BREVE VIAGGIO NELLO SPAZIO-TEMPO DELLA RELATIVITA RISTRETTA M. SPADA

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1 BREVE VIAGGIO NELLO SPAZIO-TEMPO DELLA RELATIVITA RISTRETTA M. SPADA I.t. L. Pacioli, Crema (CR) 25 ottobre 2006

2 SOMMARIO 1. I SISTEMI DI RIFERIMENTO; LA CLASSE DI QUELLI INERZIALI 2. IL PRINCIPIO DI RELATIVITA DI GALILEO 3. LA TRASFORMAZIONE GALILEIANA DI COORDINATE SPAZIO-TEMPORALI E LA CORRISPONDENTE COMPOSIZIONE DELLE VELOCITA 4. IL COMPORTAMENTO DELLA LUCE 5. LA TRASFORMAZIONE DI LORENTZ E IL PRINCIPIO DI RELATIVITA RISTRETTA DI EINSTEIN 6. LA NATURA RELATIVA DELLA LUNGHEZZA, DELL INTERVALLO DI TEMPO E DELLA SIMULTANEITA 7. DALLA MECCANICA NEWTONIANA A QUELLA RELATIVISTICA (CENNI) 8. INTRODUZIONE ALLA RELATIVITA GENERALE - 2 -

3 1. I SISTEMI DI RIFERIMENTO; LA CLASSE DI QUELLI INERZIALI UN SISTEMA DI RIFERIMENTO E NECESSARIO PER STUDIARE QUANTITATIVAMENTE IL MOTO. QUALE SISTEMA DI RIFERIMENTO USEREMO UNA TERNA D ASSI CARTESIANI E UN OROLOGIO (IPOTIZZATO DISPONIBILE IN OGNI PUNTO DELLO SPAZIO): IL TERMINE OSSERVATORE E USATO COME SINONIMO DI SISTEMA DI RIFERIMENTO. ESISTE UNA CLASSE PRIVILEGIATA DI SISTEMI DI RIFERIMENTO: QUELLI INERZIALI. I SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI SONO QUELLI NON ACCELERATI RISPETTO ALLE STELLE FISSE E IN ESSI VALE IL PRINCIPIO D INERZIA (GALILEO): UN PUNTO MATERIALE SU CUI NON AGISCONO FORZE O RIMANE NEL SUO STATO DI QUIETE O SI MUOVE DI MOTO RETTILINEO A VELOCITA COSTANTE

4 IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO INERZIALE OGNI VARIAZIONE DELLO STATO DI MOTO E DOVUTA A UNA FORZA VERA, CIOE ORIGINATA DA UN INTERAZIONE. NELL ARTICOLO DEL 1905 ALBERT EINSTEIN PUBBLICO LA TEORIA CHE OGGI E DETTA RISTRETTA O SPECIALE: NELLA TEORIA DEL 1905 IL MOTO E RIFERITO A SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI. ESSA COMPORTA UNA GENERALIZZAZIONE DELLA MECCANICA NEWTONIANA, COME ACCENNEREMO, E LA TEORIA DEL 1916, OGGI DETTA RELATIVITA GENERALE, GENERALIZZA A SUA VOLTA LA RELATIVITA RISTRETTA CONSIDERANDO SISTEMI DI RIFERIMENTO QUALSIASI

5 2. IL PRINCIPIO DI RELATIVITA DI GALILEO LA RELATIVITA FU SCOPERTA DA GALILEO. IL PROBLEMA CH EGLI SI POSE E QUESTO: CONSIDERATO UN FENOMENO FISICO STUDIATO DA DUE OSSERVATORI INERZIALI O E O, OGNUNO DEI DUE NE SCRIVE LA LEGGE CHE LO GOVERNA: F(a(x,t),b(x,t), ) = 0 F (a (x,t ),b (x,t ), ) = 0 CHE RELAZIONE C E TRA F E F? E EVIDENTE CHE QUESTO PROBLEMA E FONDAMENTALE NELLO STUDIO FISICO DEL MONDO: SE, NOTO IL MOTO RELATIVO DI DUE OSSERVATORI, NON SIAMO IN GRADO DI METTERE IN RELAZIONE LE DUE LEGGI SCRITTE DAI DUE OSSERVATORI, LA NOZIONE STESSA DI LEGGE FISICA DIVIENE VUOTA. IL PROBLEMA GENERALE DELLA RELATIVITA E DUNQUE QUESTO: NOTO IL MOTO RELATIVO DI O E DI O, CHE RELAZIONE C E TRA F E F? - 5 -

