 dove i v j, u h e w k sono tutti vettori in S e dove si sono messi in evidenza i vettori comuni alle due combinazioni. Segue che 0 = v v = j a j v j + h (a j b j )v j + j h j=1 c h u h j c h u h + k k=1 b j v j + k ( d k )w k. d k w k = Poiché S è linearmente indipendente, non esistono combinazioni lineari non triviali di vettori di S e quindi a j b j = 0, j = 1,... m, c h = 0, h = i,..., p, d k = 0, k = 1,..., q da cui segue appunto che a j = b j e che le due rappresentazioni devono coincidere. Esempi 1. Se l insieme S contiene il vettore nullo, allora S è linearmente dipendente. Infatti, c0 = 0, per qualunque c 0, è una combinazione lineare non triviale nulla di vettori di S. 2. Se S = {v} contiene un solo vettore, S è linearmente indipendente se e solo se v è non nullo. Infatti, se v = 0, allora S è linearmente dipendente per quanto visto qui sopra, mentre se v 0, da cv = 0 segue che c = 0 e quindi S è linearmente indipendente (le combinazioni lineari di vettori in S = {v} sono le espressioni cv con c 0). 3. Due vettori non nulli v, w in V si dicono proporzionali se esiste uno scalare c tale che v = cw (nel qual caso c 0 e w = c 1 v e quindi la relazione di proporzionalità è simmetrica). Se S = {v, w} è un insieme formato da due vettori non nulli, S è linearmente dipendente se e solo se i vettori v e w sono proporzionali. Infatti, se v = cw, c 0, v, w 0, allora v cw = 0 è una combinazione lineare non triviale dei vettori in S e quindi S è linearmente dipendente. Viceversa, se av + bw = 0 è una combinazione lineare non triviale di v e w (non nulli), allora gli scalari a e b non sono entrambi nulli e quindi entrambi non nulli (se, ad esempio, fosse a 0 e b = 0, allora si avrebbe av = 0 e quindi, dividendo per a, v = 0, contro l ipotesi che v sia non nullo). Da av + bw = 0 segue allora v = b aw. Poiché b/a 0, i vettori v e w sono proporzionali. 4. Consideriamo V = R n. Siano v 1, v 2,..., v k R n (in colonna). Sia A = ( ) v 1 2 v k 1 Per dire che l insieme S V è indipendente (risp. dipendente) diremo anche che i vettori di S sono linearmente indipendenti (risp. dipendenti). 3

4 la matrice n k che ha per colonne i vettori v 1, v 2,..., v k. Allora una combinazione lineare dei vettori v 1, v 2,..., v k si può scrivere c 2 c 1 v 1 + c 2 v c k v k = Ac, c =. Segue che S = {v 1, v 2,..., v k } è un insieme linearmente indipendente se e solo se il sistema lineare omogeneo Ax = 0 ha la sola soluzione triviale. Dal Teorema di Rouché-Capelli segue che, se k > n, l insieme S è linearmente dipendente perché in tal caso il sistema ha più incognite che equazioni. Invece se k n il sistema ha un unica soluzione e quindi S è linearmente indipendente se e solo se rango A = k. In particolare se k = n, S è linearmente indipendente se e solo se rango A = n, se e solo se det A 0. Il lettore avrà osservato, confrontando con gli esempi della sezione precedente, come sia più semplice controllare che un insieme sia linearmente dipendente o indipendente piuttosto che stabilire che sia un insieme di generatori. 5. Prendiamo V = R 4 ed S = {(1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1), (0, 0, 0, 1)}. La matrice formata dai vettori messi in colonna è A = che è triangolare inferiore ed ha det A = 1. Segue che S è linearmente indipendente. 6. Ancora V = R 4, con S = {v 1 = (1, 3, 4, 2), v = (2, 2, 4, 0), v 3 = (1, 3, 2, 4), v 4 = ( 1, 0, 1, 0)} A = Segue che A ha rango 3 e quindi S è linearmente dipendente. Retro-sostiituendo si trova una soluzione (tra le infinite): x 4 = 0, 2x 2 + 3x 3 = 0 e posso prendere x 3 = 2, x 2 = 3 e infine da x 1 + 2x 2 + x 3 = 0 ricavo x 1 = 4. Quindi trovo la combinazione lineare non triviale 4v 1 3v 2 + 2v 3 + 0v 4 = 0. { ( ) ( ) ( )} Ora prendiamo V = M 2, S = A 1 =, A =, A =. Una combinazione lineare nulla c 1 A 1 +c 2 A 2 +c 3 A 3 = 0 equivale al sistema lineare omogeneo 2 1 sovradeterminato c 1 + 2c 2 + c 3 = 0 c 1 + c 2 c 3 = 0 2c 1 + 2c 3 = 0 3c 2 + c 3 = 0 c 1 c k che ha matrice dei coefficienti di rango tre, uguale al numero delle incognite. Segue che il sistema ha la sola soluzione triviale c 1 = c 2 = c 3 = 0. Segue che { S è linearmente ( indipendente. ) ( ) ( )} Ora V = M 2 3, S = B 1 =, B =, B = Una combinazione lineare nulla a 1 B 1 + a 2 B 2 + a 3 B 3 = 0 equivale al sistema lineare omogeneo 4

