MATRICI. Matrici Una matrice A con n-righe e m-colonne, ad elementi reali, è una tabella con la seguente forma: a 2 m. a n m) i j R, 1 i n, 1 j m.

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1 MATRICI Matrici Una matrice A con n-righe e m-colonne, ad elementi reali, è una tabella con la seguente forma: 11 a 12 a 1 3 a 1m A=(a a 21 a 2 3 a 2m con a a n1 a n2 a n 3 a nm i j R, 1 i n, 1 j m. per convenienza di notazioni solitamente le matrici vengono rappresentate in forma compatta nel seguente modo: A=(a i j, 1 i n, 1 j m. Indichiamo con M n,m (R la totalità delle matrici con n-righe e m-colonne. Indichiamo con M n (R la totalità delle matrici con n-righe e n-colonne. Due matrici A, B si dicono dello stesso tipo quando A, B M n, m (R, ossia quando hanno lo stesso numero di righe e di colonne. Le matrici A=( Due matrici A, B M n m (R, 1 M 34(R e B=( M 34(R sono dello stesso tipo. 11 a 12 a 1 3 a 1m b12 b1 3 b1m A=(a a 21 a 2 3 a 2m B=(b11 b 21 b 22 b 2 3 b 2m a n1 a n2 a n 3 a nm b n1 b n2 b n 3 b nm si dicono uguali quando a i j =b i j i, j 1 i n, 1 j m. Sia A M n (R 11 a 12 a 1 3 a 1 n A=(a a 21 a 2 3 a 2 n a n1 a n2 a n 3 a nn gli elementi a i i 1 i n costituiscono la diagonale principale. Trasposta di una matrice Sia A M n,m (R, si chiama trasposta della matrice A, la matrice A t M m,n (R che si ottiene dalla matrice A scambiando ordinatamente, le righe con le colonne. a 11 a 2 1 a 31 a n 1 a 12 a 2 2 a 32 a n 2 Data la matrice A=( a 12 a 1 3 a 1m A=(a a 21 a 2 3 a 2m A a n1 a n2 a n 3 a nm =( t a 1m a 2 m a 3m a n m M 3,4(R la sua trasposta è la matrice A =(2 t ,3(R M

2 Data la matrice A=( M 3,3(R la sua trasposta è la matrice A t =( (R si dice simmetrica quando A= A t 11 a 12 a 1 3 a 1n A=(a a 12 a 2 2 a 2 3 a 2n a 1 n a 2 n a 3 n a nn M 3,3(R a i j =a j i i, j 1 i n, 1 j n. La matrice A=( è simmetrica, infatti A t =( =A (R si dice antisimmetrica quando A= A t a i j = a j i i, j 1 i n, 1 j n. A=( 0 a 12 a 13 a 1n a a 2 3 a 2n a 1 n a 2 n a 3 n 0 La matrice A=( è antisimmetrica, infatti A t =( = A Matrice triangolare superiore (R si dice triangolare superiore se a i j =0, quando i > j. 11 a 12 a 13 a 1 n 0 a 23 a 2 n A=(a n 0 0 a 33 a 3 n a n La matrice A=( è una matrice triangolare superiore. Matrice triangolare inferiore (R si dice triangolare inferiore se a i j =0, quando i < j. A=(a a 21 a a n1 a n 2 a n 3 a nn La matrice A=( è una matrice triangolare inferiore.

3 Matrice diagonale (R si dice diagonale se a i j =0, quando i j. La matrice A=( è una matrice diagonale A=(a 0 0 a a nn Matrice Identica o matrice unità Si chiama matrice identica o matrice unità, la matrice diagonale I M n (R che ha uguali a 1 tutti gli elementi della diagonale. =( I I 1 =(1 I 2 = ( I 3 =( Somma di matrici Siano A, B M n, m (R, si definisce somma delle matrici A, B la matrice C ottenuta sommando le componenti corrispondenti delle due matrici. 11 a 12 a 1 3 a 1m b1 1 b1 2 b13 b1 m C= A+ B=(a a 21 a 2 3 a 2m b 2 1 b 22 b 23 b 2 m a n1 a n2 a n 3 a nm+( Date le matrici A=( B=( b n 1 b n2 b n3 b n m 11+b 1 1 a 12+b 12 a 13+b 13 a 1 m+b 1 m C=(a a 21 +b 21 +b 2 2 a 23 +b 23 a 2 m +b m 2 m a n1 +b n1 a n2 +b n 2 a n3 +b n3 a n m +b n A+B=( Date le matrici A=( O=( ( = ( A+O=( ( = (

