Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STAL - Raccolta degli Esami A.A

Transcript

1 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami.. - Facoltà di graria Corsi di Laurea in VIT e STL Modulo di Matematica Esame del //.. / Scritto Teoria Esercizi Voto Istruzioni: apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell apposito spazio il numero totale di fogli di cui è composto l elaborato. Svolgere solamente uno tra -b) e. llegare lo svolgimento completo degli esercizi 9, e. Non è ammesso l uso di libri, appunti e calcolatrici grafiche o programmabili. Cognome Nome Corso di Laurea V IT ST L Matricola Vecchio ordinamento SI N O n. fogli allegati Se lim x x f(x) = + e lim x x g(x) =, allora lim x x f(x) g(x) è Se f è una funzione derivabile due volte in ]a, b[ e vale f (x) > e f (x) < in ]a, b[, allora f è decrescente e concava in ]a, b[ B + C B f è crescente e convessa in ]a, b[ C f è decrescente e convessa in ]a, b[ non ci sono elementi sufficienti per rispondere f è crescente e concava in ]a, b[ L equazione differenziale y = (y + t) 5ty è un equazione lineare del primo ordine B un equazione lineare del secondo ordine C un equazione non lineare del primo ordine un equazione non lineare del secondo ordine Il grafico della funzione f(x) = x + x + 5 rappresenta B C una retta una parabola un iperbole nessuna delle precedenti 5 Per la funzione f(x) = log 5/ x, scrivere il dominio, l immagine I, e rappresentare qualitativamente il grafico. Grafico = I =

2 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami Per definizione, la derivata di una funzione f(x) in x è: 7 Enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale 8 Rappresentare il grafico di una funzione g che verifichi contemporaneamente le seguenti proprietà: lim g(x) = lim x g(x) = x lim g(x) = + lim x + g(x) = x + 9 ata la funzione g(x) = x + 9x x a) determinare il dominio, b) studiare il segno di g; c) calcolare i limiti agli estremi del dominio; d) determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente, quelli in cui è decrescente, e gli eventuali punti di massimo/minimo relativo; e) determinare gli eventuali asintoti; f) determinare l equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa x = ; g) disegnare un grafico approssimativo di g. ato il problema di Cauchy t y = y t + y() = a) dire se la funzione y(t) = log (t + ) è soluzione del problema; b) determinare una soluzione del problema nel caso in cui non lo sia la funzione di cui al punto precedente. Calcolare i seguenti integrali ( x + + x 5 x + x x ) x x dx, 5t 5 t dt. IMPORTNTE! Risolvere solamente uno tra -b) e.

3 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami.. - Soluzioni dei quesiti dell esame del febbraio ; ; ; ; consultare il libro di testo; 8 in neretto si evidenziano le informazioni date dai limiti. Il grafico della funzione è quindi completato a piacere (linea sottile), ad esempio: g(x) x 9 a) La funzione è definita se x cioè x, perciò il dominio è = R \ {} e la funzione (razionale) è ivi continua e derivabile. b) Si osservi che la funzione può essere riscritta come g(x) = x (x + 9) x dunque il numeratore si annulla per x = e x = 9 ed è positivo se x > 9; il denominatore è positivo se x >. La funzione è dunque positiva per x < 9 oppure x >, negativa per 9 < x < e x. c) Ha senso andare a studiare i limiti in e a ±. Si ha lim g(x) = x ± lim + 9/x x = [+ ] = +, lim g(x) = x ± /x x ± quindi la funzione non ammette massimo né minimo. d) La derivata prima è [ ] 8 ± = ±, g (x) = (x + 8x)(x ) (x + 9x ) (x ) = x 5x (x ) = x(x 7) (x ). Poiché il denominatore è sempre positivo nel dominio, la derivata prima è se e solo se x(x 7) cioè se e solo se x 7 oppure 7 x. Più precisamente <, se x ], 7[ ], [ ], 7[, g (x) =, se x = 7 oppure x = oppure x = 7, >, se x ] 7, [ ] 7, + [, perciò la funzione è decrescente in ], 7[, in ], [ e in ], 7[, mentre è crescente in ] 7, [ e in ] 7, + [. In x = ammette un massimo relativo, in x = ± 7 due punti di minimo relativo

