Relazione di Fondamenti di automatica

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1 Università degli studi di Cassino relazione finale orso di fondamenti di automatia Elaborato J Relazione di Fondamenti di automatia Doente del orso: Stefano Chiaverini Riardo Galletti Matr. 65

2 - - Relazione di fondamenti di automatia Riardo Galletti -

3 - - Relazione di fondamenti di automatia Riardo Galletti - FUNZIONE DI TRASFERIMENTO In esame si ha lo studio dell impianto P aratterizzato dal modello impliito ingresso-usita lineare e stazionario: d y( t) d y( t) + dt dt + dy( t) 5 dt du( t) dt + 5u( t ) Trasformiamo seondo Laplae, tenendo onto del fatto he le ondizioni iniziali sono nulle: ( s + s + 5 Y ( (s + 5) U ( Y ( s + 5 s + 5 P( U ( s + s + 5s s( s + 5) La F.d.t. trovata presenta un polo nell origine e due poli identii a parte reale negativa, poihé s, s 5 s. CONTROLLO IN RETROAZIONE Il progetto del ontrollore riguarda la reazione della struttura dei blohi di f.d.t. C e H affinhé l usita Y segua l andamento voluto Y d. I riferimenti dati impongono: r ( t ) 4δ ( t ) ( t ) δ ( t ) e r ( t ) 4δ ( t ) e A ( t) 5 y d, Quindi: aloliamo K d e H( tale he: r ( t ) 4δ ( t ) ( t ) δ ( t ) nel dominio di Laplae equivalgono a : y d 4 R ( Y ( D s poihé Y ( K R( t) si ha D d s K Y R( s d d s 4 da ui riavo H( ome: H ( K d

4 - 4 - Relazione di fondamenti di automatia Riardo Galletti - La seonda speifia può essere soddisfatta on diverse selte del ontrollore. Esse sono: A) Introduzione di poli nell origine; B) Attribuzione di un opportuno guadagno di Bode K; Caloliamo quindi C( tale he r ( t ) 4δ ( t ) e A, ( t) 5 : Per avere un errore a regime finito oorre avere l uguaglianza: k h dove k india l ordine (diminuito di unità) del riferimento, mentre h è il numero dei poli nell origine nella G(, ossia la F.d.T di atena diretta. Nel nostro aso abbiamo: k, ioè abbiamo ome riferimento una rampa parabolia, e dobbiamo avere h. Dato he l impianto già possiede un polo nell origine, dobbiamo inserirne uno nel ontrollore C(, he quindi assumerà una struttura del tipo: C ( K s e A, ( t) 5 ma dato he e A, d K R 4 6 ( t) si ha K a. 4 ; inoltre essendo K K 5 a a K s K a lim s G( K a lim s K s s s s( s + 5) 5 K 5 5 ioè K. 4 K 4 5 Per vedere se il sistema a ilo hiuso è astatio nei onfronti di d ( t ) δ ( t ), (gradino unitario), devo verifiare la seguente disuguaglianza: h > k, dove h sta ad indiare il numero dei poli dell origine di C( e k è l ordine, diminuito di un unità, dell ingresso non manipolabile. Dunque: K 4 D C ( h D( k h k + s s s s Quindi è verifiata la relazione h > k he rende il sistema astatio nei onfronti di d(t). PROPRIETA DI STABILITA Per l analisi della stabilità del sistema è neessario onosere i poli della f.d.t. a ilo hiuso, pari a: G( C( P( W ( + F ( + C( P( H ( Oorre dunque analizzare le radii dell equazione: K s F ( + C( P( H ( + s s( s + 5)