5 sovradeterminato che ha matrice dei coefficienti a 1 3a 2 2a 3 = 0 3a 1 + 7a 2 + 3a 3 = 0 2a 1 + 4a a 3 = 0 4a 1 + 6a 2 a 3 = 0 2a 2 3a 3 = 0 5a 1 7a 2 + 2a 3 = di rango due, minore del numero delle incognite. Segue che il sistema ha infinite soluzioni, una delle quali si calcola facilmente retro-sostituendo: a 3 = 2, a 2 = 3, a 1 = 5 che ci dà una combinazione lineare non triviale di B 1, B 2, B 3 5B 1 + 3B 2 2B 3 = 0. Segue che S è linearmente dipendente. 9. Ora un esempio con i polinomi, V = P n (R), S = {p k (x) = x k + x k x n k = 0, 1, 2,..., n}. Una combinazione lineare dei polinomi p k (x) c 0 p 0 (x) + c 1 p 1 (x) c n p n (x) = c 0 (1 + x x n ) + c 1 (x + x x n ) c n x n = c 0 + (c 0 + c 1 )x + (c 0 + c 1 + c 2 )x (c 0 + c c n )x n = 0 è nulla se e solo se c 0 = 0, c 0 + c 1 = 0, c 0 + c 1 + c 2 = 0,..., c 0 + c 1 + c c n = 0 e quindi c 0 = c 1 =... = c n = 0. Segue che l insieme S è linearmente indipendente. 10. Esiste un utile criterio, detto criterio wronskiano per stabilire se un numero finito di funzioni è linearmente indipendente. Sia I R un intervallo. Siano f 1, f 2,..., f k in C k 1 (I), lo spazio vettoriale sul campo R delle funzioni derivabili k 1 volte con derivate continue nell intervallo I. Il wronskiano di f 1, f 2,..., f k è definito da f 1 (x) f 2 (x) f k (x) f 1(x) f 2(x) f k (x) W (f 1, f 2,..., f k )(x) = det f (k 1) 1 (x) f (k 1 2 (x) f (k 1) (x) ed il criterio dice che se W (f 1, f 2,..., f k )(x 0 ) 0 per qualche x 0 I, allora l insieme S = {f 1, f 2,..., f k } C k 1 (I) è linearmente indipendente. La dimostrazione è facile. Si parte da una combinazione lineare nulla c 1 f 1 + c 2 f c k f k = 0 delle funzioni, ove i coefficienti c 1, c 2,..., c k sono costanti reali indeterminate. Si deriva l espressione successivamente k 1 volte. Poiché (c 1 f 1 + c 2 f c k f k ) = c 1 f 1 + c 2 f c k f k = 0 = 0, (c 1 f 1 + c 2 f c k f k ) = c 1 f 1 + c 2 f c k f k = 0,..., c 1f (k 1) 1 + c 2 f (k 1) c k f (k 1) k = 0, per ogni x I si ottiene il sistema lineare omogeneo k k c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) c k f k (x) = 0 c 1 f 1(x) + c 2 f 2(x) c k f k (x) = c 1 f (k 1) 1 (x) + c 2 f (k 1) 2 (x) c k f (k 1) k (x) = 0 la cui matrice dei coefficienti ha determinante proprio W (f 1, f 2,..., f k )(x). Se, per qualche x 0 I, è W (f 1, f 2,..., f k )(x 0 ) 0, il sistema ha la sola soluzione triviale c 1 = c 2 =... = c k = 0. Segue che se W (f 1, f 2,..., f k )(x) 0 per qualche x 0 I, allora S è linearmente indipendente. Nulla k 5

6 dice il criterio se W (f 1, f 2,..., f k )(x) = 0 per ogni x I. Vediamo qualche esempio concreto. a) Poniamo S = {f 1 (x) = sin x, f 2 (x) = cos x} C (R). È W (f 1, f 2 )(x) = sin x cos x cos x sin x = sin2 x cos 2 x = 1 e quindi S è linearmente indipendente. b) V = P(R) C (R), S = {f 1 (x) = x, f 2 (x) = x 2, f 3 (x) = x 3 }. È x x 2 x 3 W (f 1, f 2, f 3 )(x) = 1 2x 3x x = x 2x 3x2 2 6x x 2 x 3 2 6x = x(12x2 6x 2 ) (6x 3 2x 3 ) = 2x 3 che è diverso da zero per ogni x 0. Segue che S è linearmente indipendente. In questo caso sarebbe stato più semplice scrivere la combinazione lineare c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) + c 3 f 3 (x) = c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 = 0 e osservare che il polinomio c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 è il polinomio nullo se e solo se c 1 = c 2 = c 3 = 0. c) Poniamo f 1 (x) = x, f 2 (x) = x + x 2, f 3 (x) = 2x x 2. Il wronskiano è uguale a x x + x 2 2x x 2 W (f 1, f 2, f 3 )(x) = x 2 2x = x 1 + 2x 2 2x 2 2 x + x 2 2x 2x = x [ 2(1 + 2x) 2(2 2x) ] = 0. In questo caso il criterio wronskiano non ci dice nulla. Calcoliamo la combinazione lineare nulla dei tre polinomi c 1 x + c 2 (x + x 2 ) + c 3 (2x x 2 ) = (c 1 + c 2 + c 3 )x + (c 2 c 3 )x 2 = 0 che porta al sistema lineare omogeneo { c 1 + c 2 + 2c 3 = 0 c 2 c 3 = 0 che ha soluzioni non triviali, ad esempio c 1 = 3, c 2 = c 3 = 1. Segue che 3f 1 + f 2 + f 3 = 0 è una combinazione lineare nulla dei tre polinomi che sono quindi linearmente dipendenti. d) Prendiamo f 1 = x 3, f 2 = x 3. Le due funzioni sono derivabili in tutto R e x 3 x 3 3x 2 3x 2 = 0, per x 0, W (f 1, f 2 )(x) = x 3 x 3 3x 2 3x 2 = 0, per x 0. Il criterio wronskiano non ci dice nulla. Calcoliamo la combinazione lineare c 1 f 1 + c 2 f 2 = 0 { c 1 x 3 + c 2 x 3 = (c 1 + c 2 )x 3 = 0, per x 0, c 1 f 1 (x) + c 2 f 2 (x) = c 1 x 3 c 2 x 3 = (c 1 c 2 )x 3 = 0, per x 0. Segue che c 1 f 1 + c 2 f 2 = 0 se e solo se { c 1 + c 2 = 0 c 1 c 2 = 0, se e solo se c 1 = c 2 = 0. Segue che le due funzioni sono linearmente indipendenti, considerate come funzioni in C 1 (R). Se le considero invece come funzioni in C 1 ([0, + [) sono linearmente dipendenti: f 1 f 2 = 0. Lo stesso se le considero come funzioni in C 1 (], 0]): f 1 + f 2 = 0. 