4 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami.. - e) al punto c) segue che la retta x = è un asintoto verticale. Inoltre, poiché g(x) lim x ± x = lim x + 9x x ± x x = ±, la funzione non ammette asintoti obliqui/orizzontali a ±. f) L equazione della retta tangente al grafico nel generico punto (x, g(x )) è y = (x x )g (x ) + g(x ). Poiché g() = 5 e g () =, l equazione della retta cercata è y = (x ) 5. a) Si ha y (t) = t t + log e e sostituendo si ottiene l equazione t t + log e = t log (t +) t + = t (t + ) t + che non è identicamente soddisfatta (ad esempio, per t = si ottiene log e/ / ). La funzione non è dunque soluzione. Si osservi che la funzione soddisfa la seconda condizione, essendo y() =. b) Scrivendo y = dy dt e utilizzando il metodo di separazione delle variabili si ha y dy = t t + dt e integrando (utilizzando le tabelle) y t dy = t + dt = y ln = t + + c, dove c è la generica costante d integrazione; il secondo integrale è stato calcolato con la seconda tabella: t t + dt = (t + ) / (t ) dt = (t + ) / (t + ) dt = (t + ) / + c. / Si ottiene quindi y ln = ( t + + c y = log ln ( t + + c )). Imponendo la condizione y() = (nella prima delle due equazioni qui sopra) si ha da cui si ricava c = ln. La soluzione è quindi y(t) = log ( ln ln = + c, t + + ln ). lternativamente, si poteva utilizzare direttamente la formula risolutiva per le equazioni a variabili separabili (insieme alla formula fondamentale del calcolo integrale) y t z s [ ] z y [ dz = s + ds = t = s + ] ln che risolta rispetto a y fornisce la soluzione cercata. alla prima tabella si ottiene ( x + + x 5 x + x x ) x x dx = (5 x + dx + = y ln ln = t + ) x dx + con c costante arbitraria. Utilizzando invece la seconda tabella, si ha 5t 5 t dt = 5 ( t ) /5 ( t ) dt = 5 x dx = arctg x + (5/)x ln(5/) x + c, [ ( t ) /5 /5 ] = 5 8 (/5 ).

5 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami Facoltà di graria Corsi di Laurea in VIT e STL Modulo di Matematica Esame del 6//.. / Scritto Teoria Esercizi Voto Istruzioni: apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell apposito spazio il numero totale di fogli di cui è composto l elaborato. Svolgere solamente uno tra -b) e. llegare lo svolgimento completo degli esercizi 9, e. Non è ammesso l uso di libri, appunti e calcolatrici grafiche o programmabili. Cognome Nome Corso di Laurea V IT ST L Matricola Vecchio ordinamento SI N O n. fogli allegati Se lim x x f(x) = + e lim x x g(x) =, allora lim x x f(x) g(x) è Se f è una funzione derivabile due volte in ]a, b[ e vale f (x ) < e f (x ) = con x ]a, b[, allora x è sempre punto di minimo relativo per f B + C B C x è sempre punto di massimo relativo per f x è sempre punto di flesso relativo per f non ci sono elementi sufficienti per rispondere nessuna delle precedenti L equazione differenziale y = e t (y + t ) è un equazione lineare del primo ordine B un equazione lineare del secondo ordine C un equazione non lineare del primo ordine un equazione non lineare del secondo ordine Il grafico della funzione f(x) = 5x πx rappresenta B C una retta una parabola un iperbole nessuna delle precedenti 5 Per la funzione f(x) = cos x, scrivere il dominio, l immagine I, e rappresentare qualitativamente il grafico. Grafico = I =