6 GALILEO FORMULO IL PRINCIPIO DI RELATIVITA CHE PORTA IL SUO NOME AFFERMANDO CHE LE LEGGI DELLA MECCANICA HANNO LA STESSA FORMA IN TUTTI I SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI. LA TRASFORMAZIONE DI COORDINATE SPAZIO-TEMPORALI DA UN RIFERIMENTO ALL ALTRO E LA TRASFORMAZIONE DI GALILEO ESPOSTA NEL SEGUITO. CI SORPRENDE? DIREI DI NO: IL VERSARE UNA TAZZA DI CAFFE NEL SALOTTO DI CASA E GOVERNATO DALLE STESSE LEGGI CHE VALGONO QUANDO LO VERSIAMO SU UN JET CHE SI MUOVE A 900 km/h RISPETTO ALLA SUPERFICIE TERRESTRE (SE NON CI SONO TURBOLENZE: SE CI SONO, L AEREO NON E UN RIFERIMENTO INERZIALE). CREDO CHE SI POSSA DIRE CHE DUE SONO LE QUESTIONI DAVVERO FONDAMENTALI DELLA FISICA: LA RELATIVITA E LA COMPRENSIONE DELLE INTERAZIONI FONDAMENTALI

7 3. LA TRASFORMAZIONE GALILEIANA DI COORDINATE SPAZIO-TEMPORALI E LA CORRISPONDENTE COMPOSIZIONE DELLE VELOCITA CONSIDERIAMO ORA DUE SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI O E O. LE COORDINATE SPAZIO-TEMPORALI DI O SIANO (x,y,z,t) E QUELLE DI O SIANO (x,y,z,t ): QUI v E IL MODULO DELLA VELOCITA (COSTANTE) DI O RISPETTO A O. LA TRASFORMAZIONE DI GALILEO E QUESTA: x = x vt y = y z = z t = t QUESTA TRASFORMAZIONE E QUELLA CHE OGNUNO DI NOI SCRIVEREBBE DOPO AVERCI PENSATO UN MINUTO

8 MA RENDIAMOCI CONTO CHE DIETRO LA TRASFORMAZIONE SCRITTA SOPRA CI SONO IPOTESI MOLTO PROFONDE: S IPOTIZZA CHE LO SPAZIO E IL TEMPO SIANO ASSOLUTI! DALLA TRASFORMAZIONE GALILEIANA DI COORDINATE SPAZIO-TEMPORALI SCRITTA SOPRA CONSEGUE IMMEDIATAMENTE LA SEGUENTE COMPOSIZIONE DELLE VELOCITA : u x = u x v u y = u y u z = u z DOVE (u x,u y,u z ) SONO LE COMPONENTI CARTESIANE DEL VETTORE VELOCITA u DEL PUNTO MATERIALE NEL RIFERIMENTO O E (u x, u y, u z ) QUELLE NEL RIFERIMENTO O. IN GENERALE VALE LA RELAZIONE VETTORIALE u = u v. QUESTA COMPOSIZIONE DELLE VELOCITA E QUELLA CHE POSSIAMO APPLICARE, ANCHE BASANDOCI SULLA NOSTRA INTUIZIONE, ALLA SEGUENTE SITUAZIONE IN CUI UN UOMO POSTO SU UN CARRELLO IN MOTO SPARA UN PROIETTILE CON UNA PISTOLA: - 8 -

9 MA DELL INTUIZIONE E BENE NON FIDARSI TROPPO CHIEDIAMOCI: SE L UOMO, INVECE DI SPARARE UN PROIETTILE CON UNA PISTOLA SPARA FOTONI, CIOE LUCE, CHE COSA S OSSERVA? - 9 -

10 4. IL COMPORTAMENTO DELLA LUCE LA LUCE E UN FENOMENO ELETTROMAGNETICO: E COSTITUITA DA ONDE E.M. CHE SI PROPAGANO SIA NEL VUOTO SIA NELLA MATERIA. NELL ESPERIMENTO ILLUSTRATO SOPRA, SE L UOMO SUL CARRELLO SPARA FOTONI, EGLI MISURA IL SEGUENTE VALORE DELLA VELOCITA DELLA LUCE NEL VUOTO: c 2, m/s km/s E L OSSERVATORE A TERRA MISURA UN VALORE UGUALE! GLI ESPERIMENTI DIMOSTRANO INEQUIVOCABILMENTE CHE LA VELOCITA DELLA LUCE NEL VUOTO NON DIPENDE DAL MOTO DELLA SORGENTE RISPETTO ALL OSSERVATORE: LA VELOCITA DELLA LUCE NEL VUOTO E UNA COSTANTE UNIVERSALE. LA COMPOSIZIONE GALILEIANA DELLE VELOCITA SCRITTA SOPRA NON E DUNQUE APPLICABILE ALLA LUCE NE, IN GENERALE, AD ALCUN SEGNALE E.M. E OPPORTUNO OSSERVARE CHE, DAL PUNTO DI VISTA DELLA STORIA DELLA FISICA E DELLA SCIENZA IN GENERALE, ERA IL DESIDERIO DI RAGGIUNGERE UNA COMPRENSIONE PIU PROFONDA DELL ELETTROMAGNETISMO LA MOTIVAZIONE PRECIPUA DELLO STUDIO CHE CONDUSSE EINSTEIN AI RISULTATI PUBBLICATI NEL

