GEOMETRIA 1 seconda parte

Transcript

1 GEOMETRIA 1 seconda parte Cristina Turrini C. di L. in Fisica /2015 Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 1 / 40

2 index Spazi vettoriali 1 Spazi vettoriali 2 Sottospazi 3 Sistemi di generatori 4 Dipendenza e indipendenza lineare 5 Basi 6 Teoria della base per spazi finitamente generati Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 2 / 40

3 Spazi vettoriali Definizione di spazio vettoriale Siano K un campo, V un insieme non vuoto. Si dice che V è uno spazio vettoriale sul campo K se V è dotato di due leggi di composizione e tali che A) (V, +) è gruppo abeliano; B) λ, µ K, u, v V: b1) (λ + µ) u = λ u + µ u; b2) (λ µ) u = λ (µ u); b3) λ (u + v) = λ u + λ v; b4) 1 K u = u. + : V V V : K V V Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 3 / 40

4 Spazi vettoriali Gli elementi di K si dicono scalari; gli elementi di V si dicono vettori. Nel seguito, denotiamo con 0 l elemento neutro di K, con 0 l elemento neutro di V, e con v il vettore opposto di v. Dati λ 1,..., λ n K e v 1,..., v n V, il vettore v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n viene detto combinazione lineare dei vettori v 1,..., v n secondo gli scalari λ 1,..., λ n. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 4 / 40

5 Spazi vettoriali Esempi di spazi vettoriali E1) K = R, V = Vect O (E 3 ) ={vettori dello spazio euclideo E 3 applicati nell origine }, v V, v = OA + : V V V usuale somma di vettori (regola del parallelogramma) 0 = OO, OA = OB vettore di egual modulo, stessa retta di applicazione e verso opposto : R V V (λ, OA) λ OA λ OA = OO se λ = 0 { stesso se λ > 0 OA OA = λ OA, stessa retta, verso opposto se λ < 0 E2) K possiamo considerare V = {0}, detto spazio vettoriale nullo o banale. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 5 / 40

6 Spazi vettoriali E3) K possiamo considerare V = K + : K K K somma in K : K K K prodotto in K E4) K = C. Applicando quanto visto al punto precedente, possiamo prendere V = C. C è uno spazio vettoriale su se stesso. C è anche uno spazio vettoriale su R: K = R, V = C + : C C C usuale somma di numeri complessi : R C C, (λ, a + ib) λa + iλb Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 6 / 40

7 Spazi vettoriali E5) K qualsiasi, V = K n = spazio vettoriale delle n-uple di elementi di K x 1 x 2 v K n v =. x i K (i = 1,..., n) x n x 1 y 1 x 1 + y 1 x + : K n K n K n ( 2., y 2. ) x 2 + y 2. x n y n x n + y n x 1 λ x 1 x : K K n K n (λ, 2. ) λ x 2. x n λ x n 0 x 1 x 1 x 0 = = x 2. 0 x n x n Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 7 / 40

8 Spazi vettoriali E6) K qualsiasi, V = Mat m,n = Mat m,n (K) = insieme delle matrici m n a coefficienti di K a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n v Mat m,n v = A = a ij K a m1 a m2 a mn i = 1,..., m, j = 1,..., n + : Mat m,n Mat m,n Mat m,n (A, B) C A = (a ij ), B = (b ij ), C = (a ij + b ij ) : K Mat m,n Mat m,n (λ, A) B = λa A = (a ij ), B = (λa ij ) = matrice nulla = A = (a ij ) A = ( a ij ) matrice opposta Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 8 / 40

9 Spazi vettoriali E7) K = Q, o R,o C, V = K[x] = insieme dei polinomi in una variabile a coefficienti in K v V v = p(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n + : K[x] K[x] K[x] p(x) + q(x) usuale somma di polinomi : K K[x] K[x] λ K λp(x) usuale prodotto di un numero per un polinomio. E8) K = Q, o R,o C, V = K d [x] = { polinomi in una variabile a coefficienti in K di grado d} (con le operazioni viste al punto precedente) E9) K = R, V = R R = {f : R R} + : V V V (f, g) f + g (f + g)(x) = f (x) + g(x) : R V V (λ, f ) λf (λf )(x) = λf (x) (definizioni puntuali di somma e di prodotto per uno scalare) Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 9 / 40