6 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami La derivata di una funzione f nel punto x rappresenta geometricamente: 7 Enunciare il teorema dei punti critici 8 Rappresentare il grafico di una funzione g che verifichi contemporaneamente le seguenti proprietà: lim g(x) = + lim x g(x) = + lim x g(x) = lim x + g(x) = x + 9 ata la funzione g(x) = x + (x ) a) determinare il dominio, b) studiare il segno di g; c) calcolare i limiti agli estremi del dominio; d) determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente, quelli in cui è decrescente, e gli eventuali punti di massimo/minimo relativo; e) determinare gli intervalli in cui la funzione è convessa e quelli in cui è concava; f) determinare gli eventuali asintoti; g) disegnare un grafico approssimativo di g. ato il problema di Cauchy { y = y + t y() = a) dire se la funzione y(t) = (t )e t è soluzione del problema; b) determinare una soluzione del problema nel caso in cui non lo sia la funzione di cui al punto precedente. Calcolare i seguenti integrali ( x x + ) x dx, + (x x)e x dx. IMPORTNTE! Risolvere solamente uno tra -b) e.

7 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami Soluzioni dei quesiti dell esame del 6 febbraio ; ; ; C; consultare il libro di testo; 8 in neretto si evidenziano le informazioni date dai limiti. Il grafico della funzione è quindi completato a piacere (linea sottile), ad esempio: g(x) x 9 a) La funzione è definita se x cioè x /, perciò il dominio è = R \ {/} e la funzione (razionale) è ivi continua e derivabile. b) Poiché il denominatore è sempre positivo nel dominio, la funzione è positiva se e solo se x + > cioè x > /, mentre si annulla in x = / ed è negativa per x < /. c) Ha senso andare a studiare i limiti in / e a ±. Si ha [ lim g(x) = lim + /x x ± x ± x ( /x) = ] 9 quindi la funzione non ammette massimo. d) La derivata prima è =, lim x (/) ± g(x) = [ ] 5/ + = +, g (x) = (x ) (x + )(x ) (x ) (x + )6 (x + ) (x ) = (x ) = (x ). Il numeratore è se e solo se x+ ovvero x /; il denominatore è positivo se (x ) > cioè x >, dunque x > /. In definitiva <, se x ], /[ ]/, + [, g (x) =, se x = /, >, se x ] /, /[, perciò la funzione è decrescente in ], /[ e in ]/, + [, mentre è crescente in ] /, /[. In x = / ammette un minimo relativo ed assoluto.,,6, ,8 e) La derivata seconda è g (x) = (x ) (x + )(x ) (x ) 6 = (x ) (x + )9 (x ) = 6(6x + ) (x ).

8 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami Poiché il denominatore è sempre positivo nel dominio, la derivata seconda è se e solo se 6x+, quindi >, se x ] /6, /[ ]/, + [ g (x) =, se x = /6, <, se x ], /6[, perciò la funzione è convessa in ] /6, /[ e in ]/, + [, mentre è concava in ], /6[. In x = /6 ammette un punto di flesso. f) al punto c) segue immediatamente che la retta x = / è un asintoto verticale, mentre la retta y = è un asintoto orizzontale. a) Si ha y (t) = e t + (t )e t = (t )e t e sostituendo si ottiene l equazione (t )e t = (t )e t + t che non è identicamente soddisfatta per t R (ad esempio, per t = si ha ). La funzione non è dunque soluzione. La funzione soddisfa invece la seconda condizione, essendo y() =. b) Si tratta di un equazione lineare del primo ordine a coefficienti non costanti, del tipo y = a(t)y + b(t) le cui soluzioni sono date da y(t) = e (t) e (t) b(t) dt dove (t) è una primitiva di a(t). In questo caso (t) = t e integrando per parti due volte si ottiene y(t) = e t ( e e t t dt = e t t e t t ) = c e t t t, ( = e t e t t e t t e t + c ) ( t dt = e t e t ( e t e t )) t + t dt dove c è la generica costante d integrazione. Imponendo la condizione y() = si ricava = ce 5/ cioè c = 5/(e ). La soluzione è quindi y(t) = 5 e(t ) t t. lternativamente, si poteva utilizzare direttamente la formula risolutiva (insieme alla formula fondamentale del calcolo integrale) y(t) = e (t) ( t dove (t) = t a(s) ds. In questo caso (t) = (t ) e ( t ) y(t) = e (t ) e (s ) s ds + = e (t ) ( e (t ) ) e (s) b(s) ds + y() t e (t ) t e (t ) ( ) ) = 5 e(t ) t t. alle tabelle si ottiene ( x x + ) x dx = + x / dx x dx + x/ x dx = + / ln x + arctg x + c, con c costante arbitraria. Utilizzando invece il metodo di integrazione per parti si ha (x x)e x dx = [(x x) ex ] (x ) ex dx = ( [ (x ) ex ] = (e ( )) + e x ] = 9[ e ) ex dx

