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1 Geometria Analitica La geometria analitica studia le figure e le curve geometriche utilizzando sistemi di coordinate e metodi propri dell algebra. E nota anche come geometria cartesiana. teoria Punto e retta Distanza fra due punti Siano P=(x 1 ; y 1 ) e Q=(x 2 ; y 2 ) due generici punti del piano; 1. In condizioni normali (fig. 1) si ha: PQ = (x 2 - x 1 ) 2 + (y 2 - y 1 ) 2 fig. 1 distanza fra due punti generici fig. 2 distanza fra due punti situati su di una retta di equazione nota 2. Se i punti appartengono ad una retta di coefficiente angolare m noto (fig. 2): PQ = x 2 - x m 2 3. Se sono disposti su una retta parallela all asse x (fig. 3): d(p,q) = x 2 - x 1 4. Se sono disposti su una retta parallela all asse y (fig. 4), si ha d(p,q) = y 2 - y 1 fig. 3 distanza fra due punti allineati con l'asse x fig. 4 distanza fra due punti allineati con l'asse y fig. 5 punto medio

2 2 A06 Analitica.nb Coordinate del punto medio Siano P(x 1 ; y 1 ) e Q(x 2 ; y 2 ) due punti del piano, in tal caso le coordinate del punto medio M sono (fig. 5): La retta M = x 1+x 2 2 ; y 1+y 2 2 L equazione della retta (fig. 6), in forma implicita, risulta del tipo a x + b y + c = 0 da cui, esplicitando rispetto ad x, si perviene alla equazione di forma esplicita come segue b y = - a x - c dividendo per b 0 si ottiene y = - a b x - c b da cui dopo avere posto: si ha - a b = m e - c b = q y = m x + q Quest ultima dicesi equazione esplicita della retta, dove m, coefficiente angolare: esprime il grado di inclinazione della retta rispetto alla direzione positiva dell asse x; q, intercetta all'origine: esprime l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle y. fig. 6 equazione esplicita della retta Ad esempio la retta r: y = 2 x - 1 e la retta t: y = 2 x + 3 sono parallele in quanto hanno lo stesso coefficiente angolare m = 2 e distinte in quanto presentano intercette all'origine diverse l'una dall'altra: q = - 1 per la retta r e q = 3 per la retta t. Da qui in poi e fino a tutto lo studio delle coniche, si tratteranno due ordini di problemi: problema diretto; consiste nella analisi e nella rappresentazione di una retta o, più in generale, di una curva di equazione nota; problema inverso; noto un opportuno numero di condizioni, risalire alla equazione della corrispondente retta (o, più in generale, della corrispondente curva). Fra le condizioni più ricorrenti, talune valide solo per la retta, altre di carattere più generale, si sottolineano, in particolare le seguenti. Coefficiente angolare di una retta Noti due punti: P = (x 1 ; y 1 ) e Q = (x 2 ; y 2 ), il coefficiente angolare della retta passante per P e Q è dato da

3 A06 Analitica.nb 3 m = Δy Δx = y 2- y 1 x 2 - x 1 Condizione di appartenenza Per imporre il passaggio di una curva (anche di una retta), per un punto di coordinate note P(x 0 ; y 0 ), basta sostituire le coordinate del punto, ordinatamente, al posto di x e di y nella equazione generica della curva (della retta). La condizione di appartenenza viene usata, ad esempio, per ricercare l equazione della retta per due punti: a tale scopo basta imporre la condizione di appartenenza per ciascuno dei due punti e quindi fare sistema fra le due condizioni. (E opportuno usare l equazione della retta in forma esplicita). Condizione di parallelismo Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare. Condizione di perpendicolarità Due rette perpendicolari hanno coefficienti angolari antireciproci (ossia l'uno l'inverso e l'opposto dell'altro); in pratica si ha: m = - 1 m ovvero Rette notevoli del piano cartesiano Rette parallele all'asse delle x Hanno equazione del tipo y = k m m = - 1 dove k esprime l ordinata comune a tutti i punti di una medesima retta. In particolare l asse delle x ha equazione y = 0. fig.7 rette parallele all'asse delle x fig. 8 rette parallele all'asse delle y Rette parallele all'asse delle y Hanno equazione del tipo x = k dove k esprime l ascissa comune a tutti i punti di una medesima retta. In particolare l asse delle y ha equazione x = 0. Prima e seconda bisettrice Sono le rette che bisecano, in parti congruenti, gli angoli relativi, rispettivamente, al primo e terzo quadrante ed al secondo e quarto quadrante. Le loro equazioni risultano rispettivamente y = x e y = - x. Infatti hanno termine noto nullo, in quanto passano per l origine degli assi cartesiani ortogonali mentre i rispettivi coefficienti angolari 1 e -1 si

