Equazione di Schrödinger in potenziale centrale

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1 Equazione di Schödinge in potenziale centale Studiamo l equazione di Schödinge pe un potenziale centale V ) V ) Si veifica facilmente che H p m + V ) h m cioé la hamiltoniana é a simmetia sfeica. Infatti si la + V ) ) [ L, H ) [l i, [l i, j [l i, j j + j [l i, j ) j j i hε ijk k j + j k ) 3) in quanto l espessione in paentesi é simmetica in j e k mente il tensoe di Levi-Civita é antisimmetico. In maniea analoga si dimosta [l i, p. Quindi esiste una base di autostati comune a H, L e L z L 3. Dalla definizione dell opeatoe momento angolae h ) L p L p p) + i h p 4) Nella pecedente equazione abbiamo tenuto conto della non commutativitá degli opeatoi e p, e quindi di L i e L j. Il calcolo esplicito é in seguito useemo la convenzione che gli indici ipetuti vanno sommati da a 3) Dove abbiamo usato: L i L i ε ijk j p k ε imn m p n j p k j p k j p k k p j Dall eq.4) dividendo pe ed usando p i h p) j k p k p j + 3i h j p j p i h p) j p j k p k i h j p j + 3i h j p j 5) ε ijk ε imn δ jm δ kn δ jn δ km 6) j p j p j j + 3i h 7) k p k p j p j k p k + i hδ jk p k 8) p i h i h 9) si tova p L h ) + )

2 Il lato desto dell eq.) é, a pate il fattoe moltiplicativo h, il laplaciano in coodinate sfeiche. Il secondo temine dell eq.) si puó scivee: + + ) ) Definiamo il momento adiale p che soddisfa p i h i h + ) ) [, p i h 3) Dimostiamo che la foma dell opeatoe momento adiale p é quella che ci aspetta applicando le elazioni di quantizzazione al momento adiale classico, che é definito come la poiezione sulla diezione del momento classico p p e p 4) Pe quantizzae p dobbiamo iscivee l eq.4) in foma simmetica e quindi sostotuie alle vaiabile classiche gli opeatoi cosipondenti p + ) p p Dimostiamo che la elazione di commutazione dell opeatoe eq.5) con la vaiabile soddisfa l eq.3) e quindi p é l opeatoe momento coniugato a : { p + p p } p 5) [, p {3i h + p p 3i h } { p } p { p i h + p ) } i h 6) Nell eq.6), il secondo igo é stato icavata dal pimo usando l eq.7) e l ultimo igo usando l identitá Una dimostazione altenativa dell eq.6) é la seguente [, p { p e p e + e p e p} i p j i h δ ij i + p j i 7) { p e ) + e p p e ) e p) + e p e p) e p)} { e p)} i h x j j ) x j i h j x j x j i h 8)

3 Mostiamo adesso che l eq.5) é equivalente all eq.). x j p j + x ) j p j i h x j Sommando su j si ha ) xj + x j 3 ) + + ) L opeatoe p é hemitiano se ψ). Infatti si ha [ ψ ) i + ) ψ) d [ ψ )ψ) + [ i + ) i x j ) ψ) ψ) d + i ψ )ψ) d ) 9) ) ψ) ψ) d ) Dove abbiamo usato le condizioni ψ) e ψ) pe annullae il pimo temine del lato desto dell equazione pecedente. L opeatoe i non é hemitiano. Infatti si ha i dd ) ψ) ψ ) ψ )ψ) + L eq.) puó essee iscitta d i d d ψ) ) ψ) d + i i d d ψ) ) ψ) d + i ψ )ψ) d ψ )ψ) d ) p L + p 3) Sostituendo l eq.3) nell eq.) l equazione di Schödinge stazionaia si scive h m + ) + L m + V ) ψ nlm, θ, φ) E nl ψ nlm, θ, φ) 4) dove abbiamo usato la popietá dell esistenza di una base comune pe gli opeatoi H, L e L z, conseguenza dell eq.), e abbiamo scitto un indice n disceto peché in seguito siamo inteessati agli stati legati, descitti da uno spetto disceto. Inolte abbiamo usato l invaianza eq.) pe dedue che gli autovaloi E nl non possono dipendee da m, degeneazione dei livelli di odine l +. Infatti si ha HL ± ψ nlm h ll + ) mm ± ) H ψ nl,m± h ll + ) mm ± ) E nl,m± ψ nl,m± L ± Hψ nlm E nl,m L ± ψ nl,m E nl,m h ll + ) mm ± ) ψ nl,m± E nl,m E nl,m± E nl 5) 3

