Foglio di Esercizi 10 con Risoluzione 18 dicembre 2017

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1 Matematica per Farmacia, a.a. 07/8 Foglio di Esercizi 0 con Risoluzione 8 dicembre 07 ATTENZIONE: in alcuni degli esercizi di Probabilità puó essere utile usare il Teorema di Bayes. Esercizio (Vedere il Teorema del limite Centrale nel Diario delle Lezioni e le osservazioni che lo seguono). Si vuole stimare il valore medio µ del carattere di una popolazione. Su un campione di n = 00 individui risulta una media campionaria x = 00 e una deviazione standard campionaria s = 90. Trovare gli intervalli di confidenza al 9% e all 89% per la media µ,(indicare i calcoli e scrivere il risultato finale arrotondato alla seconda cifra decimale). RISULTATI: Dal Teorema del Limite Centrale, e dalle tabelle della gaussiana, sappiamo che al µ [ x, 9 s n, x +, 9 s n ] al 9 %. Allora l intervallo di confidenza al 9% è : [00, , 00 +, ] = [00, 9, 00 +, 9] [97, 0]; analogamente l intervallo di confidenza al 89% è : [00, 90 00, 00 +, ] = [97., 0.] Esercizio. Si supponga che il livello di colesterolo totale nella popolazione femminile italiana di una certa fascia di età sia distribuito in maniera approssimativamente gaussiana con media di 90mg/dl ed una deviazione standard di mg/dl. () Calcolare la percentuale di individui di tale popolazione il cui colesterolo totale è minore di mg/dl. () Calcolare la percentuale di individui di tale popolazione il cui colesterolo totale è compreso tra 78 e 0mg/dl. RISOLUZIONE: () minore di mg/dl: = µ + z σ z = µ σ =, = 90 + (, ). Nella prima tabella della gaussiana devo allora considerare la riga corrispondente al valore, e considerare il valore della prima colonna 0, 890 e quello della terza 0, 08 (corrispondenti rispettivamente alle aree sottese dalla gaussiana negli intervalli [µ (, ) σ, µ + (, ) σ] e [µ + (, ) σ, + ) in cui l area del sottografico è uguale a quella dell intervallo (, µ (, ) σ]). Quindi si ottiene che la percentuale di individui cercata è 0, , 08 = 0, 9 9%. () Analogamente al punto precedente otteniamo [78, 0] = [µ (0, 8) σ, µ + σ]. Uso allora la seconda tabella che fornisce le aree sottese dalla gaussiana negli intervalli [µ, µ+u σ] (equivalentemente in quelli a loro simmetrici) in corrispondenza delle righe corrispondenti ai valori 0, 80 e, 00, considerando la prima colonna in quanto la cifra dei centesimi è nulla. Si ottiene quindi che la percentuale cercata è 0, , = 0, 9 %. Esercizio. Sia D un dado tale che P() = P() =, P() = P() = P() =. Qual è la probabilità di ottenere lanciando il dado? P() = ( P() + P() + P() + P() + P() ) = ( + ) =. Se poi si lancia il dado volte, qual è la probabilità di ottenere almeno volte il? ( )( ) 7 + ( ) = ( ).

