Command Window e linea di comando di MATLAB

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1 MATLAB MATLAB è nato nato come come lguaggio lguaggio ad ad alto alto livello livello adatto adatto alla alla gestione gestione matrici matrici (MATLAB (MATLAB sta sta per per matrix matrix laboratory). laboratory). Le Le versioni versioni successive successive sono sono state state completate completate con con l'aggiunta l'aggiunta funzioni funzioni che che permettono permettono complesse complesse analisi analisi numeriche. numeriche. Tipicamente queste queste funzioni funzioni sono sono organizzate toolbox. toolbox. Ad Ad esempio esempio il il Control Control System System Toolbox Toolbox raccoglie raccoglie un un sieme sieme funzioni funzioni decate decate all'analisi all'analisi e soluzione soluzione problemi problemi controllo. controllo. Command Wdow e lea comando MATLAB La La lea lea comando comando MATLAB MATLAB è cata cata dal dal prompt: prompt: >> >> all'terno all'terno della della Command Command Wdow. Wdow. Accetta: Accetta: chiarazioni variabili; variabili; espressioni; chiamate chiamate a funzione. funzione.

2 Command Wdow e lea comando MATLAB Tutte Tutte le le funzioni funzioni MATLAB MATLAB sono sono file file testo. testo. Nuove Nuove funzioni funzioni possono possono essere essere costruite costruite utilizzando utilizzando l'etor l'etor MATLAB MATLAB o un un qualsiasi qualsiasi etor etor testo. testo. Le Le funzioni funzioni vengono vengono eseguite eseguite gitandone il il nome nome sulla sulla lea lea comando. comando. La La funzione funzione path pathmostre le le cartelle cartelle dove dove vengono vengono cercate cercate le le funzioni funzioni da da eseguire. eseguire. Le Le ultime ultime righe righe coman coman seriti seriti possono possono essere essere richiamate richiamate usando usando le le frecce frecce alto alto e basso. basso. File MATLAB I I file file terpretati terpretati da da MATLAB MATLAB sono sono file file testo testo ASCII ASCII con con estensione.m;.m; sono sono generati generati con con l'etor l'etor MATLAB MATLAB (richiamabile dal dal menu menu File>>New>>M-file della della Command Command Wdow) Wdow) e sono sono eseguiti eseguiti gitandone il il nome nome sulla sulla lea lea comando comando (senza (senza estensione!). E' E' possibile possibile serire serire commenti commenti un un file file.m.m precedendo la la lea lea commento commento col col %. %. Nota: Nota: la la rectory rectory lavoro lavoro della della Command Command Wdow Wdow deve deve essere essere la la stessa stessa cui cui è salvato salvato il il file file.m..m. E' E' possibile possibile cambiare cambiare rectory rectory usando usando il il comando comando cd. cd.

3 Help MATLAB MATLAB MATLAB presenta presenta un un help help lea lea con con formazioni formazioni sulla sulla stassi stassi tutte tutte le le funzioni funzioni sponibili. sponibili. Può Può essere essere richiamato richiamato usando usando il il menu menu Help Help della della Command Command Wdow Wdow o o da da lea lea comando. comando. Per Per accedere accedere ad ad formazioni formazioni su su funzione funzione da da lea lea comando, comando, basta basta gitare: gitare: help help nome_funzione nome_funzione Per Per un un help help tutte tutte le le funzioni funzioni data data categoria, categoria, ad ad esempio esempio quelle quelle nel nel Control Control System System Toolbox, Toolbox, basta basta gitare: gitare: help help control control Per Per sapere sapere quali quali sono sono le le categorie categorie funzioni funzioni sponibili sponibili (toolbox), (toolbox), basta basta gitare: gitare: help help Punteggiatura e variabili Le Le istruzioni istruzioni (contenute (contenute un un file file.m.m o gitate gitate da da lea lea comando) comando) vanno vanno termate termate con con un un punto punto e virgola virgola se se non non si si vuole vuole visualizzare il il risultato. risultato. Esempio: Esempio: t=0:0.1:10; t=0:0.1:10; MATLAB MATLAB permette permette la la concatenazione più più istruzioni istruzioni separandole con con delle delle virgole. virgole. Esempio: Esempio: t=0:0.1:10 t=0:0.1:10,, a=0:0.2:5; a=0:0.2:5;

