Analisi IV - esercizi. G.P.Leonardi 2008

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1 Analisi IV - esercizi G.P.Leonardi

2 1 Esercizi settimana n Siano (X, d) e (X, d ) due spazi metrici. Dimostrare che la funzione d : (X X ) (X X ) [0, ) definita da d((x, x ), (y, y )) = d(x, y) + d (x, y ) è una distanza su X X. Definire in modo analogo altre distanze sul prodotto cartesiano di due spazi metrici. 1.2 Sia X = [0, 1) R e sia ρ : X X [0, ) definita da ρ(x, y) = min( x y, 1 x y ). Dimostrare che (i) ρ è una distanza su X; (ii) la successione x n = 1 1/n converge a 0 in (X, ρ); (iii) (X, ρ) è uno spazio metrico completo. 1.3 Dire se (X, d) è uno spazio metrico oppure no: (i) X = N, 0 se x = y, d(x, y) = 1 se x y, xy pari, α se x y, xy dispari, al variare di α > 0. (ii) X = [2, 3] R, d(x, y) = x 1 y 1. (iii) X = (0, + ), d(x, y) = min{ x y, x 1 y 1 }. (iv) X = l 1 = {x = (x i ) i : x i < + }, d(x, y) = x y a, i=1 dove a = (a i ) i verifica 0 < a i < 10 per ogni i, mentre z a = a i z i. i=1 1.4 Disegnare approssimativamente le palle unitarie in R 2 centrate in (0, 0) rispetto alle metriche indotte dalle norme, 1, 2, p per un numero reale p > 2 e poi per 1 < p < 2. 2

3 2 Esercizi vacanze pasquali 2.1 Si consideri un n-rettangolo chiuso Q R 2 munito della metrica euclidea, e C 0 (Q) munito della norma. Sia ϕ : Q C 0 (Q) l applicazione definita per x Q come ϕ(x) = φ x, φ x (y) = x y, y Q, ovvero che al punto x Q associa la funzione φ x (y) = x y. Dimostrare che ϕ è un isometria fra Q e ϕ(q) (ovvero, è una immersione isometrica di Q in C 0 (Q)). 2.2 Sia L : R n R n l applicazione definita da L(v) = A v, dove A è una matrice n n. Supponiamo che L sia un isometria, allora (i) L conserva i prodotti scalari, ovvero L(u), L(v) = u, v per ogni u, v R n ; (ii) A è una matrice ortogonale, ovvero A 1 = A, dove A indica la trasposta della matrice A. 2.3 Dato n N, sia Σ n il sottospazio di C 0 ([0, 1]) costituito dalle funzioni affini a tratti sugli intervalli di tipo [k/n, (k + 1)/n], con 0 k < n intero. Dimostrare che (Σ n, ) è isometrico a R n+1 munito della norma, ovvero esibire un isometria fra i due spazi. 2.4 Dimostrare che φ(t) = tan(πt/2) è un omeomorfismo tra ( 1, 1) e R, entrambi dotati della metrica euclidea (standard). 2.5 Dimostrare che, presa u : (a, b) R lipschitziana e detto G R 2 il grafico di u, la mappa T : (a, b) G definita da T(x) = (x, u(x)) è un omeomorfismo bi-lipschitziano tra (a, b) con la metrica standard e G con la metrica indotta da quella standard di R Dato un intervallo (a, b) R munito della distanza euclidea, definire una contrazione T su (a, b) priva di punti fissi in (a, b). 2.7 Definire su R munito della distanza euclidea una mappa T : R R per cui valga ma tale che sia priva di punti fissi in R. T(x) T(y) < x y x y R, 2.8 Si consideri g(x) = x 2 2 definita sull intervallo [1, 2]. Utilizzare il metodo iterativo di tipo Newton visto a lezione per calcolare un approssimazione della soluzione di g(x) = 0 (ovvero, di 2) con errore inferiore a Date le equazioni integrali seguenti, si applichi quando possibile il teorema delle contrazioni per determinare se esse ammettono soluzioni in C 0 : (ii) u(x) = 2 (i) u(x) = 1 + x u(t) dt, x [0, 1]; 1 + etx t + u(t) dt, x [0, b] al variare di b > u(t) 2 3