11 COME RISULTERA PIU CHIARO NEL SEGUITO, LA TEORIA DELLA RELATIVITA RISTRETTA E FIGLIA DELL ELETTROMAGNETISMO CLASSICO COMPENDIATO DALLE EQUAZIONI DI MAXWELL (1860). OSSERVIAMO ANCHE CHE IL TITOLO CHE EINSTEIN DIEDE AL SUO ARTICOLO E Zur Elektrodynamik bewegter Körper L EVIDENZA SPERIMENTALE DEL FATTO CHE LA VELOCITA DELLA LUCE NEL VUOTO NON DIPENDE DAL SISTEMA DI RIFERIMENTO E COERENTE CON QUEL CHE CONSEGUE DALLE EQUAZIONI DI MAXWELL? LA RISPOSTA E SI : SE SCRIVIAMO LE EQUAZIONI DI MAXWELL NEL VUOTO E NE CERCHIAMO UNA SOLUZIONE DEL TIPO ONDA PIANA, SI TROVA CHE IL CAMPO E.M. SI PROPAGA CON LA VELOCITA c = 1/v(e 0 µ 0 ) 2, m/s IN ACCORDO CON IL RISULTATO DEGLI ESPERIMENTI E INDIPENDENTE DAL SISTEMA DI RIFERIMENTO. CHIEDIAMOCI ORA SE IL PRINCIPIO DI RELATIVITA FORMULATO DA GALILEO PER LE LEGGI DELLA MECCANICA VALGA PER L ELETTROMAGNETISMO. IN MODO FORMALE, LA DOMANDA E QUESTA: LE EQUAZIONI DI MAXWELL SONO INVARIANTI SOTTO TRASFORMAZIONI DI GALILEO DI COORDINATE SPAZIO- TEMPORALI? LA RISPOSTA E CHE NON LO SONO

12 LA MECCANICA PAREVA DUNQUE AVERE, SUL FINIRE DELL OTTOCENTO, UNA POSIZIONE PRIVILEGIATA PERCHE PAREVA CHE SOLO PER ESSA VALESSE IL PRINCIPIO DI RELATIVITA. LE LEGGI DELL ELETTROMAGNETISMO PAREVANO VALERE IN UN SOLO RIFERIMENTO INERZIALE RISPETTO AL QUALE L ETERE DI CUI SI CONGETTURAVA ALLORA ERA IN QUIETE. FACCIAMO IL PUNTO: PER LA MECCANICA VALE IL PRINCIPIO DI RELATIVITA DI GALILEO; LE LEGGI DELLA MECCANICA NEWTONIANA SONO INVARIANTI SOTTO TRASFORMAZIONI GALILEIANE DI COORDINATE SPAZIO-TEMPORALI; LA COMPOSIZIONE DELLE VELOCITA ASSOCIATA A QUESTA TRASFORMAZIONE VALE CERTAMENTE ALLE BASSE VELOCITA. LE EQUAZIONI DI MAXWELL DELL ELETTROMAGNETISMO NON SONO INVARIANTI SOTTO TRASFORMAZIONI DI GALILEO E DUNQUE NON SODDISFANNO IL PRINCIPIO DI RELATIVITA DI GALILEO; I SEGNALI E.M., COME LA LUCE, NON SODDISFANNO LA COMPOSIZIONE GALILEIANA DELLE VELOCITA

13 LA FISICA TEORICA, AL CREPUSCOLO DELL OTTOCENTO, SI TROVAVA DUNQUE DINANZI ALL IMPOSSIBILITA DI INTEGRARE I GRANDI SUCCESSI CONSEGUITI CON LE SCOPERTE NEL CAMPO DEI FENOMENI ELETTROMAGNETICI NEL QUADRO DELLA MECCANICA NEWTONIANA. COME USCIRNE? OCCORSE IL CORAGGIO DI UN SEMISCONOSCIUTO VENTISEIENNE

14 5. LA TRASFORMAZIONE DI LORENTZ E IL PRINCIPIO DI RELATIVITA RISTRETTA DI EINSTEIN COME S E DETTO, GLI ESPERIMENTI INDICAVANO SENZA AMBIGUITA CHE LA VELOCITA DELLA LUCE NEL VUOTO E UNA COSTANTE UNIVERSALE (c): IL SUO VALORE NON DIPENDE DAL MOTO DELLA SORGENTE RISPETTO ALL OSSERVATORE. CI SI PUO ALLORA PORRE IL PROBLEMA SEGUENTE: ESISTE UNA TRASFORMAZIONE DI COORDINATE SPAZIO- TEMPORALI TALE CHE, SE UN PUNTO MATERIALE HA LA VELOCITA c IN UN RIFERIMENTO, ESSO HA LA STESSA VELOCITA c IN OGNI ALTRO RIFERIMENTO? LA RISPOSTA E SI E LA DIFFICOLTA DELLA RISOLUZIONE DI QUESTO PROBLEMA E ALLA PORTATA DI STUDENTI DI LICEO. NON DEVE DUNQUE SORPRENDERE CHE QUESTA TRASFORMAZIONE FU TROVATA DA DIVERSI RICERCATORI. IL PRIMO FU L IRLANDESE FRANCIS FITZGERALD (1889), MA OGGI LA TRASFORMAZIONE IN ESAME PORTA IL NOME DI LORENTZ ED E QUESTA: x = (x vt)/v (1 v 2 /c 2 ) y = y z = z t = [t (v/c 2 )x]/v(1 v 2 /c 2 )

