Corsi di Laurea in Ingegneria per l ambiente ed il Territorio e Chimica. Esercizi 2 FISICA GENERALE L-B. Prof. Antonio Zoccoli

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1 1) Un disco sottile di raggio R, recante sulla superficie una carica Q uniformemente distribuita, è mantenuta in rotazione attorno al suo asse di simmetria con velocità angolare ω. Calcolare le espressioni delle seguenti quantità: a) la densità superficiale di carica σ; b) la carica infinitesima dq contenuta in una generica corona circolare infinitesima di raggio r; c) la corrente infinitesima di che si genera, a causa della rotazione, su tale corona circolare; d) il campo magnetico creato nel centro del disco dalla corrente elementare di; e) il campo magnetico risultante nel centro del disco. ) Discutere la formulazione dell elettromagnetismo attraverso potenziali. ) Una spira conduttrice circolare è percorsa dalla corrente i=.95 A, che produce nel suo centro O un vettore induzione magnetica 6 B avente modulo B = T 1.89x1-6 T. Determinare: a) il raggio R della spira (assumere come costante di permeabilità magnetica del vuoto il valore 7 µ = 4π 1 NA ); b) il valore (nel punto O) del modulo della forza che agisce su una carica puntiforme q che traversa il piano su cui giace la spira, passando per O con velocità di modulo v e direzione perpendicolare a tale piano. 4) Si spieghi brevemente il significato della seguente affermazione: il vettore induzione magnetica B generato nello spazio circostante dalla corrente elettrica i che percorre un filo conduttore rettilineo indefinito è solenoidale. 5) Un circuito rigido quadrato, di lato L=1cm, è costituito di un filo di alluminio 8 (resistività ρ =.56 1 Ω ms ) di sezione S = 1mm. Esso si trova nel piano xy con i lati paralleli ai due assi, ed è immerso in un campo di induzione magnetica uniforme di modulo B Bz =.5T diretto lungo l asse z nel verso positivo (uscente dal foglio), limitato all area grigia di figura. Il circuito, inizialmente immerso per metà nel campo magnetico (vedi figura), trasla parallelamente all asse y con velocità che viene mantenuta costante di modulo v = cm/ s. Calcolare, giustificando: a) il verso della corrente indotta (orario o antiorario), con riferimento alla figura; b) l intensità di tale corrente nel circuito durante il moto; c) l energia totale dissipata nel circuito per effetto Joule; d) il lavoro effettuato per portare il circuito completamente fuori del campo. pag. 1 j v i

2 6) Ricavare le dimensioni fisiche dell induttanza L. 7) Un filo conduttore a forma di semicirconferenza di raggio R= 5 cm è percorso dalla corrente i (incognita), che produce nel suo centro O un vettore induzione magnetica B avente modulo T. Determinare: a) il valore della corrente elettrica i (assumere come costante di permeabilità magnetica del 7 vuoto il valore µ = 4π 1 NA ); b) il valore (nel punto O) del modulo della forza che agisce su una carica puntiforme q= C che traversa il piano su cui giace la semicirconferenza, passando per O con velocità di modulo piano. v 5 1 π = 1 ms e direzione che forma un angolo di con la perpendicolare a tale 8) Si definisca la densità di energia u B associata al vettore campo magnetico B misurabile in una data regione dello spazio. 9) Un circuito rigido quadrato, di lato L=1cm, è costituito di un filo di alluminio 8 (resistività ρ =.56 1 Ω ms ) di sezione j v S = 5mm. Esso si trova nel piano xy con i lati paralleli ai due assi, ed è immerso in un campo di induzione magnetica uniforme di modulo B Bz =.5T diretto lungo l asse z nel verso positivo (uscente dal foglio), limitato all area grigia di figura. Il circuito, inizialmente immerso per metà nel campo magnetico (vedi figura), trasla parallelamente all asse y con velocità che viene mantenuta costante di modulo v = 1 cm/ s. Calcolare, giustificando: a) il verso della corrente indotta (orario o antiorario), con riferimento alla figura; b) l intensità di tale corrente nel circuito durante il moto; c) l energia totale dissipata nel circuito per effetto Joule; d) il lavoro effettuato per portare il circuito completamente fuori del campo. i 1) Due fili indefiniti posti parallelamente l uno all altro ad una distanza L=4cm sono percorsi nello stesso verso dalla stessa corrente i=1a. Calcolare il campo magnetico B sull asse y (mostrato in figura) e specificare per quali valori di y il modulo di B assume il valore massimo e minimo. y pag.

