SERIE NUMERICHE. prof. Antonio Greco

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "SERIE NUMERICHE. prof. Antonio Greco 6-11-2013"

Transcript

1 SERIE NUMERICHE prof. Antonio Greco

2 Indice Motivazioni Definizione Errore tipico Un osservazione utile Condizione necessaria Serie armonica Serie geometrica Definizione Somma ridotta Carattere Achille e la tartaruga... 6 Serie a termini positivi Assoluta convergenza Criterio del confronto Criterio del confronto asintotico 7 Criterio del rapporto Criterio della radice Serie esponenziale lim k + x k /k! = Serie a termini di segno alterno 9 Criterio di Leibniz Funzione ζ di Riemann Controesempi su rapporto e radice 0 Antonio Greco Serie numeriche Pag. 2

3 MOTIVAZIONI Talvolta si è costretti, per la difficoltà del problema considerato, a ripiegare su di una soluzione approssimata. Questo capita, ad esempio, quando si deve calcolare il valore numerico di π. Le serie consentono di esprimere rigorosamente certe approssimazioni. Il calcolo di π è da secoli oggetto di studi approfonditi. In particolare, si attribuisce a Leibniz (674) la scoperta che + π 4 = ( ) k 2k +. Nel 997, invece, è stata scoperta la seguente formula: ( 4 2 π = 6 k 8k + 8k +4 8k +5 ). 2 8k +6 Ulteriori informazioni su questa ed altre formule simili si possono trovare sulla rivista Notices of the American Mathematical Society ( agosto 203, pag. 847). Intuitivamente, la somma di una serie è la somma di infiniti termini. I termini da sommare si possono indicare con la notazione a k, dove l indice k varia nell insieme N dei numeri naturali. DEFINIZIONE Per definire la somma della serie a k () si considera la successione delle somme parziali S n, dette anche somme ridotte, date da n S n = e si procede come segue. Se esiste finito il limite a k lim S n (2) n + si dice che la serie () è convergente, e la sua somma è il valore numerico del suddetto limite. Se, invece, il limite (2) è + o, si dice che la serie () è divergente a + o a. Se, infine, la successione delle somme ridotte S n non ammette limite, si dice che la serie () è indeterminata. L ERRORE TIPICO L errore tipico del principiante è quello di confondere tra loro le due successioni in gioco: quella dei termini da sommare a k, e quella delle somme ridotte S n. UN OSSERVAZIONE UTILE Poiché il limite della successione (S n ) non dipende dai primi termini, il carattere di una serie non dipende dai primi addendi. Antonio Greco Serie numeriche Pag. 3

4 COME RICAVARE a n A PARTIRE DA S n Partendo dall uguaglianza S n = a 0 + +a n e sottraendo da essa l uguaglianza seguente: si trova S n = a 0 + +a n S n S n = a n. (3) Dunque è possibile ritrovare gli addendi a n conoscendo le somme parziali S n. UNA CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA Condizione necessaria affinché la serie () converga, è che lim a n = 0. (4) n + Infatti, se per ipotesi risulta lim S n = S R n + allora si ha anche lim S n = S. n + Di conseguenza, passando al limite nella (3), si ottiene la (4), come volevasi dimostrare. La suddetta condizione non è sufficiente affinché la serie considerata converga. Per dimostrarlo, basta esibire un controesempio, come quello costituito dalla cosiddetta serie armonica (vedere a lato). SERIE ARMONICA Si chiama serie armonica la serie k= k. La serie armonica è divergente perché k= k = + 2 ( ) 4 ( ) 8 ( ) 6 ( ) = +. Quest ultima disuguaglianza si ottiene osservando che > = 2 ; > = 2, eccetera. La dimostrazione del fatto che la serie armonica è divergente riportata sopra è attribuita ad Oresme (anno 360): vedere Kline, Storia del pensiero matematico, Einaudi, vol. I, pag Antonio Greco Serie numeriche Pag. 4

5 SERIE GEOMETRICA Si chiama geometrica la serie in cui ciascun termine (tranne il primo) si ottiene dal termine precedente moltiplicandolo per un numero fisso detto ragione e indicato solitamente con la lettera q. L espressione generale della serie geometrica è a 0 q k (5) dove il primo termine a 0 può avere un qualunque valore fissato. In particolare, se a 0,q 0, i termini a k = a 0 q k sono diversi da zero e si constata che il rapporto tra due termini consecutivi vale a k+ a k = a 0q k+ a 0 q k = q. La scelta della lettera q è dovuta al fatto che essa è l iniziale della parola quoziente. SOMMA RIDOTTA DELLA SERIE GEOMETRICA Lo studio esauriente della serie geometrica è possibile grazie alla seguente espressione della somma ridotta, valida per q : n q k = qn+ q. (6) Per dimostrare la (6) basta moltiplicare ambo i membri per q. Svolgendo il prodotto n ( q) con la proprietà distributiva, si trova n n n ( q) q k = q k q k = q n+ come volevasi dimostrare. q k+ Il termine ragione deriva invece dal latino ratio, cioè rapporto. Antonio Greco Serie numeriche Pag. 5