15 OSSERVAZIONI: E FACILE DIMOSTRARE CHE, SCRITTA LA COMPOSIZIONE DELLE VELOCITA CHE CONSEGUE DALLA TRASFORMAZIONE DI LORENTZ, SE UN PUNTO MATERIALE HA LA VELOCITA c IN O, ESSO HA LA VELOCITA c ANCHE IN O ; LA TRASFORMAZIONE HA SENSO PER v < c; SE v «c LA TRASFORMAZIONE DI LORENTZ DIVIENE QUELLA DI GALILEO SCRITTA SOPRA. DUNQUE LA TRASFORMAZIONE DI LORENTZ GENERALIZZA QUELLA DI GALILEO. EINSTEIN PARTE DAL FATTO CHE LE EQUAZIONI DI MAXWELL SONO RELATIVISTICHE NEL SENSO CHE SONO INVARIANTI SOTTO TRASFORMAZIONI DI LORENTZ (MENTRE NON LO SONO, COME S E DETTO, SOTTO TRASFORMAZIONI DI GALILEO) E FORMULA IL PRINCIPIO DI RELATIVITA RISTRETTA DI EINSTEIN: TUTTE LE LEGGI DELLA FISICA HANNO LA STESSA FORMA IN TUTTI I SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI, E LA TRASFORMAZIONE DI COORDINATE SPAZIO-TEMPORALI DALL UNO ALL ALTRO E LA TRASFORMAZIONE DI LORENTZ

16 QUALCHE OSSERVAZIONE: IL PRINCIPIO DI RELATIVITA RISTRETTA DI EINSTEIN GENERALIZZA QUELLO DI GALILEO: VALE PER TUTTE LE LEGGI DELLA FISICA E NON SOLO PER QUELLE DELLA MECCANICA LA CORRETTA TRASFORMAZIONE DI COORDINATE SPAZIO-TEMPORALI E QUELLA DI LORENTZ CHE VALE PER VELOCITA QUALSIASI < c L ELETTROMAGNETISMO E A POSTO : COME S E DETTO, LE EQUAZIONI DI MAXWELL SONO RELATIVISTICHE NEL SENSO CHE SONO INVARIANTI SOTTO TRASFORMAZIONI DI LORENTZ LA MECCANICA NEWTONIANA DEVE ESSERE MODIFICATA: E OVVIAMENTE CORRETTA ALLE BASSE VELOCITA, MENTRE NON E CORRETTA PER VELOCITA PROSSIME A c; FORMALMENTE, LA LEGGE NEWTONIANA DEL MOTO F = ma NON E INVARIANTE SOTTO TRASFORMAZIONI DI LORENTZ PRIMA DI PRESENTARE CENNI SULLA MECCANICA RELATIVISTICA DI EINSTEIN, OSSERVIAMO, NELLA SEZIONE SUCCESSIVA, CHE LA TRASFORMAZIONE DI LORENTZ DI COORDINATE SPAZIO-TEMPORALI DA UN RIFERIMENTO INERZIALE ALL ALTRO SCARDINA LA CONCEZIONE DI NEWTON DEL TEMPO E DELLO SPAZIO ASSOLUTI

17 6. LA NATURA RELATIVA DELLA LUNGHEZZA, DELL INTERVALLO DI TEMPO E DELLA SIMULTANEITA LA TRASFORMAZIONE DI LORENTZ COMPORTA UNO SCARDINAMENTO DELLA CONCEZIONE DI NEWTON DELLO SPAZIO E DEL TEMPO: SECONDO NEWTON, ESSI SONO ASSOLUTI; SECONDO EINSTEIN, ASSOLUTA E LA VELOCITA DELLA LUCE NEL VUOTO (QUESTO E MOSTRATO DAGLI ESPERIMENTI!) E CIO COMPORTA CHE LA NATURA DELLA LUNGHEZZA, DELL INTERVALLO DI TEMPO E DUNQUE DELLA SIMULTANEITA E RELATIVA, CIOE DIPENDE DAL SISTEMA DI RIFERIMENTO. INFATTI: (A) LA LUNGHEZZA MISURATA DI UN CORPO E PIU GRANDE QUANDO ESSO E IN QUIETE RISPETTO ALL OSSERVATORE. QUANDO IL CORPO SI MUOVE CON LA VELOCITA v RISPETTO ALL OSSERVATORE, LA SUA LUNGHEZZA MISURATA DIMINUISCE NELLA DIREZIONE DEL MOTO DEL FATTORE v(1 v 2 /c 2 ) MENTRE LE SUE DIMENSIONI PERPENDICOLARI ALLA DIREZIONE DEL MOTO NON MUTANO