4 La soluzione ψ nlm deve soddisfae la condizione di essee a quadato integabile ψ nlm.θ, ϕ) d dω < 6) Pe isolvee l eq.4) pocediamo pe sepaazione di vaiabile e, esplicitando le autofunzioni di L, sciviamo ψ nlm, θ, φ) χ nl ) Y lm θ, φ) 7) L eq.4) diventa quindi un equazione diffeenziale nella vaiabile, detta equazione di Schödinge adiale: [ h m + ) ll + ) + + V ) χ m nl ) E nl χ nl ) 8) Intoducendo la funzione u nl ) χ nl ) 9) ed facendo uso della nomalizzazione delle amoniche sfeiche l eq.6) diventa u nl ) d < 3) L eq.8) pe la funzione u nl ) diventa [ h d m d + h ll + ) + V ) u m nl ) E nl u nl ) 3) Quindi l equazione di Schödinge in te dimensioni con un potenziale centale é stata idotta ad un equazione in una solo vaiabile con un potenziale effettivo dato da V eff ) V ) + h ll + ) m 3) Il secondo temine viene usualmente chiamato il temine di potenziale centifugo o di baiea centifuga peché é diveso da zeo pe l e cesce con il cescee di l, quindi con l aumentae del valoe del momento angolae. La diffeenza ta l eq.3) e l equazione di Schödinge in una dimensione sta nella nomalizzaione. In una dimensione ichiediamo dx ψx) < 33) in te dimensioni Ne segue che, pe gli stati legati, si ha dv ψ) d u) < 34) lim u) M M cost ε > 35) /+ε Inolte dobbiamo ichiedee che, pe V ) δ ), u). In effetti si ha all oigine ψ u) δ ) u ) 36) 4

5 L eq.3) é esattamente isolubile in pochi casi, ta cui l oscillatoe amonico tidimensionale e il potenziale coulombiano che sono di fondamentale impotanza in fisica. Possiamo fae delle ossevazioni geneali sul tipo di soluzioni dell eq.3), studiandone i limiti e. Nel limite il temine centifugo ll + )/ e puó essee tascuato. Se V ), possiamo tascuae anche il temine di potenziale e l eq.3) diventa Le cui soluzioni sono h m d d u nl) E nl u nl ) 37) E > - La soluzione é una funzione esponenziale immaginaia, con compotamento oscillatoio all infinito, non a quadato integabile. Lo spetto di enegia é continuo. E < - La soluzione accettabile é una funzione esponenziale eale u nl ) e k k In questo caso si dimosta che lo spetto é disceto. m E h 38) Nel limite, se V ) cost., possiamo tascuae il temine di potenziale ed il temine in / ispetto al temine centifugo e l eq.3) si scive ed ammette due soluzioni [ d ll + ) + d u nl ) 39) u nl ) l+ u nl ) l 4) La seconda soluzione non é accettabile peché la funzione u nl ) all oigine puó al piú andae come una costante. Nel caso di E < la funzione u nl ), si annulla all oigine ed all infinito, quindi deve ammettee almeno un punto di massimo, essendo u nl ) continua con deivata pima continua si susspone che V ) abbia al piú discontinuitá finite). In conclusione la foma della funzione u nl ), pe E <, é del tipo u nl ) l+ e k f) 4) dove la funzione fi) é deteminata dalla natua dettagliata del potenziale V ). 5