COMPLEMENTI ALLE SERIE

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1 COMPLEMENTI ALLE SERIE. Serie a termii i sego efiitivamete ostate Per ompletezza rihiamo il riterio el rapporto e ella raie, seza imostrarli... Teorema (Criterio el rapporto). Sia a ua suessioe a termii efiitivamete positivi (positivi per grae), tali he esista il limite (evetualmete ifiito) a + lim l. + a Allora la serie + { overge se 0 l < a iverge se l > Questo riterio fuzioa partiolarmete bee quao abbiamo a he fare o i fattoriali..2. Teorema (Criterio ella raie). Sia a ua suessioe a termii efiitivamete oegativi (positivi per grae), tali he esista il limite (evetualmete ifiito) lim a l. + Allora la serie + { overge se 0 l < a iverge se l > Questo riterio fuzioa partiolarmete bee quao abbiamo a he fare o espoeziali. Rioro he il riterio el rapporto può essere otteuto a quello ella raie tramite i Teoremi i Cesaro. Ioltre se il limite el rapporto esiste, esiste ahe il limite i a e i ue limiti hao lo stesso valore. Ne segue he se u riterio fallise, fallise ahe l altro. Questi riteri soo effiai per serie he resoo o eresoo i moo espoeziale o più rapio. No ao iformazioi su serie omiate a u aameto poliomiale. Ifatti il rapporto per la suessioe a 2 e b / 2 à lo stesso valore, o è quii i grao i operare ua istizioe tra la serie a he è ivergete e la serie a he è overgete. Per le serie a termii efiitivamete positivi omiate a u aameto poliomiale è più effiae riorrere al ofroto asitotio, usao ome riferimeto la serie armoia geeralizzata. Rihiamo, seza imostrarlo il teorema el ofroto asitotio:.3. Teorema. Siao a e b suessioi a termii efiitivamete positivi (positivi per grae), tali he lim + a /b (a b ). Allora la serie a overge se e solo se b overge. Questo teorema, isieme ai riteri el rapporto e ella raie, soo gli strumeti he utilizziamo più spesso per apire il omportameto i ua serie. Per poterlo utilizzare obbiamo però oosere il omportameto i alue serie he utilizzeremo ome riferimeto. Iiziamo alla serie armoia: i questo ome i altri asi (serie i Megoli, e serie geometria a esempio), è opportuo risrivere la ostra serie ome ua serie telesopia. Il valore effettivo a ui overge la

2 2 COMPLEMENTI ALLE SERIE suessioe elle somme parziali può ifatti essere alolato solo i pohi asi e i solito si tratta i serie telesopihe..4. Proposizioe. La serie armoia + iverge a +. Proof. Siao a / e b l( + ) l(). Si osserva he b e a soo suesioi a termii positivi e he ( ) ( + b l( + ) l() l l + ) + o( ) a Pertato la serie a overge se e solo se b overge per il rit. el ofr. asit. Ioltre se B è la su. elle somme parz. relative a b risulta B N b l(n + ) l(n) (l(n + ) l(n)) (l(n) l(n )) + + (l(3) l(2)) + (l(2) l()) l(n + ) l() l(n + ) + Pertato poihè b iverge ahe la serie armoia iverge. Si osservi he a questo teorema si eue ahe la veloità o ui la serie armoia iverge: logaritmia. Utilizzao il teorema el ofroto alla Proposizioe preeete si eue ioltre he la serie armoia geeralizzata + iverge a + per ogi p <. p Ifatti per ogi N risulta > p per p <. Ioltre, riorao he la serie i Megoli + (+) 2 (+) overge a e he per, per il teorema el ofr. asit. otteiamo he la serie armoia geeralizzata overge per p 2. Utilizzao i uovo il riterio el ofroto si ottiee poi he + overge per p 2. p Più i geerale proveremo quato segue.5. Proposizioe. La serie armoia geeralizzata + se p >. p overge se e solo Questo risultato lo otterremo i realtà ome aso partiolare ella seguete Proposizioe lievemete più geerale..6. Proposizioe. La serie + p log()] q { overge p > oppure p e q > iverge a + p < oppure p e q Proof. Iiziamo o il far veere la serie iverge per p e q <. Ahe i questa imostrazioe bisoga far veere he la ostra serie si può srivere ome ua serie telesopia i ui rieso a alolare il limite. A ire il vero i questo aso rieso solo a ire he ha lo stesso omportameto asitotio i ua serie telesopia, poi oluo o il riterio el ofroto asitotio. Siao q > 0 e b la imostrazioe el aso p q è partiolarmete luga e o è rihiesta. La imostrazioe i questa proposizioe la osiero omuque ua omaa iffiile. Vorrei he sapeste ripetere la imostrazioe per la serie armoia e quii per i asi p e p 2.