5 - 5 - Relazione di fondamenti di automatia Riardo Galletti - Tali radii si riavano risolvendo l equazione: num[ + F( ] s ( s + 5) + K (s + 5) s ( s + s + 5) + K s + 5K ) 4 ioè s s + 75s + K s + 5K + Se e solo se tutti i poli della f. d. t. ad anello hiuso hanno parte reale strettamente negativa il sistema è asintotiamente stabile in quanto la risposta in transitorio tende a nel tempo. Il riterio he mi permette di dterminare, in modo semplie quanto veloe, il segno dei poli senza risolvere l equazione è il riterio di Routh. In partiolare, ondizione neessaria e suffiiente affinhè un sistema lineare e stazionario sia asinntotiamente stabile è he gli elementi della prima olonna della tabella di Routh assoiata al polinomio aratteristio siano tutti dello stesso segno. Costruiamo, a questo punto, la tabella di Routh: K K d e Riaviamo,, d, e : det 75 K 5 9 K 75 K ' det 5K 5K d det K ' 75 K det 75 K K 5K (75 K ) K 75 K 45 K K 5K 5 K

6 - 6 - Relazione di fondamenti di automatia Riardo Galletti - e det d d ' ' 5K Per la ondizione imposta sulla stabilità otteniamo il sistema: K < 5 75 K > 5 K K > 5 K 5 K K > 5 K K > 5 K > Dato he 5-K>, basta imporre he 75K K 5K > ioè he K ( 6 K ) >, ioè ( 6 K ) >. In sintesi, ondizione per avere asintotia stabilità sul sistema a ilo hiuso è he < K < Essendo K pari a 4 e dunque appartenente all intervallo [,], possiamo affermare he il nostro sistema è asintotiamente stabile. Per avere un risontro dei risultati ottenuti, ai fini della stabilità del sistema, si riorre ad un metodo di indagine basato sulla onosenza della f.d.t di anello F(: il riterio di Nyquist. Seondo tale metodo ondizione neessaria e suffiiente per garantire l asintotia stabilità del sistema a ilo hiuso è he il diagramma di Nyquist ompleto della F(jω) irondi il punto ritio (-, j), senza toarlo, un numero di volte pari al numero di poli a parte reale strettamente positiva della F(. Il numero dei irondamenti è ontato positivamente in senso antiorario, negativamente in senso orario. K s + 5 Nel nostro aso F ( C ( P( H( possiamo vedere he non ha poli a s s( s + 5) parte reale positiva, ma ha un polo nell origine on moltepliità.

7 - 7 - Relazione di fondamenti di automatia Riardo Galletti - Traiamo il diagramma di Nyquist on K 4; Nyquist Diagram Imaginary Axis Real Axis Come potevamo aspettari, in prossimità della pulsazione ω abbiamo una singolarità nell appliazione del suddetto riterio. Sfruttando il diagramma ottenuto in Matlab e tenendo 4 jω + F ~ ( jω ) onto he F ( jω ) 4 e he lim F ~ ( jω ) ω ( jω ) + ( jω ) + 5( jω ) ( jω ) Si ha: lim F ( jω ) π e lim F( jω ) + π + ω ω Si nota dunque he per ω tendente a + il diagramma di Nyquist tende asintotiamente al semiasse reale negativo, e per ω tendente a - tende asintotiamente al semiasse reale > Imaginary Axis e dunque, hiudendo il grafio on due mezzi giri orari da - a + il numero dei irondamenti del punto ritio rimane pari a zero. Essendo zero il numero dei poli a parte reale > di F( (si riorda he l aggiramento in senso antiorario nel dominio i fa onsiderare, ai fini dell appliazione del riterio di Nyquist, il polo nell origine ome polo a