6 CARATTERE DELLA SERIE GEOMETRICA Se il primo termine a 0 è nullo, lo sono nulli anche tutti gli altri termini. Applicando la definizione, si trova che la serie geometrica (5) converge e la sua somma è 0. Se, invece, a 0 0, applicando la definizione si trova che il carattere della serie geometrica (5) è lo stesso della serie q k. (7) Ci concentriamo quindi su quest ultima. Se q =, tutti i termini valgono e la serie diverge a +. Se, invece, q, possiamo usare la (6) ricordando che { 0, se q (,) lim n + qn = + se q > mentre il limite non esiste se q. Pertanto, se q (,), la serie (7) converge e si ha q k = q. (8) Se, invece q, la serie (7) diverge a +. Se, infine q, la serie (7) è indeterminata. ACHILLE E LA TARTARUGA Achille corre con velocità v A verso una tartaruga, posta ad una distanza d 0 da lui. La tartaruga fugge con una velocità v T. Essendo v T < v A, il rapporto q = v T /v A è minore di. Achille percorre la distanza d 0 impiegando il tempo t 0 = d 0 /v A. In tale lasso di tempo, la tartaruga percorre la distanza d = t 0 v T, e cioè d = d 0 q. Achille percorre la distanza d impiegando il tempo t = d /v A. In tale lasso di tempo, la tartaruga percorre la distanza d 2 = t v T, e cioè d 2 = d q = d 0 q 2. Achille percorre dunque una successione di distanze d k la cui espressione generale è d k = d 0 q k. La somma di tutte le distanze è + d 0 q k = d 0 q k = d 0 q. Il tempo necessario ad Achille per percorrere la distanza d k è t k = d k /v A = d 0 v A q k, quindi la somma di tutti i tempi è t k = d 0 v A q = d 0. v A v T Questo è, infatti, il tempo necessario ad Achille per raggiungere la tartaruga. Antonio Greco Serie numeriche Pag. 6

7 SERIE A TERMINI POSITIVI Le serie i cui termini sono tutti positivi, o almeno non negativi, non sono indeterminate. Esse possono essere convergenti o divergere a +. Infatti, se a n 0 per ogni n, dalla (3) si ricava S n+ S n, dunque la successione delle somme ridotte è monotona non decrescente. La proprietà più importante (se proprio dobbiamo sceglierne una) dell insieme dei numeri reali è la completezza: cioè tutte le successioni monotone ammettono limite (finito o infinito). Da ciò segue l asserto. ASSOLUTA CONVERGENZA Si dice che la serie () è assolutamente convergente se la serie a termini non negativi a k è convergente. Usando in modo opportuno la proprietà di completezza richiamata sopra, si dimostra che l assoluta convergenza è una condizione sufficiente affinché la serie () converga. Per verificare che l assoluta convergenza non è necessaria per la convergenza semplice basta esibire un controesempio (vedere a pagina 9). CRITERIO DEL CONFRONTO Se risulta 0 a k b k per ogni k, e se la serie è divergente, allora lo è anche la serie b k. Ne segue che se, invece, quest ultima serie converge, allora converge anche l altra. L enunciato discende dalla definizione di somma di una serie, usando il teorema del confronto per i limiti, e tenendo conto del fatto che le serie a termini non negativi non sono indeterminate. a k CRITERIO DEL CONFRONTO ASINTOTICO Due serie i cui termini (positivi) a k e b k sono tali che il rapporto a k /b k ammette limite finito l > 0 hanno lo stesso carattere. Ciò segue dal criterio del confronto enunciato sopra. Infatti, per la definizione di limite, risulta l 2 b k < a k < 2lb k definitivamente, e le serie l 2 b k, 2lb k hanno lo stesso carattere della serie b k. Antonio Greco Serie numeriche Pag. 7

