Capitolo 1: Le prestazioni dei sistemi di trasporto

Transcript

1 Tenia ed Eonoia dei Trapori A.A Capiolo 1: Le preazioni dei iei di raporo 1

2 Tenia ed Eonoia dei Trapori A.A Soario Capiolo 1:...1 Le preazioni dei iei di raporo Preazioni di un eiolo errere iolao Il diagraa reangolare Il diagraa rapezio e il diagraa riangolare (ad aelerazione oane) Traieorie di più eioli Coruzione dei diagrai (-x) Definizione delle araeriihe dei flui eiolari Appliazioni dei diagrai (, x) Teoria del fluo eiolare on raieorie reilinee Traieorie hiue...13

3 Tenia ed Eonoia dei Trapori A.A Preazioni di un eiolo errere iolao I paraeri prinipali he araerizzano le preazioni di un eiolo ono: lo pazio di aelerazione e lo pazio di frenaura; la eloià aia, la eloià edia e la eloià oeriale; il epo di aiaeno, il epo di frenaura ed il epo neeario per oprire una raa di daa lunghezza; le aelerazioni e le deelerazioni aia e edia, ed i relaii onraolpi (ariazioni delle aelerazioni nel epo); il onuo energeio. In queo apiolo i ogliono epliiare i alori auni dai paraeri opra riordai nell ipoei he le araeriihe del eiolo e della rada iano ali da produrre diagrai del oo ipo, araerizzai ioè da una geoeria ben definia e doai di una era eroiiglianza (nel eno he poono eere uilizzai per rappreenare dieri iei di raporo quali reno, eropoliane, auobu). Si inende oì inrodurre una erie di definizioni dei paraeri preazionali ed epliiare le relazioni analiihe inerorreni ra ei: nel ao di un eiolo reale non è poibile epriere ali relazioni on forule algebrihe, a i può deuerle da una erie ripeua di diagrai del oo, iauno araerizzao da una alore diero del paraero in funzione del quale i uole udiare la ariazione degli alri. Si eaineranno re ai (diagraa reangolare, rapezio e riangolo), in progreione per diffiolà e eroiiglianza, he aranno denoinai dalla fora geoeria del diagraa delle eloià in funzione del epo. Per iauno di ei i eprierà la eloià oeriale, quindi il epo di iaggio e lo pazio peroro, in funzione dei paraeri he poono eere oniderai più direaene deerinai dalla poenza del oore e ioè funzione di: eloià aia ax ; aelerazione a e deelerazione a ripeiaene in aiaeno e frenaura; 3

4 Tenia ed Eonoia dei Trapori A.A Il diagraa reangolare Queo diagraa rappreena il oo di un eiolo he, parendo da eloià nulla all iane 0, raggiunge iananeaene la eloià aia V ax e la aniene inaleraa fino all iane in ui i arrea di nuoo iananeaene (Figura 1.1). L aelerazione di aiaeno e la deelerazione di frenaura ono quindi infinie. V V ax Figura 1.1 Queo ipo di diagraa è olo lonano dalla realà, a può eere aeao in pria approiazione per i eioli il ui oo dura per un epo ano lungo da poer raurare, ai fini del alolo dello pazio peroro, le fai di aiaeno e di frenaura ( ad e. un reno ineriy). Le equazioni del oo ono quelle del oo unifore: ax (1.1) ax * (1.) Lo pazio oale peroro (area oea al diagraa -), uo a regie, ale periò: a x * (1.3) enre ono nulli lo pazio di aelerazione (lo pazio peroro durane la fae di aiaeno) e lo pazio di frenaura (peroro durane la fae di frenaura). La eloià aia è oaneene uguale alla eloià edia ed abedue uguali a ax, la eloià oeriale è inee daa da: ax * (1.4) + D + D e on D i india il epo di oa del eiolo al erine dello poaeno. Le aelerazioni aia e edia e le deelerazioni aie e edie ono ue infiniaene grandi eendo nulli i epi di aelerazione e deelerazione. Il onuo energeio è il laoro he oorre opiere perhé il eiolo perorra lo pazio, ed è pari a: L 0 Td doe on T i è indiao lo forzo di razione. Se queo è oane, il onuo energeio è dao da T*S. (1.5) 4