3 11) Tre fili indefiniti, posti parallelamente l uno all altro ai vertici di un triangolo equilatero di lato L=4,64 cm, sono percorsi nello stesso verso dalla stessa corrente i=a. Calcolare il campo magnetico B nel centro del triangolo e la forza che agisce su un tratto di uno dei fili lungo 1m. 1) Una lamina conduttrice indefinita di sezione rettangolare (lati a=1mm e b=4cm) viene percorsa da una densità di corrente di modulo pari a J=1 A/mm. Calcolare il campo induzione magnetica B in un punto dell asse y (mostrato in figura). Calcolare il campo B nel caso in cui la lamina abbia una larghezza b indefinita. y 1) Determinare l espressione della forza che agisce sulla porzione semicircolare di raggio r di un filo conduttore percorso dalla corrente i e immerso in un campo magnetico uniforme di modulo B, direzione perpendicolare e verso uscente dal piano della figura (su cui giace il filo). i r 14) Su ognuna delle armature di un condensatore carico a facce piane parallele, separate (nel vuoto) da un intercapedine di spessore d=1mm, tra le quali è applicata una differenza di potenziale 1 V=1 V, il valore assoluto della carica elettrica è Q= 7 1 C. Assumendo per la costante 1 1 dielettrica del vuoto il valore ε = CN m, si determini: a) il valore della superficie S di ciascuna delle armature; b) il valore del lavoro W compiuto per caricare il condensatore in assenza di effetti dissipativi. 15) Enunciare e commentare sinteticamente le Equazioni di Maxwell, definendo compiutamente tutti i simboli fisici e matematici usati. 16) Si consideri un circuito composto da un condensatore di capacità C=5µF da una resistenza R = 5Ω, da un generatore di resistenza interna r = 1Ω che fornisce una f.e.m. pari a f =1V e da un interruttore T inizialmente aperto posti in serie. Calcolare in regime quasi stazionario: a) il valore della corrente i che circola nel circuito 4 dopo un tempo τ = 1 s ; b) il valore della corrente di spostamento i s tra le facce del condensatore allo stesso istante. Calcolare inoltre per un tempo t molto grande ( t ' ) c) - l energia immagazzinata nel condensatore C d) - l energia totale dissipata per effetto Joule sulla resistenza R pag.

4 17) Nello spazio sono collocate tre cariche puntiformi rispettivamente di carica Q 1 =q, Q =q, Q =q. Nel sistema di riferimento scelto, esse si trovano rispettivamente nelle posizioni r1 = r i, r = r i e r = r j. a) Calcolare il modulo la direzione ed il verso del campo elettrico presente nell origine O del sistema di assi. b) Supponendo che le tre cariche possiedano rispettivamente velocità v 1 = vk, v = vk, v = vk, calcolare il modulo la direzione ed il verso del campo induzione magnetica presente nell origine O del sistema di assi. 18) Una bobina di induttanza trascurabile è composta da 5 spire rettangolari di lati L 1 =1cm ed L =cm, ogni spira ha resistenza r=mω. La bobina è immersa in un campo induzione magnetica B, perpendicolare al piano delle spire, la cui intensità varia nel tempo secondo la legge B t = B e kt, dove k è una costante positiva e B = T. Determinare: () a) il valore di k per cui la corrente indotta si riduce della metà per t F =1s; b) l energia dissipata per effetto Joule sull intera bobina dopo un tempo t F =1s. 19) Enunciare e discutere le equazioni di Maxwell, usando sia il formalismo differenziale che quello integrale. ) Si considerino tre fili rettilinei infiniti tra loro paralleli, disposti come nella figura alle distanze reciproche a e b= a e percorsi rispettivamente dalle correnti i 1 =i, i = i,, i = i con i versi indicati. Si calcoli l espressione della forza agente su un tratto di lunghezza l del filo centrale. 1) Una carica positiva Q, di massa M, si trova inizialmente nella posizione r 1 = r i e con velocità v 1 = v j, dove r e v sono costanti positive. Nella regione di spazio con ascisse ed ordinate positive è presente un campo induzione magnetica B = Ck dove C R è una costante. Determinare: a) il valore di C affinché la carica raggiunga il punto P di coordinate r = r j; b) il valore della velocità della carica nel punto P; c) l espressione del campo elettrico E che bisogna sovrapporre al campo induzione magnetica affinché la carica si muova di moto rettilineo uniforme. P pag. 4

