INSIEMI, RETTA REALE E PIANO CARTESIANO

Transcript

1 INSIEMI, ETTA EALE E PIANO CATESIANO ICHIAMI DI TEOIA SUGLI INSIEMI Un insieme E è definito ssegnndo i suoi elementi, tutti distinti tr loro: se x è un elemento di E scrivimo x E, mentre, se non lo è, si scrive x E. Definizione: dto un insieme I, si dice che E è un sottoinsieme di I e si scrive E I se ogni elemento di E è nche un elemento di I. Se inoltre esiste lmeno un elemento di I che non pprtiene E, si dice che E è un sottoinsieme proprio di I e si scrive E I. Definizione: dti due insiemi A e B, si definiscono i seguenti insiemi: insieme unione = A B è l'insieme degli x che pprtengono d A oppure pprtengono B; insieme intersezione = A B è l'insieme degli x che pprtengono d A e B; insieme differenz = A\ B è l'insieme degli x che pprtengono d A e non pprtengono B insieme differenz simmetric = A B è l'insieme degli x che pprtengono d A e non pprtengono B oppure che pprtengono B e non pprtengono d A. Definizione: Dto un insieme A M, si dice complementre di A ( rispetto M) e si scrive A l'insieme M \ A. Politecnico di Torino Pgin 1 di 13

2 Definizione: l'insieme dei sottoinsiemi di E si chim insieme potenz o insieme delle prti di E e si indic con P( E ). Definizione: dti due insiemi A e B si dice prodotto crtesino di A e B e si indic con A B l'insieme delle coppie ordinte, b con A e b B. ( ) ESEMPI 1. Scrivere in notzione insiemistic l'insieme dei numeri pri e l'insieme dei numeri dispri. Possimo descrivere gli insiemi richiesti in due modi differenti: Elencndone gli elementi P = { 0,, 4, 6, 8, 10,...}, D = { 1, 3, 5, 7, 9, 11,... } Utilizzndo l loro proprietà crtteristic, vle dire considerndoli come collezione di tutti gli elementi che pprtengono d un certo insieme più grnde che soddisfno un cert proprietà. { N:, N}, D = { x N: x = n + 1, n N} P = x x = n n Politecnico di Torino Pgin di 13

3 . Determinre unione, intersezione e differenz degli insiemi A= { x Z: x 3 } e B = { x x < } N: 4. A è un sottoinsieme di Z ( A Z ) e contiene i numeri reltivi che sono mggiori o uguli -3, A= { } B è un sottoinsieme di N ( B N ) e contiene i numeri nturli minori di 4, B = { 0, 1,, 3}. Osservimo che B è sottoinsieme proprio di A ( B A ) e quindi: A B = 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5, 6,... = A { } { 0, 1,, 3} { Z 3 0 e 3} A B = = B A \ B = x : x < x > 3 3. Determinre l'insieme delle prti degli insiemi A= { x Z: x = 8 }, B = { x Z: x = } risultti ottenuti, qunti sono gli elementi dell'insieme delle prti di un insieme di n elementi? 1. e C= { x x } Gli insiemi A, B, e C contengono rispettivmente uno, due e tre elementi: A = { } B = { 1 1} C = { 0 1 } P( A ) = {, { }} P(A) h elementi P( B ) = {, { 1},{ 1},{ 1, 1 }} P(B) h 4 = elementi P( C ) = {, { 0}, { 1},{ },{ 0, 1},{ 0, },{ 1, },{ 0, 1, }} P(C) h 8 = 3 elementi E' fcile verificre che, in generle, se E è un insieme di n elementi, P(E) contiene n elementi.,,,,,.,,,,,,,,,..., N:.Tenendo conto dei Politecnico di Torino Pgin 3 di 13