5 Tenia ed Eonoia dei Trapori A.A Il diagraa rapezio e il diagraa riangolare (ad aelerazione oane) Nel digraa rapezio il oo può eere uddiio nelle re fai di aiaeno, di regie e di frenaura, oe orao in Figura 1., Figura 1.3 e Figura 1.4. a a a b a Figura 1.: Diagraa del oo ipo rapezio: aelerazione a gα 1 a gα ax α 1 α a b Figura 1.3: Diagraa del oo ipo rapezio: eloià b a a b Figura 1.4: Diagraa del oo ipo rapezio: pazio Nella fae di aiaeno il oo è aelerao on eloià ariabile linearene da zero a ax e on aelerazione oaneene pari ad a. Le equazioni analiihe del oo ono quindi: a o (1.6) a * (1.7) a d ad (1.8) a 0 0 5

6 Tenia ed Eonoia dei Trapori A.A Alla fine dell'aiaeno la eloià, il epo (d'aiaeno) e lo pazio (d'aiaeno) algono ripeiaene: ax a * a (1.9) a ax / a (1.10) a a a ax a a ax (1.11) Nella fae di regie il oo è unifore e algono le (1.1), (1.), (1.3), (1.4) per ui i ha, alla fine della fae: ax (1.1) b a + ax * ( b a ) (1.13) a 0 (1.14) La fae di frenaura è del uo analoga alla fae di aiaeno e le epreioni delle araeriihe del oo oinidono on quelle pria ie e la ariazione di eloià i onidera poiia quando è una riduzione (è, ioè, poiia e oerene on il diegno riporao). Si ha, periò, nell'iane generio: a a (1.15) ax - a ( b ) (1.16) a' ( b ) d axd a' ( b ) d ax ( b ) (1.17) b b b b Alla fine della fae i ha periò: per ui il epo di frenaura ale: e lo pazio di frenaura: ax - a ( b ) 0 (1.18) b ax / a (1.19) b ax / a (1.0) Alla fine del oo, per le (1.11), (1.13) e (1.0), lo pazio peroro ale: ax ax + ax ( b a ) + (1.1) a a' ed il epo neeario, per le (1.10) e (1.19), ale: ax ax + ( b a ) + (1.) a a' Riaando ( b a ) dalla (1.1) e oiuendolo nella (1.) i ha: 6

7 Tenia ed Eonoia dei Trapori A.A ax ax b a (1.3) ax a a' Il eondo e il erzo addendo della (1.3) rappreenano i perdiepo in aiaeno e in frenaura e ioè, ripeiaene, le differenze ra i epi di perorrenza ( ax /a in aiaeno e ax /a in frenaura) ed i epi he arebbero ai neeari per perorrere a eloià oane lo pazio di aiaeno ( ax / a ) e lo pazio di frenaura ( ax / a' ), e ioè i epi ax / a e ax / a'. La eloià edia del eiolo, pari al rapporo ra pazio peroro ( ) e epo ipiegao ull'inero peroro ( ) ale quindi: ax (1.4) S ax ax ax ax ax a a' a a' Se i definie: p ax ax + (1.5) a a' oe lo pazio perduo, oero lo pazio he i arebbe pouo perorrere a eloià ax durane i perdiepo in aiaeno e in frenaura, il rapporo ra la eloià edia e la eloià aia, nel ao di diagraa rapezio, arà pari a: ax + p (1.6) Coniderazioni analoghe poono eere fae on riferieno alla eloià oeriale, inea oe rapporo ra pazio peroro, e la oa del epo di perorrenza e del epo di oa D. Si ha infai: ax (1.7) C ax ax ax ax D ax D ax a a' a a' Poo: ax (1.8) a' ax ax D + + a i ha: ax + (1.9) doe è lo pazio he i arebbe pouo perorrere nei perdiepo e durane la oa e la eloià foe riaa oane e pari al alore aio. 7