9 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami Facoltà di graria Corsi di Laurea in VIT e STL Modulo di Matematica Esame del /6/.. / Scritto Teoria Esercizi Voto Istruzioni: apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell apposito spazio il numero totale di fogli di cui è composto l elaborato. Svolgere solamente uno tra -b) e. llegare lo svolgimento completo degli esercizi 9, e. Non è ammesso l uso di libri, appunti e calcolatrici grafiche o programmabili. Cognome Nome Corso di Laurea V IT ST L Matricola Vecchio ordinamento SI N O n. fogli allegati Se lim x x f(x) = e lim x x g(x) =, allora lim x x f(x) g(x) è Se f è una funzione derivabile in ]a, b[ e vale f (x) < per ogni x ]a, b[, allora B + C B C f è crescente f è decrescente f è concava non ci sono elementi sufficienti per rispondere f è convessa L equazione differenziale y = t sen(y + y ) è un equazione lineare del primo ordine B un equazione lineare del secondo ordine C un equazione non lineare del primo ordine un equazione non lineare del secondo ordine Il grafico della funzione f(x) = x + x rappresenta B C una retta una parabola un iperbole nessuna delle precedenti 5 Per la funzione f(x) = log /7 x, scrivere il dominio, l immagine I, e rappresentare qualitativamente il grafico. Grafico = I =

10 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami La derivata di una funzione f nel punto x rappresenta geometricamente: 7 Enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale. 8 Rappresentare il grafico di una funzione g che verifichi contemporaneamente le seguenti proprietà: lim g(x) = + lim x g(x) = lim x ( ) g(x) = x ( ) + lim g(x) = x + 9 ata la funzione g(x) = x x + x + a) determinare il dominio, b) studiare il segno di g; c) calcolare i limiti agli estremi del dominio; d) determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente, quelli in cui è decrescente, e gli eventuali punti di massimo/minimo relativo; e) determinare gli eventuali asintoti; f) determinare l equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa x = ; g) disegnare un grafico approssimativo di g. ato il problema di Cauchy { y = ( + t sen(t ))y 6 y() = a) dire se la funzione y(t) = cos(t + t ) è soluzione del problema; b) determinare una soluzione del problema nel caso in cui non lo sia la funzione di cui al punto precedente. Calcolare i seguenti integrali ( x x ) dx, 9 x π/ π/ cos x sen x dx. IMPORTNTE! Risolvere solamente uno tra -b) e.

