Teoria dei Numeri. Lezione del 15/12/2009. Stage di Treviso Progetto Olimpiadi

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1 Teoria dei Numeri Lezione del 15/12/2009 Stage di Treviso Progetto Olimpiadi

2 Criteri di Divisibilità 2: ultima cifra pari 3: somma (o somma della somma) delle cifre divisibile per 3 4: ultima due cifre divisibili per 4 2 n : ultima n cifre divisibili per 2 n 5: ultima cifra divisibile per 5 9: somma (o somma delle somma) delle cifre divisibile per 9 11: somma delle cifre in posizione pari uguale alla somma delle cifre in posizione dispari

3 Congruenze Dati due numeri naturali n ed m, sono univocamente identificati altri due numeri detti quoziente e resto delle divisione intera di n per m: n=q*m+r con 0 r<m Una relazione è detta di equivalenza se valgono le proprietà: Riflessiva Simmetrica Transitiva

4 La relazione ha lo stesso resto di..nella divisione per m con m naturale è di equivalenza perché a ha lo stesso di a nella divisione per m Se a ha lo stesso resto di b, b ha lo stesso resto di a (sempre nella divisione per m) Se a ha lo stesso resto di b e b ha lo stesso resto di c allora a ha lo stesso resto di c (nella divisione per m)

5 I numeri naturali vengono così ad essere suddivisi in classi di equivalenza. Per esempio per congruenza modulo 4 le classi saranno 0,4,8,12,16, 1,5,9,13,17, 2,6,10,14,18, 3,7,11,15,19,

6 Proprietà delle congruenze Se a=m*q 1 +r 1 allora a r 1 (m) Somma: se b=m*q 2 +r 2 e quindi b r 2 (m) allora a+b=m*(q 1 +q 2 )+(r 1 +r 2 ) r 1 +r 2 (m) Si comportano bene rispetto alla somma Differenza: come la somma solo che poiché la sottrazione non è un operazione interna ad N è necessario estendere le congruenze in Z Ricordiamoci che in questo caso il resto deve essere sempre positivo, quindi per esempio: -3:5=-1 con resto +2 quindi -3 2

7 Prodotto: a*b=m(mq 1 q 2 +q 1 r 2 +q 2 r 1 )+(r 1 r 2 ) r 1 r 2 (m) Si comportano bene rispetto al prodotto

8 Residui quadratici Nello studiare la divisibilità per qualche numero di una certa quantità funzione di alcuni numeri naturali dovremo andare a provare tutte le possibili classi di resto per ognuno dei naturali Una semplificazione può nascere se compaiono dei quadrati o altre potenze di numeri naturali. Infatti per alcuni moduli (per esempio modulo 3) i quadrati non possono appartenere a qualsiasi classe di resto Infatti se n 0 (3) n2 0 (3) Se n 1 (3) n 2 1*1=1 (3) Se n 2 (3) n 2 2*2=4 1 (3) Quindi un quadrato non è mai congruo a 2 modulo 3!

9 Altri residui quadratici sono: 0 e 1 per modulo 4 (0 per i numeri pari e 1 per i numeri dispari) 0,1,-1 per modulo 5 0,1,4 per modulo 8

10 Esercizio di esempio Dimostrate che n 3 +11n è divisibile per 3 qualsiasi sia n Naturale Soluzione: Calcoliamo la congruenza modulo 3 di tale quantità nei 3 casi possibili per n: n 0 (3) n 3 +11n 0 (3) è divisibile n 1 (3) n 3 +11n 1+11=12 0 (3) è divisibile n 2 (3) n 3 +11n 8+22=30 0 (3) è divisibile

11 Altro svolgimento possibile (uso i residui quadratici) n 3 +11n=n(n 2 +11) Se n 0 (3) n(n 2 +11) 0*11=0 (3) Sennò n 2 1 (3) e quindi n(n 2 +11) n*12 0 (3) Altro metodo di risoluzione possibile: per induzione

12 Inverso modulo m Possiamo chiederci di risolvere il seguente problema: quando esistono soluzioni di a*b c (m) Conoscendo a, c ed m sapere se esiste b che rende vera l identità o no NOTA: se ne esiste uno l equazione ha infinite soluzioni. Perché?

13 Cominciamo dal caso più facile c=1 In questo caso: Se MCD(a,m)=1 allora esiste sempre b che risolve l equazione Se MCD(a,m)>1 in generale non è sempre possibile che esista b b è detto l inverso di a modulo m DOMANDA: Se c>1 che ipotesi è sufficiente richiedere perché esista b?

14 Altri esercizi Dimostrare che n 3 +11n è sempre divisibile per 6 HINT: invece di usare le classi di resto modulo 6 ricordiamoci che 6=3*2 Dimostrare che n(n+1)/2 è intero Dimostrare che n(n+1)(2n+1)/6 è intero Determina se è somma di due quadrati perfetti

15 Piccolo Teorema di Fermat Se mi interessano congruenze con un modulo p primo, MCD(a,p)=1 vale il piccolo teorema di fermat: A p-1 1 (p) Corollario a p a (p)

16 Teorema di Bezout Data l equazione in due variabili na+mb=c con a e b interi. Questa equazione ha infinite soluzioni intere (n,m) se e solo se MCD(a,b) c. Consideriamo il caso MCD(a,b)=c Dividendo tutto per ci si ottiene una nuova equazione: nc+md=1 con MCD(c,d)=1 A questo punto cosa posso applicare, per dimostrare l esistenza di una coppia (n,m)?

17 Come si trovano in pratica gli n,m? Si usa il metodo delle divisioni euclidee successive: Esempio c=44 d=17 44=17* =10*1+7 10=7*1+3 7=3*2+1 Il resto dell ultima riga è l MCD Ora si prosegue dal basso verso l alto ricavando i resti da ogni riga:

18 1=7-3*2 3=10-7 => 1=7-(10-7)*2=7*3-10*2 7=17-10=> 1=(17-10)*3-10*2=17*3-10*5 10=44-17*2 =>17*3-(44-17*2)*5=17*13-44*5 n=-5 m=13