18 DIMOSTRIAMO QUESTO RISULTATO. CONSIDERIAMO UN ASTA IN QUIETE IN O PARALLELA ALL ASSE x DI O. GLI ESTREMI ABBIANO COORDINATE x A E x B COSI CHE LA SUA LUNGHEZZA IN O E L = x A - x B. VALE x A = (x A - vt A )/v(1 v 2 /c 2 ) x B = (x B vt B )/v(1 v 2 /c 2 ) COSI CHE L = x A - x B = [x A - x B v(t A t B )]/v(1 v 2 /c 2 ) LA LUNGHEZZA L DELL ASTA IN O E LA DISTANZA TRA GLI ESTREMI, x A E x B, DELL ASTA IN MOVIMENTO MISURATA ALLO STESSO ISTANTE IN O; DUNQUE, CON t A = t B, SI OTTIENE L = L/v(1 v 2 /c 2 ), CIOE L = L v(1 v 2 /c 2 ) (B) CON UN RAGIONAMENTO DEL TUTTO ANALOGO SI OTTIENE, QUALE ALTRA CONSEGUENZA DELLA TRASFORMAZIONE DI LORENTZ, CHE UN OROLOGIO VA AL RITMO PIU VELOCE QUANDO ESSO E IN QUIETE RISPETTO ALL OSSERVATORE. QUANDO SI MUOVE CON LA VELOCITA v RISPETTO ALL OSSERVATORE, IL SUO RITMO MISURATO RISULTA RALLENTATO DEL FATTORE v(1 v 2 /c 2 ). (C) E ALLORA EVIDENTE CHE ANCHE LA SIMULTANEITA DIVIENE UNA NOZIONE RELATIVA, CIOE ESSA DIPENDE DALL OSSERVATORE: SE DUE EVENTI SONO SIMULTANEI PER L OSSERVATORE O (?t = 0), ESSI POSSONO NON ESSERE SIMULTANEI PER L OSSERVATORE O (?t? 0)

19 FU COSI E FU TUMULTO (MONTALE). LA CONCEZIONE CLASSICA (NELL ACCEZIONE DI PRERELATIVISTICA) DEL MONDO FISICO SEMBRA SGRETOLARSI LA PRIMA DOMANDA DA PORSI, VISTO CHE LA SIMULTANEITA E RELATIVA, E IL PRINCIPIO DI CAUSALITA STA ANCORA IN PIEDI? LA RISPOSTA E SI, SE NESSUN SEGNALE PUO PROPAGARSI A VELOCITA MAGGIORE DI c; E GLI ESPERIMENTI MOSTRANO APPUNTO QUESTO. EPPURE ( ) QUI QUALCOSA REGGE (MONTALE)

20 7. DALLA MECCANICA NEWTONIANA A QUELLA RELATIVISTICA (CENNI) COME S E DETTO SECONDO EINSTEIN IL PRINCIPIO DI RELATIVITA VALE PER TUTTE LE LEGGI DELLA FISICA, IN PARTICOLARE PER L ELETTROMAGNETISMO E PER LA MECCANICA; LA TRASFORMAZIONE DI COORDINATE SPAZIO- TEMPORALI VALIDA A VELOCITA QUALSIASI E QUELLA DI LORENTZ; LE EQUAZIONI DI MAXWELL SONO LORENTZ- INVARIANTI, LE LEGGI NEWTONIANE DEL MOTO NON LO SONO. E ALLORA MANIFESTO CHE, QUALE CONSEGUENZA DELL IMPIANTO CONCETTUALE COSTRUITO DA EINSTEIN, LA MECCANICA NEWTONIANA DEVE ESSERE MODIFICATA PERCHE ESSA E CORRETTA SOLO ALLE BASSE VELOCITA. NON POSSIAMO ENTRARE QUI NEGLI ASPETTI PIU TECNICI CHE CONDUCONO ALLA MECCANICA RELATIVISTICA DI EINSTEIN. DICIAMO SOLO CHE SI DEVE GIUNGERE A UN EQUAZIONE DEL MOTO CHE GENERALIZZA A VELOCITA QUALSIASI LA LEGGE NEWTONIANA F = ma; E INVARIANTE SOTTO TRASFORMAZIONI DI LORENTZ

