SESSIONE SUPPLETIVA QUESTIONARIO QUESITO 1

Transcript

1 SESSIONE SUPPLETIVA 8 - QUESTIONARIO QUESITO A = (; ) e B = (; ) ; y = 4 sen(x) con x Rappresentiamo la regione R ed un rettangolo inscritto in R avente un lato contenuto nel segmento AB: Indichiamo con EF il lato contenuto in AB e poniamo E = (x; ), con x. L altro vertice F su AB è simmetrico di E rispetto alla retta x =, quindi la sua ascissa è: x F = ( ) x E = x L ordinata del punto C è 4 sen(x). Il perimetro del rettangolo è perciò: p = EF + CE = (x F x E ) + y C = ( x) + 8sen(x) Il perimetro è massimo se lo è la funzione: y = x + 4sen(x), con x Risulta: y = + 4 cos(x) se cos(x) x 3 Quindi la funzione è crescente in x < e decrescente in < x 3 3 massima in x =. Il massimo perimetro è quindi: p 3 () = , risulta quindi Suppletiva 8 - Quesiti / 9

2 QUESITO f(x) = x, con p x p Determiniamo la tangente t al grafico Γ della funzione nel suo punto A di ascissa p. Si ha: f (x) = x quindi la tangente t ha equazione: y f(p) = f (p)(x p), y p = p (x p), y = p x + p Rappresentiamo graficamente la funzione e la tangente in questione supponendo p>: Osserviamo che la retta t taglia l asse delle x nel punto D di ascissa p. Le due aree sono: A = Area(triangolo ACD) = CD AC La seconda area possiamo calcolarla nel modo seguente: = (p p) ( p ) = p A = x dx A = [ln x ] p p = ln(p) ln(p) = ln p Suppletiva 8 - Quesiti / 9

3 QUESITO 3 C = (; ; ), x y + z = Il raggio della sfera è uguale alla distanza del centro C dal piano tangente: La sfera ha quindi equazione: R = ax + by + cz + d + + = = 6 a + b + c = 3 (x ) + (y + ) + (z ) = Il punto di tangenza si ottiene intersecando la normale n al piano tangente passante per C; tale retta ha gli stessi parametri direttori del piano:,,. Quindi: x = x + at n: { y = y + bt z = z + ct x = + t ; { y = t z = + t Sostituendo nell equazione del piano: + t ( t) + + t =, 3t = 6, t = Il punto di tangenza è quindi: T = (3; 3; 4). QUESITO 4 Calcoliamo utilizzando il metodo per parti il seguente integrale indefinito (n>) cos n (x)dx = cos(x) cos n (x)dx = (sen(x)) cos n (x)dx = = sen(x) cos n (x) sen(x)[(n )cos n (x)( sen(x))] dx = = sen(x) cos n (x) + (n ) sen (x)cos n (x) dx = = sen(x) cos n (x) + (n ) ( cos x)cos n (x) dx = = sen(x) cos n (x) + (n ) cos n (x) dx (n ) cos n (x)dx Quindi, portando a sinistra l ultimo termine: n cos n (x)dx = sen(x) cos n (x) + (n ) cos n (x) dx E passando agli integrali definiti: Suppletiva 8 - Quesiti 3/ 9

4 n cos n (x)dx = [sen(x) cos n (x)] + (n ) cos n (x)dx = Calcoliamo ora cos 4 (x)dx = + (n ) cos n (x)dx, quindi: (n cos n ) (x)dx = cos n (x)dx n sfruttando la proprietà dimostrata: cos 4 (x)dx = 3 4 cos (x)dx = 3 4 [ dx ] = 3 8 [x] = 3 6 QUESITO 5 La probabilità che non esca il 3 in un lancio (successo) è p=5/6. La probabilità che non esca mail il 3 in n lanci è: p n = ( 5 6 ) n Deve essere: ( 5 n 6 ) <., n (5 6 ) < 4, ln ( 5 n 6 ) < ln 4, n ln ( 5 ) < 4 ln 6 Ed essendo ln ( 5 ) <, si ha: 6 n > 4 ln 4 ln ln ( 5 = 6 ) ln ( ) Il più piccolo valore di n richiesto è quindi n=5. QUESITO 6 y = x ax + b 3, x =, y = 7x 9 La curva deve passare per il punto della retta di ascissa, che ha ordinata y() =. Se ax + b : y = ax 3 + bx 3 ; y() = : = a + b 3, a + b = Se ax + b < : y = ax 3 bx 3 ; y() = : = a b 3, a + b = Suppletiva 8 - Quesiti 4/ 9

