Algoritmi Euristici introduzione. Vittorio Maniezzo Università di Bologna
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1 9 Algoritmi Euristici introduzione Vittorio Maniezzo Università di Bologna 1
2 Molti problemi reali richiedono soluzioni algoritmiche I camion devono essere instradati VRP, NP-hard I depositi o i punti di vendita devono essere localizzati CPMP, NP-hard Le reti di comunicazione devono essere disegnate Network design, NP-hard I container devono essere riempiti 3D-packing, NP-hard I collegamenti radio devono avere una frequenza associata FAP, NP-hard Legno, vetro, pelle devono essere tagliati Nesting, NP-hard Vittorio Maniezzo Università di Bologna 2
3 Come gestire l NP-completezza Istanze piccole; Casi speciali polinomiali; Algoritmi approssimati: garantiscono di trovare una soluzione di errore massimo noto; Algoritmi probabilistici garantiscono che per istanze sufficientemente grandi la probabilità di ottenere una cattiva soluzione è molto piccola; Algoritmi euristici: nessuna garanzia, ma storicamente, in media, questi algoritmi hanno il miglior rapporto qualità/tempo per il problema in esame. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 3
4 Considerazioni computazionali La dimensione delle istanze dei problemi reali impedisce di risolverle all ottimo in un tempo accettabile. Però questi problemi devono essere risolti. Da qui la necessità di trovare soluzioni subottime, che però siano di qualità accettabile e che siano trovate in un tempo accettabile. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 4
5 Travelling Salesman Problem (TSP) Dati: n località(casa del commesso viaggiatore e sedi di n-1 clienti da visitare). [d ij ] matrice di distanze, contiene le distanze (Km, tempo, ) fra ogni coppia di località. Il TSP chiede di determinare il giro più breve che parte dalla casa, visita ogni cliente una e una sola volta e torna a casa. Versioni con costi simmetrici / asimmetrici, e con molti diversi vincoli operativi (precedenze, finestre temporali, premi, penalità, ) Vittorio Maniezzo Università di Bologna 5
6 TSP Qual'è il giro più breve? Non è sempre semplice capirlo Vittorio Maniezzo Università di Bologna 6
7 TSP: storia Il TSP come lo intendiamo oggi è stato studiato per primo negli anni 30 dal matematico Karl Mengera Vienna. Problemi matematici correlati al TSP erano già stati introdotti nell'800 dal matematico irlandese Sir William RowanHamilton. In figura il Gioco Icosianodi Hamilton, che chiede ai giocatori di completare un giro fra 20 pioli, usando un apposito spago millimetrato. ( /index.html) Vittorio Maniezzo Università di Bologna 7
8 Nel passato Vittorio Maniezzo Università di Bologna 8
9 Attualmente Viaggi di persone o di veicoli (consegne a clienti) Dati: grafo stradale, alcuni nodi rappresentano clienti. Trovare: giro più breve fra i clienti. Precondizione: Problemi di cammino minimo matrice delle distanze. Definizione di un overlay v. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 9
10 Metodi di soluzione nnodi (n-1)!possibili tour n n! 120 3, ,31*10^12 2,43*10^18 Metodi di soluzione (alcuni): Enumerazione completa IP: Branchand Bound(and Cut, and Price, ) Programmazione dinamica Algoritmi approssimati Euristiche Metaeuristiche Vittorio Maniezzo Università di Bologna 10
11 Più in generale Un problema di ottimizzazione combinatoria è definito su un insieme C = {c 1,, c n }di componenti. Una soluzione del problema è un sottinsieme S C; F 2 C è il sottinsiemedi soluzioni ammissibili, (una soluzione Sè ammissibile sses F). z: 2 C Rè la funzione di costo, l'obiettivo è trovare una soluzione ammissibile di costo minimo S, cioè, trovare S Ftale che z(s ) z(s), S F. In subordine, l'algoritmo ritorna la miglior soluzione ammissibile trovata, S* F. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 11
12 TSP come COP Il TSP è definito su un grafo completo pesato (non) orientato G=(V,E,D), dove V è l'insieme dei vertici, E è l'insieme degli archi (edge) e D è l'insieme dei pesi degli archi L'insieme dei componenticorrisponde a E (C=E), Fcorrisponde all'insieme dei cicli hamiltoniani in G z(s)è la somma dei pesi associati agli archi di ogni soluzione S. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 12
13 Localizzazione servizi Si richiede di determinare dove posizionare un insieme omogeneo di servizi (di fornitura merci), P, in modo tale da soddisfare le richieste di un insieme di clienti I={1,, n}. I servizi in Ppossono essere posizionati solo in punti di un insieme predeterminato, J={1,, m}. Ogni cliente i Irichiede un quantitativo q i. Se si decide di localizzare un servizio nel punto j Jsarà possibile soddisfare da quel punto un quantitativo complessivo di richieste pari a Q j. Se si serve il cliente idal servizio jsi incorre in un costo d ij. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 13
14 Localizzazione: esempio Distribuzione dei clienti e dei possibili punti di servizio (I=J). Una possibile localizzazione di p=4 servizi e relativa assegnazione dei clienti Vittorio Maniezzo Università di Bologna 14
15 Molti problemi inquadrabili in questo schema Individuare i luoghi in cui posizionare pservizi, in modo da minimizzare il costo complessivo dell approvvigionamento (p-mediani). Individuare i luoghi in cui posizionare pservizi, in modo da minimizzare il costo massimo di approvvigionamento di un cliente (p-centri). Individuare quanti servizi attivare, e dove localizzarli, in modo da minimizzare il costo complessivo di attivazione e di esercizio (facility location ) Vittorio Maniezzo Università di Bologna 15