5 ) Una spira quadrata di lato L=1cm, resistenza R=.5 ed induttanza trascurabile è immersa in un campo induzione magnetica B uniforme, perpendicolare al piano della spira (vedi figura), il cui modulo aumenta nel tempo. Sapendo che all istante iniziale il campo induzione magnetica è nullo e che nella spira circola in senso antiorario una corrente indotta di intensità costante i=ma, calcolare l espressione dell intensità di B in funzione del tempo ed il suo valore al tempo t F =1s. ) Una spira circolare di raggio D=1cm, resistenza R=1 ed induttanza trascurabile è immersa in un campo induzione magnetica B uniforme, perpendicolare al piano della spira (vedi figura), il cui modulo aumenta nel tempo. Sapendo che all istante iniziale il campo induzione magnetica è nullo e che nella spira circola in senso antiorario una corrente indotta di intensità costante i=,1415 A, calcolare: a) il verso del vettore B, b) l espressione dell intensità di B in funzione del tempo ed il suo valore al tempo t F =5s. 4) Enunciare e discutere la legge di Gauss per il campo elettrico, usando sia il formalismo differenziale che quello integrale. 5) Enunciare e discutere la legge di Gauss per il campo magnetico, usando sia il formalismo differenziale che quello integrale. 6) Un filo rettilineo indefinito e una spira rettangolare di lato maggiore a e lato minore b giacciono sullo stesso piano disposti come nella figura. Il filo e la spira sono percorsi rispettivamente dalle correnti i e i nelle direzioni indicate. Considerando la configurazione in cui il lato maggiore della spira più vicino al filo (4) è ad esso parallelo e ne dista d, si calcoli l espressione della forza agente sul lato superiore (1) della spira. 7) Una carica negativa Q, di massa M, si trova inizialmente nella posizione r 1 = r i e con velocità v 1 = v j, dove r e v sono costanti positive. Nella regione di spazio con ascisse ed ordinate positive è presente un campo induzione magnetica B = Ck dove C R è una costante. Determinare: a) il valore di C affinché la carica raggiunga il punto P di coordinate r = r j; b) il valore della velocità della carica nel punto P; c) l espressione del campo elettrico E che bisogna sovrapporre al campo induzione magnetica affinché la carica si muova di moto rettilineo uniforme. P pag. 5

6 8) Una spira rettangolare di lati L 1 =1cm ed L =cm, resistenza R=5. ed induttanza trascurabile è immersa in un campo induzione magnetica B uniforme, perpendicolare al piano della spira (vedi figura), il cui modulo aumenta nel tempo. Sapendo che all istante iniziale il campo induzione magnetica è nullo e che nella spira circola in senso orario una corrente indotta di intensità costante i= A, calcolare: a) il verso del vettore B; b) l espressione dell intensità di B in funzione del tempo ed il suo valore al tempo t F =s. 9) Enunciare e discutere la legge di Faraday-Lenz, usando sia il formalismo differenziale che quello integrale. ) Un filo rettilineo indefinito e una spira rettangolare di lato maggiore a e lato minore b giacciono sullo stesso piano disposti come nella figura. Il filo e la spira sono percorsi rispettivamente dalle correnti i e i nelle direzioni indicate. Considerando la configurazione in cui il lato minore della spira più vicino al filo (4) è ad esso parallelo e ne dista d, si calcoli l espressione della forza agente sul lato destro () della spira. 1) Una spira ellittica di semiasse maggiore a=cm e semiasse minore b=1cm, resistenza R=5. ed induttanza trascurabile è immersa in un campo induzione magnetica B uniforme, perpendicolare al piano della spira (vedi figura), il cui modulo aumenta nel tempo. Sapendo che all istante iniziale il campo induzione magnetica è nullo e che nella spira circola in senso orario una corrente indotta di intensità costante i=,1415 A, calcolare: a) i) il verso del vettore B; b) l espressione dell intensità di B in funzione del tempo ed il suo valore al tempo t F =7s. ) Enunciare e discutere la legge di Ampère-Maxwell, usando sia il formalismo differenziale che quello integrale. ) Definire e discutere le sorgenti del campo elettrico E con riferimento alle equazione di Maxwell. pag. 6