10 Spazi vettoriali Proprietà elementari degli spazi vettoriali Proprietà: 1) tutte le proprietà dei gruppi abeliani per (V; +) unicità di 0 unicità dell opposto di v legge di cancellazione (v + u = w + u v = w) 2) 0 v = 0 v V 3) 0 V λ K λ 0 = 0 V 4) λ K, v V ( λ) v = (λ v) 5) λ v = 0 λ = 0 oppure v = 0 Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 10 / 40

11 index Sottospazi 1 Spazi vettoriali 2 Sottospazi 3 Sistemi di generatori 4 Dipendenza e indipendenza lineare 5 Basi 6 Teoria della base per spazi finitamente generati Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 11 / 40

12 Sottospazi Definizione di sottospazio Siano K un campo, V uno spazio vettoriale su K, U V. Si dice che U è un sottospazio di V se U soddisfa le seguenti condizioni: se v, w U allora v + w U (chiusura di U rispetto a +) se λ K e v U, allora λ v U (chiusura di U rispetto a ) 0 U. In tal caso U è uno spazio vettoriale su K rispetto alle restrizioni a U delle operazioni di V, cioè + U U : U U U K U : K U U. OSSERVAZIONE - Sia U V un sottoinsieme. U è sottospazio vettoriale di V se e solo se U è chiuso rispetto alle combinazioni lineari, ovvero se e solo se λ, µ K, u, w U si ha λu + µw U. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 12 / 40

13 Esempi di sottospazi Sottospazi V, i sottoinsiemi {O} e V sono sottospazi (sottospazi banali). K = R, V = Vect O (E 3 ). Fissiamo un piano π e una retta r, con O r π, U = Vect O (π) = { OA V A π} è un sottospazio di V. W = Vect O (r) = { OA V A r} è un sottospazio di U. Vect O (r) è sottospazio di Vect O (π) che è sottospazio di Vect O (E 3 ). K = Q, o R,o C, V = K[x] (polinomi), U = K d [x] (polinomi di grado d). U V è un sottospazio. L insieme S delle soluzioni del sistema lineare A x = b S = {x R n : Ax = b} è un sottospazio di R n se e solo se b = 0, cioè se e solo se il sistema è omogeneo. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 13 / 40

14 Sottospazi Operazioni tra sottospazi Siano V uno spazio vettoriale su un campo K, e siano U, W V sottospazi. OSSERVAZIONI U W = {v V v U e v W} è un sottospazio U W = {v V v U o v W} in generale non è un sottospazio di V (si pensi ad esempio a V = Vect O (E 3 ) con i sottospazi U = Vect O (r) e W = Vect O (s), con r, s rette distinte passanti per O, U W non è chiuso rispetto alla somma di vettori ) Si definisce allora U + W = {v V : u U, w W con v = u + w} si verifica che U + W è un sottospazio (verificarlo), detto somma di U e W. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 14 / 40

15 Sottospazi Ad esempio, in V = Vect O (E 3 ), con r ed s rette per O distinte tra loro, si ha Vect O (r) + Vect O (s) = Vect O (π), ove π è il piano contente r ed s. Sempre in V = Vect O (E 3 ), con α ed β piani per O distinti tra loro, si ha Vect O (α) + Vect O (β) = V. Siano U, W V sottospazi, e si consideri lo spazio somma U + W. Si dice che la somma U + W è una somma diretta (e si scrive U W al posto di U + W), se e solo se ogni v U + W si scrive in un unico modo come somma di un vettore u U e un vettore w W. La somma U + W è una somma diretta se e solo se U W = {0} (verificarlo). Tra gli esempi visti sopra, la somma Vect O (r) + Vect O (s) è diretta, mentre la somma Vect O (α) + Vect O (β) non lo è. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 15 / 40

16 index Sistemi di generatori 1 Spazi vettoriali 2 Sottospazi 3 Sistemi di generatori 4 Dipendenza e indipendenza lineare 5 Basi 6 Teoria della base per spazi finitamente generati Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 16 / 40