8 Tenia ed Eonoia dei Trapori A.A Per aiizzare la o la oorre, a parià di a e a, inreenare la ax (la funzione 1.3 ha deriaa ripeo a ax epre negaia, oio per ui un inreeno di ax prooa epre un dereeno di e quindi di e di ) o ieera, a parià di ax, inreenare a ed a. Al liie il diagraa rapezio può degenerare in un diagraa riangolare, per il quale le (1.1) e(1.) dienano: ax ax + (1.30) a a' ax ax + (1.31) a a' Veloià edia e eloià oeriale algono periò: ax ax (1.3) ax ax ax ax ax ax a a' a a' a a' Definendo pazio pero la quanià: p ax ax + (1.33) a a' i ha: ax + p (1.34) Analogaene e i uole enere ono del epo di oa D : (1.35) ax ax D + + a a' Definendo, anhe i queo ao, lo pazio pero la quanià: ax (1.36) a' ax ax D + + a i ha: ax + (1.37) 8

9 Tenia ed Eonoia dei Trapori A.A Traieorie di più eioli L analii delle raieorie dei eioli iolai ha foalizzao l aenzione ul fao he, una ola noe alune inforazioni ul oo del eiolo, è poibile riaare ue le inforazioni ad eo relaie eplieene dall analii dei diagrai del oo. I diagrai pazio-epo riulano eere degli rueni olo uili per analizzare problei oplei, oe quelli in ui oli eioli ineragiono ra di loro perorrendo rade on dirio di preedenza. Poiao uggerire re diere appliazioni: Aeroplani on diere eloià di diea lungo il peroro d aiinaeno, in ondizioni di dianziaeno (oero di pazio ra un aeroplano ed il ueio) inio; Pianifiazione di onogli ferroiari eri (leni) e paeggeri (eloi) lungo una linea a binario unio, on zone di abio predeerinae; Sia delle dianze di iurezza per il orpao u rade a due orie, una per eno di aria, in funzione delle eloià ed aelerazioni del eiolo orpaane, di quello orpaao e di quelli proenieni in ero oppoo. Anhe e ole analii porebbero eere ondoe anhe enza l auilio di diagrai pazioepo, quei riulano eere uiliii per la ia degli errori di aluazione he alrieni i porebbero oeere in parenza. La praiià dei diagrai pazio-epo riula ubio eidene e i onidera il eguene problea: Tre aii inraprendono un iaggio uilizzando una biilea ande per due ole perone. La biilea, indipendeneene dal nuero dei ondueni, può iaggiare a 0 k/h, enre una perona a piedi può raggiungere i 4 k/h ainando. L organizzazione più praia preede he i prii due aii, A e B, parano on la biilea, enre il erzo, C, i inaini a piedi. Dopo aluni inui di peroro l indiiduo A fa endere B, il quale oinia a ua ola a ainare, enre A orna indiero on la biilea a prendere l indiiduo C. A queo puno on la biilea orpaano l indiiduo B e dopo aluni inui rioiniano il ilo: quee operazioni ilihe doranno eere ripeue n ole fino a giungere a deinazione. Doanda: qual è la loro eloià edia di iaggio? La aggior pare delle perone ha biogno di più di 10 inui per riolere queo problea. Se inee i diegnano u un diagraa pazio-epo le raieorie dei quaro oggei, oero la biilea ed i re indiidui, i porà erifiare per eplie ipezione he la eloià edia rihiea è pari a 10 k/h. Tale oluzione può hiaraene eere raggiuna anhe per ia analiia, a l uilizzo di diagrai pazio-epo aiua ad ipoare nel odo orreo il iea di equazioni deriio del fenoeno udiao. Si noi he l uo dei diagrai pazio-epo, da qui in poi denoinai (-x), riula eere un alido rueno non olo di geione dei iei di raporo, a anhe un poene rueno di erifia dello ao auale, onenendo a peronale adderao di erifiare a olpo d ohio la preenza di eenuali problei, dalla eplie leura dei diagrai. 9