7 4) Un elettrone (massa m, carica elettrica e) avente energia cinetica T si muove con velocità v perpendicoalre a un campo magnetico uniforme di modulo B. Determianre le espressioni: a) del raggio di curvatura ρ della traiettoria dell elettrone in funzione di m, B e T; b) del periodo del moto corrispondente in termini di m, e e B. 5) Sia dato il circuito LC mostrato in figura, composto da un L condensatore di capacità C (avente facce piane e parallele circolari di raggio R e poste a distnza D l una dall altra) e da una induttanza L. Inizialmente sulla armature del condensatore è posta una carica Q e l interruttore è aperto. Nella fortunata ipotesi che all istante t= C l interruttore venga chiuso, calcolare: a) l andamento temporale della carica elettrica Q(t) sulle armature del condensatore; b) la direzione, il verso e l espressione del modulo del campo elettrico all interno del condensatore; c) la direzione, il verso e l espressione del modulo del campo magnetico all interno del condensatore; d) l energia immagazzinata nel circuito; e) l andamento temporale dell energia elettromagnetica all interno del condensatore. 6) Definire e discutere le sorgenti del campo magnetico B con riferimento alle equazione di Maxwell. 7) Sia dato il circuito RC mostrato in figura, composto da un condensatore di capacità C (avente facce piane e parallele circolari di raggio R e poste a distnza D l una dall altra) e da una resistenza R. Inizialmente sulla armature del condensatore è posta una carica Q e l interruttore è aperto. Nella fortunata ipotesi che all istante t= l interruttore venga chiuso, calcolare: a) l andamento temporale della carica elettrica Q(t) sulle armature del condensatore; b) la direzione, il verso e l espressione del modulo del campo elettrico all interno del condensatore; c) la direzione, il verso e l espressione del modulo del campo magnetico all interno del condensatore; d) l energia complessivamente dissipata sulla resistenza R; e) l andamento temporale dell energia elettromagnetica all interno del condensatore. pag. 7

8 8) Formulare e discutere la prima equazione di Laplace. 9) Formulare e discutere la seconda equazione di Laplace. 4) Un circuito rigido quadrato, di lato L=1cm, è costituito di un filo di alluminio (resistività r= Ωm) di sezione S=1 mm. Esso si trova nel piano xy con i lati paralleli ai due assi, ed è immerso (nel vuoto) in un campo di induzione magnetica uniforme di modulo B z =,5T diretto lungo l asse z nel verso positivo, limitato all area grigia di figura. Il circuito, inizialmente tutto immerso nel campo magnetico, trasla con parallelamente all asse x con velocità che viene mantenuta costante di modulo V = cm/s. Calcolare, giustificando: a) il verso della corrente indotta (orario o antiorario), con riferimento alla figura; b) l intensità di tale corrente nel circuito durante il moto; c) l energia totale dissipata nel circuito per effetto Joule; d) il lavoro effettuato per portare il circuito completamente fuori del campo. 41) Una spira rigida a forma di triangolo equilatero di lato L=m, massa M=1g, e resistenza R=1 W, si muove con velocità costante V = 1 m/s lungo l asse x. Nel semipiano delle x positive è presente un campo induzione magnetica uniforme di modulo B=.5 T diretto lungo z nel verso positivo, mentre nel semipiano delle x negative B è identicamente nullo. Calcolare: a) il verso della corrente indotta (orario o antiorario), con riferimento alla figura; b) il flusso di B concatenato con il circuito, nell istante in cui metà dell area del c) la corrente massima che circola nel circuito durante il moto; d) l espressione vettoriale della forza che agisce sul lato BC del circuito, all istante. pag. 8