2 Esercizio. () Calcolare la probabilità che lanciando due dadi la somma dei due esiti sia 8. Quanto si potrebbe scommettere su questo esito (somma = 8), se il premio è di euro? () Calcolare la probabilità che lanciando tre dadi la somma dei tre esiti sia 8. RISOLUZIONE: () 8 = + = + = + = + = + quindi p = % Se il premio è di euro posso scommettere, euro () nel caso di dadi 8 = + + = + + = + + = + + = + + e, tenendo conto che l ordinamento ha diverse possibilità se un numero si ripete e se i risultati sono tutti diversi, si ottiene p = + = = 7 7 9, 7% Esercizio. Ci sono sette urne numerate da a 7. Ciascuna contiene una pallina bianca e palline nere in numero uguale a quello dell urna. Qual è la probabilità che, estraendo in successione una pallina da ogni urna, escano tutte bianche? RISOLUZIONE: Si tratta di eventi indipendenti: B, B,..., B 7 dove B k = { dall urna numero k esce una pallina bianca } (k {,,..., 7}). Quindi la probabilità dell intersezione è il prodotto delle probabilità : P(B ) P(B )... P(B 7 ) =... 7 = 7! Esercizio. Un urna contiene 7 biglie bianche e biglia rossa. Si estraggono contemporaneamente biglie. Qual è la probabilità che le biglie siano tutte e bianche? RISOLUZIONE: Estrarne contemporaneamente equivale ad estrarre una biglia per volte senza reimbussolamento, quindi la probabilità è = 8 =. Si ottiene lo stesso risultato pensando di dividere in due gruppi le 8 palline del sacchetto e di scegliere uno dei gruppi. Uno sarà di tutte palline bianche, l altro ne avrà una rossa, quindi la probabilità è. Esercizio 7. Si consideri un mazzo di 0 carte napoletane. Vengono date tre carte. Qual è la probabilità di avere tre assi? RISOLUZIONE: Si tratta di estrazioni senza reimbussolamento: = 0 9 = 70. Esercizio 8. Per una moneta la probabilità che esca testa è /. Dopo lanci, stabilire qual è la probabilità di ciascuno dei seguenti eventi (si indichino tali probabilità senza svolgere tutti i conti ma calcolando almeno eventuali coefficienti binomiali con l aiuto del triangolo di Tartaglia o con il conto diretto): E = { esce esattamente due volte croce }: P(T) =, P(C) = P(E) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) F = { esce esattamente volte testa }: P(F) = ( ) ( ) ( ) = 0 ( ) ( ) G = { esce al piú due volte croce }: P(G) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) = ( ) + ( ) + ( ) ( ) H = { esce almeno due volte croce }: P(H) = ( ) ( ). M = { ai primi due lanci esce croce }: P(M) = ( )

3 Q = { all ultimo lancio esce croce }: P(Q) = Di ciascuno dei due ultimi eventi, calcolare anche la probabilità che non si verifichi, e descrivere l evento complementare: non M = { non esce croce a entrambi i primi lanci }: P(nonM) = P(M) = ( ) = 7. non Q = { all ultimo lancio esce testa }: P(nonQ) = P(Q) = P(T) =. Inoltre: () se al primo lancio esce croce, quale diventa la probabilità dell evento E? P(E primo lancio C) = ( ) ( ) = = < P(E) = () quanto vale P(E M)? P(E M) = ( ) () tra gli eventi considerati ce ne sono almeno due incompatibili? G F = P(G F) = 0 () tra gli eventi considerati ce ne sono almeno due indipendenti? M e Q sono indipendenti in quanto ogni lancio è indipendente dagli altri (ad ogni lancio la probabilità che esca testa o croce non dipende dalla storia passata o futura). Inoltre M riguarda i primi due lanci, Q il sesto. Esercizio 9. Siano date due monete M, M. M è regolare (P(T) = P(C) = ). M è truccata e si ha P(T) =, P(C) =. Calcolare la probabilità che: () lanciando volte la moneta M (regolare) si ottengano teste: P (TTT) = ( ) ; () lanciando volte la moneta M (P(T) = ) si ottengano teste: P (TTT) = ( ). Si scelga a caso una moneta e la si lanci volte. Se si ottiene sempre testa, qual è la probabilità che la moneta lanciata sia M? P(TTT M ) P(M ) P(M TTT) = P(M ) P (TTT) + P(M ) P (TTT) = P (TTT) ( ) + ( = ( ) ) ( ) + ( = ) = 7 == 0, 77 = 77 % + Esercizio 0. Calcolare la probabilità che lanciando dadi si ottenga su entrambi sapendo che il punteggio totale è 8. RISOLUZIONE: I casi possibili in cui la somma dei due dadi è 8 sono : +, +, +, +, +. solo è il caso favorevole, allora la probabilità è. Esercizio. In un urna ci sono tre palline nere e due bianche. a) Calcolare la probabilità di prenderne una bianca e una nera con due estrazioni senza reimbussolamento: = b) Calcolare la probabilità di prenderne una bianca e una nera con due estrazioni con reimbussolamento: =

