1. Martedì 1/10/2013, ore: 2(2) Introduzione al corso: problemi ben posti, condizionamento, stabilità, complessità

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1 Registro delle lezioni di MATEMATICA APPLICATA Corsi di Laurea in Biomedica 6 CFU - A.A. 2013/2014 docente: Dott.ssa Luisa Fermo ultimo aggiornamento: 18 dicembre Martedì 1/10/2013, ore: 2(2) Introduzione al corso: problemi ben posti, condizionamento, stabilità, complessità computazionale. 2. Martedì 2/10/2013, ore: 2(4) Spazi vettoriali: definizioni ed esempi. Combinazioni lineari e sottospazio generato da n vettori. Indipendenza lineare, basi e dimensione. Esempi. Spazi normati. Norme vettoriali con indice 1, 2 e. Equivalenza tra norme. Spazi di funzioni: Π n, C[a, b], L 2 [a, b]. Principali norme utilizzate per le funzioni. Esercizi. Convergenza di successioni di vettori. Successioni di Cauchy. Spazi completi. Spazi di Hilbert. Norma indotta da un prodotto scalare. Prodotto scalare canonico di R n e prodotto scalare in L 2 [a, b]. Ortogonalità e ortonormalità. 3. Lunedì 14/10/2013, ore: 2(6) Riepilogo sugli spazi vettoriali R n e C n. Diseguaglianza di Schwarz. Base ortonormale. Metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Esercizi sul metodo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Matrici. Matrice trasposta e aggiunta. Somma di matrici e prodotto per uno scalare. Prodotto matriciale. Esempi. Relazione col prodotto scalare di R n. 4. Martedì 15/10/2013, ore: 2(8) Matrici invertibili e proprietà. Determinante: proprietà e formula di Laplace. Rango. Esercizi. Autovalori e autovettori. Polinomio caratteristico. Spettro e raggio spettrale di una matrice. Proprietà degli autovalori. Esercizi.

2 Registro di Matematica Applicata /14 - Dott.ssa L. Fermo 2 5. Mercoledì 16/10/2013, ore: 2(10) Introduzione all analisi di Fourier. Funzioni periodiche. Periodo fondamentale, frequenza, pulsazione. Estensione di una funzione per periodicità. Armoniche elementari. Polinomi trigonometrici. Ortogonalità delle armoniche elementari. 6. Venerdì 18/10/2013, ore: 2(12) Polinomio trigonometrico di migliore approssimazione. Coefficienti di Fourier. Integrazione di una funzione periodica su un periodo. Energia di un segnale e di un polinomio trigonometrico. Disuguaglianza di Bessel. Formula di Parseval. 7. Lunedì 21/10/2013, ore: 2(14) Serie di Fourier. Calcolo delle serie di Fourier di alcune funzioni. Funzioni continue e regolari a tratti. Teorema di convergenza della serie di Fourier. 8. Martedì 22/10/2013, ore: 2(16) Lemma di Riemann-Lebesgue. Legge di decadimento dei coefficienti di Fourier. Serie di Fourier di funzioni pari e dispari. Esercizi sulle serie di Fourier. Forma armonica della serie di Fourier. Formula di Eulero. Forma complessa della serie di Fourier. Legame tra i coefficienti delle forme reale e complessa. Calcolo dei coefficienti complessi per funzioni pari o dispari. 9. Mercoledì 23/10/2013, ore: 2(18) Riepilogo sulla serie di Fourier reale e complessa. Esempio. Integrabilità e derivabilità termine a termine di una serie di Fourier. Applicazione delle serie di Fourier alla risoluzione di equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti su di un intervallo.

3 Registro di Matematica Applicata /14 - Dott.ssa L. Fermo Lunedì 28/10/2013, ore: 2(20) Introduzione alla trasformata di Fourier: passaggio dalla Serie di Fourier alla trasformata, analogie e differenze. Trasformata inversa. Spettro delle ampiezze. Funzione di Heaviside. Calcolo della trasformata dell impulso esponenziale troncato. Esercizi su equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti mediante la serie di Fourier. 11. Martedì 29/10/2013, ore: 2(22) Trasformate di alcune funzioni elementari: impulso a decadimento esponenziale e impulso pari.trasformate di Fourier dell impulso esponenziale dispari e dell onda quadra. Funzione sinc. Delta di Dirac e sua trasformata. Proprietà della trasformata di Fourier: linearità e traslazione nello spazio ordinario. 12. Lunedì 04/11/2013, ore: 2(24) Proprietà della trasformata di Fourier: traslazione nello spazio delle frequenze, variazione di scala, modulazione, simmetria. Trasformata di una Gaussiana. Esercizi. 13. Martedì 05/11/2013, ore: 2(26) Trasformata della derivata di una funzione. Derivazione nello spazio delle frequenze. Convoluzione. Commutatività. Trasformata della convoluzione. 14. Mercoledì 06/11/2013, ore: 2(28) Risoluzione di un equazione differenziale mediante la trasformata di Fourier. Esercizi. 15. Lunedì 11/11/2013, ore: 2(30) Esercizi sulla trasformata di Fourier. Introduzione alla risoluzione di sistemi lineari. Matrici strutturate: matrici simmetriche, Hermitiane, definite positive, ortogonali, unitarie, triangolari, diagonali e loro proprietà. Cenni su matrici sparse e matrici dense.