8 - 8 - Relazione di fondamenti di automatia Riardo Galletti - parte reale negativa), il riterio di Nyquist è verifiato. Dato he il diagramma di Nyquist intersea l asse negativa dei reali in orrispondenza di -.978, siamo in presenza di una stabilità regolare, assiurata per valori del guadagno ~ d anello aperto K < Ciò signifia he posso moltipliare K 4 al massimo per Arrivo ioè a ira, ioè quanto mi aveva detto il riterio di Routh. AZIONE CORRETTRICE Dal diagramma di Nihols della F(jω) si ha: db.5 db db db - db db System: 6 db F Gain (db): -5.9 Phase (deg): -86 Frequeny (rad/se): 5 - db -6 db - db - - db -4-4 db -6-6 db -8-8 db - - db - - db Dunque si riava he il punto di lavoro alla ω t 5 rad/s si trova in orrispondenza di: F( jω ) 5. 9dB e F ( jω ) 86. Considerato he m φ 4 e quindi F jω ) π + m 4 la orrezione da apportare ( ϕ prevede un amplifiazione di 5.9 db e un antiipo di fase pari a 46. Dovremo utilizzare una rete antiipatrie, aratterizzata da una f.d.t. pari a : + + s τ α s τ

9 - 9 - Relazione di fondamenti di automatia Riardo Galletti - Tramite il modulo e la fase del vettore di orrezione si riava la struttura del nuovo ontrollore mediante il alolo di α e τ: C ( K s + s τ + α s τ Utilizzando il diagramma per reti antiipatrii, si ha: α.97 e τ. 57 α τ. 48 Con questi valori il ontrollore assumerà la struttura: 4 + s.57 C ( ; s + s.48 Di onseguenza la f.d.t. di anello aperto dopo la orrezione è: 4 + s.57 s + 5 F ( C( P( H ( s + s.48 s( s + 5) 6. s s s +.48 s +.7 s + 5 s Il diagramma di Nihols della F(jω) dopo la orrezione è: db.5 db.5 db db System: F Gain (db): -.9 db Phase (deg): -4 6 db Frequeny (rad/se): 5 - db - db -6 db - db - db -4-4 db -6-6 db -8-8 db - db

10 - - Relazione di fondamenti di automatia Riardo Galletti - PARAMETRI TEMPORALI CARATTERISTICI Sfruttando, a questo punto, i parametri ottenuti nel dominio della frequenza e i legami globali otteniamo i orripondenti parametri aratteristii nel dominio del tempo, faendo riferimento alla f.d.t. a ilo hiuso: W ( G( + F ( + C( P( C( P( H (. s s s + 45 s + 76 s + 6 s s +.6 s s s + 7 s + 69 s + 8 s + 5 Il guadagno statio è W(j), dunque diagrammiamo tramite Bode la W( normalizzata: Bode Diagram System: W_norm Frequeny (rad/se): 8.5 Magnitude (db): - Magnitude (db) System: W_norm Frequeny (rad/se): 9. Magnitude (db): -6 System: W_norm Frequeny (rad/se): 5. Magnitude (db): Phase (deg) -5-8 System: W_norm Frequeny (rad/se): 5. Phase (deg): Frequeny (rad/se)

11 - - Relazione di fondamenti di automatia Riardo Galletti - Da questi riaviamo: ω 8.5 rad/s B. Hz db db ω 9. rad/s B. 4 Hz 6 db 6 db ω db 5. rad/s ϕ db 4 ω ' 7.6 rad/s B '. Hz M 4. db. 64 r TEMPO DI SALITA t s. 5 s B.4 6 ϕ 4 TEMPO ALL EMIVALORE t s B.4 6 s.. PERIODO DI PRIMA OSCILLAZIONE T. 89 s B'. M r B.64. SOVRAELONGAZIONE MASSIMA s.4 log e log e B6.4 M r B.64. TEMPO DI ASSESTAMENTO AL 5% t, 5% B6 B6.4.4 a s

12 - - Relazione di fondamenti di automatia Riardo Galletti - SIMULAZIONE Per finire, utilizzando lo strumento di simulazione SIMULINK verifihiamo nel dominio del tempo la orrettezza dell analisi e della sintesi svolta nel dominio di Laplae e della frequenza. Nelle pagine suessive, nell ordine, saranno presentati i modelli e i grafii relativi all analisi della risposta indiiale, della risposta omplessiva in presenza del riferimento dato e dell ingresso non manipolabile, infine sarà rappresentato l errore assoluto a regime.

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