3 COMPLEMENTI ALLE SERIE 3 l( + )] l()]. Si osserva he (.) B N b 2 {l( + )] l()] {l(n + )] l(n)] + 2 +{l(n)] l(n )] + + {l(4)] l(3)] + {l(3)] l(2)] l(n + )] l(2)] + Ora veiamo a hi è asitotia la serie ei b. { l( + ) b {l( + )] l()] l() { l() l() + l( + ) l() (.2) { + l( + ) { ] l()] + l() + l() + o( l() ) ] l()] ] l()] ] l()] + o( ) l() ] l()] l()] l()] q La stima preeete vale hiaramete per + e ho utilizzato il fatto he ( + x ) + a + o(x ) e l( + x ) a + o(x ) se x 0. Ora otao he le suessioi a l()] e b q soo a termii positivi e he a b i virtù ella (.2) posso oluere he le serie + 2 a e + 2 b hao lo stesso omportameto asitotio. Quii poihè abbiamo visto grazie a (.) he la seoa serie iverge se q < ahe la prima iverge. Esamiiamo ora il aso q >. Basterebbe a questo puto osservare he i oti svolti i preeeza restao valii ahe per q < 0, ompresa la formula ( + x ) + a + o(x ). Quii a (.) troveremo he (.3) B N l(n + )] l(2)] l(2)] l(2)] e a (.2) troveremo he b l()] l()] q. Pertato, poihè a e b soo suessioi a termii egativi (riora he < 0), e a b posso utilizzare il riterio el ofroto asitotio. Poihè la seoa serie iverge se q < ahe la prima iverge. Se questa seoa parte o vi è hiara si può proeere osì: sia q > 0. Sia y allora risulta: l()] l(+)] (.4) { { Y N y l()] l( + )] l(n + )] + l(n)] { { + l(n)] + l(n )] + + l(4)] + l(3)] + { + l(3)] l(2)] l(n + )] + l(2)] l(2)] Poi ragioao ome sopra i aloliamo a hi è asitotia y : y l()] l( + )] l( + )] l()] l( + ) l()]

4 4 COMPLEMENTI ALLE SERIE Ora usao il oto fatto i (.2) e utilizzao al posto i trovo (.5) y + l() + o( l()] + o ( ] l() ) ) l()] l()] l( + )] + o( l( + ) l()] l() l()] l()] q l()] q l( + )] ) l() Ora otao he le suessioi a e b soo a termii positivi e he a b i virtù ella (.5) posso oluere he le serie + 2 a e + 2 b hao lo stesso omportameto asitotio. Quii poihè abbiamo visto grazie a (.4) he la seoa serie iverge se q < ahe la prima iverge. Ora utilizzao il fatto he > a l()] b l()] se a < e he vale la isuguagliaza iversa se a > e il riterio el ofroto arriviamo alla imostrazioe q el Teorema. A ire il vero resta fuori il aso p q he è il più iffiile, la ui imostrazioe o è rihiesta e he metto solo per ompletezza (ua volta imostrato questo aso tra l altro i viee automatiamete la imostrazioe el aso i ui la serie iverge, grazie al riterio el ofroto e al ragioameto appea fatto). Proof. Si osiera la serie telesopia + 2 b ove b { ll(+)] ll()]. (.6) B N b 2 { { ll( + )] ll()] ll(n + )] ll(n)] { ll(n)] ll(n )] + + {ll(4)] ll(3)]+ +{ll(3)] ll(2)] ll(n + )] ll(2)] + Ora veiamo a hi è asitotia la serie ei b. ] l( + ) b {ll( + )] ll()] l l() ] l() l() + l( + ) l() + l( + l l ) ] (.7) l() l() l + l ( )] + l + + o( ) ] ( ) l() l() l() + o l() La stima preeete vale hiaramete per + e ho utilizzato il fatto he l( + x ) a + o(x ) se x 0. Ne segue he b a ove a l(). Ora, opo aver osservato he a e b soo a termii positivi, appliao il riterio el ofroto asitotio i ie he la serie + 2 a iverge a + poihè la serie + 2 b iverge a Serie a termii i sego variabile Cosieriamo ora le serie a termii i sego variabile. abbiamo a isposizioe è il seguete. Il primo riterio he 2.. Teorema. Sia a ua suessioe tale he a overge. Allora ahe a overge. Questo riterio però o i ie iete se a iverge. U altro strumeto he abbiamo a isposizioe e i faile utilizzo è il seguete.