17 Sistemi di generatori Sistemi di generatori Siano V uno spazio vettoriale su un campo K, S V, S = {s α } α A sottoinsieme non vuoto arbitrario. Si dice sottospazio generato da S (span di S) il sottoinsieme di V, indicato con S, costituito dai vettori che possono essere espressi come combinazione lineare di elementi di S: S = {v V : λ 1,..., λ n K, s αn S, v = λ 1 s α1 + + λ n s αn } (n è variabile). S è un sottospazio (verificarlo). Sia U un sottospazio di V e S un sottoinsieme di V tale che U = S. I vettori di S sono detti generatori di U. S è detto sistema di generatori per U. Se esiste un insieme finito S tale che U = S, si dice che U è finitamente generato (f.g.). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 17 / 40

18 Sistemi di generatori Esempi di sistemi di generatori V, U sottospazio di V si ha U = U. V = Vect O (E 3 ), S = { i, j, k } = {vettori unitari degli assi}. V = S, v = OP, v = ai + bj + ck, con P (a, b, c). V = Vect O (E 3 ), S = {a, b, c} = {con a, b, c vettori arbitrari purché non complanari}. V = S. V = R 2 = {( )} {( ) ( )} ( ) ( ) ( ) ab ab 10 10, S =,. S = V, = a + b }. {( )} {( ) V = R 2 ab 11 =, S = ( ) ( ) ( ) ab = a b + 0 ( ) 1 1, ( 24 ) }. ( )} 24,. S = V, Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 18 / 40

19 Sistemi di generatori x K n = {. }, e 1 = x 0., e 2 = 1.,, e n = 0. n S = {e 1,..., e n } S = K n x 1. = x 1 e 1 + x 2 e x n e n x n C considerato come spazio vettoriale su R, S = {1, i}; { 0 (h, k) (i, j) Mat m,n (K), E ij = (e hk ), e hk = 1 (h, k) = (i, j) S = {E ij 1 i m, 1 j n} S = Mat m,n K d [x] polinomi di grado d S = {1, x, x 2,..., x d } p K d [x] p = a 0 + a 1 x + a 2 x a d x d S = K d [x] S = C Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 19 / 40

20 Sistemi di generatori K[x], S = {x n : n 0} S = K[x] Lo spazio K[x] è un esempio di spazio vettoriale non f.g. (con le combinazioni lineari dei polinomi p 1 (x),..., p h (x) non si possono generare polinomi di grado maggiore al massimo tra i gradi di p 1 (x),..., p h (x)). OSSERVAZIONE 1 - Se U = S e S T U, allora anche U = T. OSSERVAZIONE 2 - Se U = s 1,..., s n e s n è combinazione lineare di s 1,..., s n 1 allora U = s 1,..., s n 1 (i vettori di V, che per ipotesi possono essere scritti combinazioni lineari di s 1,..., s n, possono anche essere scritti come combinazioni lineari di s 1,..., s n 1 ). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 20 / 40

21 index Dipendenza e indipendenza lineare 1 Spazi vettoriali 2 Sottospazi 3 Sistemi di generatori 4 Dipendenza e indipendenza lineare 5 Basi 6 Teoria della base per spazi finitamente generati Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 21 / 40

22 Dipendenza e indipendenza lineare Vettori linearmente dipendenti Siano V uno spazio vettoriale su un campo K, S V, S = {s α } α A sottoinsieme non vuoto arbitrario. Si dice che S è un insieme di vettori linearmente dipendenti, ovvero che S è linearmente dipendente (l.d.), se esiste una combinazione lineare di elementi di S con coefficienti non tutti nulli che dia il vettore nullo, cioè s α1,..., s αn S λ 1,..., λ n K (λ 1,..., λ n ) (0,..., 0) tali che λ 1 s α1 + + λ n s αn = 0. S si dice linearmente indipendente (l.i.) se non è linearmente dipendente, cioè s α1,..., s αn S λ 1,..., λ n K λ 1 s α1 + + λ n s αn = 0 (λ 1,..., λ n ) = (0,..., 0). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 22 / 40

23 Dipendenza e indipendenza lineare Esempi di dipendenza e di indipendenza lineare ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) In R 3, S 1 = {(,, } è l.i., S 2 = {(,, } è l.d In K n, S = {e 1,... e n } è l.i.. In Vect O (E 3 ), due vettori sono l.d. se e solo se sono allineati, tre vettori sono l.d. se e solo se sono complanari. In K[x], S = {1, x, x 2,..., x d,...} è l.i. In Mat m,n (K), S = {E ij } è l.i. ( ) ( ) In C 2 10 i0 considerato come spazio vettoriale su R, S = {, } è l.i. ( ) ( ) In C 2 10 i0 considerato come spazio vettoriale su C, S = {, } è l.d. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 23 / 40