21 OSSERVIAMO CHE LO SPAZIO-TEMPO HA QUATTRO DIMENSIONI, UNA TEMPORALE E TRE SPAZIALI, E DUNQUE I VETTORI HANNO QUATTRO COMPONENTI: a = (a 0,a 1,a 2,a 3 ). PUNTO CRUCIALE NELLA FORMULAZIONE RELATIVISTICA DELLE LEGGI DEL MOTO E IL QUADRIVETTORE ENERGIA/QUANTITA DI MOTO p = (p 0,p 1,p 2,p 3 ) CHE E ORA DATO DALL ESPRESSIONE SEGUENTE: p k = mv k /v(1 v 2 /c 2 ) (k = 1,2,3) IN CUI m E LA MASSA A RIPOSO D UN PUNTO MATERIALE DI VELOCITA v = (v 1,v 2,v 3 ). OSSERVIAMO CHE, SE v c, p k 8 E CHE LA RELAZIONE RELATIVISTICA SCRITTA SOPRA S OTTIENE DA QUELLA CLASSICA SOSTITUENDO A m LA QUANTITA m/v(1 v 2 /c 2 ). LA COMPONENTE TEMPORALE p 0 DEL QUADRIVETTORE ENERGIA/QUANTITA DI MOTO p = (p 0,p 1,p 2,p 3 ) E p 0 = v(m 2 c 4 + p 2 c 2 ) IN CUI OVVIAMENTE VALE p 2 = (p 1 ) 2 + (p 2 ) 2 + (p 3 ) 2. OSSERVIAMO CHE, SE LA PARTICELLA E IN QUIETE NEL NOSTRO RIFERIMENTO, ALLORA v = 0 E DUNQUE p = 0, COSI CHE p 0 = mc 2 : A UNA MASSA IN QUIETE E ASSOCIATA UN ENERGIA PARI AL PRODOTTO DELLA MASSA A RIPOSO PER IL QUADRATO DI c!

22 E, QUESTO, UNO DEI RISULTATI PIU NOTI DELLA TEORIA DELLA RELATIVITA RISTRETTA E, QUI, CI LIMITIAMO A OSSERVARE CHE IL VALORE GRANDISSIMO DI c COMPORTA CHE VALORI GRANDISSIMI D ENERGIA SONO ASSOCIATI A MASSE ANCHE MOLTO PICCOLE. SE LA PARTICELLA E NON RELATIVISTICA (v «c) UN FACILE SVILUPPO IN SERIE DI TAYLOR DA p 0 = v(m 2 c 4 + p 2 c 2 ) = mc 2 + ½mv 2 + 3mv 4 /(8c 2 ) + DA QUESTA RELAZIONE SI VEDE CHE L ENERGIA CINETICA NON RELATIVISTICA ½mv 2 E LA PRIMA CORREZIONE RELATIVISTICA ALL ENERGIA A RIPOSO mc 2. GLI ESPERIMENTI (OVVIAMENTE!) CONFERMANO LA CORRETTEZZA DELLE ESPRESSIONI RELATIVISTICHE SCRITTE SOPRA. PER ESEMPIO, CONSIDERIAMO UN ELETTRONE CHE, ACCELERATO DA UN CAMPO ELETTROSTATICO, ACQUISTA L ENERGIA DI 10 MeV. SE QUADRUPLICHIAMO LA D.D.P., ESSO ACQUISTA L ENERGIA DI 40 MeV. POICHE L ENERGIA CINETICA NON RELATIVISTICA E E = ½mv 2, VALE E v 2 OSSIA v E v E DUNQUE L ELETTRONE DI 40 MeV DOVREBBE AVERE UNA VELOCITA DOPPIA RISPETTO ALL ELETTRONE DI 10 MeV. INVECE SI MISURA CHE LA VELOCITA AUMENTA DAL VALORE 0,9988 c AL VALORE 0,9999 c CON UN INCREMENTO PARI A 0,11%, IN ACCORDO CON LE RELAZIONI DI EINSTEIN

23 INCIDENTALMENTE OSSERVIAMO CHE, PONENDO m = 0 NELLA RELAZIONE RELATIVISTICA p 0 = v(m 2 c 4 + p 2 c 2 ) PER L ENERGIA D UN PUNTO MATERIALE, S OTTIENE p 0 = p c CHE E LA RELAZIONE CHE LEGA, IN MECCANICA QUANTISTICA, L ENERGIA E LA QUANTITA DI MOTO DEL FOTONE. OMETTENDONE OVVIAMENTE LA DEDUZIONE, SCRIVIAMO ORA LA LEGGE (TRIDIMENSIONALE) DEL MOTO CHE GENERALIZZA A VELOCITA QUALSIASI LA LEGGE NON RELATIVISTICA DI NEWTON F = ma: a = F/µ v (F v)/(µc 2 ) IN CUI S E POSTO µ = m/v(1 v 2 /c 2 ) ESSENDO m LA MASSA A RIPOSO. OSSERVAZIONI: ALLE BASSE VELOCITA (v «c) IL SECONDO TERMINE E TRASCURABILE E µ m COSI CHE LA LEGGE SCRITTA SOPRA DIVIENE LA LEGGE DI NEWTON a = F/m; IN GENERALE L ACCELERAZIONE E LA FORZA NON HANNO LA STESSA DIREZIONE