5 COMPLEMENTI ALLE SERIE Proposizioe. Sia a ua suessioe tale he a 0. Allora a o overge. A priori quii la serie potrebbe overgere o ivergere. 2 Rioro he la Proposizioe.6 o è altro he l atiomiale ella oizioe eessaria per la overgeza i ua serie he rihiamo (seza imostrare) Teorema (oizioe eessaria per la overgeza i ua serie). Se a overge allora a 0 A ire il vero el aso he iotrerete più spesso egli eserizi si potrebbe provare qualosa i più Proposizioe. Sia a ua suessioe tale he a l 0, ove l può ahe essere +. Allora ( ) a o è regolare. Ometto la imostrazioe he rihiee il Criterio i Cauhy he o abbiamo visto. L ultimo teorema he veremo per stuiare le serie a sego altero è il riterio i Lebitz he forse è quello i più iffiile appliazioe Teorema (Criterio i Leibitz). Si osieri la serie 0 ( ) a. Allora se a soisfa le segueti 3 proprietà (per grae) () a 0 (2) a è eresete (3) lim a 0. la serie overge. Proof. Faiamo la imostrazioe suppoeo le 3 proprietà vere per ogi per sempliità. Il risultato però vale ahe se le propr. soo verifiate solo per grae ome per tutte le imostrazioi sui limiti. Si osieri la su. b k a 2k+ a 2k per k 0,, 2,.... Si osservi he b 0 a a 0 0, b a 3 a 2 0, b 2 a 5 a 4 0 e più i geerale b k 0 per ogi k poihè a è eresete. Sia k a 2k a 2k per k, 2, 3...; sempre al fatto he a è eresete segue he a 2 a 0, 2 a 4 a 3 0, 3 a 6 a 5 0 e i geerale k 0 per ogi k. Ne segue he k k soo regolari. Siao B e C i rispettivi limiti. Risulta le serie k0 b k e C < 0 < B. Si osservi ioltre he hiamate A N N 0 ( ) a, B N N 0 b e C N N 0 le su. elle somme parziali si ha: A 2N+ B N A 2N a 0 + C N e B N a 0 + C N + a 2N+ esamiao l ultima i queste uguagliaze troviamo B N a 0 + C N + a 2N+ < a 0 a 2N+ a 0 per Quii B è u limite fiito ioltre al passaggio al limite risulta B a 0 + C. Passao al limite ella prima ugualgiaza troviamo ioltre he A B. Quii la serie osierata 0 ( ) a è regolare e overge (a B). Poihè C N < 0 per ogi N si ha ioltre he il limite A B ella serie appartiee all itervallo (0, a 0 ) E bee riorare he se ua elle tre proprietà o vale il teorema o si applia e NON POSSO TRARRE NESSUNA CONCLUSIONE. Rihiamo i moo iformale alue proprietà elle serie a sego variabile rimaao al libro i testo per ua euiazioe più rigorosa. Se ua serie overge assolutamete allora u qualsiasi rioriameto ella serie overge allo stesso limite. Ioltre se ua serie a termii positivi iverge allora iverge ahe u qualsiasi rioriameto. Per essere più hiari: se ivee i sommare 2 Nello sritto ritego omuque questa risposta suffiiete, se la serie è a sego altero.

6 6 COMPLEMENTI ALLE SERIE segueo l orie aturale ambio orie, e sommo prima 2 pari e poi u ispari, poi i uovo 2 pari e u ispari, e... Allora se la serie overge assolutamete o ambia iete ahe sommao el seoo moo. Iem se la serie è a termii positivi sia he overga sia he iverga il risultato o ambia. Questo risultato o i sorpree: se sommo 0 termii, ambiao l orie o ui sommo il risultato o ambia. Se sommo ifiiti termii il risultato o ambia se la serie è a termii positivi o overge assolutamete. Il risultato si basa sulla ommutatività ella somma e sulla regolarità elle suessioi mootoe. Il risultato o vale più se la serie overge sempliemete ma o assolutamete. A ire il vero vale il seguete risultato i ui o foriso la imostrazioe Teorema. Si osieri ua serie 0 a he overge sempliemete ma o assolutamete. Allora per ogi l R ove l può essere ahe + o, posso rioriare i termii ella serie i moo he overga (o iverga) al valore l. ( ) ], alla imostrazioe el riterio A esempio se osiero la serie + i Leibitz si eue he la serie overge a u valore l (, 0). Se sommo 2 ispari e u pari e poi i uovo u ispari e u pari, e osì via ottego he la serie ivege a +. Ifatti sommao i questo moo ottego ua somma a 4+ + a a 2(+) + 4 (4 + )(4 + 3) ( + )2 + (4 + )(4 + 3) 2(4 + )(4 + 3)( + ) 4. Ne segue he la somma esritta Se faio il otrario sommo 2 pari e u ispari e poi i uovo u pari e u ispari, et..., per lo stesso motivo iverge a.