3 Basi e dimensione Definizione. Un insieme di generatori minimale dello spazio vettoriale V è un insieme di generatori con la proprietà che nessun suo sottoinsieme proprio 2 è un insieme di generatori. 2 I sottoinsiemi propri di un insieme X sono i sottoinsiemi Y X con Y X. 6

7 Definizione. Un insieme indipendente massimale di V è un sottoinsieme linearmente indipendente tale che nessun sottoinsieme che lo contiene propriamente è linearmente indipendente. Lemma. (1) Se v è un vettore in S e v S \ {v}, allora S = S \ {v}, il vettore v è un generatore superfluo. (2) Un insieme minimale di generatori è linearmente indipendente. (3) Un insieme indipendente massimale è un insieme di generatori. dim. (1) Se v = j a jv j con i v j in S \ {v}, allora in ogni combinazione lineare di vettori di S dove compare, si può sostituire v con j a jv j e quindi ogni elemento di S è combinazione lineare di vettori di S \ {v}. (2) Sia S un insieme minimale di generatori. Sia j c jv j = 0 una combinazione lineare nulla di vettori distinti di S e supponiamo che c k 0 per qualche indice k. Segue che v k = c 1 k j k c jv j. Da (1) segue che V = S \ {v k } contro l ipotesi che S sia un insieme di generatori minimale. (3) Sia S un insieme indipendente massimale e supponiamo che S V. Allora esiste v V \ S. Facciamo vedere che allora S {v} è linearmente indipendente. Se così non fosse esisterebbero v 1,..., v m in S e scalari c, c 1,..., c m tali che cv + j c jv j = 0. Se fosse c 0, allora v = j ( c 1 c j )v j S, assurdo. Dunque c = 0 e quindi j c jv j = 0. Essendo S linearmente indipendente i c j sono tutti nulli. Segue che S {v} è linearmente indipendente. Ma S è indipendente massimale e quindi non esistono insiemi linearmente indipendenti che contengono propriamente S. Segue che S = V. Definizione. Sia V uno spazio vettoriale. Una base per V è un inseme β V che soddisfa le seguenti condizioni β è un insieme di generatori di V, β è linearmente indipendente. Diremo che lo spazio vettoriale V ha dimensione finita se V ha una base finita (ovvero contenente un numero finito di vettori). Se V non ha una base finita diremo che ha dimensione infinita. llo spazio vettoriale nullo, V = {0}, sarà considerato uno spazio di dimensione finita con base. Un sottoinsieme β di V è una base di V se e solo se ogni vettore di V ha una ed una sola rappresentazione come combinazione lineare di elementi di β. Dal Lemma segue che sia gli insiemi di generatori minimali che gli insiemi indipendenti massimali sono basi di V. Definizione. Uno spazio vettoriale V si dice finitamente generato se contiene un insieme finito di generatori. Proposizione. (1) Sia V uno spazio vettoriale finitamente generato. Allora da ogni insieme finito di generatori di V si può estrarre una base di V. In particolare V ha dimensione finita. (2) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita. Allora ogni insieme finito linearmente indipendente di V può essere completato ad una base di V. dim. (1) Sia S un insieme finito di generatori e numeriamo i suoi vettori S = {v 1, v 2,..., v N }. Chiamiamo un vettore v h della sequenza inessenziale o superfluo se v h dipende linearmente da {v 1, v 2,...,v h 1 }, l insieme dei vettori che lo precedono, ed essenziale altrimenti. Questa classificazione dei vettori di S chiaramente dipende dall ordine scelto nella numerazione. Dal punto (1) del Lemma segue che un vettore inessenziale dipende linearmente dai vettori essenziali che lo precedono. Fatto questo, si rimuovono i vettori inessenziali da S. Rimangono solo i vettori essenziali. Sempre per il punto (1) del Lemma, i vettori essenziali generano V e sono linearmente indipendenti. Quindi formano una base di V. (2) Sia {u 1, u 2,..., u k } un insieme linearmente indipendente e sia {v 1, v 2,..., v n } una base di V. Consideriamo la sequenza {w 1, w 2,..., w k+n } con w j = u j per j = 1,..., k e w k+h = v h per h = 1,..., n. La sequenza {w 1, w 2,..., w k+n } genera V perché contiene la base {v 1, v 2,..., v n } di V. Ora rimuoviamo i vettori inessenziali dalla sequenza. Otteniamo una base che contiene i vettori iniziali u 1,... u k che, essendo linearmente indipendenti, sono tutti essenziali. Segue subito da questa Proposizione che uno spazio vettoriale ha dimensione finita se e solo se è finitamente generato. L argomento della dimostrazione del punto (2) della Proposizione si può formalizzare nel seguente utile 7