4 4 A06 Analitica.nb passano per l origine degli assi cartesiani ortogonali mentre i rispettivi coefficienti angolari 1 e -1 si giustificano in quanto la prima bisettrice è costituita da tutti i punti del piano le cui coordinate sono uguali e la seconda bisettrice da tutti i punti del piano le cui coordinate sono opposte. fig. 9 prima e seconda bisettrice con relative equazioni Fascio proprio di rette Posto che le coordinate del punto sostegno del fascio siano C(x 0 ;y 0 ), l equazione del fascio proprio (fig. 10) risulta: (y - y 0 ) = m(x - x 0 ) Si osservi che le varie rette del fascio dipendono solo dal coefficiente angolare m. A proposito di coefficienti angolari, si studi con attenzione la figura rappresentata a fianco in cui risultano espresse le caratteristiche più importanti relative al coefficiente angolare di una retta in funzione della sua inclinazione rispetto alla direzione positiva dell asse delle x. Il fascio di rette rappresentato in figura è quello il cui centro è l origine degli assi cartesiani ortogonali, e la cui equazione risulta: y = m x ma le considerazioni restano valide per ogni altro fascio il cui sostegno sia diverso dall origine degli assi cartesiani ortogonali. fig. 10 rette per l'origine degli assi Coefficienti angolari di alcune rette notevoli Per le rette che formano con la direzione positiva dell'asse delle x angoli particolari come quelli riportati nella seguente tabella è relativamente semplice associare aa ognuna il relativo coefficiente angolare

5 A06 Analitica.nb 5 α ( C) m Distanza di un punto da una retta Siano: P(x 0 ; y 0 ) un punto assegnato, ed r : a x + b y + c = 0 una retta data; si dimostra che la distanza del punto P dalla retta r (fig. 11) è data da d(p, r) = a x 0+b y 0 +c a 2 +b 2 Nel caso che la retta sia in forma esplicita y = m x + q, si ha anche d(p, r) = y 0- (m x 0 +q) 1+m 2 Quest ultima è da preferire in quanto risulta molto semplice fare l esplicitazione del relativo modulo sulla base dell osservazione che il punto P risulti collocato al di sotto della retta r, ovvero al di sopra della retta r. fig. 11 distanza di un punto da una retta fig. 12 angoli formati da due rette incidenti Angolo di due rette Siano y = m 1 x + q 1 ed y = m 2 x + q 2 le equazioni di due rette (fig. 12); gli angoli formati dall'intersezione delle due rette sono descritti dalla seguente relazione: parabola La parabola tan(αα) = m 2- m 1 1+m 1 m 2 Si definisce parabola il luogo dei punti del piano, ciascuno dei quali presenta la medesima distanza da un punto fisso detto fuoco (F), e da una retta detta direttrice (d) (fig. 13). Si definisce luogo geometrico l insieme dei punti soddisfacenti una medesima condizione. Posto che P(x;y)) indichi un generico punto del piano, si perviene alla equazione che descrive il luogo geometrico ponendo che P soddisfi la condizione che caratterizza il luogo. Ad esempio:

6 6 A06 Analitica.nb nel caso della parabola PF = d(p;direttrice) nel caso della circonferenza e così via. PC = r Dalla costruzione del luogo si evidenziano due aspetti notevoli: 1. il luogo si simmetrizza assialmente rispetto ad una retta che prende il nome, appunto, di asse di simmetria della parabola; 2. il luogo presenta un punto unito rispetto alla simmetria assiale, che viene chiamato vertice V. L'asse di simmetria può assumere sul piano qualunque direzione; tuttavia, qui di seguito, sono riportate solamente quelle i cui assi risultano paralleli ad uno dei due assi cartesiani ortogonali. fig. 1 parabola con asse parallelo all'assen delle y fig. 2 parabola con asse parallelo all'assen delle x Caso della direttrice parallela all'asse x In questo caso il luogo ha equazione del tipo y = a x 2 + b x + c ed il suo grafico è quello riportato in figura. Si dimostra che gli elementi notevoli della parabola corrispondono alle seguenti formule: x = - b 2 a asse V = - b 2 a ; - Δ 4 a vertice F = - b 2 a ; 1- Δ 4 a fuoco y = - 1+Δ 4 a direttrice Per rappresentare una parabola di equazione nota è bene procedere come segue: 1. Si ricerca l asse di simmetria; 2. si ricerca il vertice; (N.B. l ascissa si conosce di già in quanto coincide con quello dell asse di simmetria; pertanto l ordinata del vertice si può anche determinare sostituendo l ascissa nell equazione della parabola: infatti il vertice V appartiene alla parabola); 3. Si determina il punto di intersezione della parabola con l asse delle y, facendo uso del punto in cui la parabola interseca l asse y : (0;c); quindi si determina il simmetrico di tale punto; 4. Si ricerca, infine, qualche ulteriore punto della parabola, con relativo simmetrico, in uno dei seguenti modi:

7 A06 Analitica.nb 7 facendo uso di una tabella, oppure ricercando i punti di intersezione della parabola con l asse x, nell ipotesi che esistano. Coefficiente angolare della tangente alla parabola Sia P(x0;y0) un punto della parabola; il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola nel punto P è dato da: m P = 2 a x 0 + b mentre la relativa retta tangente ha equazione: (y - y 0 ) = m p (x - x 0 ) Parabola la cui direttrice è parallela all'asse y Graficamente si presenta come in figura 14, la sua equazione risulta del tipo x = a y 2 + b y + c mentre i suoi elementi notevoli sono descritti dalle seguenti equazioni: y = - b 2 a asse V=(- Δ 4 a ; - b 2 a vertice F = 1- Δ 4 a ; - b 2 a fuoco x = - 1+Δ 4 a direttrice L equazione della tangente in un punto P della parabola, e relativo coefficiente angolare, risultano rispettivamente: (x - x 0 ) = m p (y - y 0 ) e m P = 2 a y 0 + b circonferenza E il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la loro distanza da un punto fisso detto centro. Siano: si ha: P = (x; y) C = (αα, ββ) r d(p;c) = r un punto della circonferenza; il centro; il raggio; (x - αα) 2 + (y - ββ) 2 = r (x - αα) 2 + (y - ββ) 2 = r 2 da cui sviluppando ed ordinando si ottiene se si pone x 2 + y 2-2 αα x - 2 ββ y + αα 2 + ββ 2 - r 2 = 0-2 αα = a - 2 ββ = b αα 2 + ββ 2 - r 2 = c si ottiene la seguente equazione che dicesi equazione della più generale circonferenza: x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0

8 8 A06 Analitica.nb fig. 1 circonferenza generica fig. 2 circonferenza con centro nell'origine degli assi Nel caso che il centro della circonferenza risulti coincidere con l origine degli assi cartesiani, è facile dimostrare che la circonferenza assume l equazione: x 2 + y 2 = r 2 inoltre, sempre in quest ultimo caso, la tangente in un punto P(x0;y0) della circonferenza ha equazione: ellisse x 0 x + y 0 y = r 2 Dicesi ellisse il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Nell ipotesi che il luogo risulti simmetrizzato rispetto all origine degli assi cartesiani, ed i fuochi risultano posti su uno dei due assi, si dimostra che l equazione risulta del tipo: 2 x 2 + y a 2 b 2 = 1 Nella seguente tabella sono riportate le proprietà proprie delle ellissi con fuochi sull'asse (fig. 17a) e quelle relative alle ellissi con fuochi sull'asse delle (fig. 17b). Ellisse con fuochi sull' asse delle x a 2 > b 2 c 2 = a 2 - b 2 V 1,3 = (±a, 0) V 2,4 = (0, ±b) F 1,2 = (±c, 0) e = c a Ellisse con fuochi sull' asse delle y a 2 < b 2 c 2 = b 2 - a 2 V 1,3 = (±a, 0) V 2,4 = (0, ±b) F 1,2 = (0, ±c) e = c b fig. 1 ellisse con fuochi sull'asse x fig. 2 ellisse con fuochi sull'asse y Si è soliti indicare con e l'eccentricità della ellisse (e della conica in generale). Per eccentricità di una conica si intende il rapporto fra la distanza focale e l'asse maggiore: il variare del rapporto da e = 0 ad e > 1 esprime il graduale mutamento di una conica da circonferenza a iperbole, infatti vale che:

9 A06 Analitica.nb 9 e = 0 circonferenza 0 < e < 1 ellisse e = 1 parabola e > 1 iperbole Una conica può essere definita come traiettoria di un punto che si muove in un piano in modo che resti costante il rapporto (eccentricità) della sua distanza da un punto fisso (fuoco) e da una retta fissa (direttrice). Tale proprietà riveste grande importanza nell'ambito delle coniche visto che consente di fare una trattazione simultanea per tutte le specie e si presta all'uso di metodi vettoriali. N.B. La retta tangente in un punto P(x 0 ; y 0 ), appartenente alla ellisse, ha equazione Iperbole x 0 x a 2 + y 0 y b 2 = 1 Dicesi iperbole il luogo geometrico costituito dai punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. Se il luogo geometrico è simmetrizzato rispetto all origine degli assi cartesiani, ed inoltre presenta i fuochi su uno dei due assi, si dimostra che l equazione dell iperbole risulta del tipo: 2 x 2 - y a 2 b 2 = ±1 Si distinguono le iperboli con fuochi sull'asse x da quelle con fuochi sull'asse y come rappresentato nelle figure 18 a), b). fig. 1 iperbole con fuochi sull'asse x fig. 2 iperbole con fuochi sull'asse y Nella seguente tabella sono riportate le proprietà proprie delle iperboli con fuochi sull'asse x e quelle relative alle iperboli con fuochi sull'asse delle y. Ellisse con fuochi sull asse delle x Ellisse con fuochi sull asse delle y c 2 = a 2 + b 2 c 2 = b 2 + a 2 V 1,2 = (±a, 0) V 1,2 = (0, ±b) y = ± b a x F 1,2 = (±c, 0) e = c a y = ± b a x F 1,2 = (0, ±c) e = c b Le iperboli risultano, inoltre, asintotiche rispetto a due rette dette asintoti. Qualunque sia l'iperbole, appartenente ad uno dei due tipi descritti, si dimostra che le rette asintoti hanno equazione y = ± b a x Sempre se P(x 0 ; y 0 ), è un punto della iperbole, si dimostra che la retta ad essa tangente ha equazione:

10 10 A06 Analitica.nb x 0 x a 2 - y 0 y b 2 = ±1 Iperbole equilatera Si ha l'iperbole equilatera allorchè si verifica la condizione a 2 = b 2. In tal caso l'equazione diventa: x 2 - y 2 = ±a 2 mentre, qualunque sia l iperbole equilatera, gli asintoti hanno sempre equazioni (y = ± x) e l eccentricità vale e = 2. Iperbole equilatera riferita ai propri asintoti Se si sottopone una iperbole equilatera ad una rotazione di ±45 gradi, poiché gli asintoti di questa curva sono le bisettrici degli assi, si ottiene che l'iperbole risulta riferita ai propri asintoti. La sua equazione, in seguito alla rotazione, risulta del tipo y = k x L iperbole è situata nel primo e terzo quadrante se la costante k è positiva; se, invece, la costante k è negativa, è situata nel secondo e quarto quadrante. Ovviamente i vertici coincidono con i punti che l iperbole ha in comune, rispettivamente, con la prima bisettrice o con la seconda. Pertanto si ha: V = ± k ; ± k per k > 0 V = ± - k ; - k per k < 0 Per quanto attiene, infine, l equazione della retta tangente in un punto P(x0;y0) dell iperbole, il coefficiente angolare e l equazione della retta tangente sono espresse rispettivamente da m = - k x 0 2, y = - k x 0 2 x + 2 k x 0 complementi Coniche in coordinate polari coniche in forma parametrica esercizi

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