4 Proprietà 1. A+B=B+ A A, B M n, m (R 2. ( A+ B+C =A+(B+C A, B,C M n,m (R 3.! elemento neutro O M n,m (R t.c. A+O=O+ A=A A M n,m (R O=( A M n,m (R! A M n,m (R t. c. A+( A=( A+ A=O 1 1 a 1 2 a 13 a 1 m A=(a a 2 1 a 2 2 a 23 a m 2 m A=( a1 a n 1 a n 2 a n3 a n 1 a1 2 a1 3 a1 m a 21 a 2 2 a 2 3 a m 2 m a n1 a n 2 a n 3 a n Prodotto di una matrice per uno scalare Siano A M n,m (R, λ R, si definisce prodotto della matrici A per lo scalare λ, la matrice B ottenuta moltiplicando per λ tutte le componenti della matrice A. a 1 1 λ a 1 2 λ a 13 λ a 1m B=λ A=(λ λ a 2 1 λ a 2 2 λ a 2 3 λ a m 2 m λ a n 1 λ a n 2 λ a n 3 λ a n Data la matrice A=( A=( = ( Proprietà del prodotto per uno scalare 0 A=O A M n,m (R A=( λ (μ A=(λ μ A=μ(λ A A M n,m (R, λ,μ R 2. λ ( A+ B=λ A+λ B A, B M n, m (R, λ R distributivo rispetto alla somma tra matrici 3. (λ+μ A=λ A+μ A A M n,m (R, λ,μ R distributivo rispetto alla somma tra scalari 4.! elemento neutro 1 R t. c. 1 A=A A M n,m (R = ( =O L'insieme delle matrici ( M n, m (R,+, è uno spazio vettoriale di dimensione n m.

5 Prodotto di matrici Si chiama prodotto della matrice A M n,m (R, per la matrice B M m, p (R, la matrice C M n, p (R, i cui elementi sono c i j =A (i B ( j ( prodotto dell'i-esima riga di A per la j-esima colonna di B 1 a12 a13 a1m 1 c1 2 c1 3 c 1 j c1 p a 2 1 a 23 a 1 b1 2 b13 b1 j b1 p 2m c 2 1 c 2 2 c 2 3 c 2 j c 2 p C= A B=(a1 b 2 1 b 22 b 23 b 2 j b 2 p a i 1 a i2 a i 3 a i m c i1 c i2 c i3 c i j c i p b m1 b m2 b m 3 b m j b m p=(c1 a n 1 a n2 a n3 a nm (b1 b 1 j b 2 j i 1 b m j=a b +a b + +a b 1 j i 2 2 j i m m j c i j =(a i 1 a i 2 a i m ( Date le matrici A=( B=( A B=( ( = ( c n 1 c n 2 c n 3 c n j c n p c 11 = =1 c 12 = =1 c 13 =1 ( =0 c 21 = =1 c 22 = =1 c 23 =0 ( =2 c 31 =1 0+( =1 c 32 =1 0+( =1 c 33 =1 ( 1+( = 1 Date le matrici A=( B=( A B=( ( = ( =O non vale la legge dell'annullamento del prodotto 0 0 c 11 = =0 c 12 = =0 c 13 = =0 c 21 = =0 c 22 = =0 c 23 = =0 c 31 = =0 c 32 = =0 c 33 = =0 B A=( ( = ( c 11 = =0 c 12 = =0 c 13 = =0 c 21 = =0 c 22 = =0 c 23 = =0 c 31 = =3 c 32 = =0 c 33 = =0 A B B A il prodotto tra matrici non è commutativo