5 Deve poi essere y () = 7 e risulta: se ax + b : y = 3ax + b, y () = 3a + b = 7 Quindi: a + b = { 3a + b = 7 ; { a = 3 b = Deve essere 3x, x 3 vel x 3 : x= soddisfa. se ax + b < : y = 3ax b, y () = 3a b = 7 Quindi: a + b = { 3a + b = 7 ; {a = 3 b = Deve essere 3x + <, x < 3 vel x > 3 : x= soddisfa. Quindi abbiamo i seguenti possibili valori di a e b: a = 3 e b = y = x( 3x 3 = x(3x ) 3 = 3x 3 x 3 a = 3 e b = y = x 3x + 3 = x(3x ) 3 = 3x x 3 Osserviamo che le due funzioni coincidono. I valori richiesti di a e b sono: a = 3 e b = oppure a = 3 e b = La funzione che soddisfa le condizioni richieste è y = 3x 3 x 3. Suppletiva 8 - Quesiti 5/ 9

6 QUESITO 7 γ : y = x +, γ : y = x 8x + 9, t tangente comune La retta t ha equazione del tipo y = mx + q (non può essere parallela all asse y). Imponiamo la tangenza alla prima parabola: x + = mx + q, x mx + q =, m 4( q) = Imponiamo la tangenza alla seconda parabola: x 8x + 9 = mx + q, x (8 + m)x + 9 q =, (8 + m) 4(9 q) = Affinché t sia tangente ad entrambe le parabole deve essere verificato il seguente sistema: m 4( q) = { (8 + m) 4(9 q) = ; { m 4 + 4q = m + 6m q = Sottraendo membro a membro: 3 6m =, m = e sostituendo nella prima equazione: q =, q = La tangente comune alle due parabole ha quindi equazione: y = x. Rappresentiamo nello stesso piano cartesiano le due parabole e la retta t. La prima parabola ha vertice in (; ), per asse l asse delle y e concavità verso l alto. La seconda parabola ha vertice in (4; -7) e concavità verso l alto. Punto di tangenza fra t e la prima parabola: x mx + q =, con m = e q = : x + x + =, x =, y = A = ( ; ) Punto di tangenza fra t e la seconda parabola: x (8 + m)x + 9 q =, con m = e q = : x 6x + 9 =, x = 3, y = 6 Intersezioni fra le due parabole: C = (3; 6) y = x + { y = x 8x + 9 ; x + = x 8x + 9 ; x =, y = B = (; ) Suppletiva 8 - Quesiti 6/ 9

7 L area richiesta è data da: Area = [x + + x] = [ 3 x3 + x + x ] 3 dx + [x 8x x] 3 + [ 3 x3 3x + 9x] = 6 3 u 5.33 u = Area dx = = 7 3 ( 3 ) = 9 3 = Il grafico di questa funzione è il seguente: QUESITO 8 f(x) = { 3 4 x, x, < x Suppletiva 8 - Quesiti 7/ 9

8 Osserviamo che, affinché f rappresenti una densità di probabilità deve essere: E si verifica facilmente che: f(x) dx = f(x) dx = ( 3 4 x ) dx + dx = = = ( ) Il valor medio M è dato da: b M = x f(x) a dx = x f(x) dx = x ( 3 4 x ) dx + x dx = = [ 6 x 6 x4 + [ ] 4 x = ] ( 4 4 ) = = M 48 Il valore mediano M e (cioè la mediana) è quel punto c tale che: c f(x) a b dx = f(x) dx = c Osservando la figura ed i calcoli (*) si scopre facilmente che c è un punto tra e tale che: ( c) =, quindi c = 4 = M e QUESITO 9 Il luogo geometrico richiesto è il piano assiale del segmento AB, cioè il piano perpendicolare ad AB nel suo punto medio M. Essendo A=(; ; ) e B=(-3; ; ) il punto medio M ha coordinate: M = ( 3 ; 3 ; ). Il piano ha parametri direttori a, b e c dati da: a = 3 = 3, b = =, c = = Il piano richiesto ha quindi equazione: a(x x ) + b(y y ) + c(z z ) =, 3 (x + 3 ) + (y 3 ) (z ) = 3x + y z 4 =, 3x y + z + 4 = Suppletiva 8 - Quesiti 8/ 9

9 Allo stesso risultato si può pervenire imponendo che la distanza del generico punto P = (x; y; z) da A sia uguale alla distanza da B: x + (y ) + (z ) = (x + 3) + (y ) + z QUESITO y = e x sen x, y + y + y = y = e x sen x + e x cos x = e x ( sen x + cos x), y = e x ( sen x + cos x) + e x ( cos x sen x) = cos x e x Sostituendo nell equazione differenziale: cos x e x + e x ( sen x + cos x) + e x sen x = = e x ( cos x sen x + cos x + senx) = e x () = x Con la collaborazione di Angela Santamaria Suppletiva 8 - Quesiti 9/ 9