11 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami.. - Soluzioni dei quesiti dell esame del giugno ; B; ; ; consultare il libro di testo; 8 in neretto si evidenziano le informazioni date dai limiti. Il grafico della funzione è quindi completato a piacere (linea sottile), ad esempio: g(x) x 9 a) La funzione è definita se x + x + ; avendo il discriminante negativo, l equazione di secondo grado non ha soluzioni, dunque il denominatore non si annulla mai e il dominio è = R. La funzione (razionale) è ivi continua e derivabile. b) Poiché il denominatore è sempre positivo nel dominio, la funzione è se e solo se x cioè x / oppure x /. È dunque negativa se / < x < /, mentre si annulla in x = / e x = /. c) Ha senso andare a studiare i limiti a ±. Si ha lim g(x) = x ± lim x ± quindi la funzione ammette un asintoto orizzontale a ±. d) La derivata prima è /x [ ] + /x + /x = = + +, g (x) = x(x + x + ) (x )(6x + ) (x + x + ) = (x + 5x + ) (x + x + ). Il numeratore è se e solo se x + 5x + ovvero se x 5 7 oppure x 5+ 7, dunque g (x) <, se x ] 5 7, 5+ 7 [, =, se x = 5 7 oppure x = 5+ 7, >, se x ], 5 7 [ ] 5+ 7, + [, perciò la funzione è decrescente in ] 5 7, 5+ 7 [, mentre è crescente in ], 5 7 [ e in ] 5+ 7, + [. In x = 5 7 e in x = 5+ 7 ammette, rispettivamente, un massimo assoluto ed un minimo assoluto.,6,8-5 -,5,5 5 -,8 -,6

12 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami.. - e) al punto c) segue immediatamente che la retta x = / è un asintoto orizzontale, dunque non possono esserci asintoti obliqui. Poiché la funzione è definita e continua su tutto R non ci possono neanche essere asintoti verticali. f) L equazione della retta tangente al grafico nel generico punto (x, g(x )) è y = (x x )g (x ) + g(x ). Poiché g() = e g () =, l equazione della retta cercata è y = x. a) Si ha y (t) = ( + t ) sen(t + t ) e sostituendo si ottiene l equazione ( + t ) sen(t + t ) = ( + t sen(t )) cos 6 (t + t ) che non è identicamente soddisfatta per t R (ad esempio, per t = si ha ). La funzione non è dunque soluzione. La funzione soddisfa invece la seconda condizione, essendo y() =. b) Scrivendo y = dy dt e utilizzando il metodo di separazione delle variabili si ha y 6 dy = ( + t sen(t )) dt e integrando (utilizzando le tabelle) y 6 dy = ( + t sen(t )) dt = y 5 5 = t cos(t ) + c, dove c è la generica costante d integrazione; il secondo integrale è stato calcolato con la seconda tabella: t sen(t ) dt = t sen(t ) dt = (t ) sen(t ) dt = cos(t ) + c. Si ottiene quindi y 5 = 5 cos(t ) t c y = 5 5 cos(t ) t c. Imponendo la condizione y() = (nella prima delle due equazioni qui sopra) si ha = 5 c, da cui si ricava c =. La soluzione è quindi y(t) = 5 5 cos(t ) t. lternativamente, si poteva utilizzare direttamente la formula risolutiva per le equazioni a variabili separabili (insieme alla formula fondamentale del calcolo integrale) y t [ ] z z 6 dz = ( + s sen(s 5 y [ )) ds = = s ] t 5 cos(s ) che risolta rispetto a y fornisce la soluzione cercata. alla prima tabella si ottiene ( x ) x dx = 9 x x 7/ dx con c costante arbitraria, mentre dalla seconda tabella si ha π/ π/ cos x sen x dx = π/ π/ [ (sen x) (sen x) (sen x) dx = = 5y = t cos(t ) + x/ dx = 9 x / arcsen x + c, ] π/ π/ = + (/ ) =.