4 Punteggiatura e variabili Le Le variabili variabili seguono seguono le le regole regole dei dei lguaggi lguaggi programmazione come come il il C. C. MATLAB MATLAB è case-sensitive ed ed il il primo primo carattere carattere del del nome nome variabile variabile deve deve essere essere obbligatoriamente alfabetico. alfabetico. Per Per visualizzare il il contenuto contenuto variabile variabile è sufficiente sufficiente gitarne gitarne il il nome nome senza senza punto punto e virgola virgola sulla sulla lea lea comando. comando. Operatori scalari Alcuni Alcuni operatori operatori sponibili sponibili sono: sono: +, +,-, -,*, *,/, /, ^; ^; s, s, cos, cos, tan; tan; as, as, acos, acos, atan; atan; exp, exp, log log (naturale), (naturale), log10 log10 ( ( base base 10); 10); abs, abs, sqrt, sqrt, sign. sign.

5 Numeri complessi L'unità L'unità complessa complessa predefita predefita è i i o j j (qu (qu queste queste variabili variabili non non andrebbero usate usate come come ci ci nei nei cicli). cicli). Un Un numero numero complesso complesso si si scrive scrive nella nella forma forma a+j*b. a+j*b. Esempio: Esempio: z=2+j*3 z=2+j*3 L'unità L'unitàcomplessa può puòessere ridefita ridefita come come sqrt(-1). Esempio: Esempio: z=2+sqrt(-1)*3 Matrici In In genere genere la la chiarazione matrice matrice viene viene effettuata effettuata utilizzando utilizzando le le parentesi parentesi quadre. quadre. Gli Gli elementi elementi delle delle righe righe sono sono separati separati con con spazi spazi o virgole virgole e le le verse verse righe righe con con punti punti e virgola virgola o andando andando a capo capo ad ad ogni ogni nuova nuova riga. riga. Es. Es. vettore vettore riga: riga: x = [1, [1, 2, 2, 3]; 3]; Es. Es. vettore vettore colonna: colonna: y = [4; [4; 5; 5; 6]; 6]; Es. Es. matrice: matrice: A = [1 [1 2 3; 3; 4 5 6; 6; 7 8 9]; 9];

6 Matrici E E possibile possibile defire defire vettori vettori riga riga anche anche con con l'operatore l'operatore due due punti punti (:) (:) Es. Es. vettore vettore riga: riga: x = 0:10; 0:10; x x conterrà conterràtutti tutti i i numeri numeri teri teri che che vanno vanno da da 0 a Es. Es. vettore vettore riga: riga: x = 0:0.1:1; 0:0.1:1; x x conterrà conterrài i numeri numeri da da 0 a 1 con con un un passo passo [0 [ ] ] Es. Es. vettore vettore riga: riga: x = 100:-5:50; x x conterrà conterrài i numeri numeri da da a con con un un passo passo 5 [100 [ ] ] Matrici Per Per far far riferimento riferimento agli agli elementi elementi matrice matrice A: A: l'elemento l'elemento a mn è mn èrizzato come come A(m,n); A(m,n); es.: es.: A(2,3) A(2,3) fornisce fornisce 6 la la riga riga m-esima m-esima èè rizzata rizzata come come A(m,:), A(m,:), dove dove tutte tutte le le colonne colonne sono sono cate cate con con due due punti; punti; es.: es.: A(2,:) A(2,:) fornisce fornisce [4 [4 5 6] 6] la la colonna colonna n-esima n-esima èè rizzata rizzata come come A(:,n), A(:,n), dove dove tutte tutte le le righe righe sono sono cate cate con con due due punti; punti; es.: es.: A(:,3) A(:,3) fornisce fornisce [3; [3; 6; 6; 9] 9] la la sottomatrice sottomatrice avente avente elementi elementi a mn, mn, con con m1 m m2 m1 m m2 e e n1 n n2, n1 n n2, èè rizzata rizzata come come A(m1:m2,n1:n2); A(m1:m2,n1:n2); es.: es.: A(1:2,2:3) A(1:2,2:3) fornisce fornisce [2, [2, 3; 3; 5, 5, 6] 6] Nota: Nota: MATLAB MATLAB gli gli ci ci partono partono sempre sempre da da 1. 1.