24 Dipendenza e indipendenza lineare Proprietà della dipendenza e indipendenza lineare V uno spazio vettoriale su un campo K, 1) Siano S V, S T. Se S è l.d., allora T è l.d. 2) v V; {v} è l.d. se e solo se v = 0 3) v, w V; {v, w} sono l.d. se e solo se (almeno) uno dei due è multiplo dell altro. 4) v 1,..., v n V; {v 1,..., v n } sono l.d. se e solo se almeno uno tra i v i è combinazione lineare degli altri. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 24 / 40

25 Dipendenza e indipendenza lineare 5) v 1,..., v k V {v 1,..., v k } l.i., v k+1 V. v 1,..., v k, v k+1 sono l.d. se e solo se v k+1 è combinazione lineare di v 1,..., v k. 6) Se λ 1 s λ n s n = 0 e λ n 0, allora il vettore s n è combinazione lineare di s 1,..., s n 1, infatti s n = (λ n ) 1 λ 1 s (λ n ) 1 λ n 1 s n 1 Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 25 / 40

26 index Basi 1 Spazi vettoriali 2 Sottospazi 3 Sistemi di generatori 4 Dipendenza e indipendenza lineare 5 Basi 6 Teoria della base per spazi finitamente generati Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 26 / 40

27 Basi Definizione ed esempi di basi Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Un sottoinsieme B di V si dice base di V se è linearmente indipendente ed è un sistema di generatori di V. ( ) ( ) V = R ; {e 1, e 2 } è una base di V; anche {, } è una base di V. V = Vect O (E 3 ); {i, j, k} è una base di V. V = K n ; {e 1,..., e n } è una base di V, detta base canonica. V = Mat m,n (K); {E ij } i=1,...,m;j=1,...,n è base di V. V = K d [x]; {1, x, x 2,..., x d } è base di V. V = K[x]; {1, x, x 2,..., x n,...} è base di V. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 27 / 40

28 Basi OSSERVAZIONE - V = {0} non ha base (il vettore 0 non è l.i.) TEOREMA - S V è base di V se e solo se ogni vettore di V si può scrivere in uno ed un solo modo come combinazione lineare dei vettori di S. Dimostrazione (nel caso S finito). Sia S = {s 1,..., s n }. Se S è base allora S genera V, quindi bisogna solo provare l unicità di scrittura. λ 1 s 1 + λ n s n = µ 1 s 1 + µ n s n (λ 1 µ 1 )s 1 + (λ n µ n )s n = 0 λ 1 = µ 1,, λ n = µ n. 0s 1 + 0s n è l unica scrittura del vettore nullo. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 28 / 40

29 index Teoria della base per spazi finitamente generati 1 Spazi vettoriali 2 Sottospazi 3 Sistemi di generatori 4 Dipendenza e indipendenza lineare 5 Basi 6 Teoria della base per spazi finitamente generati Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 29 / 40

30 Teoria della base per spazi finitamente generati Esistenza di una base Uno spazio vettoriale non nullo e f.g. ammette una base. Infatti si ha: TEOREMA - Sia V uno spazio vettoriale su un campo K, V {0}. V = v 1,..., v n {v 1,..., v n } contiene una base di V. Dimostrazione. V = v 1,..., v n. Se {v 1,..., v n } è l.i. {v 1,..., v n } è base. Se {v 1,..., v n } è l.d., almeno uno di essi, diciamo v n, è combinazione lineare degli altri. Allora, per quanto visto nell osservazione 2 di pag.20, V = v 1,..., v n 1. Se v 1,..., v n 1 è l.i. v 1,..., v n 1 è base. Se v 1,..., v n 1 è l.d., si itera il procedimento. Se il procedimento non si è arrestato prima, si arriva a V = v 1 ; in tal caso {v 1 } è l.i. (e quindi base). Altrimenti, {v 1 } l.d. v 1 = 0 e V = {0}, contro l ipotesi. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 30 / 40