13 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami.. - Facoltà di graria Corsi di Laurea in VIT e STL Modulo di Matematica Esame del /7/.. / Scritto Teoria Esercizi Voto Istruzioni: apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell apposito spazio il numero totale di fogli di cui è composto l elaborato. Svolgere solamente uno tra -b) e. llegare lo svolgimento completo degli esercizi 9, e. Non è ammesso l uso di libri, appunti e calcolatrici grafiche o programmabili. Cognome Nome Corso di Laurea V IT ST L Matricola Vecchio ordinamento SI N O n. fogli allegati Se lim x x f(x) = + e lim x x g(x) =, allora lim x x f(x) g(x) è Se f è una funzione derivabile due volte in ]a, b[ e vale f (x) < e f (x) > in ]a, b[, allora f è decrescente e concava in ]a, b[ B + C B f è crescente e convessa in ]a, b[ C f è decrescente e convessa in ]a, b[ non ci sono elementi sufficienti per rispondere f è crescente e concava in ]a, b[ L equazione differenziale y = y sen(ty) è un equazione lineare del primo ordine B un equazione lineare del secondo ordine C un equazione non lineare del primo ordine un equazione non lineare del secondo ordine Il grafico della funzione f(x) = x 5x rappresenta B C una retta una parabola un iperbole nessuna delle precedenti 5 Per la funzione f(x) = 5 x, scrivere il dominio, l immagine I, e rappresentare qualitativamente il grafico. Grafico = I =

14 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami Per definizione, la derivata di una funzione f(x) in x è: 7 Enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale. 8 Rappresentare il grafico di una funzione g che verifichi contemporaneamente le seguenti proprietà: lim g(x) = + lim x g(x) = + lim x g(x) = lim x + g(x) = x + 9 ata la funzione g(x) = (x x)e x a) determinare il dominio, b) studiare il segno di g; c) calcolare i limiti agli estremi del dominio; d) determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente, quelli in cui è decrescente, e gli eventuali punti di massimo/minimo relativo; e) determinare gli intervalli in cui la funzione è convessa e quelli in cui è concava; f) disegnare un grafico approssimativo di g. ato il problema di Cauchy y = te t + t y y() = a) dire se la funzione y(t) = e t è soluzione del problema; b) determinare una soluzione del problema nel caso in cui non lo sia la funzione di cui al punto precedente. Calcolare i seguenti integrali ( 9 + x x sen x + 5 ) sen dx, x (x x)e x dx. IMPORTNTE! Risolvere solamente uno tra -b) e.

15 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami Soluzioni dei quesiti dell esame del luglio ; C; ; B; consultare il libro di testo; 8 in neretto si evidenziano le informazioni date dai limiti. Il grafico della funzione è quindi completato a piacere (linea sottile), ad esempio: g(x) x 9 a) Il dominio è banalmente = R. La funzione, prodotto di funzioni continue e derivabili, è ivi continua e derivabile. b) Poiché la funzione esponenziale è sempre strettamente positiva, g(x) se e solo se x x cioè x oppure x. È dunque negativa se < x <, mentre si annulla in x = e x =. c) Ha senso andare a studiare i limiti a ±. Si ha lim g(x) = lim x x (x x)e x = [+ + ] = +, lim g(x) = lim x x x + x + e x =, dove nell ultimo limite si è usato il ben noto fatto che la funzione esponenziale tende all infinito più rapidamente di un qualsiasi polinomio per x +. In particolare, dallo studio dei limiti segue che la funzione non ammette massimo, e ha un asintoto orizzontale a +. d) La derivata prima è g (x) = (x )e x + (x x)e x ( ) = ( x + x )e x. La derivata prima è se e solo se x + x ovvero se x +, dunque >, se x ], + [, g (x) =, se x = oppure x = +, <, se x ], [ ] +, + [, perciò la funzione è crescente in ], + [, mentre è decrescente in ], [ e in ]+, + [. In x = + ammette un massimo relativo mentre in x = ammette un minimo relativo e assoluto.,75,5,5 -,5,5,5,5 -,5