6 Proprietà del prodotto di matrici 1. ( A BC =A(B C A M n,m (R, B M m, p (R, C M p, s (R 2. ( A+ BC= AC +B C A, B M n, m (R, C M m, p (R 3. A( B+C =A B+ A C A M n,m (R, C, B M m, p (R 4. λ ( A B=(λ A B=A(λ B A M n,m (R, B M m, p (R, λ R 5. I n A=A A M n,m (R A I m =A A M n,m (R 6. ( A B t =B t A t Potenza di una matrice quadrata Sia A M n (R, definiamo la potenza m-esima della matrice A (dove m è un numero intero positivo nel seguente modo: Data le matrice A=( calcolare A 2 A 2 =A A=( { A 0 =I n, A O A 1 = A A m =A A A m volte ( = ( c 11 = ( 1 1= 1 c 12 = ( 1 ( 1=1 c 13 =0 ( ( 1 1= 1 c 21 = =1 c 22 = ( 1= 1 c 23 =0 ( =1 c 31 =1 0+( =1 c 32 =1 0+( ( 1= 1 c 33 =1 ( 1+( = 1 Determinante di una matrice A M n (R. Sia A M n (l determinante di A è un numero reale definito come: det ( A= p σ n ε ( pa 1 p(1 a 2 p(2 a n p(n dove σ n denota l'insieme di tutte le permutazioni di {1,2,3,, n} e dove ε ( p è il segno della permutazione p σ n. n=1, n=2, A=(a 11 e si ha det ( A=a 11 n=3, A=( a 11 a 12 a 21 si ha det ( A=a 11 a 12 a 21 A=( a 11 a 12 a 13 a 21 a 23 a 31 a 32 a 33 si ha det ( A=a 11 a 33 a 11 a 23 a 32 +a 12 a 23 a 31 a 12 a 21 a 33 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 31

7 Proprietà 1. det ( A t =det ( A A M n (R = Se tutti gli elementi di una riga o di una colonna C j, sono tutti nulli, allora il determinante della matrice è uguale a zero. R 1 R A=( 2 =O Rn A=(C 1 C 2 C j =O C n det ( A= = =0 3. Se in una matrice A M n (R due righe, R k o due colonne C j,c k sono uguali allora il determinante è uguale a zero. R 1 R 2 R A=( i R k = Rn A=(C 1 C 2 C j C k=c j C n det ( A= = =0 4. Se in una matrice A M n (R una riga =λ R ' ' ' i +μ allora il determinante è uguale a: ( R 1 R 2 det ( A=det ( =λ det =λ R ' ' ' i +μ Rn o una colonna R1 R 2 det ' Rn+μ ( R1 R 2 ' ' R n C j =λ C ' ' ' j +μc j det ( A=det (C 1 C 2 C j =λ C ' ' ' j +μ C j ' =λ det (C 1 C 2 C j C n = C n +μ det (C 1 C 2 C j ' ' = C n R 2 =(7, 4, 5=(3, 2, 4+(4, 2, 1

8 in particolare: se =λ ' ' C j =λ C j allora: ( R 1 R 2 det ( A=det ( =λ det ' =λ Rn R1 R Rn 2 ' ' det ( A=det (C 1 C 2 C j =λ C j = ' C n =λ det (C 1 C 2 C j =0 C n R 2 =(4, 4, 4=4(1,1, 1 5. Se la matrice B M n (R è ottenuta dalla matrice A M n (R scambiando tra loro due righe oppure due colonne, allora det ( B= det ( A. R1 R 2 A=( R k Rn B=( R1 R 2 R k Rn A=(C 1 C 2 C j C k C n B=(C 1 C 2 C k C j C n 6. det ( I n =1. det ( B= det ( A = = =1 Teorema di Binet Siano A, B M n (R e sia C= A B allora det (C =det ( A B=det ( A det( B Siano date le matrici A=( B= ( det ( A= = =1 det ( B= =3 1 1 det ( A B=det ( A det ( B=1 ( 3= = 3

9 Sia A M n (R Complemento algebrico o cofattore a12 a1 3 a1 j a1 n a 21 a 2 3 a 2 j a 2 n A=(a11 n a i 1 a i2 a i 3 a i j a i n a n1 a n2 a n 3 a n j a n Si chiama complemento algebrico o cofattore dell'elemento a i j e si indica con A i j, il numero ottenuto nel seguente modo: A i j =( 1 i+ j det ( A {,C j } dove det ( A {,C j } rappresenta il determinante ottenuto dalla matrice A eliminando la riga e la colonna C j. Consideriamo la matrice A=( complemento algebrico dell'elemento a 11 =0 A 11 =( =3 complemento algebrico dell'elemento a 21 =0 A 2 1 =( =0 complemento algebrico dell'elemento a 3 1 =1 A 3 1 =( = 6 complemento algebrico dell'elemento a 2 2 =3 A 2 2 =( = 2 Indichiamo con cof ( A M n (R la matrice dei cofattori di A. Consideriamo la matrice A=( cof ( A=( cof ( A=( A 11 A 12 A 13 A 1 n A 21 A 22 A 23 A 2 n A n1 A n2 A n 3 A n n =(