24 CONCLUDIAMO QUESTI CENNI DI DINAMICA RELATIVISTICA DICENDO CHE TUTTE LE MODERNE TEORIE VOLTE ALLA COMPRENSIONE DELLE INTERAZIONI FONDAMENTALI SONO TEORIE QUANTISTICHE RELATIVISTICHE. ACCENNIAMO A UNA DI QUESTE, L ELETTRODINAMICA QUANTISTICA (QED), CHE DESCRIVE L INTERAZIONE ELETTROMAGNETICA TRA PARTICELLE CARICHE, P.ES. ELETTRONE/ELETTRONE O ELETTRONE/POSITRONE. IN QUESTA TEORIA, CHE HA RICEVUTO HA RICEVUTO STRABILIANTI CONFERME SPERIMENTALI, LA DENSITA DI LAGRANGIANA E DATA DA L = - y(g m m + m)y - ¼( m A n - n A m ) 2 + iea m yg m y E QUESTA ESPRESSIONE E RELATIVISTICA NEL SENSO CHE E INVARIANTE SOTTO TRASFORMAZIONI DI LORENTZ (PROVARE PER CREDERE). ANCORA NON CONVINTI CHE LA RELATIVITA VA BENE? CONFRONTIAMO IL VALORE CALCOLATO CON LA QED DEL MOMENTO MAGNETICO DELL ELETTRONE (IN UNITA NATURALI) CON IL VALORE MISURATO: CALCOLO DI KINOSHITA (1981): 1, ± 0, MIGLIOR VALORE SPERIMENTALE: 1, ± 0, NO COMMENT

25 8. INTRODUZIONE ALLA RELATIVITA GENERALE COME ABBIAMO VISTO, LA TEORIA DELLA RELATIVITA RISTRETTA MODIFICA LE LEGGI NEWTONIANE DEL MOTO. LE LEGGI DELL ELETTROMAGNETISMO CLASSICO, INCLUSA LA FORZA DI LORENTZ AGENTE SU UNA PARTICELLA CARICA IN UN CAMPO E.M., MANTENGONO LA LORO VALIDITA. CON L ARTICOLO DEL 1905 EINSTEIN GENERALIZZA LA RELATIVITA GALILEIANA, MA IN ESSA IL MOTO E ANCORA RIFERITO A SISTEMI DI RIFERIMENTO INERZIALI, CIOE NON ACCELERATI RISPETTO ALLE STELLE FISSE. EINSTEIN, DOPO IL 1905, VOLEVA GENERALIZZARE IL PRINCIPIO DI RELATIVITA ESTENDENDOLO A SISTEMI DI RIFERIMENTO QUALSIASI, INCLUSI DUNQUE QUELLI ACCELERATI RISPETTO ALL INTERO UNIVERSO. LA CHIAVE DI VOLTA FU COMPRENDERE LA RELAZIONE TRA INERZIA E GRAVITAZIONE. LA GRAVITAZIONE NEWTONIANA, ESSENDO UN AZIONE A DISTANZA, NON E COMPATIBILE CON LA RELATIVITA RISTRETTA SECONDO LA QUALE NESSUN SEGNALE PUO PROPAGARSI A VELOCITA MAGGIORE DI c. INOLTRE ESPERIMENTI MOLTO ACCURATI INDICAVANO CHE IL RAPPORTO MASSA_INERZIALE/MASSA_GRAVITAZIONALE NON DIPENDE DAL MATERIALE: POSSIAMO ALLORA DIRE CHE ESSE SONO UGUALI

26 QUESTO E IL FONDAMENTO SPERIMENTALE DEL PRINCIPIO DI EQUIVALENZA DI GRAVITAZIONE E INERZIA FORMULATO DA EINSTEIN NEL 1911: CONSIDERATO UN SISTEMA DI RIFERIMENTO NON INERZIALE (P.ES. IN MOTO RETTILINEO ACCELERATO RISPETTO ALLE STELLE FISSE O ROTANTE), GLI EFFETTI INERZIALI IN ESSO PRESENTI POSSONO LOCALMENTE ESSERE EQUIVALENTEMENTE PRODOTTI GRAVITAZIONALMENTE IN UN SISTEMA DI RIFERIMENTO INERZIALE DA UN OPPORTUNA DISTRIBUZIONE DI MASSA. CONSEGUENZA DI QUESTO PRINCIPIO E CHE UN RIFERIMENTO IN CADUTA LIBERA IN UN CAMPO GRAVITAZIONALE E UN RIFERIMENTO LOCALMENTE INERZIALE NEL QUALE NON C E FORZA GRAVITAZIONALE. EINSTEIN OSSERVO CHE, COME LA TEORIA DELLA RELATIVITA RISTRETTA COMPORTA CHE NON SI PUO PARLARE D UNA VELOCITA ASSOLUTA, IL PRINCIPIO DI EQUIVALENZA COMPORTA CHE NON SI PUO PARLARE DI UN ACCELERAZIONE ASSOLUTA MA SOLO DI UN ACCELERAZIONE RELATIVA