10 Tenia ed Eonoia dei Trapori A.A Coruzione dei diagrai (-x) I rieri di raola dei dai differiono a eonda delle peifihe finalià. Se ad eepio i hanno inforazioni ira la poizione di un auobu pubblio u una linea peifia, è poibile rioruire on aolua failià le raieorie di ui gli alri ezzi ulla linea, e riula onegueneene olo rapido orapporre ue le raieorie ul edeio diagraa. In oli alri ai, oe pedoni ed auoobili, è oneniene regirare i epi a ui i ezzi paano in fiae ezioni di rileaeno. Noi i epi di paaggio dei eioli nelle arie ezioni (x 1,, x 4 ), ed il dianziaeno paziale (ad e. x 3 -x, Figura 1.5), per rioruire, on dei puni nel diagraa (-x), le raieorie è neeario eplieene unire i puni relaii ai ingoli indiidui on una linea. X x 4 x 3 x p 1 p p 3 x 1 Figura 1.5 Tale proedura è poibile ia in ao di oneggi di ipo anuale, he in ao di rilieo auoaizzao effeuao on iei enologiaene aanzai, e riula ano più preio quano più le ezioni ono raiinae, o ubiae in puni in ui la eloià dei ezzi differie iniaene. In abio auoradale, ia la diffiolà di uilizzo dei radizionali iei di rilieo, i riorre peo a iei aerofoograerii, erifiando ioè la poizione ed il dianziaeno dei eioli araero l uo di foografie aeree. Ogni foografia iene prea ad ineralli di epo prefiai (Figura 1.6), a ui ono aoiae delle linee eriali nei diagrai (-x). X L T d d Figura 1.6 Queo eodo di oruzione ora oe i diagrai (-x) rappreenino in odo opleo il oo onodienionale dei eioli lungo l infraruura, fornendo per iaun iane di epo il poizionaeno di ogni ezzo rileao. I epi inerorreni ra il paaggio di eioli oneuii u una ezione di rileaeno engono uualene definii ineralli (p i ), enre le eparazioni paziali ra eioli ad ineralli di epo fiai ono definie dianziaeni (d i ). 10

11 Tenia ed Eonoia dei Trapori A.A Definizione delle araeriihe dei flui eiolari Il nuero di eioli, n, rileai da un oeraore fio durane un prefiao inerallo di epo, diio per la duraa di uddeo inerallo,, definie il fluo eiolare paane per la ezione onideraa: q n / Inolre riula hiaro (Figura 1.5) he per oerazioni oprendeni oliii eioli e prorae nel epo (n, ), on ineralli oparabili: T n p i i 1 (1.44) e quindi diidendo enrabi i ebri della (1.44) per il nuero di eioli n, i oiene un alra relazione olo iporane: q n T p n n 1 1 i 1 i p (1.45) eondo ui, oo le ondizioni preedeneene epoe, il fluo eiolare in un inerallo è approiaiaene uguale all inero dell inerallo edio regirao da un oeraore fio durane il uddeo inerallo di epo. Biogna però noare he quea relazione è eaa e il periodo di oerazione oinia e finie pria dell arrio di un eiolo. Una iile aluazione ola ul nuero di eioli ripreo da una foografia prea u un ero rao di rada di lunghezza L, pora alla definizione del oneo di denià, k n / L, in bae alla quale i può definire la eguene relazione ra la denià ed il dianziaeno paziale dei eioli: k n L d n n 1 1 i 1 i d (1.46) 11