4 3 Esercizi settimana n Sia (X, d) uno spazio metrico e (x n ) n una successione convergente. Dimostrare che l insieme è totalmente limitato in X. S = {x n : n N} 3.2 Dimostrare che l insieme K = {x = (x n ) n : x l 2, x n 2 n per ogni n N} è un compatto nello spazio di Hilbert l 2 delle successioni a quadrato sommabile. 3.3 Dato uno spazio metrico (X, d), dimostrare che per ogni x X ed ogni K X compatto esiste almeno un ȳ K tale che d(x, ȳ) = min d(x, y). y K 3.4 Sia (X, d) metrico compatto e T : X X una mappa tale che d(t(x), T(y)) < d(x, y) per ogni x y. Dimostrare che T ha almeno un punto fisso in X. 3.5 Sia (f n ) n C 2 ([0, 1]) una successione di funzioni aventi derivata seconda continua e tali che f n (0) = (0) = 0. Supponiamo esista M > 0 con la proprietà f n 1 0 f n (t) dt M n, allora si dimostri che esiste una funzione f C 0 ([0, 1]) ed una sottosuccessione (f ni ) i convergente a f nella norma. Si può concludere in generale che f C k ([0, 1]) per k = 2 o k = 1? 4

5 4 Esercizi su equazioni differenziali (parte I) 4.1 Verificare le ipotesi del teorema di Cauchy-Lipschitz per i seguenti problemi di Cauchy: { u = arctan(u) + log(t) u (a) (b) = e u2 t + 1 u(1) = 0, u(0) = 0, (c) u = y2 + t 2 t u( 3) = 5, (d) y = y log y + 1 x y(1) = Trovare la soluzione generale delle seguenti equazioni differenziali a variabili separabili: (a) u = u sin t, (b) t(u 1) u = (t 3) Risolvere i seguenti problemi di Cauchy: u = 2tu { u = u (a) t 2 1 y 0 = 1 e quindi y 0 = 0; (b) t + u u(0) = y 0, y(0) = Dato ω > 0, trovare tutte le soluzioni di u + ω 2 u = t + sin(ωt) 4.5 Risolvere i seguenti problemi di Cauchy: y + 2y + 10y = cos(3x) (a) y(0) = 2 y (0) = 3; (b) y 5y + 6y = 3e x y(0) = 1 y (0) = 2; 4.6 Data l equazione differenziale u = sin(u) di un pendolo che oscilla in un piano verticale senza attrito, scrivere la legge di conservazione associata al sistema, scegliendo un potenziale V = V (u) tale che min V (u) = 0. Scrivere, quindi, l espressione del periodo di oscillazione T come funzione dell energia totale u E del sistema, che si suppone compresa strettamente fra 0 e 2. Verificare, infine, che lim T(E) = 2π, E 0 + ovvero per basse energie (e, di conseguenza, per piccole oscillazioni) il periodo approssima un valore limite uguale al periodo delle soluzioni dell equazione linearizzata u = u. 5

6 5 Studi qualitativi di equazioni differenziali (parte II) 5.1 Dato il problema di Cauchy si chiede di y = 1 x 1 y y(x 0 ) = y 0, (i) verificare che il problema ammette un unica soluzione locale per ogni dato iniziale (x 0, y 0 ) (0, + ) 2 ; (ii) scelto (x 0, y 0 ) = (1, 1) e detta y(x) la soluzione massimale del problema, ricavare l equazione della retta tangente al grafico di y(x) nel punto (1, 1); (iii) verificare che g(x) = 1 è soprasoluzione dell equazione differenziale, quindi ottenere una stima dall alto per y(x), quando x 1; (iv) dimostrare che y(x) è decrescente per x 1; (v) detta u(x) la soluzione di u = 1 u u(1) = 1, verificare che è una sottosoluzione dell equazione di partenza, quindi dedurre una stima per l estremo destro dell intervallo di definizione di y(x). 5.2 Sia u(t) la soluzione massimale di { u = tu + u u(0) = 1. (i) Dimostrare che per t 0 vale u (t) 1. (ii) Dimostrare che u(t) ha un asintoto verticale in t = b, dove b > 0 è un numero reale compreso tra 1 2 e π Si consideri il problema di Cauchy u = t 1 u u(0) = b dove b > 0 è assegnato. Detta u b (t) la soluzione massimale, dimostrare che per b sufficientemente grande si ha u b definita su tutto R e verificante lim t ± u b (t) = +, quindi tracciarne il grafico qualitativo. (+ difficile) Dimostrare che esiste b > 0 tale che u b(t) è definita su tutto R e tale che lim t + u b(t) = 0. 6

7 5.4 Dato il problema di Cauchy si chiede di dimostrare che y (y 1) arctan(y) = x y(1) = 1 2, x > 0 (i) la soluzione massimale y(x) è definita su (0, + ); (ii) y(x) è decrescente e compresa tra 0 e 1; (iii) lim y(x) = 0 e lim y(x) = 1; x + x 0 (iv) lim x 0 + y (x) =. 7