16 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami e) La derivata seconda è g (x) = ( x + )e x ( x + x )e x = (x 6x + )e x. La derivata seconda è se e solo se x 6x + cioè se x oppure x +, quindi <, se x ] g, + [, (x) =, se x = oppure x = +, >, se x ], [ ] +, + [, perciò la funzione è concava in ], + [, mentre è convessa in ], [ e in ] +, + [. In x = e in x = + ammette due punti di flesso. a) Si ha y (t) = 9t e t e sostituendo si ottiene l equazione 9t e t = te t + t e 6t che non è identicamente soddisfatta per t R (ad esempio, per t = si ha 9e (e + )/e 6 ). La funzione non è dunque soluzione. La funzione soddisfa invece la seconda condizione, essendo y() =. b) Scrivendo y = dy dt e utilizzando il metodo di separazione delle variabili si ha y dy = (te t + t ) dt e integrando (utilizzando le tabelle) y dy = (te t + t ) dt = y = (t + )e t + t + c, dove c è la generica costante d integrazione; il secondo integrale è stato calcolato per parti: te t dt = t e t e t dt = te t + e t dt = te t e t. Si ottiene quindi y = 9 (t + )e t + t + c y = 9 (t + )e t + t + c. Imponendo la condizione y() = (nella prima delle due equazioni qui sopra) si ha = 9 + c, da cui si ricava c =. La soluzione è quindi y(t) = 9 (t + )e t + t +. lternativamente, si poteva utilizzare direttamente la formula risolutiva per le equazioni a variabili separabili (insieme alla formula fondamentale del calcolo integrale) y t [ ] z z dz = (se s + s y [ ) ds = = ] t (s + )e s + s che risolta rispetto a y fornisce la soluzione cercata. alla prima tabella si ottiene ( sen x + 5 ) 9 + x x sen dx = x 9 + x dx = y = (t + )e t + t + x dx 5 con c costante arbitraria, mentre integrando per parti si ha sen x dx = arctg x x +5 cot x+c, (x x)e x dx = [ (x x)e x] + (x )e x dx = e + [ (x )e x] + e x dx = e + (e ) + [ e x] = e e + = e. e

17 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami Facoltà di graria Corsi di Laurea in VIT e STL Modulo di Matematica Esame del 5/9/.. / Scritto Teoria Esercizi Voto Istruzioni: apporre nome, cognome e numero di matricola su ogni foglio. Prima della consegna indicare nell apposito spazio il numero totale di fogli di cui è composto l elaborato. Svolgere solamente uno tra -b) e. llegare lo svolgimento completo degli esercizi 9, e. Non è ammesso l uso di libri, appunti e calcolatrici grafiche o programmabili. Cognome Nome Corso di Laurea V IT ST L Matricola Vecchio ordinamento SI N O n. fogli allegati Se lim x x f(x) = + e lim x x g(x) =, allora lim x x f(x) g(x) è Se f è una funzione derivabile due volte in ]a, b[ e vale f (x ) = e f (x ) < con x ]a, b[, allora x è sempre punto di minimo relativo per f B + B x è sempre punto di massimo relativo per f C C x è sempre punto di flesso per f non ci sono elementi sufficienti per rispondere nessuna delle precedenti L equazione differenziale y = sen(y + y ) è Il grafico della funzione f(x) = x rappresenta un equazione lineare del primo ordine una retta B un equazione lineare del secondo ordine B una parabola C un equazione non lineare del primo ordine C un iperbole un equazione non lineare del secondo ordine nessuna delle precedenti 5 Per la funzione f(x) = (5/7) x, scrivere il dominio, l immagine I, e rappresentare qualitativamente il grafico. Grafico = I =

18 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami Per definizione, la derivata di una funzione f(x) in x è: 7 Enunciare il teorema fondamentale del calcolo integrale. 8 Rappresentare il grafico di una funzione g che verifichi contemporaneamente le seguenti proprietà: lim g(x) = + lim x g(x) = lim x g(x) = + lim x + g(x) = x + 9 ata la funzione g(x) = x (x ) a) determinare il dominio, b) studiare il segno di g; c) calcolare i limiti agli estremi del dominio; d) determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente, quelli in cui è decrescente, e gli eventuali punti di massimo/minimo relativo; e) determinare gli intervalli in cui la funzione è convessa e quelli in cui è concava; f) disegnare un grafico approssimativo di g. ato il problema di Cauchy y = y ( + t ) t y() = a) dire se la funzione y(t) = log (t ) è soluzione del problema; b) determinare una soluzione del problema nel caso in cui non lo sia la funzione di cui al punto precedente. Calcolare i seguenti integrali ( x x + 5x ) 5 x x dx, x + x + dx. IMPORTNTE! Risolvere solamente uno tra -b) e.