7 Matrici e operatori Alcuni Alcuni operatori operatori applicabili applicabili a matrici matrici sono: sono: +, +,-, -,*, *, ^; ^; /: /: visione visione a destra: destra: B/A B/A = B*v(A); B*v(A); \: \: visione visione a sistra: sistra: A\B A\B = v(a)*b; v(a)*b; ': ': complessa complessa coniugata coniugata trasposta. trasposta. Polomi In In MATLAB MATLAB un un polomio polomio è rappresentato da da un un vettore vettore riga rigai i cui cui elementi elementi sono sono i i coefficienti coefficienti del del polomio polomio orne orne potenza potenza decrescente. Ad Ad esempio esempio il il polomio polomio ss 2 2 +s+1 +s+1 viene viene rappresentato con con il il vettore vettore riga: riga: x=[1 x=[1 1 1]; 1]; Per Per i i coefficienti coefficienti non non presenti presenti nel nel polomio polomio si si deve deve serire serire uno uno 0 nel nel corrispondente elemento elemento del del vettore. vettore. Ad Ad esempio esempio il il polomio polomio ss s +7s s+2 +3s+2 viene viene rappresentato con con il il vettore vettore riga: riga: y=[1 y=[ ]; 2];

8 Polomi e operatori La La funzione funzione polyval polyval permette permette calcolare calcolare il il valore valore del del polomio polomio un un determato punto. punto. Esempio: Esempio: z=polyval(y,2) restituisce restituisce z=52. z=52. La La funzione funzione roots rootscalcola le le raci raci del del polomio. polomio. Esempio: Esempio: r=roots(x); In In r r sono sono memorizzate le le raci raci del del polomio polomio x. x. La La funzione funzione versa versa è la la funzione funzione poly: poly: xx=poly(r); In In xx xxviene ripristato ripristato il il polomio polomio origale origale x. x. Nota: Nota: poly(a) poly(a) con con A matrice matrice quadrata quadrata restituisce restituisce il il polomio polomio caratteristico A. A. Polomi e operatori Per Per sommare sommare o sottrarre sottrarre due due polomi polomi si si sommano sommano o sottraggono i i corrispondenti vettori vettori riga riga con con l'accortezza rappresentare ambedue ambedue i i polomi polomi come come polomi polomi dello dello stesso stesso orne. orne. La La funzione funzione conv convè utilizzata utilizzata per per la la moltiplicazione due due polomi. polomi. Ad Ad esempio esempio il il prodotto prodotto tra tra polomi: polomi: (s (s 2 2 +s+1)*(s +s+1)*(s s +7s s+2) +3s+2) viene viene effettuato effettuato con: con: prod=conv(x,y); che che fornisce fornisce come come risultato risultato il il vettore: vettore: [1 [ ] 2]

9 Istruzione IF-THEN-ELSE La La forma forma generale generale del del costrutto costrutto IF-THEN-ELSE è la la stessa stessa un un qualsiasi qualsiasi lguaggio lguaggio programmazione: if if conzione1, operazioni1; elseif elseif conzione2, operazioni2; else else operazioni3; end; end; Istruzione IF-THEN-ELSE Conzione1, 2 devono devono essere essere conzioni conzioni che che restituiscono come come risultato risultato 1 (VERO) (VERO) o 0 (FALSO). (FALSO). Operazioni1, 2,3,3 sono sono le le operazioni operazioni da da compiere compiere se se la la conzione conzione è vera. vera.

10 Istruzione IF-THEN-ELSE Gli Gli operatori operatori sponibili sponibili per per tali tali confronti confronti sono: sono: <, <, >, >, <=, <=, >=; >=; ~=: ~=: verso; verso; : : or or logico; logico; ==: ==: uguale; uguale; &: &: and and logico; logico; ~: ~: not not logico. logico. Istruzioni per cicli I I cicli cicli possono possono essere essere realizzati realizzati con con due due versi versi costrutti: costrutti: for for k=1:step:n, operazioni; end; end; Il Il ciclo ciclo esegue esegue le le operazioni operazioni crementando la la variabile variabile k k da da 1 a n con con il il passo passo cato cato da da step. step.