16 p-mediani con capacità E il problema paradigmatico per la localizzazione. Richiede di localizzare p servizi scegliendo fra un insieme di J luoghi possibili e assegnare i clienti di un insieme Iai servizi in modo da minimizzare il costo complessivo dell assegnamento soddisfacendo i vincoli che richiedono di: - assegnare ogni cliente ad un servizio - garantire che la somma delle richieste assegnate ad ogni servizio non ecceda la sua capacità. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 16
17 Formulazione matematica (CPMP) z(cpmp) = min, (1) subjectto = 1 i I (2) & ( ) j J (3) ) = p (4) y j, x ij {0,1}, i I, j J (5) Vittorio Maniezzo Università di Bologna 17
18 Euristiche: tre classi Tre classi principali di algoritmi euristici. 1. La primasi concentra sugli aspetti strutturali del problema da risolvere per definire algoritmi costruttivi o diricerca locale. 2. La seconda, denotata come "metaeuristica" (Glover, 1986), si concentra sulla guida di algoritmi costruttivi o di ricerca locale per superare situazioni critiche. 3. Infine, un trend recente cerca di incorporare risultati forti della programmazione matematica nelle strutture euristiche. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 18
19 Euristiche: nessuna dominanza Gli algoritmi delle tre classi sono stati presentati successivamente in letteratura, ma questo non implica nulla sulla loro efficacia relativa. Specifici problemi possono essere risolti al meglio da un algoritmo di una qualsiasi classe. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 19
20 Euristiche di tipo 1: importanza della struttura della soluzione Le euristiche di tipo 1 sfruttano le proprietà strutturali delle soluzioni ammissibili per ottenere rapidamente una buona soluzione. Di solito si tratta di euristiche costruttiveo di euristiche di ricerca locale. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 20
21 Euristiche costruttive 1. Ordina i componenti in C per costi crescenti. 2. Set S*= e i=1. 3. Repeat If (S* c i è una soluz. parziale ammissibile) then S*=S* c i. i=i+1. Until S* F. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 21
22 Euristiche costruttive Un approccio costruttivo può generare soluzioni ottime per certi tipi di problemi, es. il MST. In altri casi però potrebbe essere incapace di costruire una soluzione ammissibile. TSP: ordina gli archi per costi crescenti, prendi quello di costo minore e aggiungi archi di costo crescente, purchè non chiudano sottocicli, finchè non si completa un circuito Hamiltoniano. Strategie costruttive più complesse generano notissime euristiche per il TSP, quali la Farthest Insertion, la Nearest Neighbor o la Sweep. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 22
23 Euristica Nearest Neighbor 0. Parti da un qualunque nodo; 1. Trova l'adiacente più vicino (all'ultimo nodo inserito) non ancora visitato 2. ripeti 1 finchè tutti i nodi non vengono visitati. Quindi connetti l'ultimo nodo con il primo Distanze uguali possono essere gestite arbitrariamente. partendo da nodi diversi si ottengono soluzioni diverse!alcune saranno peggiori, altre migliori. GREEDY gli ultimi collegamenti saranno probabilmente lunghi, necessità di migliorare la soluzione finale Vittorio Maniezzo Università di Bologna 23
24 Ricerca locale: vicinanze L insieme di vicinanza (neighborhood) di una soluzione S, N(S), è un sottinsiemedi 2 C definito da una funzione di vicinanza N: 2 C 2 2c. Spesso si considerano solo soluzioni ammissibili, quindi funzioni di vicinanza N: F 2 F. La specifica funzione utilizzata ha un profondo impatto sulla performance dell algoritmo. La sua scelta è lasciata al progettista dell algoritmo. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 24
25 Ricerca locale 1.Genera una soluzione iniziale ammissibile S. 2.Trova S' N(S), tale che z(s')=min z(s^), S^ N(S). 3.If z(s') < z(s) then S=S' goto step 2. 4.S* = S. L aggiornamento della soluzione al passo 3 è detto mossada S a S'. Può essere fatta verso la prima soluzione migliorante trovata. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 25
26 Alcune vicinanze 2 opt(archi): prova tuttele inversioni di qualche sottosequenza se miglioramento ricomincia dall'inizio 3 opt (archi): prova tutti gli spostamenti di qualche sottosequenza in posizioni diverse se miglioramento ricomincia dall'inizio 2-opt (nodi): scambia ogni coppia di nodi nella permutazione che rappresenta la soluzione. se miglioramento ricomincia dall'inizio 3-opt (nodi): scambia ogni tripletta di nodi nella permutazione che rappresenta la soluzione. se miglioramento ricomincia dall'inizio Vittorio Maniezzo Università di Bologna 26
27 Ricerca locale Ci sono problemi per cui la ricerca locale garantisce di trovare una soluzione ottima(es. l algoritmo del simplesso). Per il TSP, due note LS sono la 2-opte la 3-opt, che prendono una soluzione (una lista di nvertici) e scambiano esaustivamente gli elementi di ogni coppia o tripletta di vertici. Vicinanze più sofisticate originano euristiche più efficaci, fra cui Lin and Kernighan [LK73]. Vittorio Maniezzo Università di Bologna 27
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