31 Teoria della base per spazi finitamente generati Anche gli spazi non f.g. ammettono una base (qui non ne vedremo la dimostrazione). OSSERVAZIONE - L estrazione di una base da un sistema di generatori può essere effettuata con il seguente algoritmo (degli scarti successivi). V = v 1,..., v n. 1) Si considera v 1. Se v 1 è l.i. (cioè 0), allora lo si tiene, altrimenti no (v 1 può essere eliminato dai generatori di V, ovvero bastano v 2, v 3,..., v n a generarlo). 2) Si considera {v 1, v 2 }, o {v 2 } se v 1 è stato scartato. Se {v 1, v 2 }, allora si tiene v 2, altrimenti no ( v 2 può essere eliminato dai generatori di V).... n) Si considerano i v i, con i n 1, non scartati. Se {..., v i,..., v n } è l.i. allora si tiene v n, altrimenti no (v n può essere eliminato dai generatori di V). Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 31 / 40

32 Teoria della base per spazi finitamente generati Insiemi massimali di indipendenti e insiemi minimali di generatori Un insieme {v 1,..., v k } di vettori di V si dice insieme massimale di vettori linearmente indipendenti (in V) se {v 1,..., v k } è l.i. e, comunque preso v V, l insieme {v 1,..., v k, v} è l.d.. Siano v 1,..., v n V e sia r n. Si dice che {v 1,..., v r } è un sottoinsieme massimale di vettori l.i. in {v 1,..., v n } se v 1,..., v r sono l.i. i, r + 1 i n l insieme {v 1,..., v r, v i } è l.d.. TEOREMA - Sia V = v 1,..., v n {0}. Un sottoinsieme massimale di vettori l.i. {v 1,..., v r } (in {v 1,..., v n }) è una base di V. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 32 / 40

33 Teoria della base per spazi finitamente generati Dimostrazione. Occorre solo provare che {v 1,..., v r } genera V. Anzitutto ricordiamo che i, r + 1 i n, l insieme {v 1,..., v r, v i } è l.d., quindi esistono coefficienti non tutti nulli λ 1,..., λ r, k tali che λ 1 v λ r v r + kv i = 0. Non può essere k = 0, altrimenti {v 1,..., v r } sarebbe l.d. Quindi v i è combinazione lineare di v 1,..., v r, i, r + 1 i n. La tesi segue come nel caso della osservazione 2 di pag 20. OSSERVAZIONE - Se {v 1,..., v k } è un insieme massimale di vettori linearmente indipendenti (in V), allora {v 1,..., v k } è una base di V. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 33 / 40

34 Teoria della base per spazi finitamente generati Siano v 1,..., v r V. Si dice che {v 1,..., v r } è un insieme minimale di generatori se v 1,..., v r generano V i, 1 i r l insieme {v 1,..., v r } \ {v i } non genera V. OSSERVAZIONE - Sia V {0}. Un insieme minimale di generatori {v 1,..., v r } è una base di V. Dimostrazione. Occorre solo provare che {v 1,..., v r } è l.i.. Sia λ 1 v 1 + λ r v r = {0}. Se esistesse λ 1 0 con i, 1 i r, il vettore v i sarebbe combinazione lineare dei vettori {v 1,..., v r } \ {v i } e di conseguenza {v 1,..., v r } \ {v i } genererebbe V. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 34 / 40

35 Teoria della base per spazi finitamente generati Equicardinalità delle basi TEOREMA - Sia V uno spazio vettoriale con base costituita da n vettori. Comunque presi m vettori di V, con m > n, questi vettori sono l.d. Dimostrazione - Sia {v 1,..., v n } una base di V e siano w 1,..., w m V, con m > n. Supponiamo, per assurdo, che {w 1,..., w m } sia l.i.. Mostriamo anzitutto che ( ) in tal caso sarebbe possibile trovare n vettori in {w 1,..., w m } che generino V. Per ipotesi esistono λ 1,..., λ n non tutti nulli, tali che w 1 = λ 1 v λ n v n. Poiché w 1 0 (è l.i.), qualche λ i è non nullo, ad esempio λ 1 0. Quindi, da w 1 + λ 1 v λ n v n = 0, si deduce che v 1 è combinazione lineare di w 1, v 2,..., v n. Quindi V = v 1, v 2,..., v n = w 1, v 2,..., v n cioè nella base di V abbiamo potuto "sostituire un v con un w". Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 35 / 40