4 c) È più probabile estrarne una bianca e una nera con due estrazioni senza reimbussolamento (tipo a) o con due estrazioni con reimbussolamento (tipo b)? < = quindi è piú probabile questo risultato nel caso senza reimbussolamento (tipo a). Esercizio. Un campo di ettaro è coltivato al 0% da Giovanni e per il 0% da Andrea. Nel campo c è una coltivazione di rose che si estende per 000 mq. Nel restante terreno vengono coltivati garofani. Il 70% della parte coltivata da Giovanni è coltivata a rose. Quale è la probabilità che un garofano raccolto in questo campo sia stato coltivato da Andrea? RISOLUZIONE: A = Andrea, G = Giovanni, r = rosa, g = garofano. Allora P(A g) = P(G g) = P(g G) P(G) 0, 0, P(g) = 0, = 0, = 0,. Esercizio. Sulla base delle seguenti osservazioni di un popolazione di insetti: insetti vivono giorni insetti vivono giorni 8 insetti vivono giorni 0 insetti vivono 8 giorni insetti vivono 0 giorni stabilire la media aritmetica della lunghezza della loro vita (approssimandola a un numero intero): Calcolare inoltre: = 8 la mediana: 8 giorni (tempo di vita dell insetto al -esimo posto) la moda: 8 giorni = 7, 7 la varianza : σ = (7, ) =, 9, (l altro conto: σ = (7, ) +(7, ) +8( 7,) +0(8 7,) +(0 7,) =, sarebbe stato meno preciso) lo scarto quadratico medio: σ = σ,, l intervallo di variazione: I = 0 = 8, i quartili: q = x =, q = x + = x 8 = 8, la distanza interquartile: q q =. Esercizio. (cf. libro Villani-Gentili, Esercizio 0.). Le seguenti persone hanno letto in un anno il corrispondente numero di libri: A, anni, ha letto libri B, 9 anni, ha letto libro C, anni, h aletto 7 libri D, 7 anni, ha letto libri E, 8 anni, ha letto 0 libri F, anni, ha letto libri G, anni, ha letto 8 libri,

5 H, 0 anni ha letto 0 libri Dopo aver calcolato l età media e il numero medio di libri letti in un anno, determinare l equazione della retta di regressione e il coefficiente di correlazione. Indicare i conti che si devono fare, e poi effettuarli con un programma di calcolo o con la calcolatrice (in caso di mancanza di tempo ci si limiti a considerare i primi quattro dati). RISOLUZIONE: vedere [ Villani Gentili]. Se ci limitiamo ai primi dati otteniamo: x = = i= xi x = ( ) = 7. Allora il 8 = 0,, ȳ = ++7+ = =,, σ x = coefficiente angolare della retta di regressione è: ) 7 = 8 7 = 0. m = ( k= x k y k xȳ ) /σ x = ( Quindi, procedendo come nell Esercizio, la retta di regressione è: y = 0 il coefficiente di regressione è: r = /8 ( ) = (x 8), /8 = 8/8 0, 8. 8 Esercizio. La distribuzione dei pesi dei neonati di una popolazione è di tipo gaussiano con media µ = Kg. e scarto quadratico medio pari a 00 gr. Calcolare su un gruppo di 900 neonati quanti ce ne aspettiamo con peso inferiore a Kg., % di 900 neonati, ovvero circa 7 ( il conto fa 7, ) (Ricordiamo che in una distribuzione gaussiana con media µ e scarto quadratico medio σ nell intervallo [µ σ, µ + σ] cade circa il 9% delle misure.)