8 CRITERIO DEL RAPPORTO Consideriamo una serie i cui addendi a k siano tutti positivi. Condizione sufficiente affinché la serie converga è che il limite lim k + a k+ a k (9) esista e sia minore di. Condizione sufficiente affinché la serie diverga a + è che il limite (9) esista e sia maggiore di (anche + ). CRITERIO DELLA RADICE Consideriamo una serie i cui addendi a k siano tutti non negativi. Condizione sufficiente affinché la serie converga è che il limite lim k + k ak (0) esista e sia minore di. Condizione sufficiente affinché la serie diverga a + è che il limite (0) esista e sia maggiore di (anche + ). COME DIMOSTRARE I CRITERI DEL RAPPORTO E DELLA RADI- CE Si noti che, se la serie considerata è una serie geometrica, e cioè se a k = a 0 q k, allora i limiti (9) e (0) valgono entrambi q. Se, invece, la serie considerata non è geometrica, la si confronta con la serie geometrica la cui ragione q è il limite (9) o (0). Se, infine, tale limite è +, la condizione necessaria per la convergenza non è soddisfatta, e la conclusione segue immediatamente. SERIE ESPONENZIALE Una delle serie più importanti è la serie di Maclaurin della funzione esponenziale e x, e cioè x k k!. () Per ogni x R fissato, essa è una serie numerica il cui termine generale a k è dato da a k = xk k! pertanto il rapporto fra due termini consecutivi è a k+ a k = xk+ (k +)! k! x = x k k +. Poiché il limite (9) è nullo, la serie () converge qualunque sia x R. Usando la formula di Taylor con il resto di Lagrange, si può dimostrare che per ogni x R. x k k! = e x UN LIMITE NOTEVOLE Avendo dimostrato che la serie () converge per ogni x R, e ricordando che la condizione (4) è necessaria per la convergenza, concludiamo che lim k + x k k! qualunque sia x R. = 0 Antonio Greco Serie numeriche Pag. 8

9 SERIE A TERMINI DI SEGNO AL- TERNO Se i termini a k sono tutti non negativi, la serie ( ) k a k (2) si dice serie a termini di segno alterno. CRITERIO DI LEIBNIZ Condizione sufficiente affinché la serie (2) sia convergente è che i termini a k costituiscano una successione monotona che tende a 0. Lo si dimostra usando la completezza dell insieme dei numeri reali. Esempio: applicando il criterio di Leibniz, si trova che la serie k= ( ) k k è convergente. La stessa serie non è assolutamente convergente perché la serie armonica non converge. Applicando la formula di Taylor con il resto di Lagrange alla funzione logaritmica, si può dimostrare che k= ( ) k k = log2. Antonio Greco Serie numeriche Pag. 9

10 FUNZIONE ZETA DI RIEMANN La funzione ζ(x) = k= k x si può definire anche per valori complessi della x, ed è legata ad una famosa congettura. In questa sede ci limitiamo a discutere il caso x R. Osserviamo, innanzitutto, che la serie diverge a + per x perché in tal caso si ha k x k e la serie armonica è divergente. Se, invece, x >, si può dimostrare che la serie converge. Si ha, infatti, k x t x per ogni t (k, k). Integrando ambo i membri in dt su tale intervallo si trova k x k k dt t x da cui, sommando su k, si ricava PERCHÉ I CRITERI DEL RAP- PORTO E DELLA RADICE NON SI APPLICANO SE I LIMITI (9) E (0) VALGONO? Non si applicano perché sussistono dei controesempi. Infatti la serie armonica è divergente, mentre la serie k= k 2 è convergente (vedere a lato). In entrambi i casi, i limiti (9) e (0) valgono. Dunque il fatto che tali limiti valgano non dice nulla sulla convergenza della serie. k=2 + k x dt t x. L integrale al secondo membro si calcola immediatamente, e vale + dt t x = t x x ] + = x, dunque la serie è convergente, come volevasi dimostrare. Antonio Greco Serie numeriche Pag. 0

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Serie numeriche

Corso di Analisi Matematica Serie numeriche Corso di Analisi Matematica Serie numeriche Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 25 1 Definizione e primi esempi 2 Serie a

Dettagli

3.1 Successioni. R Definizione (Successione numerica) E Esempio 3.1 CAPITOLO 3

3.1 Successioni. R Definizione (Successione numerica) E Esempio 3.1 CAPITOLO 3 CAPITOLO 3 Successioni e serie 3. Successioni Un caso particolare di applicazione da un insieme numerico ad un altro insieme numerico è quello delle successioni, che risultano essere definite nell insieme

Dettagli

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi (Criterio del rapporto.) Consideriamo la serie a (.) a termini positivi (ossia a > 0, =, 2,...). Supponiamo che esista il seguente ite a +

Dettagli

Serie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari

Serie numeriche. 1 Definizioni e proprietà elementari Serie numeriche Definizioni e proprietà elementari Sia { } una successione, definita per ogni numero naturale n n. Per ogni n n, consideriamo la somma s n degli elementi della successione di posto d s

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli gennaio 9 Indice Introduzione iii Nozioni preliminari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni..........................................

Dettagli

Università degli Studi di Catania A.A. 2012-2013. Corso di laurea in Ingegneria Industriale

Università degli Studi di Catania A.A. 2012-2013. Corso di laurea in Ingegneria Industriale Università degli Studi di Catania A.A. 2012-2013 Corso di laurea in Ingegneria Industriale Corso di Analisi Matematica I (A-E) (Prof. A.Villani) Elenco delle dimostrazioni che possono essere richieste

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure

Dettagli

Quesiti di Analisi Matematica A

Quesiti di Analisi Matematica A Quesiti di Analisi Matematica A Presentiamo una raccolta di quesiti per la preparazione alla prova orale del modulo di Analisi Matematica A. Per una buona preparazione é consigliabile rispondere ad alta