8 Lemma. Sia S = {v 1, v 2,..., v N } una sequenza di vettori non nulli in V. Se S è linearmente dipendente, allora esiste un vettore v j nella sequenza che è combinazione lineare dei vettori v 1, v 2,..., v j 1 che lo precedono. dim. Se così non fosse, tutti i vettori della sequenza sarebbero essenziali e la sequenza sarebbe linearmente indipendente. Esempi 1. Base standard di K n. Definizione: il vettore e j, j = 1, 2,..., n, ha tutti gli elementi uguali a zero tranne il j-esimo che è uguale ad 1. I vettori e 1,..., e n si dicono i vettori standard di K n. Il vettore (a 1, a 2,..., a n ) si rappresenta in modo unico come combinazone lineare degli e j : n (a 1, a 2,..., a n ) = a 1 e 1 + a 2 e a n e n = a j e j Segue che l insieme {e 1, e 2,..., e n } è una base di K n, detta base standard, che ha quindi dimensione finita. Stessa cosa se scrivo i vettori come righe o come colonne. 2. Base standard di M m n (K) Definizione: la matrice E ij ha tutti gli elementi nulli tranne quello di posto ij che è uguale ad 1. Le matrici E ij si dicono le matrici standard di M m n (K). La matrice A = (a ij ) si scrive in modo unico come combinazione lineare delle matrici E ij : j=1 A = a 11 E 11 +a 12 E a 1n E 1n +a 21 E a 2n E 2n +a m1 E m a mn E mn = ij a ij E ij. Abbiamo scritto gli addendi seguendo l ordine lessicografico (ordine alfabetico, le lettere sono 1, 2,..., max{m, n} nell ordine naturale). Segue che {E ij i = 1,..., m, j = 1,..., n} è una base di M m n (K), detta base standard, che ha quindi dimensione finita. 3. Base standard di P(K). Ogni polinomio si scrive in modo unico come combinazione lineare dei monomi 1, x, x 2,... che si dicono i monomi standard di P(K). Quindi {1, x, x 2,...} (sequenza infinita) è una base, detta base standard di P(K). Questo è un esempio di base infinita. Può uno spazio con una base infinita avere una base finita?. La risposta è no, come vedremo tra poco. 4. Base standard di P n (K). Ogni polinomio di grado n si scrive in modo unico come combinazione lineare dei monomi 1, x, x 2,..., x n. Segue che {1, x, x 2,..., x n } è una base, detta base standard, di P n (K) che quindi ha dimensione finita. 5. Sia S = {(2, 3, 5), (8, 12, 20), (1, 0, 2), (0, 2, 1), (7, 2, 0)} R 3 e sia V = S il sottospazio generato da W. Cerchiamo i vettori essenziali in S tenendo i vettori nell ordine scritto. Il primo vettore (2, 3, 5) è essenziale perché è 0. Il secondo vettore (8, 12, 20) è un multiplo del primo (8, 12, 20) = 4(2, 3, 5) e dunque è inessenziale. Il terzo vettore (1, 0, 2) non è un multiplo del primo e quindi è essenziale. Vediamo se il quarto vettore (0, 2, 1) è combinazione lineare del primo e del terzo. Conviene verificare se sono linearmente dipendenti o indipendenti. Formiamo la matrice A che ha per colonne i tre vettori e (riduciamola a scala per righe o) calcoliamone il determinante A = , det A = Segue che i tre vettori sono linearmente indipendenti e quindi il quarto vettore è essenziale. L ultimo x 7 vettore è inessenziale perché posso risolvere il sistema A y = 2. Segue che i vettori primo, z 0 terzo e quarto formano una base di V ( che quindi coincide con R 3 ). 6. Sia S = {(1, 0, 1), (2, 1, 1)} R 3. Il secondo vettore non è multiplo del primo e dunque S è linearmente indipendente. Completiamo S ad una base di R 3. Consideriamo la sequenza (1, 0, 1), (2, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e togliamo i vettori inessenziali. I primi due sono essenziali perché sono linearmente indipendenti. La matrice che ha per colonne i primi tre vettori ha det = 1 e quindi i vettori sono linearmente indipendenti e quindi essen ziali. È adesso facile verificare che il quarto ed il quinto vettore sono inessenziali. Segue che {1, 0, 1), (2, 1, 1), (1, 0, 0)} è una base di R che completa S. 8