10 Teorema di Laplace In una matrice quadrata A M n (R la somma dei prodotti degli elementi di una riga o di una colonna C j per i corrispondenti complementi algebrici è uguale al det ( A. det ( A=a i 1 A i1 +a i 2 A i 2 ++a i n A i n det ( A=a 1 j A 1 j +a 2 j A 2 j ++a n j A n j In una matrice quadrata la somma dei prodotti degli elementi di una riga ( una colonna C j per i complementi algebrici di un'altra riga R k ( un'altra colonna C k è uguale zero. a i 1 A k 1 +a i 2 A k 2 ++a i n A k n =0 a 1 j A 1k +a 2 j A 2k ++a n j A nk =0 i k j k Consideriamo la matrice A=( A[ cof ( A] t =det ( A I n somma dei prodotti degli elementi della riga R 1 per i corrispondenti complementi algebrici det ( A= =2 6 2= 6 somma dei prodotti degli elementi della riga R 1 per i complementi algebrici della riga R 2 det ( A= ( =2 6+4=0 somma dei prodotti degli elementi della riga R 2 per i corrispondenti complementi algebrici det ( A= ( =0 2 4= 6 somma dei prodotti degli elementi della riga R 2 per i complementi algebrici della riga R 1 det ( A= =0 2+2=0 somma dei prodotti degli elementi della riga R 3 per i corrispondenti complementi algebrici det ( A= = 8+2= 6 somma dei prodotti degli elementi della riga R 3 per i complementi algebrici della riga R 1 det ( A= =4 4+0=0 somma dei prodotti degli elementi della colonna C 1 per i corrispondenti complementi algebrici det ( A= =2 0 8= 6 somma dei prodotti degli elementi della colonna C 2 per i complementi algebrici della colonna C 1 det ( A= =6+2 8=0

11 Matrice inversa di una matrice A M n (R Si definisce matrice inversa di una matrice A M n (R, una matrice B M n (R (se esiste che moltiplicata a destra o a sinistra per A, dia per prodotto la matrice identica I. Per il teorema di Binet: B A= A B=I. B= A 1 det ( A A 1 =det ( Adet ( A 1 =det ( I =1. (R è invertibile sse det ( A 0. Se A M n (R è invertibile allora det ( A 1 = 1 det ( A (R si dice singolare quando det ( A=0. (R si dice non singolare quando det ( A 0. (R si dice ortogonale quando A A t =A t A=I Data la matrice 1/ 2 1/ 2 0 A=( 0 1/ 2 1/ 2 a. si dica se A è ortogonale b. se è possibile trovare l'inversa di A (R si dice ortogonale se A A t =A t A=I La matrice A è ortogonale. 1/ 2 1/ 2 0 A=( 0 1/ 2 1/ 2 A A t =( A t =( 1/ 2 1/ 2 0 0( 1/ 2 0 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2 1/ 2 0 1/ ( = Ogni matrice ortogonale A è invertibile e la sua inversa A 1 coincide con la sua trasposta A t A 1 = A t =( 1/ 2 0 1/ 2 1/ 2 0 1/

12 Sia A M n (R una matrice invertibile Metodo della matrice dei cofattori Dalla relazione: si ricava che: Calcolo della matrice inversa A[ cof ( A] t =det ( A I n A 1 = 1 [cof ( A]t det ( A Determinare la matrice inversa della matrice A=( det ( A= 6, la matrice è invertibile. cof ( A=( =( =( cof ( A t =( 1 A 1 = 1 det ( A Cof ( At = 1 (