Dettagli

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento:

+ P a n n=1 + X. a n = a m 3. n=1. m=4. Per poter dare un significato alla somma (formale) di infiniti termini, ricorriamo al seguente procedimento: Capitolo 3 Serie 3. Definizione Sia { } una successione di numeri reali. Ci proponiamo di dare significato, quando possibile, alla somma a + a 2 +... + +... di tutti i termini della successione. Questa

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche

Corso di Analisi Matematica. Successioni e serie numeriche a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Successioni e serie numeriche Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima

Dettagli

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla

ESERCITAZIONI DI ANALISI 1 FOGLIO 1 FOGLIO 2 FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI. Marco Pezzulla ESERCITAZIONI DI ANALISI FOGLIO FOGLIO FOGLIO 3 FOGLIO 4 FOGLIO 5 FOGLIO 6 FOGLIO 7 SVOLTI Marco Pezzulla gennaio 05 FOGLIO. Determinare il dominio e il segno della funzione ( ) f(x) arccos x x + π/3.

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Una funzione reale di una variabile reale f di dominio A è una legge che ad ogni x A associa un numero reale che denotiamo con f(x). Se A = N, la f è detta successione di numeri reali.

Dettagli

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2015/16)

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2015/16) Diario del corso di Analisi Matematica (a.a. 205/6) 4 settembre 205 ( ora) Presentazione del corso. 6 settembre 205 (2 ore) Numeri naturali, interi, razionali, reali. 2 non è razionale. Introduzione alle

Dettagli

CRITERI DI CONVERGENZA PER LE SERIE. lim a n = 0. (1) s n+1 = s n + a n+1. (2) CRITERI PER LE SERIE A TERMINI NON NEGATIVI

CRITERI DI CONVERGENZA PER LE SERIE. lim a n = 0. (1) s n+1 = s n + a n+1. (2) CRITERI PER LE SERIE A TERMINI NON NEGATIVI Il criterio più semplice è il seguente. CRITERI DI CONVERGENZA PER LE SERIE Teorema(condizione necessaria per la convergenza). Sia a 0, a 1, a 2,... una successione di numeri reali. Se la serie a k è convergente,

Dettagli

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1

SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 SIMULAZIONE TEST ESAME - 1 1. Il dominio della funzione f(x) = log (x2 + 1)(4 x 2 ) (x 2 2x + 1) è: (a) ( 2, 2) (b) ( 2, 1) (1, 2) (c) (, 2) (2, + ) (d) [ 2, 1) (1, 2] (e) R \{1} 2. La funzione f : R R

Dettagli

CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI

CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI CAPITOLO 16 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI Abbiamo studiato successioni e serie numeriche, ora vogliamo studiare successioni e serie di funzioni. Dato un insieme A R, chiamiamo successione di funzioni

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 1. Docente: Klaus Engel. Università degli Studi dell Aquila Facoltà di Ingegneria A.A. 2011/12

Appunti di Analisi Matematica 1. Docente: Klaus Engel. Università degli Studi dell Aquila Facoltà di Ingegneria A.A. 2011/12 Appunti di Analisi Matematica Docente: Klaus Engel Università degli Studi dell Aquila Facoltà di Ingegneria A.A. / http://univaq.it/~engel ( = %7E) (Versione del 4 dicembre ) Note scritte in collaborazione

Dettagli

COGNOME e NOME: FIRMA: MATRICOLA:

COGNOME e NOME: FIRMA: MATRICOLA: Anno Accademico 04/ 05 Corsi di Analisi Matematica I Proff. A. Villani, R. Cirmi e F. Faraci) Prova d Esame del giorno 6 febbraio 05 Prima prova scritta compito A) Non sono consentiti formulari, appunti,

Dettagli

8. Serie numeriche Assegnata la successione di numeri complessi {a 1, a 2, a 3,...} si considera con il nome di serie numerica.

8. Serie numeriche Assegnata la successione di numeri complessi {a 1, a 2, a 3,...} si considera con il nome di serie numerica. 8. Serie numeriche Assegnata la successione di numeri complessi {a 1, a 2, a 3,...} si considera con il nome di serie numerica la nuova successione {s n } definita come s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3

Dettagli

Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana

Schemi delle Lezioni di Matematica Generale. Pierpaolo Montana Schemi delle Lezioni di Matematica Generale Pierpaolo Montana A volte i fenomeni economici che ci interessano non variano con continuitá oppure non possono essere osservati con continuitá, ma solo a intervalli

Dettagli

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE

LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE LE SUCCESSIONI 1. COS E UNA SUCCESSIONE La sequenza costituisce un esempio di SUCCESSIONE. Ecco un altro esempio di successione: Una successione è dunque una sequenza infinita di numeri reali (ma potrebbe

Dettagli

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE

CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE CONCETTO DI LIMITE DI UNA FUNZIONE REALE Il limite di una funzione è uno dei concetti fondamentali dell'analisi matematica. Tramite questo concetto viene formalizzata la nozione di funzione continua e