9 Teorema. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita. Se V ha una base contenente m vettori, allora ogni insieme di n vettori con n > m è linearmente dipendente. dim. Sia {v 1, v 2,..., v m } la base e sia {u 1, u 2,..., u n } un insoeme con n > m vettori. Vogliamo dimostrare che {u 1, u 2,..., u n } è linearmente dipendente. Poiché {v 1, v 2,..., v m } è una base posso scrivere i vettori u j come combinazioni lineari dei vettori v i (attenzione agli indici!) u 1 = a 11 v 1 + a 21 v a m1 v m u 2 = a 12 v 1 + a 22 v a m2 v m u n = a 1n v 1 + a 2n v a mn v m Per dimostrare che {u 1, u 2,..., u n } è linearmente dipendente bisogna far vedere che esistono scalari c 1, c 2,..., c n non tuttti nulli tali che c 1 u 1 + c 2 u c n u n = 0. Sostituendo in questa equazione le espressioni degli u j troviamo c 1 (a 11 v 1 +a 21 v a m1 v m )+c 2 (a 12 v 1 +a 22 v a m2 v m )+...+c n (a 1n v 1 +a 2n v a mn v m ) = a 11 c 1 + a 12 c a 1n c n = 0 a 21 c 1 + a 22 c a 2n c n = a m1 c 1 + a m2 c a mn c n = 0 Questo è un sistema lineare omogeneo di m equazioni in n incognite. Poiché n > m il sistema ha infinite soluzioni non triviali e pertanto trovo una combinazione lineare non triviale degli u j. Segue che {u 1, u 2,..., u n } è linearmente dipendente. Corollario. Se V è uno spazio vettoriale di dimensione finita, allora tutte le basi di V sono finite e contengono lo stesso numero di vettori. dim. Sia β una base con m vettori. Se γ è un altra base che contiene più di m vettori, allora contiene almeno m + 1 vettori linearmente indipendenti, e quindi troverei un insieme linearmente indipendente con m + 1 vettori, contro quanto stabilito dal Teorema. Segue che γ deve essere finita e contenere n m vettori e quindi n = m vetttori. Definizione. La dimensione di uno spazio vettoriale di dimensione finita è la cardinalità 3 di una sua qualunque base. Se V = {0}, porremo dim V = 0. Se V è uno spazio vettoriale non nullo, allora dim V > 0. Infatti V contiene un vettore v 0. L insieme {v} è linearmente indipendente e si può completare ad una base di V che ha quindi cardinalità > 0. Corollario. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. Un insieme di generatori per V contiene almeno n vettori dim. Sia S un insieme di generatori. Se S contenesse meno di n vettori, allora potremmo estrarre da S una base che conterrebbe meno di n vettori. Teorema. Sia V spazio vettoriale di dimensione n finita. Sia S un insieme di n vettori in V. Gli asserti seguenti sono equivalenti. (1) S è una base per V. (2) S è un insieme linearmente indipendente. (3) S è un insieme di generatori per V. dim. Dalla definizione di base sappiamo che (1) (2) e (3). (2) (1) Se S è linearmente indipendente, allora lo si può completare ad una base β per V. Segue che β contiene n elementi distinti e poiché anche S β contiene n elementi, deve essere S = β e quindi S è una base per. 3 La cardinalità di un insieme finito X è il numero degli elementi contenuti nell insieme. La si denota con #(X). Ricordo che gli elementi di un insoeme sono supposti sempre distinti, non vi sono ripetizioni. 9

10 (3) (1) Se S è un insieme di generatori per V, allora da S si può estrarre una base γ per V. Segue che γ ha lo stesso numero n di vettori di S e quindi γ = S ed S è una base per V. Da quanto visto a proposito delle basi standard ricaviamo dim K n = n, dim M m n (K) = mn, dim P n (K) = 1 + n. 4 Dimensione dei sottospazi Teorema. Sia U un sottospazio dello spazio vettoriale V. Se V ha dimensione finita anche U ha dimensione finita e dim U dim V. Se dim U = dim V, allora U = V. dim. Supponiamo che dim V = n <. Se U non avesse dimensione finita, allora, per ogni intero N 0, troveremmo insiemi linearmente indipendenti in U contenenti N vettori. Questi insiemi sarebbero linearmente indipendenti anche in V ma in V non esistono insiemi linearmente indipendenti con più di n vettori. Dunque U ha dimensione finita. Se dim U = m, allora una base di U contiene m vettori linearmente indipendenti che sono linearmente indipendenti anche in V e quindi m n. Se m = n, allora una base di U è una base di V per il Teorema precedente e quindi U = V. Definizione. Sia U un sottospazio dello spazio vettoriale V di dimensione finita. Un sottospazio W di V si dice complementare del sottospazio U se V = U