11 Istruzioni per cicli while while conzione, operazioni; end; end; Il Il ciclo ciclo esegue esegue le le operazioni operazioni fo fo a quando quando la la conzione conzione è verificata. verificata. La La conzione conzione viene viene costruita costruita con con le le stesse stesse regole regole (vcoli (vcoli ed ed operatori) operatori) quella quella dell'if-then-else. Strghe testo, put ed output Una Una strga strga testo testo MATLAB MATLAB è serita serita tra tra apici apici ('). ('). Es.: Es.: strga='ciao mondo'; mondo'; Per Per visualizzare strghe strghe si si usa usa la la funzione funzione sp. sp. Es.: Es.: sp('premere un un tasto'); tasto'); La La funzione funzione put put mostra mostra un un messaggio messaggio e permette permette l'serimento dati. dati. Es.: Es.: n=put('inserire numero numero iterazioni: '); ');

12 Grafici La La funzione funzione plot plotcrea grafici grafici bimensionali: riceve riceve gresso gresso due due vettori vettori della della stessa stessa lunghezza lunghezza e segna segna i i punti punti corrispondenti alle alle coornate coornate fornite fornite dagli dagli elementi elementi dei dei due due vettori. vettori. Ad Ad esempio esempio per per graficare graficare la la curva curva seno seno funzione funzione del del tempo: tempo: t=0:0.1:10; y=s(t); plot(t,y), title('grafico del del seno seno t') t') xlabel('t (s)'), (s)'), ylabel('s(t)'), grid grid on on Grafici 1 Grafico del seno t s(t) t (s)

13 Defizione nuove funzioni Per Per defire defire nuova nuova funzione funzione MATLAB, MATLAB, basta basta creare creare un un file file con con estensione estensione.m.m e nome nome uguale uguale a quello quello della della funzione. funzione. La La prima prima riga riga del del file file deve deve contenere contenere la la descrizione descrizione della della funzione funzione (nome, (nome, argomenti argomenti d'gresso d'gresso e uscita) uscita) preceduta preceduta da da function. function. Defizione nuove funzioni Es.: Es.: function function z=fun1(a,b) oppure oppure function[x,y]=fun2(a,b) fun1 fun1 e fun2 fun2 sono sono nomi nomi funzioni; funzioni; a e b sono sono argomenti argomenti d'gresso; d'gresso; x, x, y y e z z sono sono argomenti argomenti uscita. uscita.

14 Defizione nuove funzioni Le Le lee lee commento commento che che eventualmente precedono precedono la la prima prima lea lea verranno verranno visualizzate come come help help lea lea gitando: gitando: help help nome_funzione Defizione nuove funzioni Le Le variabili utilizzate funzione sono sono locali. locali. Possono essere essere usate usate variabili globali globali utilizzando, sia sia nell'ambiente chiamante sia sia nella nella funzione, il il comando global seguito dai dai nomi nomi delle delle variabili separati da da spazi. spazi. Es.: Es.: global F G H

15 Defizione nuove funzioni Coce.m della funzione Pitagora % Calcolo del del Teorema Pitagora. % Gli Gli argomenti della della funzione sono sono i cateti % del del triangolo rettangolo. % La La funzione restituirà il il l'ipotenusa. function Z=pitagora(X,Y) Z=sqrt(X^2+Y^2); APPENDICE

16 Coman per la manipolazione dei file r: r: Mostra Mostra il il contenuto contenuto della della recotry recotry corrente corrente type type 'nome-file': Visualizza Visualizza il il contenuto contenuto del del file file specificato specificato delete delete 'nome-file': Cancella Cancella il il file file specificato specificato cd cd 'nome-r': Entra Entra desntro desntro la la rectory rectory specificata specificata mkr mkr 'nome-r': Crea Crea r. r. nella nella cartella cartella corrente corrente Coman uso generale who: who: elenco elenco delle delle variabili variabili defite defite memoria; memoria; whos: whos: formazioni formazioni su su tutte tutte le le variabili variabili memoria; memoria; clear: clear: cancella cancella tutte tutte le le variabili variabili memoria memoria o o particolare particolare se se specificata; specificata; save: save: salva salva tutte tutte le le variabili variabili memoria, memoria, o o quelle quelle specificate, specificate, vari vari formati; formati; load: load: richiama richiama memoria memoria le le variabili variabili salvate salvate sul sul file file specificato; specificato; ary: ary: salva salva su su file file testo testo ASCII ASCII ary ary quanto quanto da da quel quel momento momento poi poi appare appare sullo sullo schermo; schermo; what: what: elenco elenco tutte tutte le le funzioni funzioni MATLAB MATLAB nell'area nell'area lavoro lavoro (estensione (estensione.m).m) e e dei dei file file dati dati che che sono sono stati stati salvati salvati (estensione (estensione.mat)..mat).