Dettagli

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale

Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Limiti e continuità delle funzioni reali a variabile reale Roberto Boggiani Versione 4.0 9 dicembre 2003 1 Esempi che inducono al concetto di ite Per introdurre il concetto di ite consideriamo i seguenti

Dettagli

Alcuni complementi sulle successioni

Alcuni complementi sulle successioni Alcuni complementi sulle successioni 1 (Teorema del confronto) Siano {a n } e {b n } due successioni regolari tali che si abbia a n b n n N. (1) Allora: a n b n. (2) Dim. Sia L = a n ed L = b n. Se L =

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di

Esercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva

Dettagli

7 - Esercitazione sulle derivate

7 - Esercitazione sulle derivate 7 - Esercitazione sulle derivate Luigi Starace gennaio 0 Indice Dimostrare il teorema 5.5.3.a................................................b............................................... Dimostrazioni.a

Dettagli

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE

SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE Prof Lonzi Marco Dispense per il Corso di ANALISI MATEMATICA SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE AA 2015/16 1 SUCCESSIONI Dicesi Successione a valori reali ogni funzione 0À Ä, avente cioè per dominio l'insieme

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

Analisi Matematica 3 appunti

Analisi Matematica 3 appunti Corso di Laurea in Statistica Matematica e trattamento Informatico dei Dati Analisi Matematica 3 appunti Francesca Astengo Università di Genova, A.A. 20/202 Indice Capitolo. Serie numeriche. Brevi richiami

Dettagli

Alcune note sulle serie di potenze 1

Alcune note sulle serie di potenze 1 Alcune note sulle serie di potenze Contents G. Falqui Preliminari 2 Serie di potenze 3 3 Rappresentazione di funzioni mediante serie di potenze 7 3. Esempi notevoli........................... 9 3.2 Formula

Dettagli

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno),

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno), 6 - Grafici di funzioni Soluzioni Esercizio. Studiare il grafico della funzione f(x) = x x + 3. ) La funzione è definita per x 3. ) La funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) La funzione è

Dettagli

Prove d'esame a.a. 20082009

Prove d'esame a.a. 20082009 Prove d'esame aa 008009 Andrea Corli settembre 0 Sono qui raccolti i testi delle prove d'esame assegnati nell'aa 00809, relativi al Corso di Analisi Matematica I (trimestrale, 6 crediti), Laurea in Ingegneria

Dettagli

REGISTRO LEZIONI A.A. 2013/2014 (INGEGNERIA GESTIONALE)

REGISTRO LEZIONI A.A. 2013/2014 (INGEGNERIA GESTIONALE) REGISTRO LEZIONI A.A. 2013/2014 (INGEGNERIA GESTIONALE) 30/09/2013 ore 3 I numeri naturali, relativi, razionali e loro proprieta'. Incompletezza del campo dei numeri razionali. I numeri reali come allineamenti

Dettagli

Criterio del rapporto. Sia n a n una successione in [0, + ) ]0, + ) ]0, 1[ Criterio del rapporto. Sia n a n una successione in ]0, + ).

Criterio del rapporto. Sia n a n una successione in [0, + ) ]0, + ) ]0, 1[ Criterio del rapporto. Sia n a n una successione in ]0, + ). Criterio del rapporto. Si una successione in IR [0, + ) ]0, + ) ]0, [ Criterio del rapporto. Si una successione in ]0, + ). Se esiste k [0, ] ]0, [ [0, [ ]0, ] Criterio del rapporto. Si una successione

Dettagli

SUCCESSIONI NUMERICHE

SUCCESSIONI NUMERICHE SUCCESSIONI NUMERICHE Definizione: Si chiama successione numerica una funzione definita su IN a valori in IR, cioè una legge che associa ad ogni intero n un numero reale a n. Per abuso di linguaggio, si

Dettagli

PROGRESSIONI ARITMETCHE E GEOMETRICHE

PROGRESSIONI ARITMETCHE E GEOMETRICHE PROGRESSIONI ARITMETCHE E GEOMETRICHE Prof. Domenico RUGGIERO In questa trattazione, esponiamo i pricipali concetti ed applicazioni di particolari successioni meglio note come progressioni (aritmetiche

Dettagli

COGNOME e NOME: FIRMA: MATRICOLA:

COGNOME e NOME: FIRMA: MATRICOLA: Anno Accademico 203/ 204 Corsi di Analisi Matematica I (Proff A Villani e F Faraci) Prova d Esame del giorno 6 febbraio 204 Prima prova scritta (compito A) Non sono consentiti formulari, appunti, libri

Dettagli

Capitolo 2. Serie Numeriche

Capitolo 2. Serie Numeriche Capitolo 2 Serie Numeriche Iniziamo ricordando la nozione di successione e le operazioni definibili tra successioni. Questo permetterà di poter definire, con una certa semplicità la nozione di somma infinita