W. Corollario. Per ogni sottospazio U di uno spazio vettoriale V di dimensione finita esistono sottospazi W complementari di U. dim. Supponiamo che dim V = n. Se U = V, W = {0}, seu = {0}, W = V. Sia dim U = m < n, e sia {u 1,..., u m } una base di U. Completiamo la base ad una base {u 1,..., u m, w1,..., w n m } di V e poniamo W = w1,..., w n m. Segue che V = U W. Esempi 1. Calcoliamo una base e la dimensione del soottospazio di R 3 delle soluzioni dell equazione x 2y + z = 0. Dal punto di vista geometrico, l equazione rappresenta un piano nello spazio ed ha quindi dimensione due. Per trovare una base, osserviamo che l equazione si può scrivere x = 2y z e pensare y e z come parametri liberi. Una base si ottiene prendendo y = 1, z = 0 e y = 0, z = 1 e quindi {(2, 1, 0), ( 1, 0, 1)} è una base. 2. Calcoliamo una base e la dimensione del sottospazio V = {A M n (K) A = A t }. delle matrici simmetriche n n. Poiché a ji = a ij, usando la base standard, una matrice simmetrica si scrive in modo unico come A = n i=1 a ii E ii + i<j a ij (E ij + E ji ) Segue che una base di V è data da {E ii } i {E ij + E ji } i<j. Segue che la dimensione di V è uguale alla cardinalità dell insieme delle coppie di numeri interi (i, j) tali che 1 i j n che è n = n(n + 1) 2 3. Similmente si vede che una base per il sottospazio delle matrici antisimmetriche di ordine n è data dall insieme {E ij E ji } i<j che ha cardinalità (n 1) = (n 1)n Se I R è un intervallo, allora F(I, R) e tutti gli spazi vettoriali C k (I) hanno dimensione infinita perché tutti contengono P(R che ha dimensione infinita. 5 Formula di Grassmann Teorema. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e siano U e W sottospazi di V. Allora dim(u + W ) + dim(u W ) = dim U + dim W 10

11 dim. Poniamo p = dim(u W ) e sia U W = v 1,..., v p. Completiamo la base di U W ad una base di U e ad una base di W, U = v 1,..., v p, u p+1,..., u r, r = dim U, W = v 1,..., v p, w p+1,..., w s, s = dim W. Se u U, u = j a jv j + h b hu h. Se w W, w = j c jv j + k d kw k. Segue che u + w = j a j v j + h b h u h + j c j v j + k d k w k = j (a j + c j )v j + h b h u h + k d k w k e quindi {v 1,..., v p,, u p+1,..., u r, w p+1,..., w s } è un insieme di generatori di U + W. Facciamo vedere che questi r + s p vettori sono linearmente indipendenti. Supponiamo che (1) a j v j + b h u h + c k w k = 0 j h k e facciamo vedere che tutti i coefficienti sono uguali a zero. Poniamo z = j a jv j + h b hu h = k c kw k. Segue che z è un vettore in U W e quindi lo posso rappresentare come combinazione lineare dei vettori v j, z = j d jv j. Segue che z = j a jv j + h b hu h = j d jv j e quindi (a j d j )v j + j h b h u h = 0 Poiché i vettori v j, u h sono linearmente indipendenti, è a j = d j, per ogni j e b h = 0, per ogni h. Da (1) segue allora che j a jv j + k c kw k = 0 e quindi, per l indipendenza lineare dei vettori v j, w k, a j = 0, per ogni j e c k = 0, per ogni k. Dunque dim(u + W ) = r + s p = dim U + dim W dim(u W ). 6 Somma diretta generalizzata Abbiamo definito la somma diretta di due sottospazi. Generalizziamo ora questa nozione ad un numero finito qualunque di sottospazi. Diremo che lo spazio vettoriale V è somma diretta dei sottospazi W 1, W 2,..., W r e scriveremo V = W 1 W 2... W r se ogni vettore v in V si può scrivere in uno ed un solo modo come con w 1 in W 1, w 2 in W 2,...,w r in W r. v = w 1 + w w r Teorema. Se V = W 1 W 2... W r ed S k è un insieme linearmente indipendente di W k, per ogni k = 1, 2,..., r, allora (1) l unione S = S 1 S 2 S r è linearmente indipendente, (2) se ogni S k è una base di W k, allora S = S 1 S 2 S r è una base di V, (3) dim V = dim W 1 + dim W dim W r. dim. (1) Supponiamo S k = {w k1,..., w krk } linearmente indipendente e mostriamo che S = k S k è linearmente indipendente. Da a kjk w kjk = a kjk w kjk = 0 = 0 k,j k k j k k segue che j k a kjk w kjk = 0, per ogni k = 1,..., r, e quindi, poiché ciascun S k è linearmente indipendente, a kjk = 0 per ogni k ed ogni j k. Segue che S è linearmente indipendente. (2) Se ciascun S k è una base di W k, allora S è linearmente indipendente e inoltre S genera V = W W r. Segue che S è una base di V. (3) È conseguenza diretta di (2). Teorema. Nelle notazioni del Teorema precedente, se V = W 1 + W W r e dim V = dim W 1 + dim W dim W r, allora V = W 1 W 2... W r. 11