4 4.Dti gli insiemi A = { 1,, 3} e B = { 3 4} A B = B A = A A = B B = {( 1, 3),( 1, 4),(, 3),(, 4),( 3, 3),( 3, 4) } {( 3, 1),( 3, ),( 3, 3),( 4, 1),( 4, ),( 4, 3) } ( 1, 1),( 1, ),( 1, 3),(, 1),(, ),(, 3),( 3, 1),( 3, ),( 3, 3) ( 3, 3),( 3, 4),( 4, 3),( 4, 4) { } { }, determinre: A B, B A, A A, B B. Osservimo che A B B A in qunto le coppie sono ordinte. Per l stess rgione nell'insieme A A B B gli elementi ( 3 4), e ( 4 3) gli elementi (, ),(, ),(, ) sono distinti dgli elementi ( 1) ( 3 1) ( 3 ), sono diversi.,,,,, e nell'insieme Politecnico di Torino Pgin 4 di 13

5 ICHIAMI DI TEOIA SULLA ETTA EALE ED IL PIANO CATESIANO Gli intervlli dell rett rele [, b] = { x : x b} (, b] = { x : < x b} [, b) = { x : x < b} (, b) = { x : < x < b} b b b b (, ] = { x : x } (, ) = { x : x < } [, + ) = { x : x } (, + ) = { x : x > } Definizione: fissto un punto P sull rett rele l misur del segmento OP è dt d x se x>0, d -x se x <0 ed è ugule zero se P coincide con O: quest misur viene definit vlore ssoluto del numero rele x ed è indict con x. Formlmente: x = x per x < 0 x per x 0 Distnz tr due punti P 1 e P nel pino: d( P, P ) = ( x x ) + ( y y ) dove P = ( x, y ), P = ( x, y ) Punto medio del segmento P 1 P : M x + = x y + y 1 1, dove P1 = ( x1, y1 ), P = ( x, y ) Equzione dell rett in form esplicit: y = mx + q dove m è il coefficiente ngolre e q l'intersezione dell rett con l'sse y. Equzione dell rett in form implicit: x + by + c = 0 dove, b, c Politecnico di Torino Pgin 5 di 13

6 Equzione dell rett pssnte per due punti P 1 e P : x x x 1 x 1 = y y y 1 y 1 dove P = ( x, y ), P = ( x, y ) Condizione di prllelismo tr due rette: le rette r: y= m1 x + q e s: y= m x + q 1 sono prllele se e solo se m1 = m Condizione di perpendicolrità tr due rette: le rette r: y= m1 x + q e s: y= m x + q 1 sono perpendicolri se e solo se m1 m = 1. Definizione: fissto un punto C( x y ), del pino e un numero rele positivo r, si dice circonferenz di centro C e rggio r il 0 0 luogo geometrico dei punti del pino che hnno distnz r d C. L'equzione è l seguente: ( ) ( ) x x + y y = r Definizione: fissti due punti F e > d F, F, si dice ellisse il luogo geometrico dei punti del pino per cui è costnte (e ugule,) l somm delle distnze di fuochi. Se i fuochi hnno coordinte F = ( c,0 ) e F = ( c,0 ) l'equzione dell'ellisse è x y + = 1 dove b = c. b Se i fuochi hnno coordinte F = ( 0, c) e F = ( 0, c) l'equzione dell'ellisse è x y + = 1 dove b = c. b F del pino, detti fuochi, e un numero rele positivo, con ( ) 0 0 Politecnico di Torino Pgin 6 di 13

7 Definizione: fissti due punti F e < d F, F, si dice iperbole il luogo geometrico dei punti del pino per cui è costnte (e ugule,) l differenz delle distnze di fuochi. Se i fuochi hnno coordinte F = ( c,0 ) e F = ( c,0 ) l'equzione dell'iperbole è x y = 1 dove b = c. b Se i fuochi hnno coordinte F = ( 0, c) e F = ( 0, c) l'equzione dell'iperbole è y x = 1 dove b = c. b Se i fuochi hnno coordinte F = (, ) e F = (, ) l'equzione dell'iperbole è xy =. F del pino, detti fuochi, e un numero rele positivo, con ( ) Definizione: fisst un rett r, dett direttrice, e un punto F r, detto fuoco, si dice prbol il luogo geometrico dei punti del pino che hnno ugule distnz d F e d r. Se il fuoco h coordinte F = ( 0, p) e l direttrice h equzione y = p l'equzione dell prbol è y = 1 p x 4 = x. Se il fuoco h coordinte F = ( p,0 ) e l direttrice h equzione x = p l'equzione dell prbol è x = 1 p y 4 = y. Politecnico di Torino Pgin 7 di 13