Dettagli

L. Pandolfi. Lezioni di Analisi Matematica 2

L. Pandolfi. Lezioni di Analisi Matematica 2 L. Pandolfi Lezioni di Analisi Matematica 2 i Il testo presenta tre blocchi principali di argomenti: A Successioni e serie numeriche e di funzioni: Cap., e 2. B Questa parte consta di due, da studiarsi

Dettagli

Programmazione Matematica classe V A. Finalità

Programmazione Matematica classe V A. Finalità Finalità Acquisire una formazione culturale equilibrata in ambito scientifico; comprendere i nodi fondamentali dello sviluppo del pensiero scientifico, anche in una dimensione storica, e i nessi tra i

Dettagli

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m =

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m = Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo Se f() è asintotica a m+q allora abbiamo f() m q = o(1), da cui (dividendo per ) m = f() q + 1 f() o(1) = + o(1), mentre q = f() m = o(1). Dunque si ha

Dettagli

I appello - 26 Gennaio 2007

I appello - 26 Gennaio 2007 Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Informatica e delle Telecom. A.A.006/007 I appello - 6 Gennaio 007 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. (N.B. il quesito teorico è obbligatorio)

Dettagli

Esame di Analisi Matematica prova scritta del 23 settembre 2013

Esame di Analisi Matematica prova scritta del 23 settembre 2013 Esame di Analisi Matematica prova scritta del 23 settembre 2013 1. Determinare dominio, limiti significativi, intervalli di monotonia della funzione f (x) = (2x + 3) 2 e x/2 e tracciarne il grafico. In

Dettagli

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio

Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio Svolgimento di alcuni esercizi del libro Matematica di Angelo Guerraggio. Funzioni e insiemi numerici.4 Verificare che (A B) (A B) = (A A ) B. ) Sia (a, b) (A B) (A B). Allora a (A A ) e b B, da cui (a,

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli

Dettagli

Le funzioni elementari. La struttura di R. Sottrazione e divisione

Le funzioni elementari. La struttura di R. Sottrazione e divisione Le funzioni elementari La struttura di R La struttura di R è definita dalle operazioni Addizione e moltiplicazione. Proprietà: Commutativa Associativa Distributiva dell addizione rispetto alla moltiplicazione

Dettagli

Successioni e serie di funzioni

Successioni e serie di funzioni Successioni e serie di funzioni A. Albanese, A. Leaci, D. Pallara In questa dispensa generalizzeremo la trattazione delle successioni e delle serie al caso in cui i termini delle stesse siano non numeri

Dettagli

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola Analisi 2 Argomenti Successioni di funzioni Definizione Convergenza puntuale Proprietà della convergenza puntuale Convergenza uniforme Continuità e limitatezza Teorema della continuità del limite Teorema

Dettagli

16. Vari modi di convergenza delle successioni di funzioni reali misurabili.

16. Vari modi di convergenza delle successioni di funzioni reali misurabili. 16. Vari modi di convergenza delle successioni di funzioni reali misurabili. L argomento centrale di questa ultima parte del corso è lo studio in generale della convergenza delle successioni negli spazi

Dettagli

Studio di funzioni ( )

Studio di funzioni ( ) Studio di funzioni Effettuare uno studio qualitativo e tracciare un grafico approssimativo delle seguenti funzioni. Si studi in particolare anche la concavità delle funzioni e si indichino esplicitamente

Dettagli

Determinare il dominio e la derivata delle seguenti funzioni e studiarne la monotonia ed eventuali massimi/minimi. ( ) x + 2.

Determinare il dominio e la derivata delle seguenti funzioni e studiarne la monotonia ed eventuali massimi/minimi. ( ) x + 2. Determinare il dominio e la derivata delle seguenti funzioni e studiarne la monotonia ed eventuali massimi/minimi (1) (2) (3) (4) f (x) = log ( ) x + 2 x 1 f (x) = x exp( x 3 ) ( f (x) = arctan x ) x 1

Dettagli

Note di matematica per microeconomia

Note di matematica per microeconomia Note di matematica per microeconomia Luigi Balletta Funzioni di una variabile (richiami) Una funzione di variabile reale ha come insieme di partenza un sottoinsieme di R e come insieme di arrivo un sottoinsieme

Dettagli

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE ALCUNE APPLICAZIONI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Sia I un intervallo di R e siano a = inf(i) R { } e b = sup(i) R {+ }; i punti di I diversi dagli estremi a e b, ( e quindi appartenenti all intervallo aperto

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE

QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE QUARTA E QUINTA ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE - Matematica - Griglie di valutazione Materia: Matematica Obiettivi disciplinari Gli obiettivi indicati si riferiscono all intero percorso della classe quarta

Dettagli

EQUAZIONI non LINEARI

EQUAZIONI non LINEARI EQUAZIONI non LINEARI Francesca Pelosi Dipartimento di Matematica, Università di Roma Tor Vergata CALCOLO NUMERICO e PROGRAMMAZIONE http://www.mat.uniroma2.it/ pelosi/ EQUAZIONI non LINEARI p.1/44 EQUAZIONI