36 Teoria della base per spazi finitamente generati Mostriamo ora ricorsivamente che se w 1,... w r, v r+1,..., v n = V allora (eventualmente dopo aver riordinato i vettori v r+1,..., v n ) anche w 1,... w r+1, v r+2,..., v n = V (cioè nella base di V abbiamo potuto "inserire un altro w al posto di un v"). Sia quindi w 1,... w r, v r+1,..., v n = V. Per ipotesi esistono α 1,..., α r, β r+1... β n tali che w r+1 = α 1 w α r w r + β r+1 w r+1 + β n v n. L insieme {w 1,..., w r, w r+1 } è l.i., pertanto qualche β i è non nullo, ad esempio β r+1 0. Quindi si deduce che v r+1 è combinazione lineare di w 1,... w r+1, v r+2,..., v n. Quindi w 1,... w r+1, v r+2,..., v n = V. Con questo abbiamo dimostrato ( ). Poiché anche w n+1 V, il vettore w n+1 è combinazione lineare di w 1,... w n, per cui {w 1,... w n, w n+1 } è l.d.. Allora però anche {w 1,... w n, w n+1... w m } sarebbe l.d., contro l ipotesi. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 36 / 40

37 Teoria della base per spazi finitamente generati TEOREMA - Sia V uno spazio vettoriale. Siano A = {a 1,..., a n }, B = {b 1,..., b k } basi di V n = k. Dimostrazione. A è una base costituita da n vettori (pag. 35 ) più di n vettori sono l.d. B = {b 1,..., b k } è l.i. (perché base) k n Scambiando il ruolo di A e di B nell argomentazione precedente si ha n k n = k. Riassumendo, abbiamo provato che se V è uno spazio vettoriale su un campo K, V {0} e f.g. allora: I) (esistenza) V ha base (finita); II) (equicardinalità) tutte le basi di V sono costituite dallo stesso numero di vettori. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 37 / 40

38 Teoria della base per spazi finitamente generati La dimensione di uno spazio vettoriale Sia V uno spazio vettoriale su un campo K. Si dice dimensione di V, e si scrive dim V (o dim K V ) l intero così definito: Ad esempio: 0 se V = {0} dim V = n se V è f.g. ed ha base con n vettori se V non è f.g.. dim Vect O (E 3 ) = 3; dim K n = n; dim Mat m,n = mn; dim K[x] = ; dim K d [x] = d + 1; dim C C n = n, dim R C n = 2n. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 38 / 40

39 Teoria della base per spazi finitamente generati TEOREMA - Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n. Comunque presi n vettori linearmente indipendenti, questi costituiscono una base di V. Dimostrazione. Sia S = {v 1,..., v n }. S è un insieme massimale di l.i.(non si può aggiungere nemmeno un vettore senza che diventino dipendenti), quindi è una base. TEOREMA - Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n. Comunque presi n vettori che generano V, questi costituiscono una base di V. Dimostrazione. Sia S = {v 1,..., v n }. S è un insieme minimale di generatori (non si può togliere nemmeno un vettore, per l equicardinalità delle basi), quindi è una base. COROLLARIO - Sia V uno spazio vettoriale f.g., dim V = n e U V un sottospazio. Allora anche U è f.g. e dim U = k n. Inoltre, k = n U = V. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 39 / 40

40 Teoria della base per spazi finitamente generati Dimostrazione. Se U = {0} il risultato è ovvio. Altrimenti U contiene almeno un vettore l.i. u 1. Aggiungiamo vettori u 2, u 3,... in modo che {u 1, u 2 }, {u 1, u 2, u 3 },... siano l.i. Dopo un numero finito di passi il processo si arresta perché in V (e quindi in U) non possono esserci più di n vettori l.i. Sia quindi {u 1,..., u k } un insieme massimale di vettori l.i. in U (con k n). Per l osservazione di pag.33 {u 1,..., u k } è una base di U e quindi dim U = k n = dim V. Se inoltre k = n, {u 1,..., u k } base di U è anche base di V, perché V ha dimensione n e k = n vettori l.i. sono una base (pag. 39). U = u 1,..., u k = V. Il viceversa, U = V k = n, è ovvio. OSSERVAZIONE (completamento della base) - Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n. Sia poi r n e siano v 1,... v r V vettori l.i.. Allora esistono vettori w r+1,..., w n tali che {v 1,... v r, w r+1,..., w n } sia una base di V. Cristina Turrini (C. di L. in Fisica /2015) GEOMETRIA 1 40 / 40