8 ESEMPI 1. Dti gli insiemi A= { x : 3 < x }, B = { 1 } e C= { x x e x > } esprimerli come intervlli e determinre A B, A B, A C, A C, B C, B C. : 3, rppresentrli sull rett rele, A = (-3, ] B = (-, -1) (-1, + ) C = (-, -3] (,+ ) A B = : osservimo che -3 A m -3 B, quindi -3 A B e che -1 B, m -1 A, quindi -1 A B. A B = ( 3, 1) ( 1, ] Osservndo che C è il complementre di A rispetto, vle dire C = \ A, bbimo A C = e A C =. Osservndo che C B, bbimo B C = B e B C = C Disegnre le rette di equzione y kx = + 1 (1) essendo k { z z } Z: 4 4. Che crtteristic hnno tutte queste rette? Osservimo che tutte le rette pssno per il punto P( 0, 1) (si può fcilmente verificre che le coordinte di P soddisfno l'equzione (1) per qulsisi vlore del prmetro k). L'equzione (1) rppresent un fscio proprio di rette di centro P: l vrire di k in ottenimo tutte le rette pssnti per P, trnne l rett per P perpendicolre ll'sse x (in questo cso l rett di equzione x=0), che non si può ottenere dll (1) per nessun vlore di k Politecnico di Torino Pgin 8 di 13

9 In generle l'equzione di un fscio proprio di rette con centro P = ( x, y ) è y y = k( x x ) (): ess rppresent, l vrire di k in, tutte le rette pssnti per P 0 trnne l rett di equzione x = x 0 pssnte per P 0 e perpendicolre ll'sse x. Se il vlore di k è fissto, l () rppresent l'equzione dell rett pssnte per il punto P 0 di coefficiente ngolre noto k. 3. Disegnre le rette di equzione y = x + k () essendo k { z z } Z: 4 4. Che crtteristic hnno tutte queste rette? Osservimo che tutte le rette hnno lo stesso coefficiente ngolre m = (quindi si trtt di rette prllele), mentre l loro intersezione con l'sse y dipende dl vlore ssegnto di volt in volt l prmetro k. L'equzione () rppresent un fscio di rette prllele o fscio improprio. In generle l'equzione di un fscio improprio di rette di coefficiente ngolre fissto m è y = m x + k. 4. Sono ssegnti i punti P ( 1, ), P ( 5, 6), P ( 3, 4). Verificre che il tringolo P P P è isoscele e determinre l su re. Il tringolo è isoscele se h due lti uguli. Clcolimo l lunghezz dei lti utilizzndo l formul dell distnz tr due punti: P P = ( 1 ( 5) ) + ( 6) = 10 P 1 P 3 = ( 1 3) + ( 4) = = P P ( ) ( ) 1 = = L'ltezz del tringolo è il segmento congiungente il punto medio M dell bse P 1 P con il vertice P 3. Abbimo: M = 10 = / + = e Are = 3, = (, ), ( 3) ( 4) MP 3 P P MP 1 3 = 50 3 Politecnico di Torino Pgin 9 di 13