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale

Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale Liceo G. B. Vico - Napoli Sulla monotonia delle funzioni reali di una variabile reale Prof. Giuseppe Caputo Premetto due teoremi come prerequisiti necessari per la comprensione di quanto verrà esposto

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica I

Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica I Corso di Laurea in Ingegneria Civile Analisi Matematica I Lezioni A.A. 2003/2004, prof. G. Stefani primo semiperiodo 22/9/03-8/11/03 Testo consigliato: Robert A. Adams - Calcolo differenziale 1 - Casa

Dettagli

Limiti di Successione

Limiti di Successione Nicola Rossi Limiti di Successione Argomento di Portfolio IX Ciclo SSIS, Classe A049, Indirizzo F.I.M. A.A. 2008/2009 2 Introduzione Il concetto di limite è senza dubbio uno dei più importanti di tutta

Dettagli

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un

Dettagli

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti

ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE. A. A. 2014-2015 L. Doretti ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA 7. DERIVATE A. A. 2014-2015 L. Doretti 1 Il concetto di derivata di una funzione è uno dei più importanti e fecondi di tutta la matematica sia per

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2002 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA Nel piano riferito

Dettagli

Docente: Anna Valeria Germinario. Università di Bari. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 1 / 22

Docente: Anna Valeria Germinario. Università di Bari. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 1 / 22 Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale e approssimazioni, formula di Taylor Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari

Dettagli

Studio del grafico di una funzione reale

Studio del grafico di una funzione reale Capitolo 1 Studio del grafico di una funzione reale Questo testo è una guida per lo studio del grafico di una funzione. Non è un testo completo ma solo una bozza che servirà agli studenti per arrivare

Dettagli

Funzioni esponenziali e logaritmiche. Mauro Saita. e-mail maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Febbraio 2014

Funzioni esponenziali e logaritmiche. Mauro Saita. e-mail maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Febbraio 2014 Funzioni esponenziali e logaritmiche. Mauro Saita. e-mail maurosaita@tiscalinet.it Versione provvisoria. Febbraio 2014 Indice 1 Esponenziali 1 1.1 Funzioni esponenziali con dominio Z.......................

Dettagli

FUNZIONI ESPONENZIALE E LOGARITMICA

FUNZIONI ESPONENZIALE E LOGARITMICA FUNZIONI ESPONENZIALE E LOGARITMICA Le potenze con esponente reale La potenza a x di un numero reale a è definita se a>0 per ogni x R se a=0 per tutti e soli i numeri reali positivi ( x R + ) se a

Dettagli

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@poi.it Primi teoremi di caclolo differenziale Ottobre 2010. Indice 1 Funzioni derivabili su un intervallo 1 1.1

Dettagli

21. Studio del grafico di una funzione: esercizi

21. Studio del grafico di una funzione: esercizi 1. Studio del grafico di una funzione: esercizi Esercizio 1.6. Studiare ciascuna delle seguenti funzioni in base allo schema di pagina 194, eseguendo anche il computo della derivata seconda e lo studio

Dettagli

COGNOME... NOME... Matricola... Corso Prof... Esame di ANALISI MATEMATICA I - 11 Febbraio 2011, ore 8.30

COGNOME... NOME... Matricola... Corso Prof... Esame di ANALISI MATEMATICA I - 11 Febbraio 2011, ore 8.30 Esame di ANALISI MATEMATICA I - 11 Febbraio 2011, ore 830 A ESERCIZIO 1 (8 punti) Data la funzione = 1 + sin x 2 2 x (a) determinare lo sviluppo di MacLaurin al terzo ordine della funzione ; (b) determinare

Dettagli

Analysis for Brixen. Corso Estivo A.A. 2011/12. Paolo Guiotto

Analysis for Brixen. Corso Estivo A.A. 2011/12. Paolo Guiotto Analysis for Brien Corso Estivo A.A. 0/ Paolo Guiotto Avvertenze Questa avvertenze sono rivolte direttamente all allievo/a, con la speranza di fornirgli/le qualche utile indicazione per un utilizzo proficuo

Dettagli

1 Serie di Taylor di una funzione

1 Serie di Taylor di una funzione Analisi Matematica 2 CORSO DI STUDI IN SMID CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 CAPITOLO 7 SERIE E POLINOMI DI TAYLOR Serie di Taylor di una funzione. Definizione di serie di Taylor Sia f(x) una funzione definita

Dettagli

Le derivate versione 4

Le derivate versione 4 Le derivate versione 4 Roberto Boggiani 2 luglio 2003 Riciami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo ce dati due punti del piano A(x, y ) e B(x 2, y 2 ) con x x 2 la retta

Dettagli

Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA

Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.4 Serie in campo complesso 1.4.1 Serie di potenze Una serie di potenze è una serie del tipo a k (z z 0 ) k. Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

Appunti di matematica generale CTF. Alessandro Gambini Federica Ferretti

Appunti di matematica generale CTF. Alessandro Gambini Federica Ferretti Appunti di matematica generale CTF Alessandro Gambini Federica Ferretti 2 dicembre 2015 Indice 1 Concetti di base e insiemi numerici 1 1.1 Insiemi, relazioni e funzioni..................... 1 Simbologia..............................