17 Punteggiatura e variabili Tutti Tutti i i calcoli calcoli effettuati effettuati MATLAB MATLAB sono sono eseguiti eseguiti doppia doppia precisione, precisione, ma ma si si possono possono visualizzare un un formato formato verso verso (comando (comando format formato menu menu File>>Preferences>>General della della Command Command Wdow). Wdow). Il Il risultato risultato dell'ultima dell'ultima operazione operazione è memorizzato nella nella variabile variabile ans. ans. Numeri complessi e operatori Operatori Operatori applicabili applicabili ai ai numeri numeri complessi: complessi: abs: abs: modulo modulo (es.: (es.: abs(z)); abs(z)); angle: angle: fase fase (es.: (es.: angle(z)); real: real: parte parte reale reale (es.: (es.: real(z)); real(z)); imag: imag: parte parte immagaria (es.: (es.: imag(z)). imag(z)).

18 Matrici e operatori Altre Altre funzioni funzioni operanti operanti essenzialmente su su vettori vettori (riga (riga o colonna) colonna) sono: sono: max, max, m, m, mean; mean; sort; sort; sum, sum, prod; prod; length. length. Nota: Nota: se se l'argomento passato passato alla alla funzione funzione è matrice, matrice, la la funzione funzione stessa stessa sarà saràapplicata applicata ad ad ogni ogni colonna colonna della della matrice matrice e il il risultato risultato verrà verrà memorizzato un un vettore vettore riga. riga. Matrici e operatori Per Per effettuare effettuare operazioni operazioni elemento elemento per per elemento elemento su su matrici, matrici, senza senza ricorrere ricorrere a cicli, cicli, esistono esistono gli gli operatori: operatori:.*,.*,./,./,.^.^ Ad Ad esempio, esempio, se se x è un un vettore vettore e si si vuole vuole moltiplicare moltiplicare elemento elemento per per elemento elemento s(x) s(x) e cos(x): cos(x): x=0:pi/45:pi,, y = s(x).*cos(x);

19 Matrici e operatori Altre Altre funzioni funzioni che che operano operano su su matrici matrici sono: sono: v: v: versa versa matrice; matrice; det: det: determante determante matrice; matrice; size: size: mensioni mensioni matrice; matrice; rank: rank: rango rango matrice; matrice; eig: eig: autovalori autovalori ed ed autovettori autovettori matrice matrice quadrata. quadrata. Nota: Nota: tutte tutte le le funzioni funzioni che che operano operano su su matrici matrici hanno hanno vcoli vcoli sugli sugli operan operan (es. (es. non non si si può può vertire vertire matrice matrice non non quadrata). quadrata). Utilizzare Utilizzare il il comando comando help help per per ulteriori ulteriori formazioni formazioni sulla sulla stassi. stassi. Creazione matrici Esistono Esistono alcune alcune funzioni funzioni predefite predefite per per la la creazione creazione matrici: matrici: eye(n): eye(n): matrice matrice identità identitàn righe righe n colonne; colonne; zeros(m,n): matrice matrice 0 con con m righe righe e n colonne; colonne; ones(m,n): matrice matrice 1 con con m righe righe e n colonne; colonne; rand(m,n): matrice matrice casuale casuale valori valori stribuiti stribuiti uniformemente nell'tervallo [0, [0, 1] 1] con con m righe righe e n colonne; colonne;

20 Creazione matrici ag(x): ag(x): se se X è un un vettore vettore con con n elementi, elementi, produce produce matrice matrice quadrata quadrata agonale agonale mensioni mensioni nxn nxn con con gli gli elementi elementi X sulla sulla agonale; agonale; se se X è matrice matrice quadrata quadrata mensioni mensioni nxn, nxn, produce produce un un vettore vettore n elementi elementi pari pari a quelli quelli sulla sulla agonale agonale X. X. Polomi e opeatori Per Per moltiplicare moltiplicare più più 2 polomi, polomi, occorre occorre utilizzare utilizzare più più istruzioni istruzioni conv conv forma forma annidata. annidata. La La funzione funzione deconv deconvè utilizzata utilizzata per per la la visione visione due due polomi. polomi. Ad Ad esempio, esempio, videre videre prod prodper per y equivale equivale ad ad ottenere ottenere x: x: [xx,r]=deconv(prod,y); fornisce fornisce come come risultato risultato il il vettore vettore quoziente quoziente xx=[1 xx=[1 1 1] 1] ed ed il il vettore vettore resto resto R=[0 R=[ ]. 0].