10 5. Dti i punti P ( 1) P ( 1 3) P ( 4),,,,,, determinre l'equzione dell rett r pssnte per P 1 e P e l distnz tr r e P Equzione di r: ( ) ( ) x y x y = 1 y x + = 1 = Distnz tr P 3 e r: determinimo l rett s r pssnte per P 3, utilizzndo l'equzione dell rett pssnte per un punto di coefficiente ngolre noto (sppimo inftti che m = 1 m = 1 s: y 4 = 1/ x s: y = 1 / x + 5. s / / ): ( ) r determinimo il punto di intersezione P(x,y) tr r e s: il punto P deve pprtenere d entrmbe le rette, quindi le sue coordinte devono soddisfre contempornemente le equzioni di r: y = x + 5 e s: y = 1/ x + 5. Per confronto, ottenimo x + 5 = 1 x + 5 x = 0 P = 0, 5. / ; il vlore y = 5 si ricv ndndo sostituire in un delle equzioni x=0: quindi ( ) L misur del segmento PP 3 = 5 fornisce l distnz richiest. 6. Determinre l'equzione dell circonferenz di dimetro AB, dove A = ( 1, 3) e B = ( ) Il centro C dell circonferenz è il punto medio tr A e B: C = = 3 5,,. Il rggio r è dto, d esempio, dll misur del segmento AC = 3 L'equzione dell circonferenz è: x y + 5 = =, Politecnico di Torino Pgin 10 di 13

11 7. Determinre le coordinte del centro ed il rggio dell circonferenz di equzione x + y 6x + y + 3 = 0. Dobbimo ricondurci d un equzione del tipo ( 0 ) ( 0 ) completndo i qudrti. icordimo che ( ± b) = ± b + b. x x + y y = r, mnipolndo lgebricmente l'espressione dt ( ) ( ) ( ) ( ) x + y 6x + y + 3 = x 6x + y + y + 3 = x 6x y + y = x 3 + y = 0 e quindi ( ) ( ) ( x ) y ( ) = 7 equzione di un circonferenz di centro C(3,-1) e rggio r= 7 8. Determinre l'equzione dell circonferenz pssnte per i punti A(-1, ) e B(1, 4) ed vente il centro sull rett r: y=5x. Il centro C dell circonferenz è il punto di intersezione tr l rett r e l'sse dell cord AB. icordimo che l'sse di un segmento è il luogo dei punti P(x,y) equidistnti dgli estremi del segmento dto; determinimo l'sse del segmento AB: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PA = PB x x + y y = x x + y y x x + y y = x x + y y ( ) ( ) ( ) ( ) A A B B A A B B x y = x 1 + y 4 x + x + 1+ y 4y + 4 = x x + 1+ y 8y + 16 x + y 3 = 0. Politecnico di Torino Pgin 11 di 13

12 Il punto C intersezione tr le rette r e è C = 1 5,. Il rggio è dto, d esempio, dll misur del segmento AC = = 10. L'equzione dell circonferenz è: x y = 5 9. Determinre l lunghezz dei semissi e le coordinte dei fuochi dell'ellisse di equzione 4x + 9y = 16. Dobbimo scrivere l'ellisse nell form cnonic x y + = 1: b 4 9 x y x y 4x + 9y = 16 x + y = 1 + = ( ) = 1, quindi =, b =, c = b = c = I fuochi si trovno sull'sse x ed hnno coordinte F = F = 3 5, 0, 3 5, 0 Politecnico di Torino Pgin 1 di 13

13 10.Scrivere l'equzione dell'iperbole pssnte per il punto A = (, ) ed vente i fuochi nei punti F = ( 0) F = ( 0) Determinre inoltre le equzioni dei suoi sintoti.,,,. I fuochi sono sull'sse x e sono simmetrici rispetto ll'origine, quindi l'equzione dell'iperbole è x y = 1. b Possimo ricvre l misur dell'sse trverso pplicndo l definizione di iperbole come luogo di punti: inftti se A pprtiene ll curv dovrà essere: AF AF =. Abbimo AF = 4 + = 5 e AF =, d cui = 5 = 5 1. Il semisse non trverso b si ricv usndo l relzione ( ) b ( 5 1) Gli sintoti sono le rette di equzione y = ± x y = ± 5 1 x. b = c = = ( 5 1) b = ( 5 1). Politecnico di Torino Pgin 13 di 13