Dettagli

Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 12 Cfu - A.A. 2010/2011 1

Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 12 Cfu - A.A. 2010/2011 1 Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 1 Cfu - A.A. 010/011 1 Esercitazione 1: 4/09/010 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: log a) f() = 5 ( 1). b) g() = log 3 (3 6) log 13.

Dettagli

I NUMERI DI PADOVAN (CONNESSIONI TRA LA SERIE DI PADOVAN ED ALTRE SERIE NUMERICHE)

I NUMERI DI PADOVAN (CONNESSIONI TRA LA SERIE DI PADOVAN ED ALTRE SERIE NUMERICHE) I NUMERI DI PADOVAN (CONNESSIONI TRA LA SERIE DI PADOVAN ED ALTRE SERIE NUMERICHE) Gruppo B. Riemann Francesco Di Noto, Michele Nardelli Abstract In this paper we show some connections between Padovan

Dettagli

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1

Dettagli

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:

Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato

Dettagli

Pre Test 2008... Matematica

Pre Test 2008... Matematica Pre Test 2008... Matematica INSIEMI NUMERICI Gli insiemi numerici (di numeri) sono: numeri naturali N: insieme dei numeri interi e positivi {1; 2; 3; 4;...} numeri interi relativi Z: insieme dei numeri

Dettagli

Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 1. Docente:Fabio Camilli. SAPIENZA, Università di Roma A.A. 2014/15. http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio.

Appunti di Analisi Matematica 1. Docente:Fabio Camilli. SAPIENZA, Università di Roma A.A. 2014/15. http://www.dmmm.uniroma1.it/~fabio. Appunti di Analisi Matematica Docente:Fabio Camilli SAPIENZA, Università di Roma A.A. 4/5 http://www.dmmm.uniroma.it/~fabio.camilli/ (Versione del 9 luglio 5) Note scritte in collaborazione con il prof.

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Mauro Saita 1 Per commenti o segnalazioni di errori scrivere, per favore, a: maurosaita@tiscalinet.it Dicembre 2014 Indice 1 Qualè il grafico

Dettagli

Valori caratteristici di distribuzioni

Valori caratteristici di distribuzioni Capitolo 3 Valori caratteristici di distribuzioni 3. Valori attesi di variabili e vettori aleatori In molti casi è possibile descrivere adeguatamente una distribuzione di probabilità con pochi valori di

Dettagli

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi

Dettagli

Soluzione del tema d esame di matematica, A.S. 2005/2006

Soluzione del tema d esame di matematica, A.S. 2005/2006 Soluzione del tema d esame di matematica, A.S. 2005/2006 Niccolò Desenzani Sun-ra J.N. Mosconi 22 giugno 2006 Problema. Indicando con A e B i lati del rettangolo, il perimetro è 2A + 2B = λ mentre l area

Dettagli

NOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1.

NOME:... MATRICOLA:... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 2007/2008 Analisi Matematica 1, Esame scritto del 08.02.2008. x 1. NOME:... MATRICOLA:.... Scienza dei Media e della Comunicazione, A.A. 007/008 Analisi Matematica, Esame scritto del 08.0.008 Indicare per quali R vale la seguente diseguaglianza : + >. Se y - - è il grafico

Dettagli

LA FUNZIONE INTEGRALE

LA FUNZIONE INTEGRALE LA FUNZIONE INTEGRALE MAGLIOCURIOSO & CAMILLO magliocurioso@hotmail.it Sommario. In questa breve dispensa ho semplicementrascritto in L A TEX il contenuto di questa discussione: http://www.matematicamente.it/forum/

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.

SOMMARIO. 13.1 I radicali pag. 3. 13.2 I radicali aritmetici pag. 5. 13.3 Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag. SOMMARIO CAPITOLO : I RADICALI. I radicali pag.. I radicali aritmetici pag.. Moltiplicazione e divisione fra radicali aritmetici pag.. Potenza di un radicale aritmetico pag.. Trasporto di un fattore esterno

Dettagli

PROGRAMMA DI MATEMATICA

PROGRAMMA DI MATEMATICA PROGRAMMA DI MATEMATICA A.S. 2014-2015 CLASSE IV SEZ. B INDIRIZZO SIA PROF. Orlando Rocco Carmelo ODULO MODULO ORD. ARGOMENT O 1 SEZ 1 FUNZIONI E LIMITIDI FUNZIONI ARGOMENTO 1 TOMO E SEZ 1 FUNZIONI E LIMITIDI

Dettagli

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3. 7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,

Dettagli