12 dim. Se S k è base di W k, allora S genera V = W W r. Segue che dim V = dim(w W r ) dim W dim W r = dim V. Segue che S è base di V e quindi V = W 1... W r. Terminologia Combinazione lineare di vettori. Combinazione lineare triviale e non triviale. Insieme di generatori. Insiemi linearmente indipendenti e dipendenti. Dipendenza lineare. Vettori proporzionali. Wronskiano e criterio wronskiano. Insieme di generatori minimale. Insieme linearmente indipendente massimale. Base per uno spazio vettoriale. Spazio vettoriale di dimensione finita. Spazio vettoriale finitamente generato. Spazio vettoriale di dimensione infinita. Vettori essenziali ed inessenziali. Vettori standard. Matrici standard. Monomi standard. Basi standard. Ordine lessicografico. Dimensione. Cardinalità. Sottospazio complementare. Formula di Grassmann. Somma diretta generalizzata. Saper fare Riconoscere se un dato insieme di vettori è un insieme di generatori. Rionoscere se un dato insieme di vettori è linearmente indipendente o linearmente dipendente. Saper trovare una combinazione lineare nulla per un insieme linearmente dipendente. Riconoscere se due vettori sono o non sono proporzionali. Saper estrarre da una sequenza di vettori un insieme linearmente indipendente. Usare il criterio wronskiano per riconoscere l indipendenza lineare di funzioni. Riconoscere se un sottoinsieme di un dato spazio vettoriale è una base. Saper costruire una base per un dato spazio vettoriale. Saper completare una base di un sottospazio ad una base dello spazio. Conoscere le basi standard degli spazi fondamentali: n-uple, matrici e polinomi. Saper calcolare la dimensione di uno spazio vettoriale. Conoscere la relazione tra le dimensioni di intersezione e somma di due sottospazi. Vero o Falso? Uno spazio vettoriale possiede un unico minimo insieme di generatori. L insieme delle colonne di una matrice 3 5 è linearmente dipendente. L insieme delle colonne di una matrice 5 3 è linearente indipendente. Se un vettore di un insieme di vettori S è combinazione lineare degli altri vettori di S, allora S è linearmente dipendente. Se un insieme di vettori contiene un insieme linearmente dipendente, allora S è linearmente dipendente. Tre vettori non nulli sono linearmente dipendenti se e solo se i vettori sono a due a due proporzionali. Se il wronskiano di un insieme di funzioni è identicamente nullo, allora le funzioni sono linearmente dipendenti. Un insieme di generatori di uno spazio vettoriale è una base di V. Uno spazio vettoriale reale ha infinite basi distinte. Ogni insieme di cardinalità m di uno spazio vettoriale V di dimensione n con m > n è un insieme di generatori di V. Tre polinomi distinti in P 3 (R) devono essere linearmente indipendenti. Sei polinomi in P 4 (R) devono essere linearmente dipendenti. Se V è uno spazio vettoriale n- dimensionale, allora ogni insieme di cardinalità m < n di vettori in V si può completare ad una base di V. Se V è uno spazio vettoriale di dimensione n, allora V ha uno ed un dolo sottospazio di dimensione 0 ed uno ed un solo sottospazio di dimensione n. 12

13 Se {v 1, v 2,..., v n } è linearmente indipendente ed A è una matrice invertibile, allora {Av 1, Av 2,..., Av n } è linearmente indipendente. Se {v 1, v 2,..., v n } è un insieme linearmente indipendente di V e v / v 1, v 2,..., v n, allora v + v 1, v + v 2,..., v + v n è linearmente indipendente. Se S = {p 1 (x), p 2 (x),..., p k (x)} sf P è un insieme di polinomi con gradi tutti diversi uno dall altro, allora S è linearmente indipendente. Ogni insieme di generatori di uno spazio vettoriale V di dimensione finita contiene una base di V. Se due sottospazi U e W di uno spazio vettoriale di dimensione finita hanno la stessa dimensione, allora U = W. Ogni sottospazio di R n ha una base formata da vettori standard. Sia S un insieme di cardinalità k in R n. Discutere quale degli asserti seguenti è vero o falso nei casi k < n, k = n, k > n. (1) S è linearmente dipendente. (2) S è linearmente indipendente. (3) S è una base. Se v non è combinazione lineare di S V, allora v S è linearmente indipendente. Se S = {v 1, v 2,..., v r } e S \ {v i } è linearmente indipendente per ogni i = 1,..., r, allora S è linearmente indipendente. Un sottoinsieme infinito di uno spazio vettoriale non può essere linearmente indipendente. Se uno spazio vettoriale contiene un insieme finito linearmente dipendente, allora lo spazio vettoriale ha dimensione finita. L insieme delle matrici 2 2 in cui esattamente due elementi sono uguali a 0 e i rimanenti due sono uguali ad 1 è linearmente indipendente. Se A una matrice n n, n 2 tale che A 3 = 0 ma A 2 0, allora l insieme {1, A, A 2 } è linearmente indipendente. Esercizi Esercizio Determinare quale degli insiemi seguenti è linearmente indipendente. Per gli insiemi linearmente dipendenti, scrivere uno dei vettori come combinazione lineare degli altri vettori. 