12 Tenia ed Eonoia dei Trapori A.A Appliazioni dei diagrai (, x) Si preena nel eguio una appliazione dei diagrai (, x) oe un anepria della eoria dei flui di raffio per un ao ideale he, per quano eplifiaa, ee in eidenza alune inereani relazioni ra le ariabili del defluo eiolare (fluo, denià e eloià). I diagrai (, x) ono di aiuo allo iluppo delle relazioni analiihe he deriono il fenoeno defluo Teoria del fluo eiolare on raieorie reilinee Conideriao un rao di rada di lunghezza L, oeraa per un periodo di epo T, ed auiao he i eioli paino ulla ezione di rileaeno a eloià ira oane enza inerferire gli uni on gli alri. Queo enario può rappreenare la realà di auorade a ole orie perore da un bao fluo eiolare, oiuio ia da eioli eloi he leni, oppure dai orridoi inerni di un aeroporo in ui olo pohi ueni uilizzano i iei oe ale obili o api roulan. Auiao inolre he eiano olo un nuero finio di eloià l auibili dai eioli e he le raieorie di iauna faiglia di eioli iano rappreenae da ree parallele ugualene paziae, oero he iauna faiglia l abbia la edeia eparazione eporale p l ra due eioli onigui. Queo può eere io hiaraene in Figura 1.7, doe iene rappreenao il ao di due lai di eioli l 1,. x p d V p1 L d1 V1 T Figura 1.7 E poibile erifiare dalla figura he l d l /p l per iauna lae di eioli l, doe d l è il dianziaeno di iauna lae. Se flui e denià di iauna lae ono definii in funzione di d l e p l, (d l 1/k l e p l 1/q l )è poibile ririere la relazione nel odo eguene: q * k (1.47) l l l in irù di quano riporao in (1.45) ed (1.46). Se la (1.47) iene eea a ua la faiglia l, i oerranno le epreioni di fluo e denià oali: q l l q, k e, olipliando e diidendo il eondo ebro della 1.47 per k, in onluione: 1 l k l q k ( k / k) k (1.48) l l l Doe è la edia delle eloià alolae ripeo allo pazio. Il eondo erine della preedene è giuifiao noando he la pare enrale del prio erine della (1.48) definie una edia peaa delle eloià dei eioli, doe i pei uilizzai ono le

13 Tenia ed Eonoia dei Trapori A.A perenuali di iaun ipo di eiolo rileae on le foografie aeree (onegueneene alla definizione ea di denià), he poono riulare diere da quelle rileabili da un oeraore a erra (eloià ripeo al epo ). Tra le due eloià uie la relazione: + σ / doe σ è la arianza della eloià (oero la iura della diperione delle inforazioni rileae, in queo ao delle eloià, ripeo ad un alor edio). La differenza ra le due eloià può eere ineizzaa dall oerazione della Figura 1.7: enre un oeraore a erra ede ira due eioli eloi per ogni eiolo leno rileao, un rileaore in olo aereo edrà due eioli leni per iaun eiolo eloe foografao. Ne egue he l oeraore a erra rilea frazioni di eioli eloi olo aggiori di quelle rileae dall oeraore in olo, indipendeneene dalle eloià, fluo e denià peifihe di iauna faiglia di eioli Traieorie hiue E poibile uilizzare i diagrai (, x) anhe per iei on raieorie hiue. Se i uilizza la x per definire la poizione del eiolo all inerno di un iruio (0 x L) di lunghezza L, la raieoria del eiolo oparirà non appena queo ranierà per la progreia x L, rioparendo iananeaene poo dopo in x 0. La raieoria di un eiolo he derie un iruio hiuo a eloià oane, è rappreenaa in Figura 1.8. X L 0 C C Figura 1.8 La figura ora le raieorie di 4 eioli he i uoono lungo un iruio on eloià, oe nel ao di auobu pubblii he i uoono lungo linee predeerinae. Dalla leura del diagraa i poono riaare i paraeri fondaenali della linea, oe: Veloià edia della linea: Fluo eiolare (per ilo): Denià eiolare (per ilo): q n / C k n / L L / C Dalle preedeni i poono riaare anhe alre relazioni dipendeni, oe q / k. Se ad eepio i hanno re eioli u un rao di iruio di k (k 1,5) he iaggiano ripeiaene a k 100, 10, 140 k/h, pari quindi ad una eloià edia di 10 k/h, il fluo eiolare rileao da un oeraore arà pari a: q 10 * 1,5 180 eioli / ora E hiaro, enza doer effeuare alun alolo, he l oeraore a erra rileerà un aggior nuero di eioli eloi ripeo a quelli leni, per il eplie fao he quei i preenano ulla ezione di rilieo on aggiore frequenza degli alri. 13