21 Grafici plot plotpuò puòessere usato usato con con un un solo solo vettore vettore d'gresso; d'gresso; questo questo caso caso le le colonne colonne del del vettore vettore sono sono segnate segnate sui sui loro loro ci ci (il (il vettore vettore 1:n 1:n è usato usato per per l'asse l'asse orizzontale). Se Se il il vettore vettore d'gresso d'gresso contiene contiene numeri numeri complessi complessi segna segna la la parte parte reale reale sull'asse sull'asse x x e la la parte parte immagaria sull'asse sull'asse y. y. Per Per variare variare colore colore e segno segno un un grafico grafico si si aggiunge aggiunge a plot plotun un terzo terzo parametro parametro per per ogni ogni quota. quota. Es.: Es.: plot(t,y,'r:') segna segna lea lea rossa rossa costituita costituita da da punti. punti. Grafici Il Il comando comando figure figure crea crea nuova nuova festra festra grafica grafica cui cui far far comparire comparire il il segno; segno; per per spostarsi spostarsi sulla sulla n-esima n-esima festra festra basta basta gitare gitare figure(n). Il Il comando comando clf clfcancella cancella il il grafico grafico corrente; corrente; close close all allchiude tutte tutte le le festre festre grafiche. grafiche.

22 Grafici E' E' possibile possibile segnare segnare più piùfunzioni sullo sullo stesso stesso grafico: grafico: t=0:0.1:10; t=0:0.1:10; y=s(t); y=s(t); z=cos(t); z=cos(t); plot(t,y,'ro',t,z,'bx') Grafici

23 Grafici Lo Lo stesso stesso effetto effetto si si può può ottenere ottenere con con i i coman coman hold hold on on e hold hold off: off: t=0:0.1:10 t=0:0.1:10,, y=s(t); y=s(t); plot(t,y,'ro'),, hold hold on; on; z=cos(t) z=cos(t),, plot(t,z,'bx') hold hold off off Grafici Il Il comando comando subplot subplot permette permette creare creare più più grafici grafici su su stessa stessa figura. figura. Vanno Vanno specificati specificati 3 parametri parametri gresso: gresso: il il primo primo ca ca quante quante parti parti verticali verticali videre videre la la figura, figura, il il secondo secondo quante quante parti parti orizzontali, orizzontali, il il terzo terzo quale quale parte parte eseguire eseguire il il plot plot successivo. Es.: Es.: subplot(2,1,1),plot(t,y),title('s(t)'); subplot(2,1,2),plot(t,z),title('cos(t)');

24 Grafici 1 s(t) crea due grafici affiancati orizzontalmente, e visualizza quello alto y e quello basso z cos(t) Grafici Due Due funzioni funzioni che che possono possono essere essere usate usate per per creare creare vettori vettori per per le le ascisse ascisse da da usare usare plot plotsono lspace lspacee logspace. logspace. Es.: Es.: x=lspace(0.01,100,1000); crea crea un un vettore vettore x x elementi elementi compresi compresi tra tra e separati separati learmente. Es.: Es.: x=logspace(-2,2,1000); crea crea un un vettore vettore x x elementi elementi compresi compresi tra tra e separati separati logaritmicamente. I I primi primi due due parametri parametri sono sono gli gli esponenti esponenti degli degli estremi estremi dell'tervallo espressi espressi base base

25 Grafici semilogaritmici e logaritmici La La funzione funzione semilogx semilogx genera genera grafici grafici con con scala scala delle delle ascisse ascisse logaritmica logaritmica base base La La stassi stassi è identica identica a quella quella della della funzione funzione plot. plot. La La funzione funzione semilogy semilogy genera genera grafici grafici con con scala scala delle delle ornate ornate logaritmica logaritmica base base La La funzione funzione loglog loglog genera genera grafici grafici con con entrambe entrambe le le scale scale logaritmiche base base

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