13 Metodo dell'equazione matriciale Si definisce matrice inversa di una matrice A M n (R, una matrice B M n (R (se esiste che moltiplicata a destra e a sinistra per A, dia per prodotto la matrice identica I. 11 a 12 a 1 3 a 1n A=(a a 21 a 2 2 a 2 3 a n 2 n a n 1 a n 2 a n 3 a n B=( (a11 a12 a1 3 a1n B A= A B= I. x 11 x12 x1 3 x1 n a 21 a 2 2 a 2 3 a 2n x 21 x 22 x 2 3 x 2 n a n 1 a n 2 a n 3 a nn ( x11 x1 2 x13 x1n x 21 x 2 2 x 23 x 2 n x n 1 x n 2 x n 3 x nn x n1 x n 2 x n 3 x n n=( Determinare la matrice inversa della matrice A= ( Dobbiamo determinare la matrice B= ( x y z t tale che A B= I Si ha: dalla quale ricaviamo i seguenti sistemi: sostituendo in B otteniamo: Metodo di Gauss ( ( x y z t = ( ( x+z y+t z t = ( { x+ z=1 z=0 { y+t =0 t=1 { x=1 z=0 { y= 1 t=1 B= A 1 = ( scriviamo la matrice [ A I ], formata dalla matrice A e dalla matrice identica, mediante operazioni elementari si cerca di costruire una nuova matrice [ I B], con B matrice inversa di A ] operazioni elementari: R j a +b R j R j a [ A I ]=[a 11 a 1 2 a 13 a 1 n a 21 a 2 2 a 23 a 2 n a n1 a n 2 a n3 a n n [ I B]=[ scambiare tra loro due righe della matrice fare la combinazione lineare tra due righe moltiplicare una riga per uno scalare. b1 1 b12 b13 b1 n b 2 1 b 22 b 2 3 b n] 2 n b n 1 b n2 b n 3 b n

14 Determinare la matrice inversa della matrice A=( [ A I ]=[ ] operazione elementare: R 2 R 1 operazione elementare: R 1 + R 3 R 3 operazione elementare: R 3 R 2 operazione elementare: R 2 + R 3 R 3 operazione elementare: R 1 + R 3 R 1 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] operazione elementare: R 2 R 2 R 3 R 3 [ ] A 1 =( Minore di ordine k Sia A M n,m (R, si chiama minore di ordine k, estratto dalla matrice A, qualunque determinante d'ordine k, ottenuto con gli elementi comuni a k righe e a k colonne della matrice A. Consideriamo la matrice minore di ordine 1 a12 a1 3 a1 j a1m a 21 a 2 2 a 23 a 2 j a 2m A=(a11 a i1 a i 2 a i 3 a i j a i m a n1 a n 2 a n3 a n j a nm A=( M 1 =a 11 =1 M 1 =a 12 =3 M 1 =a 21 =0 M 1 =a 31 = 2

15 minore di ordine 2 minore di ordine 3 M 3 = Rango di una matrice M 2 = = =1 M = =1 M = =0 M = =0 M = A M n,m (R = 16 Si chiama rango di una matrice, i cui elementi non siano tutti nulli, l'ordine massimo dei suoi minori non nulli. Il rango per righe di una matrice A M n,m (R è il massimo numero di righe linearmente indipendenti. Il rango per colonne di una matrice A M n,m (R è il massimo numero di colonne linearmente indipendenti. Il rango per righe coincide con il rango per colonne. A=( La matrice A è una matrice 3 4, quindi avrà al massimo rango 3 (r( A 3. R 1 =R 3, R 2 =2 R 1 il r ( A=1. B=( La matrice B è una matrice 3 4, quindi avrà al massimo rango 3 (r( B 3. R 1 =R 3, R 2 R 1 il r ( B=2. C=( La matrice C è una matrice 3 3, quindi avrà al massimo rango 3 (r(c 3. = 1 2 M = = 2+2=0 il r (C M 2 = =2 0 r (C =2.

16 Teorema di Kronecker Se una matrice A M n,m (R possiede un minore M non nullo, di ordine k, e se sono nulli tutti i suoi minori di ordine k+1 ottenuti orlando M con una riga e una colonna qualsiasi di A, allora il rango di A è k. Operativamente: trovato un minore M d'ordine k non nullo, calcoliamo i minori d'ordine k+1 ottenuti orlando M. Se tutti i minori sono nulli allora il rango di A è k. Se, invece, almeno un minore è non nullo, bisogna ripetere il procedimento per il minore di ordine k+1. A=( La matrice A è una matrice 3 4, quindi avrà al massimo rango 3 (r( A 3. M 2 = =2 0 = M = 12 0 il r ( A= = =0 M 3 = =3 2 2 B=( La matrice A è una matrice 3 4, quindi avrà al massimo rango 3 (r( A 3. M 2 = =2 0 = M =0 il r ( B= =2 =0 M =