19 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami Soluzioni dei quesiti dell esame del 5 settembre ; B; ; C; consultare il libro di testo; 8 in neretto si evidenziano le informazioni date dai limiti. Il grafico della funzione è quindi completato a piacere (linea sottile), ad esempio: g(x) x 9 a) Il dominio è costituito dagli x tali che x cioè = R \ {/}. La funzione (razionale) è ivi continua e derivabile. b) Poiché il denominatore è sempre positivo nel dominio, la funzione è positiva se e solo se x > cioè x >. Si annulla in x =. c) Ha senso andare a studiare i limiti a ± e in /. Si ha [ ] / lim g(x) = =, lim g(x) = x / x ± + ( lim x ± x /x ) [ ( /x) = ] =, quindi la funzione ammette l asintoto orizzontale y = a ± e l asintoto verticale x = /. d) La derivata prima è g (x) = (x ) (x )(x ) (x ) (x ) (x ) = (x ) = x (x ). Il numeratore è se e solo se x ovvero se x /, il denominatore è positivo se (x ) > ovvero x > cioè x > /. Si ottiene dunque <, se x ], /[ ]/, + [, g (x) =, se x = /, >, se x ]/, /[, perciò la funzione è decrescente in ], /[ e in ]/, + [, mentre è crescente in ]/, /[. x = / ammette un massimo assoluto. In,8 -, -, -,6 -,8,8,6,, -,8 -,6 -, e) La derivata seconda è g (x) = (x ) ( x)(x ) (x ) ( x)6 8(x ) (x ) 6 = (x ) = (x ).

20 Modulo di Matematica, Corsi di Laurea in VIT e STL - Raccolta degli Esami.. - La derivata seconda è se e solo se x cioè se x, quindi >, se x ], + [, g (x) =, se x =, <, se x ], /[ ]/, [, perciò la funzione è convessa in ], + [, mentre è concava in ], /[ e in ]/, [. In x = ammette un punto di flesso. a) Si ha y (t) = log e t e sostituendo si ottiene l equazione log e t = log(t ) ( + t ) = (t )( + t ) t t che non è identicamente soddisfatta (ad esempio, per t = si ha log e ). La funzione non è dunque soluzione. La funzione soddisfa invece la seconda condizione, essendo y() =. b) Scrivendo y = dy dt e integrando (utilizzando le tabelle) e utilizzando il metodo di separazione delle variabili si ha y dy = + t dy = dt y t ( t + t ) dt = y = ln t + t + c, dove c è la generica costante d integrazione. Si osservi che essendo t = si può supporre che t > dunque t = t. Si ottiene quindi y = ln t t c y = log ( ln t t c ). Imponendo la condizione y() = (nella prima delle due equazioni qui sopra) si ha da cui si ricava c = /. La soluzione è quindi = c, y(t) = log ( ln t t lternativamente, si poteva utilizzare direttamente la formula risolutiva per le equazioni a variabili separabili (insieme alla formula fondamentale del calcolo integrale) y z dz = t ). ( ) s + s ds = [ z] [ ] t y = ln s + s che risolta rispetto a y fornisce la soluzione cercata. = y = ln t + t alla prima tabella si ottiene ( x x + 5x ) 5 x x dx = dx 5 x x / dx 5 x dx con c costante arbitraria, mentre dalla seconda tabella si ha x + x + dx = x x + dx + = arcsen x 5 x/ 5 ln x + c, [ ] x + dx = ln(x + ) + arctg x = ln + π.