4 Registro di Matematica Applicata /14 - Dott.ssa L. Fermo Lunedì 18/11/2013, ore: 2(32) Norme matriciali. Submoltiplicatività e consistenza. La norma di Frobenius. Norme naturali. Norma della matrice identità. Espressione della norma naturale indotta dalla norme vettoriale con indice. Norme matriciali indotte dalle norme vettoriali con indice 1 e 2. Il caso delle matrici simmetriche. Relazioni tra norme matriciali e raggio spettrale. Esercizi. 17. Martedì 19/11/2013, ore: 2(34) I sistemi lineari. Possibili rappresentazioni. Condizioni per l esistenza e l unicità della soluzione. Numero di condizionamento di un problema. Condizionamento relativo di un sistema lineare in presenza di errori sui soli termini noti. Proprietà del numero di condizionamento. 18. Venerdì 22/11/2013, ore: 2(36) Sistemi lineari diagonali e ortogonali: algoritmo di risoluzione e complessità. Risoluzione di un sistema triangolare inferiore o superiore: algoritmo e complessità. Introduzione ai metodi diretti e iterativi: analogie e differenze. 19. Lunedì 25/11/2013, ore: 2(38) Triangolarizzazione di un sistema lineare. Principi di equivalenza per i sistemi lineari. Analisi dei primi due passi del metodo di Gauss. Analisi del generico passo k. Algoritmo. Complessità computazionale. Esercizio. 20. Martedì 26/11/2013, ore: 2(40) Fattorizzazione A=LU. Applicazione alla risoluzione di sistemi lineari, al calcolo del determinante e al calcolo dell inversa. Esercizio. 21. Mercoledì 27/11/2013, ore: 2(42) Arresto dell algoritmo di Gauss in presenza di un pivot nullo. Matrici diagonalmente dominanti per riga e per colonna. Problemi di accumulo errori nell algoritmo di Gauss. Algoritmo di Gauss con pivoting parziale. Cenni sull algoritmo di Gauss con pivoting totale. Esempi

5 Registro di Matematica Applicata /14 - Dott.ssa L. Fermo Lunedì 2/12/2013, ore: 2(44) Riepilogo metodo di Gauss con pivoting parziale. Osservazioni sulla stabilità e sul condizionamento. Matrici di scambio e di permutazione. Fattorizzazione P A = LU. Applicazioni della fattorizzazione P A = LU alla risoluzione di sistemi lineari e al calcolo del dedterminante. Esercizio. 23. Martedì 3/12/2013, ore: 2(46) Calcolo dell inversa mediante la fattorizzazione PA=LU. Esercizio. Introduzione ai metodi iterativi stazionari del primo ordine. Calcolo iterate. Primo esempio. 24. Mercoledì 4/12/2013, ore: 2(48) Convergenza e consistenza di un metodo iterativo. Espressione dell errore al passo k in funzione dell errore iniziale. Condizione sufficiente per la convergenza di un metodo iterativo. Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di un metodo iterativo. Criteri di arresto: scarto tra iterazioni successive, numero massimo di iterazioni. Metodo di Jacobi. Espressione matriciale e espressione in componenti. Parallilizzabilità. 25. Venerdì 6/12/2013, ore: 2(50) Metodo iterativo di Gauss-Seidel. Espressione matriciale del metodo ed espressione in componenti. Parallelizzabilità. Teoremi di convergenza per matrici simmetriche definite positive e diagonalmente dominanti. Esercizi. 26. Lunedì 09/12/2013, ore: 2(52) Equazioni differenziali ordinarie (ODE): il problema di Cauchy. Problema di Cauchy associato a un sistema di due equazioni differenziali ordinarie. Equazioni differenziali di ordine superiore al primo. Esistenza e unicità globali e locali della soluzione del problema di Cauchy. Lipschitzianità: definizione e relazione con la continuità e con la derivabilità. Esempi.

6 Registro di Matematica Applicata /14 - Dott.ssa L. Fermo Martedì 10/12/2013, ore: 2(54) Metodi alle differenze finite. Come si deducono gli schemi alle differenze finite: Discretizzazione del dominio e formule alle differenze finite. Schemi numerici monostep, multistep, espliciti ed impliciti. Metodo di Eulero esplicito per un problema di Cauchy associato a una ODE. Metodo di Eulero esplicito per un problema di Cauchy associato a un sistema di 2 ODE. 28. Lunedì 16/12/2013, ore: 2(56) Metodo di Eulero implicito, metodo del punto medio, metodo di Crank Nicolson, metodo di Heun e metodo di Eulero modificato per un problema di Cauchy associato a una ODE. Applicazione di tali metodi a problemi di Cauchy associati a un sistema di 2 ODE. 29. Martedì 17/12/2013, ore: 2(58) Analisi dei metodi monostep. Errore globale, locale e di propagazione. Convergenza, consistenza e stabilità di una formula alle differenze finite. Stabilità dei metodi monostep. Errore locale di discretizzazione, consistenza e ordine. Formula per il calcolo della derivata totale. Verifica della consistenza per alcuni formule monostep mediante sviluppo in serie dell errore locale di discretizzazione. 30. Mercoledì 18/12/2013, ore: 2(60) Formulazione generale dei metodi multistep. Errore locale di discretizzazione per una formula multistep. Consistenza e ordine. Polinomio caratteristico associato ad un metodo multistep. Stabilità. Condizione delle radici. Teorema di Dahlquist. Prima barriera di Dahlquist. Esempi. Totale ore: 60 (lezione), 0 (esercitazione)