1. {( 2, 4, 6), (3, 6, 9)} 2. {(1, 2, 3), (2, 1, 0), (5, 1, 9)} 3. {(1, 1, 2), (2, 1, 0)} 4. {(1, 2, 3), (0, 4, 5), (0, 0, 6), (1, 1, 1)} 5. {(1, 1, 2, 3), (2, 1, 1, 1), ( 1, 1, 1, 1)} 6. {(2, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 2), (0, 3, 1, 2)} Esercizio Determinare tutti i valori dello scalare k per i quali l insieme {(1, 1, k), (0, 2, k), (1, k, 6)} è linearmente dipendente. Esercizio Determinare tutti i valori dello scalare k per i quali l insieme {(1, 0, 1, k), ( 1, 0, k, 1), (2, 0, 1, 3)} è linearmente indipendente. Esercizio Determinare se il dato insieme di vettori in M 2 (R) è linearmente indipendente. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A =, B =, 2. A =, B =, C = Esercizio Determinare un insieme linearmente indipendente di vettori che genera lo stesso sottospazio di V generato dal dato insieme di vettori. 1. V = R 3, {(1, 1, 1), (1, 1, 1), (1, 3, 1), (3, 1, 2)}. 2. V = R 4, {(1, 1, 1, 1), (2, 1, 3, 1), (1, 3, 1), (1, 1, 2, 1), (2, 1, 2, 1)}. 3. V = M 2 (R), {( ) 1 2, 3 4 ( ) 1 2, 5 7 ( )} V = P 2 (R), {2 + x 2, 4 2x + 3x 2, 1 + x}. Esercizio Usare il criterio wronskiano per verificare se i seguenti insiemi di funzioni in C (I) sono linearmente indipendenti. 1. {sin x, cos x, tan x}, I =] π 2, π 2 [, 2. {1, 3x, x2 1}, I = R, 3. {e 2x, e 3x, e x }, I = R. 13

14 Esercizio Calcolare il wronskiano delle funzioni f 1 (x) = e ax, f 2 (x) = e bx, f 3 (x) = e cx e determinare le condizioni su a, b, c affinché {f 1, f 2, f 3 } sia linearmente indipendente. Esercizio Calcolare il wronskiano dell insieme {1, x, x 2,..., x n } P(R). Esercizio Sia c R e sia W = {p(x) P n (R) p(c) = 0}. Verificare che W è un sottospazio di P n (R) e calcolarne la dimensione. Esercizio Determinare se i dati insiemi di vettori formano una base di R n, n = 3, {(1, 2, 1), (3, 1, 2), (1, 1, 1)}, 2. {1, 1, 0, 2), (2, 1, 3, 1), ( 1, 1, 1, 2), (2, 1, 1, 2)}. Esercizio Determinare tutti i valori della costante k per i quali l insieme {(0, 1, 0, k), (1, 0, 1, 0), (0, 1, 1, 0), (k, 0, 2, 1)} è una base per R 4. Esercizio Sapendo che i vettori v 1 = (2, 3, 1), v 2 = (1, 4, 2), v 3 = ( 8, 12, 4), v 4 = (1, 37, 17), v 5 = ( 3, 5, 8) generano R 3, estrarre da {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } una base per R 3. Esercizio Sia W il sottospazio di R 3 formato dai vettori che soddisfano l equazione x 2y + z = 0. Determinare una base per W e calcolare dim W. Esercizio Sia W = {u, u 2v, 3v 5u) u, v R}. Far vedere che W è un sottospazio di R 3, trovarne una base e calcolarne la dimensione. Esercizio Sia W l insieme delle matrici triangolari superiori n n. Far vedere che W è un sosttospazio di M n, trovarne una base e calcolarne la dimensione. Esercizio Consideriamo le matrici A 1 = ( ), A 2 = ( ) 1 3, A = ( ) 1 0, A = ( ) ( ) 5 6 Far vedere che {A 1, A 2, A 3, A 4 } è una base di M 2 (R) ed esprimere la matrice come combinazione lineare della base. 7 8 Esercizio Sia A = , v 1 = 7 5,v 2 = 7 5. Far vedere che β = {v 1, v 2 } è una base per N(A), lo spazio nullo di A. Utilizzando la base β, esprimere un vettore arbitrario di N(A). Esercizio Sia A = , v = Verificare che v N(A) e completare {v} ad una base di N(A). Esercizio Determinare se l insieme T = {(2, 3, 2), (1, 1, 1)} è o non è una base per lo spazio generato dall insieme S = {(1, 2, 3), (5, 8, 7), (3, 4, 1)}. Esercizio Sia {v 1, v 2, v 3, v 4 } un insieme linearmente indipendente in V. Calcolare la dimensione dei seguenti sottospazi. 1. v 1 + v 2, v 2 + v 3, v 3 + v 4, v 4 + v 1, 2. v 1 v 2, v 2 v 3, v 3 v 1. Esercizio Sia V = M 2 (R) e {( ) a b U = V c a } a, b, c R, W = {( ) 0 d V d e } d, e R. Verificare che U e W sono sottospazi di V e calcolare dim U, dim W, dim(u + W ) e dim(u W ). 14