27 POSSIAMO, QUI, SOLO ACCENNARE AI RISULTATI SALIENTI DELLA TEORIA DELLA RELATIVITA GENERALE PUBBLICATA DA EINSTEIN NEL 1916: CONSIDERATO UN CAMPO GRAVITAZIONALE NON UNIFORME, S INTRODUCE LOCALMENTE UN RIFERIMENTO IN CADUTA LIBERA; ESSO E IN PICCOLO INERZIALE E DUNQUE VI VALE LA RELATIVITA RISTRETTA E LE LEGGI DELLA FISICA SONO LOCALMENTE INVARIANTI SOTTO TRASFORMAZIONI DI LORENTZ; E ALLORA POSSIBILE INTRODURRE UNA METRICA SPAZIO-TEMPORALE INVARIANTE E LA GRAVITAZIONE ASSUME UN SIGNIFICATO GEOMETRICO; LA NON UNIFORMITA DEL CAMPO GRAVITAZIONALE (IN GENERALE) DA LUOGO A UNA GEOMETRIA NON EUCLIDEA: LA MATERIA DETERMINA UNA CURVATURA DELLO SPAZIO-TEMPO CHE DIVIENE DUNQUE UNA VARIETA NON EUCLIDEA; PERTANTO, IL CAMPO GRAVITAZIONALE CLASSICO NEWTONIANO E SOSTITUITO DALLA CURVATURA DELLO SPAZIO-TEMPO E LA GEOMETRIA DI QUESTO E DETERMINATA DALLA PRESENZA DI MATERIA; LO SPAZIO-TEMPO DELLA RELATIVITA RISTRETTA, DI CUI OGGI S E PARLATO, E DUNQUE PIATTO CIOE LA SUA CURVATURA E UGUALE A ZERO; INFINE, EINSTEIN AFFERMA IL PRINCIPIO DI RELATIVITA GENERALE SECONDO CUI TUTTE LE LEGGI DELLA FISICA SONO INVARIANTI RISPETTO A TRASFORMAZIONI TRA SISTEMI DI RIFERIMENTO QUALSIASI: CIOE TUTTI GLI OSSERVATORI SONO EQUIVALENTI

28 NELL ARTICOLO DEL 1916 EINSTEIN ENUNCIO ANCHE LE EQUAZIONI DI CAMPO GRAVITAZIONALE NELLE QUALI C E UNA CERTA ARBITRARIETA, E DUNQUE DOVETTERO E DEBBONO ESSERE OGGETTO DI VERIFICA SPERIMENTALE. BISOGNEREBBE INTERPELLARE UN ESPERTO, MA, SULLA BASE DI QUEL CHE MI RISULTA, ESSE HANNO TROVATO FINORA PIENA CONFERMA SPERIMENTALE. LA TEORIA DELLA RELATIVITA GENERALE E UNA DELLE PIU GRANDI CONQUISTE INTELLETTUALI DI TUTTI I TEMPI. CONCLUDIAMO ACCENNANDO AL FATTO CHE LA FISICA TEORICA DELLE SUPERCORDE DI QUESTI GIORNI PARE RICHIEDERE UNA QUALCHE MODIFICAZIONE DELLA RELATIVITA GENERALE: E IL PREZZO CHE PARE SIA NECESSARIO PAGARE PER RIUSCIRE A QUANTIZZARE IL CAMPO GRAVITAZIONALE CHE, FINORA, S E DIMOSTRATO INCOMPATIBILE CON LE TECNICHE DI QUANTIZZAZIONE STANDARD

29 SIAMO GIUNTI IN PORTO. DIRADIAMO I FUMI (RELATIVISTICI) CHE ORMAI AVVOLGONO LE NOSTRE MENINGI CITANDO DUE VOLTE L ARTEFICE DELLE SCOPERTE DI CUI OGGI S E PARLATO: QUANDO SI CORTEGGIA UNA BELLA RAGAZZA, UN ORA SEMBRA UN SECONDO. SE CI SI SIEDE SULLE BRACI, UN SECONDO SEMBRA UN ORA. QUESTA E LA RELATIVITA E, PIU SERIAMENTE, LA SOLA COSA CHE MI DA PIACERE, A PARTE IL MIO LAVORO, IL MIO VIOLINO E LA MIA BARCA A VELA, E LA STIMA DEI MIEI ALLIEVI. SI PARVA LICET, E QUEL CHE PENSO ANCH IO